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第十章二元一次方程组单元测试（培优卷）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（24-25七年级下·浙江·期中）下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
1
A．2x−y=3 B．xy=20 C．y−1=0 D． + y=2
x
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程
叫做二元一次方程，据此逐个判断即可．
【详解】解：A、2x−y=3是二元一次方程，本选项符合题意；
B、xy=20是二次方程，故不是二元一次方程，本选项不符合题意；
C、y−1=0是一元一次方程，故不是二元一次方程，本选项不符合题意；
1
D、 + y=2不是整式方程，故不是二元一次方程，本选项不符合题意；
x
故选：A．
2．（23-24七年级下·全国·课后作业）将方程−x+4 y=−15写成用含y的代数式表示x的形式是（ ）．
A．−x=4 y−15 B．x=−15+4 y C．x=4 y+15 D．x=−4 y+15
【答案】C
【分析】本题考查了代入法的运用，掌握代入法的计算是关键．根据题意，运用等式的性质，代入法的计
算即可求解．
【详解】解：−x+4 y=−15，
移项得，−x=−15−4 y，
等式两边同时乘以−1得，x=15+4 y，
故选：C ．
{x=2)
3．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知 是方程2x+ y=7的一个解，则a的值为（ ）
y=a
A．a=−1 B．a=1 C．a=−3 D．a=3
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解是解题的关键．
将x=2代入方程2x+ y=7即可求得a的值．
【详解】解：根据题意，得：
将x=2代入方程2x+ y=7得，
2×2+ y=7，
解得：y=3，即a=3．
故选：D．
{x+3 y=4①)
4．（24-25七年级下·四川乐山·期中）用加减消元法解二元一次方程组 时，下列方法中无法
2x−y=1②
消元的是（ ）
A．①×2−② B．②×3+①
C．①×(−2)+② D．①−②×3
【答案】D
【分析】本题主要考查了加减消元法，熟练掌握等式的性质，是解题的关键．根据等式性质，逐项进行判
断即可．
【详解】解：A．①×2−②可以消去x，故A不符合题意；
B．②×3+①可以消去y，故B不符合题意；
C．①×(−2)+②可以消去x，故C不符合题意；
D．①−②×3不能消元，故D不符合题意．
故选：D．
1
5．（23-24七年级下·全国·课后作业）甲、乙两根绳共长17m，如果甲绳减去 ，那么乙绳增加1m，这时
5
两根绳长相等．设甲绳长xm，乙绳长ym，则得到的方程组是（ ）
{
x+ y=17
) {
x+ y=17
) {
x+ y=17
) {
x+ y=17
)
A． 1 B． 1 C． 1 D． 1
x− = y+1 x+ = y−1 x− x= y+1 x+ x= y−1
5 5 5 5
【答案】C
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接列出方
程组即可．
{
x+ y=17
)
【详解】解：由题意可得方程组为 1 ；
x− x= y+1
5
故选C．
6．（22-23七年级下·湖南怀化·期中）小亮求得方程组¿的解为¿，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮
住了两个数△和■，请你帮他找回这两个数，△和■表示的数分别为（ ）
A．9，2 B．−8，2 C．5，2 D．5，4
【答案】A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立
的未知数的值，据此把x=5代入到方程2x−3 y=4中求出y的值即可得到答案．
【详解】解；把x=5代入到方程2x−3 y=4中得2×5−3 y=4，解得y=2，
∴x+2y=5+2×2=9，
∴△和■表示的数分别为9，2，故选：A．
{5x+3 y=23)
7．（23-24七年级下·全国·课后作业）若关于x，y的二元一次方程组 的解满足x−y=−1，
x+ y=p
则p的值为（ ）
A．3 B．−3 C．6 D．−6
【答案】C
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意可
根据加减消元可得x−y=23−4 p，然后问题可求解．
{5x+3 y=23)
【详解】解：由二元一次方程组 的可得：5x+3 y−4(x+ y)=23−4 p，
x+ y=p
即x−y=23−4 p，
∵x−y=−1，
∴23−4 p=−1，
解得：p=6；
故选：C．
{2x+3 y=1)
8．（23-24七年级下·全国·课后作业）用加减法解方程组 时，下列四种变形中，正确的是
3x−2y=8
（ ）
{4x+6 y=1) {6x+9 y=1) { 6x+9 y=3 ) { 4x+6 y=2 )
① ；② ；③ ；④ ；
9x−6 y=8 6x−4 y=8 −6x+4 y=−16 9x−6 y=24
A．①② B．③④ C．①③ D．④
【答案】B
【分析】本题考查了解二元一次方程组的计算，掌握加减消元法，等式的性质是关键．运用等式的性质，
加减消元法的计算方法判定即可．
{2x+3 y=1)
【详解】解： ，
3x−2y=8
运用加减消元法消去x，
∵x的系数分别是2,3，最小公倍数是6，
{ 6x+9 y=3 ) { 6x+9 y=3 )
∴ 或 ，故③正确，②错误；
6x−4 y=16 −6x+4 y=−16
运用加减消元法消去y，
∵x的系数分别是2,3，最小公倍数是6，
{ 4x+6 y=2 )
∴ ，故④正确，①错误；
9x−6 y=24
∴正确的有③④，
故选：B ．{2x+ y=1−m)
9．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组 （其中m是常数），
4x−y=5m
不论m取什么实数，代数式nx+4 y（n是常数）的值始终不变，则n的值是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程组的知识，将方程组中的两个方程联立消掉m是解题的关键．将方程组中
的两个方程变形后消掉m即可得出结论．
{2x+ y=1−m①)
【详解】解： ，
4x−y=5m②
①×5+②，得14x+4 y=5，
∵代数式nx+4 y（n是常数）的值始终不变，
∴n=14．
故选D．
{x+2y=6−3a)
10．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知关于x,y的方程组 ，给出下列说法：
4x−y=6a
①当a=1时，方程组的解也是x−y=2a−1的解；
②若5x+ y=3，则a=−1；
③无论a取何值：x,y的值不可能互为相反数；
④x,y都为自然数的解有2对．
以上说法中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④
【答案】D
【分析】本题考查了消元法解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，二元一次方程的自然数解等知识，
理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质，掌握以上知识是解题关键．
5
{ x= )
{x+2y=3) 3
将a=1代入原方程组得 ，解得 ，经检验得是x−y=2a−1的解，故①正确；方程组
4x−y=6 2
y=
3
{x+2y=6−3a①)
两方程相加得5x+ y=6+3a，根据5x+ y=3，解得a=−1，故②正确；设x+ y=0，
4x−y=6a②
2+3a
{ x= )
代入
{x+2y=6−3a)
解得a=
10
，故③错误解方程
{x+2y=6−3a)
，解得：
3
，当a=
1
时，
4x−y=6a 3 4x−y=6a 8−6a 3
y=
3
x=1，y=2，
4
当a= 时，x=2，y=0，因此存在两对自然数解，④正确；
35
{ x= )
{x+2y=3) 3
【详解】解：将a=1代入原方程组得 ，解得： ，将其代入x−y=2a−1，解得：a=1，
4x−y=6 2
y=
3
∴当a=1时，方程组的解也是x−y=2a−1的解，①正确；
{x+2y=6−3a①)
方程组 ，①+②得：5x+ y=6+3a，当5x+ y=3，解得：a=−1；故②正确；
4x−y=6a②
设x+ y=0，代入
{x+2y=6−3a)
解得a=
10
，此时x=4，y=−4，互为相反数，故③错误；
4x−y=6a 3
2+3a
{ x= )
解方程
{x+2y=6−3a)
，解得：
3
，当a=
1
时，x=1，y=2，
4x−y=6a 8−6a 3
y=
3
4
当a= 时，x=2，y=0，因此存在两对自然数解，④正确；
3
综上所述：①②④正确，
故选：D；
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）若2xm+3 yn=5为二元一次方程，则m+n= ．
【答案】2
【分析】本题考查二元一次方程的概念，解题的关键是能够熟练的掌握二元一次的基本概念即可．
根据二元一次方程的概念分析解答即可．
【详解】解：∵方程2xm+3 yn=5是二元一次方程，
∴m=1,n=1，
∴m+n=1+1=2，
故答案为：2．
{ y=5−x )
12．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）已知x、y满足方程组 ，则xy的值为 ．
2x−y=4
【答案】6
【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键；
分别计算x、y的值，进而计算xy，即可求解；
{ y=5−x① )
【详解】解：
2x−y=4②
将①代入②，可得：2x−(5−x)=4，
解得：x=3，
将x=3代入①，可得：y=2；
当x=3，y=2时，
xy=3×2=6；故答案为：6
{ax+by=2①)
13．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）甲、乙两人共同解方程组 ，甲将①中的b看成了它
cx−3 y=4②
{ x=1 ) {x=2)
的相反数解得 ，乙抄错②中的c解得 ，则a−b+c= ．
y=−1 y=4
【答案】5
【分析】本题考查含参的二元一次方程组的错解问题，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键，根据甲
将①中的b看成了它的相反数解得的值，代入可得到a+b，c的值，再根据乙抄错②中的c得到的值，代入
可得到a+2b的值，结合两个式子的值即可得到答案．
{ x=1 ) {a+b=2)
【详解】解： 甲将①中的b看成了它的相反数解得 ，代入原式得到： ，
y=−1 c+3=4
a+b=2③， ∵ c=1，
∴ 乙抄错②中的c解得
{x=2)
，代入原式的①得到：2a+4b=2，
y=4
∵ a+2b=1④，
∴{a+b=2③
)
，
a+2b=1④
∴
{ a=3 )
解得：
b=−1
a−b+c=3−(−1)+1=3+1+1=5，
∴
故答案为：5．
14．（23-24七年级下·全国·课后作业）有大、小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货
18t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货40.5t，则4辆大货车与1辆小货车一次可以运货 t．
【答案】21
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，首先根据2辆大货车与3辆小货车一次可以运货18t，5辆大货
车与6辆小货车一次可以运货40.5t，列出二元一次方程组，解方程组求出一辆大货车和一辆小货车一次
分别可以运货多少吨，然后再求出4辆大货车与1辆小货车一次可以运货多少吨．
【详解】解：设一辆大货车一次可以运货xt，一辆小货车一次可以运货yt，
{ 2x+3 y=18 )
根据题意可得： ，
5x+6 y=40.5
{x=4.5)
解得： ，
y=3
∴ 4辆大货车与1辆小货车一次可以运货4×4.5+1×3=21t．
故答案为：21 ．
15．（24-25七年级下·江苏南京·期中）若方程组
{a
1
x+b
1
y=c
1
)
的解是
{x=−2)
，则方程组
a x+b y=c y=2
2 2 2{3a x+2b y=a +c )
1 1 1 1
的解是 ．
3a x+2b y=a +c
2 2 2 2
{ x=− 1 )
【答案】 3
y=1
【分析】本题考查方程组的解以及方程组的变形求解，解题的关键是通过对已知方程组解的运用，将所求
方程组进行合理变形．
利用已知方程组的解，把所求方程组进行转化，通过对比系数求出未知数的值．
【详解】已知方程组
{a
1
x+b
1
y=c
1
)
的解是
{x=−2)
，
a x+b y=c y=2
2 2 2
{−2a +2b =c )
将其代入原方程组可得 1 1 1 ，
−2a +2b =c
2 2 2
{3a x+2b y=a +c )
把c =−2a +2b ，c =−2a +2b 代入 1 1 1 1 可得：
1 1 1 2 2 2 3a x+2b y=a +c
2 2 2 2
{3a x+2b y=a −2a +2b )
1 1 1 1 1 ，
3a x+2b y=a −2a +2b
2 2 2 2 2
{3a x+2b y=−a +2b )
1 1 1 1
3a x+2b y=−a +2b
2 2 2 2
{3x=−1)
进一步变形为 ．
2y=2
1
解得x=− ；y=1，
3
{3a x+2b y=a +c ) { x=− 1 )
所以方程组 1 1 1 1 的解是 3 ，
3a x+2b y=a +c
2 2 2 2 y=1
{ x=− 1 )
故答案为： 3 ．
y=1
{x+3 y=4−a)
16．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x,y的方程组 ，有下列结论：①当a=1时，
x−y=3a
方程组的解也是方程x−y=3的解；②无论a取什么数，x+2y的值始终不变；③当这个方程组的解x,y的
值互为相反数时，a=−2．其中，正确的有 （填序号）．
【答案】①②③
【分析】此题考查二元一次方程组的解法和应用，当a=1时，x−y=3a=3，即可判断①；解方程组即可
得x+2y=2a+1+2(1−a)=3，即可判断②；根据方程组的解x,y的值互为相反数得2a+1+1−a=0，求
出a=−2，即可判断③．
【详解】解：当a=1时，x−y=3a=3，∴方程组的解也是方程x−y=3的解，
故①正确；
{x+3 y=4−a) {x=2a+1)
解方程组 得 ，
x−y=3a y=1−a
∴x+2y=2a+1+2(1−a)=3，
故②正确；
当这个方程组的解x,y的值互为相反数时，2a+1+1−a=0，
解得a=−2，
故③正确．
故答案为：①②③．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）解下列方程组
(1)¿
(2)¿
{ x=1 )
【答案】(1)
y=−2
{x=−1)
(2)
y=4
【分析】本题考查解二元一次方程组的知识，解题的关键是掌握解二元一次方程组的方法，代入法和加减
消元法，即可．
（1）由②−①，得x=1，再把x的值代入①，解出y，即可；
（2）将①代入②式，解出x，再把x的值代入①式，解出y值，即可．
【详解】（1）解：②−①得：2x=2，
解得：x=1，
将x=1代入①得：3+2y=−1，
解得：y=−2，
{ x=1 )
∴原方程组的解为 ；
y=−2
（2）解：将①代入②得：2x−3(3x+7)=−14，
解得：x=−1，
将x=−1代入①得：y=3×(−1)+7=4，
{x=−1,)
∴原方程组的解为
y=4.
{4x+3 y=5①)
18．（24-25八年级上·山西晋中·期末）下面是小华同学解方程组 的过程，请你观察计算
2x−y=−5②
过程，回答下面问题．
解：②×2得：4x−2y=−10③ 第一步①−③得：y=15 第二步
将y=15代入②得：x=5． 第三步
{ x=5 )
所以该方程的解是 第四步
y=15
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做__________；其中第一步这样做的依据是__________．
(2)第_____步开始出现了错误，错误的原因是：__________．
(3)请你帮小华同学写出正确的解题步骤．
【答案】(1)①加减消元法，②等式的基本性质2
(2)②，合并同类项计算错误
(3)见解析
【分析】（1）根据二元一次方程组的定义即可解答；
（2）根据二元一次方程组的运算即可解答．
（3）利用加减消元法解方程组即可．
此题考查了二元一次方程组的求解能力，关键是键是能熟练运用加减消元法．
【详解】（1）小华同学使用的是加减消元法，第一步的依据是等式的基本性质2，即等式两边同时乘以一
个相同的数，等式仍然成立．
（2）第二不出现错误，原因是合并同类项计算错误；
（3）解：②×2得：4x−2y=−10 ③
①−③得：5y=15，y=3
将y=3代入②得：x=−1
{x=−1)
所以该方程组的解是
y=3
{ 3x−y=5 )
19．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组 与
4ax+5by=−22
{2x+3 y=−4)
有相同的解，求(−a) b的值．
ax−by=8
【答案】−8
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易
{2x+3 y=−4)
得 ，然后求出方程组的解，进而可得a、b的值，最后问题可求解．
3x−y=5
【详解】解：由题意得：
{2x+3 y=−4)
，
3x−y=5
{ x=1 )
解得： ，
y=−2
{ x=1 ) { ax−by=8 ) { a+2b=8 )
把 代入方程组 得： ，
y=−2 4ax+5by=−22 4a−10b=−22{a=2)
解得： ，
b=3
∴(−a) b=(−2) 3=−8．
20．（23-24七年级下·全国·课后作业）一套仪器由1个A部件和2个B部件构成．用1m3钢材可做40个A
部件或240个B部件．现要用8m3钢材制作这种仪器，应分别用多少立方米钢材做A部件和B部件？恰好
配成这种仪器多少套？
【答案】用6m3钢材做A部件，2m3钢材做B部件，恰好配成这种仪器240套
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设用xm3钢材做A部件，用ym3钢材做B部件，根据题意列出方程组求解即可．
【详解】设用xm3钢材做A部件，用ym3钢材做B部件，
{ x+ y=8 )
根据题意，得
2×40x=240 y
{x=6)
解得
y=2
所以40x=240．
答：用6m3钢材做A部件，2m3钢材做B部件，恰好配成这种仪器240套．
21．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，长方形由7个正方形组成，正方形A的边长为3cm，正方形B
的边长为5cm．求此长方形的面积．
【答案】长方形的面积为63cm2
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组是解题的关键．
{ x+3=5+ y ) {x=4)
设正方形C的边长为xcm，正方形D的边长为ycm，根据题意得到 ，解得 ，进而即
5+x=3 y+3 y=2
可求出长方形的面积．
【详解】解：设正方形C的边长为xcm，正方形D的边长为ycm，
{ x+3=5+ y )
根据题意得到 ，
5+x=3 y+3
{x=4)
解得 ，
y=2
∴长方形的面积=(5+4)(4+3)=63cm2
．
答：长方形的面积为63cm2．
22．（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）规定；形如x+ky=b与kx+ y=b的两个关于x，y的方程互为{x+ky=b)
“共轭二元一次方程”，其中k≠1．由这两个方程组成的方程组 叫作“共轭方程组”，k，b
kx+ y=b
称为“共轭系数”.
(1)方程3x+ y=5的“共轭二元一次方程”为________，它们组成的“共轭一方程组”的解为_____．
{x+(2−5a)y=−b−4)
(2)若关于x，y的二元一次方程组 为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭
(1−2b)x+ y=−5−a
系数．
5
{ x= )
4
【答案】(1)x+3 y=5，
5
y=
4
(2)−3,−6
【分析】（1）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可，解方程组即可；
（2）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可求出“共轭系数”．
本题主要考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．
【详解】（1）解：根据定义，得方程3x+ y=5的“共轭二元一次方程”为x+3 y=5，
{x+3 y=5)
由题意，得 ，
3x+ y=5
5
{ x= )
4
解得 ，
5
y=
4
5
{ x= )
4
故答案为：x+3 y=5， ．
5
y=
4
{x+(2−5a)y=−b−4)
（2）解：由二元一次方程组 为“共轭方程组”，
(1−2b)x+ y=−5−a
{2−5a=1−2b)
得 ，
−b−4=−5−a
{a=1)
解得 ，
b=2
{2−5a=1−2b=−3)
故 ，
−b−4=−5−a=−6
故此“共轭方程组”的共轭系数为−3,−6．
23．（23-24七年级下·全国·课后作业）某杨梅种植大户对1000kg的杨梅打包优惠出售．打包方式及售价
如下：圆篮是每篮8kg，售价为160元；方篮是每篮18kg，售价为270元．假如用这两种打包方式恰好全
部装完这1000kg杨梅．(1)若销售a篮圆篮和a篮方篮共收入8600元，求a的值．
(2)当销售总收入为16760元时，
①若这批杨梅全部售完，则圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮？
②若杨梅大户留下b(b>0)篮圆篮送给邻居，其余杨梅全部售出，请确定该杨梅大户有哪几种包装方案．
【答案】(1)20
(2)①圆篮共包装了44篮，方篮共包装36篮；②方案见解析
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用，理解题意，弄清数量关系是解题
关键．
（1）根据题意列出关于a的一元一次方程160a+270a=8600，求解即可获得答案；
（2）①设圆篮共包装了x篮，方篮共包装y篮，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案；②
设此时出售了m篮圆篮，n篮方篮，根据题意列出二元一次方程组并求解，结合m,n，b为正整数，且b应
为9的倍数，即可获得答案．
【详解】（1）解：根据题意，得160a+270a=8600，
解得a=20（篮），
答：a的值为20；
（2）①设圆篮共包装了x篮，方篮共包装y篮，根据题意，
{160x+270 y=16760)
得 ，
8x+18 y=1000
{x=44)
解得 ，
y=36
答：圆篮共包装了44篮，方篮共包装36篮；
②设此时出售了m篮圆篮，n篮方篮，
{160m+270n=16760)
{m=44+3b
)
则 ，解得 16 ，
8(m+b)+18n=1000 n=36− b
9
因为m,n,b为正整数，且b应为9的倍数，
所以b的值为9或18，
当b=9时，n=20,m=71,m+b=80；
当b=18时，n=4,m=98,m+b=116．
所以有两种方案，方案一：圆篮包装80篮，方篮包装20篮；
方案二：圆篮包装116篮，方篮包装4篮．
