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第8 章 二元一次方程组（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B． C．5 D．
2．若关于x，y的方程组 没有实数解，则( （
A．ab＝－2； B．ab＝－2且a≠1
C．ab≠－2； D．ab＝－2且a≠2
3．已知关于x，y的方程组 ，若 ，则k的值为（ ）．
A．6 B．7 C．8 D．9
4．由方程组 可得x与y的关系式是（ ）
A．3x＝7+3m B．5x﹣2y＝10 C．﹣3x+6y＝2 D．3x﹣6y＝2
5．若单项式 与 是同类项，则a，b的值分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
6．已知 是二元一次方程组 的解，则 的算术平方根为（ ）
A．3 B．9 C． D．
7．若实数 ， ， 满足 ，且 ，则 的值是（ ）
A．31 B．27 C．29 D．无法确定
8．一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为8，这样的两位数有（ ）
A．3个 B．5个 C．6个 D．8个
9．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）；接收方由密文→明文（解密）.已知加密规则为：明文 对应密文 . 例如：明文1,2,3对应的密文5,7,9.当
接收方收到密文14,9,15时，则解密得到的明文为( （
A．10,5,2 B．10,2,5 C．2,5,10 D．5,10,2
10．《九章算术》有个题目，大意是：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，
恰好一样重．”设每只雀、燕的重量分别为x两，y两，可得方程组是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若a、b互为相反数，则a-（2-b）的值为
12．已知方程 的一个解是 ，则 ．
13．已知方程组 ，则 ．
14．对于实数 ， ，定义运算“◆”和“ ”：a◆b ，例如4◆3，因为 ，
所以4◆3 ， ，m，n为常数，若 ， ，则m◆n
．
15．若 是方程组 的解，则a与c的关系是 ．
16．已知一个等腰三角形的两边长 ， 满足方程组 则此等腰三角形的周长为 ．
17．甲、乙二人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符
号，得到的结果为6x2+11x﹣10；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣
9x+10，则a＝ ；b＝ ．
18．如图，数轴上有A，B，C三点， 个单位长度，A，B，C三点所对应的数分别为a，b，c，且 ．动点P， Q分别从点A，C处同时出发，在数轴上向右运动，点P的速度
为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当点 重合时，P，Q两点都停止运动．
若运动过程中的某时刻点P，Q满足 ，则此时动点Q在数轴上对应的数是
．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）解方程组
（1） （用代入法解方程组） （2）
20．（8分）在 中，当 时， ，当 时， ．
（1）求 和 的值．
（2）求当 时， 的值．
21．（10分）解方程： ．
22．（10分）阅读理解：已知实数x，y满足 …①， …②，求 和 的值．仔细观察两个方程
未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得
，由①＋②×2可得 ．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用
“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组 ，则 ______， ______．
（2）对于实数x，y，定义新运算： ，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算，
已知 ， ，求 的值．
23．（10分）某商场第1次用39000元购进甲，乙两种商品，销售完后获得利润6000元，它们的
进价和售价如表（总利润 单价利润 销售量）：
价格商品 进价（元/件） 售价（元/件）
甲 120 135
乙 100 120
（1）该商场第1次购进甲，乙两种商品各多少件？
（2）商场第2次以原进价购进甲，乙两种商品，购进甲商品的件数不变，而购进乙商品的件数是
第1次的2倍，甲商品按原售价销售，而乙商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经
营活动获得利润等于5400元，则乙种商品是按几折销售的？
24．（12分）【方法感语】阅读下面材料：
点 在数轴上分别表示实数 两点之间的距离表示为 ．如图1，从数轴上看，若点表示的分别是1，4则 或 ；
【归纳】若点 表示的数分别是 ， ，则 或 ．
【知识迁移】
（1）若点 表示的数是最大的负整数，点 表示的数为 ，且 ，则 ______或______；
（2）如图2，点 表示的数分别是 ， ，若把 向左平移 个单位，则点 与 重合，
若把 向右平移 个单位，则点 与70重合，那么 ______， ______；
【拓展应用】
（3）一天，美羊羊去问村主任爷爷的年龄，村主任爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要50年
才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，136岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，请问村主
任爷爷现在到底是多少岁？美羊羊现在又是几岁？请写出解题思路．参考答案：
1．C
【分析】根据幂的乘方将已知式子整理为 ， ，据此即可得到关
于m、n的二元一次方程组，解方程即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，解得： ，
∴ .
故选：C．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方，二元一次方程组等知识，根据幂的乘方的运算法则将已知式变形是解
题的关键．
2．A
【分析】把①变形，用y表示出x的值，再代入②得到关于y的方程，令y的系数等于0即可求出ab的值．
【详解】 ，
由①得，x=-1-ay，
代入②得，b（-1-ay）-2y+a=0，
即（-ab-2）y=b-a，
因为此方程组没有实数根，所以b-a ≠0且-ab-2=0
解得ab=-2．
故选A．
【点睛】考查的是解二元一次方程组，解答此类问题时要熟知解二元一次方程组的代入消元法和加减消元
法．
3．D
【分析】由 可得： ，再由 ，关于k的方程，即可求解．
【详解】解： ，由 得： ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，根据题意得到 是解题的关键．
4．D
【分析】方程组消去m即可得到x与y的关系式．
【详解】解： ，
①×2﹣②得：3x﹣6y＝2，
故选：D．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，本题用的是加减消元法．
5．D
【分析】本题考查了同类项的定义，解二元一次方程组，掌握两个相同是解题关键．含有相同的字母，并
且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项．根据同类项的定义，列出二元一次方程组，进行解答即
可．
【详解】解：∵单项式 与 是同类项，
∴ ，
解得： ， ．
故选：D．
6．A
【分析】由于已知二元一次方程的解，可将其代入方程组中，即可求出 、 的值，进而利用算术平方根
定义可求出 的算术平方根．【详解】解：把 代入方程组得 ，
解得： ，
则 ．
则 的算术平方根为3．
故选：A．
【点睛】此题既考查了二元一次方程组的解法，也考查了算术平方根的定义，其中能够根据二元一次方程
的解来求得 、 的值，是解答此题的关键．
7．B
【分析】将已知适当变形后相减，得到 的值，即可得到答案．
【详解】解：由 两边同时乘以5得： ①，
由 两边同时乘以3得： ②，
①-②得：
∴
故选：B．
【点睛】本题考查求代数式的值，解题的关键是将已知变形，构造并求出x-18y+11z的值．
8．D
【分析】可以设两位数的个位数为x，十位为y，根据两数之和为7，且x、y为整数，分别讨论两未知数的
取值即可，注意不要漏解．
【详解】解：设两位数的个位数为x，十位为y，
根据题意得：x＋y＝8，
∵x，y都是整数，
∴当x＝0时，y＝8，两位数为80；
当x＝1时，y＝7，两位数为71；
当x＝2时，y＝6，两位数为62；
当x＝3时，y＝5，两位数为53；
当x＝4时，y＝4，两位数为44；当x＝5时，y＝3，两位数为35；
当x＝6时，y＝2，两位数为26；
当x＝7时，y＝1，两位数为17；
则此两位数共8个，
故选D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键在于根据未知数的整数性质讨论未知数的具体值，
注意不要漏掉两位数的个位数可以为0的情况．
9．B
【详解】根据题意可得： ，解得： ，即明文为：10,2,5.
考点：三元一次方程组的应用
10．A
【分析】根据题意可得等量关系：①5只雀的重量+6只燕的重量=16两，②4只雀的重量+1只燕的重量=1
只雀的重量+5只燕的重量，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：设每只雀、燕的重量分别为x两，y两，由题意得：
，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，熟练掌握计算法则是解题关键．
11．-2
【分析】根据题意可先求出a=-b的关系式，然后代入计算即可．
【详解】解：∵a，b互为相反数，
∴a=-b，
∴a-（2-b）=-b-2+b=-2．
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了代数式求值、相反数的概念，根据相反数的概念得到a=-b是解题的关键．
12．
【分析】把 代入方程 得关于a的方程，求解即可．【详解】解：把 代入方程 ，得
，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，解一元一次方程．根据方程解的意义得出关于a的方程是解题的关
键．
13．
【分析】方程组两方程相减求出 的值，第一个方程乘以 减去第二个方程求出 的值，代入
原式计算即可求出值．
【详解】解： ，
得： ，
得： ，
则原式 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解本题的关键．
14．
【分析】根据新定义运算法则，得出 ，解出 、 的值，再根据新定义运算法则，计算即可
得出答案．
【详解】解：∵ ，m，n为常数，若 ， ，
∴可得： ，解得： ，
又∵ ，
∴ ，
∴m◆n ．
故答案为：
【点睛】本题考查了新定义运算、解二元一次方程组，解本题的关键在理解新定义运算法则．
15．9a－4c＝23
【分析】把解代入方程组中，得关于a、b、c的方程组，消去b即得a与c的关系式．
【详解】把 代入方程组 中，得：
，得：9a－4c＝23
故答案为：9a－4c＝23
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及消元法的应用，关键是应用消元法消去b．
16．5
【分析】先解二元一次方程组，然后讨论腰长的大小，再根据三角形三边关系解答即可．
【详解】解：解方程组 ，
解得： ，
所以等腰三角形的两边长为2，1，
若腰长为1，底边长为2，由1＋1＝2知，这样的三角形不存在，
若腰长为2，底边长为1，则三角形的周长为5，
所以这个等腰三角形的周长为5．
故答案为5．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解，三角形三边关系，等腰三角形的性质有关知识．17． ﹣5 ﹣2
【分析】分别按甲、乙错误的说法得出2b﹣3a＝11 和2b+a＝﹣9 ，联立方程求解即可求出a，b的值．
【详解】∵甲抄错了第一个多项式中a的符号 ① ②
∴甲计算的式子是（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x+ab＝6x2+11x﹣10
∴2b﹣3a＝11
∵乙漏抄了第二①个多项式中x的系数
∴乙计算的式子是（2x+a）（x+b）＝2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣9x+10
∴2b+a＝﹣9
由 得：a②＝﹣5，b＝﹣2
故①答案②为：﹣5，﹣2．
【点睛】本题考查了整式乘法的计算问题，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
18． 或
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，解二元一次方程组，根据题意易得 ，
则 ，得出 ，和 ，联立求解得出 ，进而得出 ，
设运动时间为t，则点P表示的数为 ，点Q标示的数为 ，根据数轴上两点之间距离的表示方法
得出 ， ，根据 ，列出方程求出t的值，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴联立得： ，
解得： ，
∴ ，
设运动时间为t，∴点P表示的数为 ，点Q标示的数为 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 或 ，
解得： 或 ，
∴点Q标示的数为 ，或 ，
故答案为： 或 ．
19．（1） ；（2） .
【分析】（1）分别把两方程记作①和②，然后由①，用含x的式子表示出y记作③，将③代入②得到一个
关于x的一元一次方程，求出方程的解即可得到x的值，把x的值代入③即可得到y的值，写出方程组的解
即可；
（2）先把原方程组的两方程化简后，分别记作①和②，然后①×6+②把x消去得到关于y的一元一次方程，
求出方程的解即可得到y的值，然后把y的值代入②即可求出x的值，写出方程组的解即可；
【详解】解：（1） ，
由①得：y=2x+5③，
将③代入②得：3x+8(2x+5（=2，
即19x=-38，
解得x=-2；
把x=-2代入③，解得y=1，
所以此方程组的解为 ；由 可化为： ，
①×6+②得：19y=114，
解得y=6，
把y=6代入②，解得x=-7，
所以原方程组的解为 .
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解法，用代入法或加减法消元化为一元一次方程是解题关键．
20．（1）k=6，b=-2；（2）-14．
【分析】（1）由题意可得关于k、b的方程组，解方程组即可求得k、b的值；
（2）将x=-2以及k、b值代入y=kx+b进行计算即可得．
【详解】解：（1）因为在 中，当 时， ，当 时， ，
所以 ，
②-①得：k=6，
把k=6代入①得：6+b=4，
解得：b=-2，
所以方程组的解为 ，
所以k=6，b=-2；
（2）由（1）知y=6x-2，
当x=-2时，y=6×（-2）-2=-14．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组并正确求解是解题的关键．
21． 或 ．
【分析】本题考查了解三元二次方程组，因式分解 分组分解法．先利用因式分解 分组分解法可得：
①， ②， ③，然后进行计算即可解答．【详解】解： ，
，
，
①，
，
，
，
②，
，
，
，
③，
① ②得： ，
④，
把④代入③得： ，
解得： 或 ，
当 时，
把 代入②得： ，
解得： ，
把 代入③得： ，
解得： ；
当 时，
把 代入②得： ，
解得： ，
把 代入③得： ，
解得： ；
原方程组的解为： 或 ．22．(1（-1，
(2（8
【分析】（1）利用①−②可求出x−y的值，利用①＋②进行计算可求出x＋y的值；
（2）根据题意可得 ，然后利用整体的思想求出a＋b＋c＝8，即可解答．
【详解】（1）解： ，
①−②得：x−y＝-1，
①＋②得：5x＋5y＝17，则x＋y＝ ，
故答案为：-1， ；
（2）根据题意得： ，
①×2得：4a＋6b＋2c＝24③，
③−②得：a＋b＋c＝8，
∵1*1＝a＋b＋c＝8．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，加减法的应用，熟练掌握整体思想是解题的关键．
23．(1（商场第1次购进甲商品200件，乙商品150件
(2（乙种商品打九折销售的
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
（1）设第1次购进甲商品x件，乙商品y件，根据该商场第1次用39000元购进甲乙两种商品且销售完后
获得利润6000元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设乙商品打m折出售，根据总利润 单价利润 销售量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可
得出结论．
【详解】（1）解：设第1次购进甲商品x件，乙商品y件．根据题意得： ，
解得： ．
答：商场第1次购进甲商品200件，乙商品150件．
（2）解：设乙商品打m折出售．
根据题意得： ，
解得： ．
答：乙种商品打九折销售的．
24．(1（2；
(2（ ，30
(3（村长爷爷现在74岁，美羊羊现在12岁
【分析】（1）根据最大的负整数是 和 ，根据题意，可得 ，即可求得 的值；
（2）由题意可得 ， ，解方程即可；
（3）设美羊羊现在 岁为数轴上的一个点，现在爷爷年龄 岁为数轴上的一个点，50年前在数轴上表示
的数为 ，村长爷爷136岁时，在数轴行的点表示的数为136，根据题意，列出二元一次方程组．即可
求解．
【详解】（1）解： 点 表示的数是最大的负整数，
点 表示的数是 ，
，
，
解得： 或 ，
故答案为：2； ；
（2）解： 点 表示的数分别是 ， ，，
当 向左平移 个单位，则 ，
当 向右平移 个单位，则 ，
解得： ， ，
故答案为： ，30；
（3）解：设美羊羊现在 岁为数轴上的一个点，现在爷爷年龄 岁为数轴上的一个点，50年前在数轴上
表示的数为 ，村长爷爷136岁时，在数轴行的点表示的数为136，根据题意得： ，
解得： ，
答：村长爷爷现在74岁，美羊羊现在12岁．
【点睛】本题考查了实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间的距离求法，绝对值的几何意义，解
二元一次方程组是解题的关键．
