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第8 章 二元一次方程组（单元测试·基础卷）
【要点回顾】
【要点1】二元一次方程组的相关概念
1. 二元一次方程的定义
定义：方程中含有两个未知数（一般用x和y），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫
做二元一次方程.
2.二元一次方程的解
定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
3. 二元一次方程组的定义
定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，
组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.
4. 二元一次方程组的解
定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
【要点2】二元一次方程组的解法
1.解二元一次方程组的思想
消元
二元一次方程组 一元一次方程
转化
2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法
（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或y）的代数式表示y（或
y=ax+b x=ay+b
x），即变成 （或 ）的形式；
②将
y=ax+b
（或
x=ay+b
）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y（或x
），得到一个关于x（或y）的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；
④把x（或y）的值代入
y=ax+b
（或
x=ay+b
）中，求y（或x）的值；
{
⑤用“ ”联立两个未知数的值，就是方程组的解.
（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于 0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程
组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；
②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变
形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
{
⑤将两个未知数的值用“ ”联立在一起即可.【要点3】实际问题与二元一次方程组
【要点4】三元一次方程组
1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三
个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，并且一共有三个方程，像这样的方程组
叫做三元一次方程组.
2．三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从
而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三
元一次方程组的一般步骤是：
（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一
个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方
程；
（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
（5）将求得的三个未知数的值用“｛”合写在一起．
3. 三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤：
（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如x，y，z）表示题目中的两个（或三个）未知数；
（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
（4）解这个方程组，求出未知数的值；
（5）写出答案（包括单位名称）．
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各组数中，是二元一次方程 的解的是（ ）
A． B． C． D．
2．若二元一次方程组 的解为 ，则 表示的方程可以是（ ）．
A． B． C． D．3．以方程组 的解为坐标的点（ ， ）在平面直角坐标系中的位置是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．将方程组 中的 消去后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于x，y的方程组 的解是 ，则方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
6．若 +|2a﹣b+1|=0，则 =（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
7．若二元一次方程 ， ， 有公共解，则k的取值为（ ）
A．3 B．-3 C．-4 D．4
8．已知x，y满足方程组 ，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（ ）
A．x+y=1 B．x+y=－1 C．x+y=9 D．x+y=-9
9．如图，A、 的坐标为 ， ，若将线段 平移至 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．《九章算术》中曾记载：“今有牛五羊二，直金十两；牛二羊五，直金八两．问牛、羊各直金
几何？”译文：假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每
只羊各值金多少两？若设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为（ ）A． B． C． D．
二、填空题（本大题 共8小题，每小题4分，共32分）
11．已知是二元一次方程，则a的值为 ．
12．请你写出一个二元一次方程组，使它的解为 ，这个方程组是 ．
13．对x，y定义一种新运算▲，规定： （其中a，b均为非零常数），例如：
．已知 ， ．则a，b的值分别是 ．
14．已知二元一次方程组 ，则 的值为 ．
15．已知 ，请用含有 的代数式表示 ，则 ．
16．已知三元一次方程组 ，则 ．
17．把三个能够重合的长方形如图排列在一个大长方形中，若大长方形的周长为 ，则一个小
长方形的周长等于_________ ．
18．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折
索子来量竿，却比竿子短一托．如果一托为5尺，那么索长与竿子长之和为 尺．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）已知满足方程组 的x，y值之和为4，求a的值．
20．（8分）解方程组．(1) ；（代入法） (2) （加减法）
21．（10分）已知关于 、 的二元一次方程组 和关于 、 的二元一次方程组
的解相同，求 、 的值．
22．（10分）阅读以下材料：
解方程组： ，小阳在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫
做“整体代入法”，解题过程如下：
解：由①得x+y＝1③，将③代入②得：
（1）请你替小阳补全完整的解题过程；
（2）请你用这种方法解方程组： ．
23．（10分）如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形．
（1）若 ，分别求S，S 的面积；
1 2
（2）若将图1的阴影部分沿虚线剪开，重新拼成图2的长方形，且长为 ，宽为 ，求S∶S 的值．
1 224.（12分）某超市共用24000元同时购进甲、乙两种型号书包各200个，购进甲型号书包40个
比购进乙型书包30个少用100元．
（1）求甲、乙两种型号书包的进价各为多少元？
（2）若超市把甲、乙两种型号书包均按每个90元定价进行零售，同时为扩大销售，拿出一部分书
包按零售价的8折进行优惠销售．商场在这批背包全部售完后，若总获利不低于10200元，则超市
用于优惠销售的书包数量最多为多少个？参考答案：
1．D
【分析】将各选项数据分别代入3x-2y=12验证，两边相等的即为答案．
【详解】解：将各选项数据分别代入3x-2y=12验证：
A：左边=3×0-2×6=-12≠12，故A不符合题意；
B：左边=3×2-2×3=0≠12，故B不符合题意；
C：左边=3×2-2×（-9）=24，故C不符合题意；
D：左边=3×4-2×0=12，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的含义，代入验证是解答本题的关键．
2．B
【分析】将x=1，y=-3代入各选项求解．
【详解】解：把x=1，y=-3代入x+y，得1-3=-2≠4，故A选项不符合题意；
把x=1，y=-3代x-y，得1-(-3)=4，故B选项符合题意．
把x=1，y=-3代入xy，得1×（-3）=-3≠3，故C选项不符合题意．
把x=1，y=-3代入2x+y，得1×2+(-3)=-1≠1，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，了解方程组的解的意义是解题关键．
3．D
【分析】解方程组得到x，y的值，然后可判断在平面直角坐标系中的位置.
【详解】解： ，
将①代入②得：3x+2x-4=1，解得：x=1，
将x=1代入①得：y=-2，
∴点（ ， ）在平面直角坐标系中的位置是第四象限.
故选D.
【点睛】本题考查解二元一次方程组和平面直角坐标系中各象限内点的坐标规律，解题关键是通过代入消
元法求出x，y的值.
4．A
【分析】利用两个方程相减即可消去x为 ，从而可得答案.【详解】解：
①-②得：
故选A
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握“利用加减消元法解二元一次方程组”是解本题的关
键.
5．C
【分析】用换元法求解方程组的解．
【详解】解：方程组 可以变形为：方程组 ，
设 ， ，则方程组可变为 ，
∴m＝3，n＝4，
即 ， ，
解得 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．弄清
题意是解本题的关键．
6．B
【分析】根据算术平方根的非负性、绝对值的非负性求出a+b+5=0，2a-b+1=0，那么a=-2，b=-3，从而解决
此题．
【详解】解：∵ ≥0，|2a-b+1|≥0，
∴ =0，|2a-b+1|=0．
∴a+b+5=0，2a-b+1=0．
∴a=-2，b=-3．∴ ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查算术平方根的非负性、绝对值的非负性、解二元一次方程组，熟练掌握算术平方根
的非负性、绝对值的非负性、解二元一次方程组是解决本题的关键．
7．D
【分析】先利用方程 和 组成方程组，求出x、y，再代入 求出k值.
【详解】由题意，得：
解得：
将 代入 中，得： ，
解得： .
故选D.
【点睛】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解
二元一次方程组较简单.
8．C
【分析】将两方程相加即可得到x，y恒有关系式
【详解】解 ，①+②得x+y=9，
故选C.
【点睛】此题主要考查加减消元法，解题的关键是熟知二元一次方程组的解法.
9．B
【分析】根据平移的性质结合图形可知 ，解出a和b的值，再相加即可．
【详解】由图可知： ，解得： ，
∴a+b=4．
故选B．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化—平移．利用数形结合的思想是解题关键．
10．A
【分析】
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是设每头牛、每只羊分别值金 x两、y两，
根据“ 头牛， 只羊，值金 两； 头牛， 只羊，值金 两”列出方程组即可得答案．
【详解】
解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为 ，
故选A．
11．1
【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面确定 的取值．
【详解】解： 是二元一次方程，
， ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了绝对值和二元一次方程的定义，能根据题意得出 和 是解此题的关键．
12．如： （答案不唯一）；
【分析】根据二元一次方程组解的定义即可求解．
【详解】解：解为 的二元一次方程组可以为 ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了对二元一次方程组的解的理解和运用，注意：二元一次方程的定义包括三方面的含义：①是整式方程，②含有两个未知数，③所含未知数的项的最高次数是1次．
13．2，
【分析】本题考查二元一次方程组的解法，理解新运算的定义是解题关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，解得 ，
故答案为：2， ．
14．2
【分析】先将②-①得 ，即可求得答案．
【详解】原方程组为 ，
由②-①得 ，
∴
故答案为：2．
【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是学会观察，并用整体法求解．
15． /
【分析】把x看作已知数求出y即可．
【详解】解：方程2x+y﹣5＝0，
解得：y＝﹣2x+5，
故答案为：﹣2x+5
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．
16．6
【分析】方程组中三个方程左右两边相加，变形即可得到x+y+z的值．
【详解】解： ，
①+②+③，得
2x+2y+2z＝12，
∴x+y+z＝6，故答案为:6．
【点睛】此题考查了解三元一次方程组，本题的技巧为将三个方程相加．
17．296
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，则大长方形的长为（2x+y）cm，宽为（x+2y）cm，利用长方
形的周长公式结合大长方形的周长为888cm，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可求出（x+y）
的值，再将其代入2（x+y）中即可求出结论．
【详解】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，则大长方形的长为（2x + y）cm，宽为（x + 2y）cm，
依题意，得：2（2x+y+x +2y）= 888，
∴x+y= 148，
∴2（x+y）= 296，
即一个小长方形的周长等于296cm；
故答案为： 296．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程
是解题的关键．
18．35
【分析】设索长x尺，竿子长y尺，根据“索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”，即可
得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设索长x尺，竿子长y尺，
依题意，得： ，
解得： ，
∴x+y=35，
故答案为：35．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
19．a的值为5
【分析】把a看做已知数表示出方程组的解，代入x+y＝4求出a的值即可．
【详解】解：①×3﹣②×5得：﹣x＝3﹣2a，
解得：x＝2a﹣3，
把x＝2a﹣3代入②得：y＝2﹣a，代入x+y＝4得：2a﹣3+2﹣a＝4，
解得：a＝5，
则a的值为5．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
20．(1)
(2)
【分析】（1）将x单独分离出来，用含y的式子表示，代入即可求解；
（2）将①×3，再与②相加即可得到x的值，将x代入即可求解y的值．
【详解】（1） ，
整理②，得：
③，
将③代入①，得：
，
，
代入①，得：
，
（2）
，得：
，
，代入①，得：
【点睛】本题考查解二元一次组中的代入消元法与加减消元法，属于基础题．
21． ，
【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题及解二元一次方程组，根据同解方程定义可以重新组合得到
二元一次方程组 将其方程组的解代入 即可求解；
【详解】解：∵ 和 的解相同，
∴ ，解得： ，
将 代入 中，得： ，
解得：
∴ ，
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用整体代入法进行求解即可；（2）利用整体代入法进行求解即可．
【详解】（1）解：由①得： ，
将③代入②得： ，
解得 ，
把 代入①得，
，
解得 ，
故原方程组的解是 ；
（2）整理得，
，
把①代入②得，
，
解得 ，
把 代入①得，
，
解得 ，
故原方程组的解是 ．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
23．(1) ，
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组以及列代数式求值，正确表示出阴影部分的面积是解题关键．
（1）根据 、 即可求解；（2）由题意得 ，求出 即可．
【详解】（1）解：由题意得： ，
（2）解：由题意得： ，
∴
由（1）得 ，
∴
24．(1)A、B两种型号书包的进货单价各为50元、70元；
(2)商场用于优惠销售的书包数量为100个．
【分析】（1）设A、B两种型号书包的进货单价各为x元、y元，根据题意列出二元一次方程组，即可求
解；
（2）设商场用于优惠销售的书包数量为a个，根据题意列出关于a的一元一次不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设A、B两种型号书包的进货单价各为x元、y元，
由题意得， ，
解得： ，
答：A、B两种型号书包的进货单价各为50元、70元；
（2）解：设商场用于优惠销售的书包数量为a个，
由题意得，90×（400-a）＋90×0.8a-24000≥10200，
解得：a≤100．
答：商场用于优惠销售的书包数量最多为100个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息列出方程组和不等式
是解题的关键．
