【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考七省专用）
黄金卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．若曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x−y+1=0垂直，则a的值为（ ）
1 1 1
A．− B．− C． D．1
4 2 2
【答案】A
【分析】运用导数几何意义及导数公式求得切线的斜率，结合两直线垂直进而求得a的值.
1
【详解】由题设，知(0,1)处的切线的斜率为k=− ，
2
又因为y'=2a⋅e2ax，
1 1
所以y'| =2a=− ，解得a=−
.
x=0 2 4
故选：A.
2．甲､乙两所学校各有3名志愿者参加一次公益活动，活动结束后，站成前后两排合影留念，每排3人，
若每排同一个学校的两名志愿者不相邻，则不同的站法种数有（ ）
A．36 B．72 C．144 D．288
【答案】B
【分析】先求出第一排有2人来自甲校，1人来自乙校，根据分步乘法计数原理求出不同的站法种数. 同理
可得，第一排有2人来自乙校，1人来自甲校，不同的站法种数.然后根据分类加法计数原理，相加即可得
出答案.
【详解】第一排有2人来自甲校，1人来自乙校：
第一步，从甲校选出2人，有C2=3种选择方式；
3
第二步，2人站在两边的站法种数有A2=2；
2
第三步，从乙校选出1人，有C1=3种选择方式；
3
第四步，第二排甲校剩余的1人站中间，乙校剩余的2人站在两边的站法种数有A2=2.
2根据分步乘法计数原理可知，不同的站法种数有3×2×3×2=36.
同理可得，第一排有2人来自乙校，1人来自甲校，不同的站法种数有36.
根据分类加法计数原理可知，不同的站法种数有36+36=72.
故选：B.
3．设(1+x)+(1+x) 2+⋯+(1+x) 7+(1+x) 8=a +a x+⋯+a x7+a x8，则a =（ ）
0 1 7 8 2
A．84 B．56 C．36 D．28
【答案】A
【分析】根据给定的展开式特征，列出a 的表达式，再利用组合数性质计算作答.
2
【详解】依题意，a =C2+C2+⋯+C2=C3+C2+⋯+C2=C3+C2+⋯+C2=⋯=C3+C2=C3=84.
2 2 3 8 3 3 8 4 4 8 8 8 9
故选：A
4．某医院对10名入院人员进行新冠病毒感染筛查，若采用单管检验需检验10次；若采用10合一混管检
验，检验结果为阴性则只要检验1次，如果检验结果为阳性，就要再全部进行单管检验．记10合一混管检
验次数为ξ，当E(ξ)=10时，10名人员均为阴性的概率为（ ）
A．0.01 B．0.02 C．0.1 D．0.2
【答案】C
【分析】依据题意写出随机变量ξ的的分布列，利用期望的公式即可求解.
【详解】设10人全部为阴性的概率为p，混有阳性的概率为1−p，
若全部为阴性，需要检测1次，若混有阳性，需要检测11次，
则随机变量ξ的分布列
ξ 1 11
P p 1−p
E(ξ)=p+11(1−p)=10 ，解得p=0.1，
故选：C.
5．某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所
示的散点图．若去掉D(10,2)后，下列说法正确的是（ ）A．相关系数r变小 B．决定系数R2变小
C．残差平方和变大 D．解释变量x与预报变量y的相关性变强
【答案】D
【分析】从图中分析得到去掉D(10,2)后，回归效果更好，再由相关系数，决定系数，残差平方和和相关
性的概念和性质作出判断即可．
【详解】从图中可以看出D(10,2)较其他点，偏离直线远，故去掉D(10,2)后，回归效果更好，
对于A，相关系数|r|越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉D(10,2)后，相关系数r变大，故A错误；
对于B，决定系数R2越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉D(10,2)后，决定系数R2变大，故B错误；
对于C，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，若去掉D(10,2)后，残差平方和变小，故C错误；
对于D，若去掉D(10,2)后，解释变量x与预报变量y的相关性变强，且是正相关，故D正确．
故选：D．
6．已知事件A,B满足P(A)=0.5，P(B)=0.2，则（ ）
A．若B⊆A，则P(AB)=0.5
B．若A与B互斥，则P(A+B)=0.7
C．若A与B相互独立，则P(AB)=0.9
D．若P(B|A)=0.2，则A与B不相互独立
【答案】B
【分析】根据事件的包含关系，互斥事件的概率加法，以及独立事件的概念及判定，以及概率乘法公式，
逐项判定，即可求解.
【详解】对于A，若B⊆A，则P(AB)=P(B)=0.2，所以A错误；
对于B，若A与B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)=0.7，所以B正确；
对于C，若A与B相互独立，可得A与B相互独立，
所以P(AB)=P(A)⋅P(B)=(1−0.5)(1−0.2)=0.4，所以C错误；
P(AB) P(AB)
对于D，由P(B|A)=0.2，可得P(B|A)= = =0.2，
P(A) 0.5
所以P(AB)=0.1，所以P(AB)=P(A)P(B)，所以A与B相互独立，所以D错误.故选：B.
7．某人在n次射击中击中目标的次数为X，X∼B(n,p)，其中n∈N∗,0<p<1，击中奇数次为事件A，
则（ ）
A．若n=10,p=0.8，则P(X=k)取最大值时k=9
1
B．当p= 时，D(X)取得最小值
2
1
C．当0<p< 时，P(A)随着n的增大而增大
2
1
D．当 <p<1时，P(A)随着n的增大而减小
2
【答案】C
【分析】对于A，根据X∼B(10,0.8)直接写出P(X=k)，然后根据P(X=k)取最大值列式计算即可判断；
对于B，根据X∼B(n,p)，直接写出D(X)即可判断；对于CD，由题意把P(A)表示出来，然后利用单
调性分析即可.
【详解】对于选项A，在10次射击中击中目标的次数X∼B(10,0.8)，
当X=k时对应的概率P(X=k)=Ck ×0.8k×0.210−k(k=0,1,2,⋯,10)，
10
因为P(X=k)取最大值，所以¿，
即¿，
39 44
即¿，解得 ≤k≤ ，
5 5
因为k∈N且0≤k≤10，所以k=8，即k=8时概率P(X=8)最大．故A不正确；
[ ( 1) 2 1] 1
对于选项B，D(X)=np(1−p)=n − p− + ，当p= 时，D(X)取得最大值，故B不正确；
2 4 2
对于选项C、D，∵P(X=k)=Ck×pk×(1−p) n−k (k=0,1,2,⋯,n)
n
∴P(A)=C1×p1×(1−p) n−1+C3×p3×(1−p) n−3+C5×p5×(1−p) n−5+⋯，
n n n
1−P(A)=C0×p0×(1−p) n+C2×p2×(1−p) n−2+C4×p4×(1−p) n−4+⋯，
n n n
[(1−p)+p] n −[(1−p)−p] n 1−(1−2p) n
∴P(A)= = ，
2 21 {1−(1−2p) n}
当0<p< 时，0<1−2p<1, 为正项且单调递增的数列，所以P(A)随着n的增大而增大，
2 2
故C正确；
1
当 <p<1时，−1<1−2p<0，{(1−2p) n}为正负交替的摆动数列，所以P(A)不会随着n的增大而减小，
2
故D不正确；
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题考查二项分布及其应用，其中求P(A)是难点，关键是能找到其与二项展开式之
间的联系.
8．已知函数f (x)=xlnx，g(x)=xex，若存在t>0，使得f (x )=g(x )=t成立，则x −2x 的最小值为
1 2 1 2
（ ）
A．2−ln4 B．2+ln4 C．e−ln2 D．e+ln2
【答案】A
【分析】由题设知f(x )=f(ex 2)=t，研究f(x)的单调性及最值，画出函数图象，数形结合确定y=t>0、
1
f(x)的交点个数得x =ex 2，进而将目标式化为x −2x =x −2lnx 且x >1，构造函数研究最小值即可.
1 1 2 1 1 1
【详解】由题设x lnx =x ex 2=ex 2lnex 2=t，即f(x )=f(ex 2)=t，
1 1 2 1
1 1
由f' (x)=1+lnx，则(0, )上f' (x)<0，f(x)递减；( ,+∞)上f' (x)>0，f(x)递增；
e e
1 1
f(x)≥f( )=− ，且f(1)=0，f(x)图象如下：
e e
由图知：t∈(0,+∞)时，x =ex 2，即x =lnx 且x >1，所以x −2x =x −2lnx ，
1 2 1 1 1 2 1 12 x−2
令ℎ(x)=x−2lnx且x∈(1,+∞)，则ℎ ' (x)=1− = ，
x x
1<x<2时，ℎ ' (x)<0，ℎ(x)递减；x>2时，ℎ ' (x)>0，ℎ(x)递增；
所以ℎ(x) = ℎ(2)=2−2ln2=2−ln4，即x −2x 的最小值为2−ln4.
min 1 2
故选：A
【点睛】关键点睛：利用同构得到f(x )=f(ex 2)=t，导数研究f(x)的性质，结合t∈(0,+∞)得到x =ex 2
1 1
为关键.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌.为了解学生对“天宫课
堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据，则（ ）
喜欢天宫课堂 不喜欢天宫课堂
男生 80 20
女生 70 30
n(ad−bc) 2
参考公式及数据：①χ2= ，n=a+b+c+d.②当α=0.05时，x =3.841.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) α
2
A．从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为
5
9
B．用样本的频率估计概率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率为
64
C．根据小概率值α=0.05的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联
D．对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试，男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，
则参加测试的学生成绩的均值为85
【答案】BC
【分析】根据古典概型的概率公式判断A，首先求出样本中喜欢天宫课堂的频率，再根据独立重复试验的
概率公式判断B，计算出卡方，即可判断C，根据平均公式判断D.
【详解】对于A：从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率80 4
P= = ，故A错误；
80+20 5
80+70 3
对于B：样本中喜欢天宫课堂的频率 = ，从全校学生中任选3人，
200 4
恰有2人不喜欢天宫课堂的概率P
=C2(
1−
3) 2
×
3
=
9
，故B正确；
1 3 4 4 64
200(80×30−70×20) 2 8
对于C：因为χ2= = ≈2.667<3.841，
100×100×150×50 3
所以根据小概率值α=0.05的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联，故C正确；
对于D：抽取的喜欢天宫课堂的学生男、女生人数分别为80、70，
又男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，所以参加测试的学生成绩的均值为
80×80+70×90 254
= ，故D错误；
80+70 3
故选：BC
10．随机变量ξ的分布列如表：其中xy≠0，下列说法正确的是（ ）
ξ 0 1 2
y 2y
P x
3 3
5 y
A．x+ y=1 B．E(ξ)=
3
C．D(ξ)有最大值 D．D(ξ)随y的增大而减小
【答案】ABC
【分析】利用分布列的性质以及期望与方差公式，列出表达式，结合二次函数的性质判断选项的正误即可．
y 2y
【详解】由题意可知x+ + =1，即x+ y=1，故A正确；
3 3
y 2y 5 y
E(ξ)=0×x+1× +2× = ，故B正确；
3 3 3
( 5 y) 2 y( 5 y) 2 2y( 5 y) 2
D(ξ)=x 0− + 1− + 2−
3 3 3 3 3=(1−y) ( 0− 5 y) 2 + y( 1− 5 y) 2 + 2y( 2− 5 y) 2 =− 25 y2+3 y ，
3 3 3 3 3 9
因为xy≠0，x+ y=1，易得0<y<1，
25 27
而f (y)=− y2+3 y开口向下，对称轴为y= ，
9 50
( 27) (27 )
所以f (y)在 0, 上单调递增，在 ,1 上单调递减，
50 50
27
故f (y)在y= 处取得最大值，
50
27
所以D(ξ)随着y的增大先增大后减小，当y= 时取得最大值，故C正确，D错误.
50
故选：ABC.
11．设甲袋中有3个红球和4个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再
从乙袋中任取2球，记事件A＝“从甲袋中任取1球是红球”，记事件B＝“从乙袋中任取2球全是白球”，
则（ ）
9
A．事件A与事件B相互独立 B．P(B)=
14
1 13
C．P(A|B)= D．P(AB)=
5 14
【答案】CD
【分析】由古典概型概率计算公式，以及条件概率公式分项求解判断即可.
【详解】现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球可知：
从甲袋中任取1球对乙袋中任取2球有影响，事件A与事件B不是相互独立关系，故A错误；
3 4
从甲袋中任取1球是红球的概率为：P(A)= ，从甲袋中任取1球是白球的概率为： ，
7 7
所以乙袋中任取2球全是白球的概率为：
C1C2 C1C2
1 2 5
P(B)= 3 2 + 4 3 = + = ，故B错误；
C1C2 C1C2 14 7 14
7 4 7 4
C1C2
1 P(AB) 1 14 1
P(AB)= 3 2 = ，所以P(A|B)= = × = ，故C正确；
C1C2 14 P(B) 14 5 5
7 4
1 13
P(AB)=1−P(AB)=1− = ，故D正确.
14 14故选：CD
12．已知a,b∈R,f (x)=ex−ax,g(x)=b√x2+1，则（ ）
A．对于任意的实数a，存在b，使得f (x)与g(x)有互相平行的切线
B．对于给定的实数x ，存在a､b，使得g(x )≥f (x )成立
0 0 0
C．y=f (x)−g(x)在[0,+∞)上的最小值为0，则a+√5b的最大值为2√e
D．存在a､b，使得|f (x)−g(x)|≤e2+2对于任意x∈R恒成立
【答案】ABC
【分析】对于A，对两函数求导，再求出导函数的值域，由两值域的关系分析判断，对于B，由
g(x
0
)≥f (x
0
)可得b≥ e
√
x 0−
x2
a
+
x
1
0 ，从而可判断，对于C，令ℎ(x)=f (x)−g(x)，再由ℎ (1
2
) ≥0可得
0
a+√5b≤2√e，由题意设x
0
为ℎ(x)的极小值点，然后列方程表示出a,b，从而可用x
0
表示a+√5b，再构
造函数，利用导数可证得结论，对于D，根据函数值的变化情况分析判断.
bx
【详解】对于A，f'(x)=ex−a>−a，g'(x)=
√x2+1
g'(x)= bx =b √ x2 =b √ 1 ∈(−|b|,|b|)
当x≥0时， √x2+1 x2+1 1 ，
1+
x2
g'(x)= bx =−b √ x2 =−b √ 1 ∈(−|b|,|b|)
当x<0时， √x2+1 x2+1 1 ，
1+
x2
综上，g'(x)∈(−|b|,|b|)，
所以对于任意的实数a，存在b，使(−a,+∞)与(−|b|,|b|)有交集，
所以对于任意的实数a，存在b，使得f (x)与g(x)有互相平行的切线，所以A正确，
对于B，由于给定的实数x ，当a给定时，则f (x )为定值，由g(x )≥f (x )，得
0 0 0 0ex 0−ax
b√x2+1≥ex 0−ax ，b≥ 0 ，所以存在b使上式成立，所以B正确，
0 0 √x2+1
0
1
对于C，令 ℎ(x)=f (x)−g(x)=ex−ax−b√x2+1，而ℎ
(1)
=e2−
1
a−
√5
b=√e−
1
(a+√5b)，
2 2 2 2
(1)
由题意可知，当x∈[0,+∞)时，ℎ(x)≥0恒成立，所以ℎ ≥0，
2
1
所以√e− (a+√5b)≥0，即a+√5b≤2√e，
2
若ℎ(x)在[0,+∞)上递增，
因为ℎ(x)=f (x)−g(x)在[0,+∞)上的最小值为0，
所以ℎ(0)=1−b=0，得b=1，
x
所以ℎ(x)=ex−ax−√x2+1，则ℎ '(x)=ex−a−
√x2+1
≥0在[0,+∞)上恒成立，
x
即 ex− ≥a在[0,+∞)上恒成立，
√x2+1
x x2
令t(x)=ex− (x≥0)，则t'(x)=ex−1+ ≥0(x≥0)，
√x2+1 (x2+1)√x2+1
所以t(x)在[0,+∞)上单调递增，
所以t(x)≥t(0)=1，所以a≤1，
所以a+√5b=a+√5≤1+√5<2√e，
若ℎ(x)在[0,+∞)上不单调，
因为ℎ(x)=f (x)−g(x)在[0,+∞)上的最小值为0，
所以设x
0
为ℎ(x)的极小值点，则
¿，解得¿，
所以a+√5b=ex 0(x2−x +1)+√5ex 0(1−x )√x2+1
0 0 0 0
=ex 0 [x2−x +1+√5(1−x )√x2+1]
0 0 0 0
令φ(x )=ex 0 [x2−x +1+√5(1−x )√x2+1] ，则
0 0 0 0 0[ x ]
φ' (x )=ex 0 [x2−x +1+√5(1−x )√x2+1]+ex 0 2x −1−√5√x2+1+√5(1−x ) 0
0 0 0 0 0 0 0 0 √x2+1
0
=x ex 0 [ x +1−√5√x2+1+√5(1−x ) 1 ]
0 0 0 0 √x2+1
0
由φ' (x 0 )=0，得 x 0 ex 0 [ x 0 +1−√5√x2 0 +1+√5(1−x 0 ) √x 1 2+1 ] =0 ，
0
1
x 0 =0或 x 0 +1−√5√x2 0 +1+√5(1−x 0 ) √x2+1 =0 ，
0
1 1
解得x =0，或x =−1（舍去），或x =− （舍去），或x = ，
0 0 0 2 0 2
1 1
当0<x < 时，φ' (x )>0，当x > 时，φ' (x )<0，
0 2 0 0 2 0
( 1) (1 )
所以φ(x )在 0, 上递增，在 ,+∞ 上递减，
0 2 2
1
所以φ(x )≤φ
(1)
=e2
(1
−
1
+1+
√5
×
√1
+1
)
=2√e，
0 2 4 2 2 4
综上a+√5b≤2√e，所以C正确，
对于D，f (x)−g(x)=ex−ax−b√x2+1，当x→+∞时，f (x)−g(x)→+∞，所以D错误，
故选：ABC
【点睛】关键点点睛：此题考导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值，对于
选项C解题的关键是由题意设x
0
为ℎ(x)的极小值点，则¿，求出a,b，则可表示出a+√5b再构造函数，利
用导数可得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某学校门口现有2辆共享电动单车，8辆共享自行车.现从中一次性随机租用3辆，则恰好有2辆共享
自行车被租用的概率为 .7
【答案】
15
【分析】根据古典概型列式结合组合数计算求解概率即可.
C2C1
28×2 7
【详解】恰好有2辆共享自行车被租用的概率为P= 8 2 = =
C3 120 15
10
7
故答案为: .
15
14．若(3x−4) 5=a +a (x−1)+⋅⋅⋅+a (x−1) 5，则a +2a +3a +4a +5a = .
0 1 5 1 2 3 4 5
【答案】240
【分析】观察已知条件，通过求导赋值构造出式子a +2a +3a +4a +5a 计算即可.
1 2 3 4 5
【详解】已知(3x−4) 5=a +a (x−1)+⋅⋅⋅+a (x−1) 5 ，对式子两边同时求导，
0 1 5
得15(3x−4) 4=a +2a (x−1)+3a (x−1) 2+⋅⋅⋅+5a (x−1) 4 ，
1 2 3 5
令x=2，得15×(3×2−4) 4=a +2a +⋅⋅⋅+5a =240.
1 2 5
故答案为：240
15．某校高二学生的一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布N(100,102)，从中抽取一个同学
的数学成绩X，记该同学的成绩80<X≤100为事件A，记该同学的成绩70<X≤90为事件B，则在A事件
发生的条件下B事件发生的概率P¿ ．（结果用分数表示）
附参考数据：P(μ−σ<X≤μ+σ)≈0.68，P(μ−2σ<X≤μ+2σ)≈0.95.
27
【答案】
95
【分析】利用正态分布性质和条件概率公式求解即可.
【详解】由题知，
事件AB为“记该同学的成绩80<X≤90”，
因为μ−2σ=100−20=80，μ−σ=100−10=90，
0.95 0.68 27
所以P(AB)=P(μ−2σ<X≤μ−σ)≈ − = ，
2 2 200
0.95 19
又P(A)=P(μ−2σ<X≤μ)≈ = ，
2 40所以P¿.
27
故答案为：
95
16．若f (x)=xlnx+x2−mx+e2−x≥0，则实数m最大值为 .
【答案】3
【分析】二次求导，结合隐零点得到方程与不等式，变形后得到(x +1)(e2−x 0−x )≥0，从而e2−x 0≥x ，
0 0 0
lnx ≤2−x ，代入m=lnx +2x +1−e2−x 0，得到m的最大值.
0 0 0 0
【详解】f (x)=xlnx+x2−mx+e2−x≥0， 定义域为x∈(0,+∞)，
则f'(x)=lnx+2x+1−m−e2−x，
令ℎ(x)=lnx+2x+1−m−e2−x，
1
则ℎ
'(x)= +2+e2−x>0，ℎ(x)在(0，+∞)上单调递增，
x
且x→0时，ℎ(x)→−∞，当x→+∞时，ℎ(x)→+∞
∴∃x ∈(0，+∞),使得ℎ(x )=0， 即f' (x )=0.
0 0 0
当x∈(0,x )时f'(x)<0，当x∈(x ,+∞)时f'(x)>0，
0 0
故f (x)在x∈(0,x )上单调递减，在x∈(x ,+∞)上单调递增，
0 0
所以f (x) =f (x )=x lnx +x2−mx +e2−x 0≥0②，
min 0 0 0 0 0
由f' (x )=0得lnx +2x +1−m−e2−x 0=0①，
0 0 0
即m=lnx +2x +1−e2−x 0，代入②得，x lnx +x2−(lnx +2x +1−e2−x 0)x +e2−x 0≥0，
0 0 0 0 0 0 0 0
整理得(x +1)(e2−x 0−x )≥0
0 0
∵x +1>0，
0
∴e2−x 0≥x ，
0∴lnx ≤2−x ，
0 0
m=lnx +2x +1−e2−x 0≤2−x +2x +1−x =3，
0 0 0 0 0
故m的最大值为3.
故答案为：3
【点睛】隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区
间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替
换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y（单
位：cm）与父亲身高x（单位：cm）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如
下表：
父亲身高
160 170 175 185 190
x
儿子身高
170 174 175 180 186
y
(1)根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程，并利用回归直线方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父
亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？
(2)记e^ = y −^y = y −b^x −a^,(i=1,2,⋯,n)，其中y为观测值，^y为预测值，e^ 为对应(x ,y )的残差.求
i i i i i i i i i i
（1）中儿子身高的残差的和､并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加
以证明；若不成立说明理由.
5 5 5 5
参考数据及公式：∑ x =880,∑ x2=155450,∑ y =885,∑ x y =156045
i i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1
n
∑(x −x)(y −y)
i i
b^= i=1 ,a^= y−b^x.
n
∑(x −x) 2
i
i=1【答案】(1)^y=0.5x+89，x<178时，儿子比父亲高；x>178时，儿子比父亲矮，
儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋势.
n
(2)0；任意具有线性相关关系的变量∑e^ =0，证明见解析
i
i=1
【分析】（1）根据已知求得回归方程的系数，即可得回归方程，解不等式可得到结论；
（2）结合题中数据进行计算，可求得儿子身高的残差的和，从而可得结论，结合回归方程系数的计算公
式即可证明.
160+170+175+185+190 170+174+175+180+186
【详解】（1）由题意得x= =176,y= =177，
5 5
5
∑ x y −5x y
i i
156045−5×176×177 156045−155760 285
b^= i=1 = = = =0.5，
5 155450−5×1762 155450−154880 570
∑ x2−5x2
i
i=1
a^= y−b^x=177−0.5×176=89，所以回归直线方程为^y=0.5x+89，
令0.5x+89−x>0得x<178，即x<178时，儿子比父亲高；
令0.5x−89−x<0得x>178，即x>178时，儿子比父亲矮，
可得当父亲身高较高时，儿子平均身高要矮于父亲，即儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋
势.
（2）由^y=0.5x+89可得^y =0.5×160+89=169,^y =174,^y =176.5,^y =181.5,^y =184，
1 2 3 4 5
5
所以∑ ^y =885，
i
i=1
5 5 ^ 5 ^ 5 5 ^
( )
又∑ y =885，所以∑❑e =∑❑ y −y =∑❑y −∑❑y =0，
i i i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
n
结论：对任意具有线性相关关系的变量∑e^ =0，
i
i=1
n n n n n
证明：∑e^=∑(y −^y )=∑(y −b^x −a^) =∑ y −b^∑ x −na^=n y−nb^x−n(y−b^x)=0.
i i i i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1 i=118．已知函数f (x)=ex−a,g(x)=ln(x+a)，其中a∈R．
(1)讨论方程f (x)=x实数解的个数；
(2)当x≥1时，不等式f (x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)(−1,e−1]
【分析】（1）由f (x)=x即方程ex−a=x有没有解的问题，转化为函数y=ex−x−a与x轴有没有交点问
题，分类讨论即可得出结果.
1 1
（2）不等式f (x)≥g(x)可化为：ex−a≥ln(x+a),x>−a，就−1<a<−1+ 、a≥−1+ 分类讨论后可
e e
得参数的取值范围.
【详解】（1）由f (x)=x可得，ex−a=x，
令s(x)=ex−x−a,s'(x)=ex−1，令y'=0，可得x=0，
当x∈(−∞,0),s'(x)<0，函数s(x)单调递减，
当x∈(0,+∞),s'(x)>0，函数s(x)单调递增，
所以函数s(x)在x=0时取得最小值1−a，
所以当a<1时，方程f (x)=x无实数解，
当a=1时，方程f (x)=x有一个实数解，
当a>1时，1−a<0，故s(x) <0，
min
而s(−a)=e−a>0，s(a)=ea−2a，
设u(a)=ea−2a,a>1，则u'(a)=ea−2>0，
故u(a)在(1,+∞)上为增函数，故u(a)>u(1)=e−2>0，
故s(x)有两个零点即方程f (x)=x有两个实数解.
（2）由题意可知，
不等式f (x)≥g(x)可化为，ex−a≥ln(x+a),x>−a，
即当x≥1时，ex−ln(x+a)−a≥0恒成立，所以−a<1，即a>−1，
1
令ℎ(x)=ex−ln(x+a)−a,ℎ '(x)=ex−
，
x+a
1
则ℎ '(x)在[1,+∞)上单调递增，而ℎ '(1)=e− ，
1+a
1
当ℎ(1)≥0即a≥−1+ 时，ℎ '(x)≥0,ℎ(x)在[1,+∞)上单调递增，
e
故ℎ(x) = ℎ(1)=e−ln(1+a)−a，
min
由题设可得¿，
( 1 )
设v(a)=e−ln(1+a)−a，则该函数在 − ,+∞ 上为减函数，
e
1
而v(e−1)=0，故− <a≤e−1.
e
1 1
当ℎ(1)<0即−1<a<−1+ 时，因为ℎ '(|a|+1)=e|a|+1− >0，
e |a|+1+a
故ℎ '(x)在(1,+∞)上有且只有一个零点x
0
，
当1<x<x
0
时，ℎ '(x)<0，而x>x
0
时，ℎ '(x)>0，
故ℎ(x)在(1,x
0
)上为减函数，在(x
0
,+∞)上为增函数，
故ℎ(x) =ex 0−ln(x +a)−a≥0，
min 0
1
而 ex 0= ，故x =−ln(x +a)，故ex 0+x −a≥0
x +a 0 0 0
0
1
因为x >1，故ex 0+x >1+e>a，故−1<a<−1+ 符合，
0 0 e
综上所述，实数a的取值范围为(−1,e−1]．
【点睛】关键点睛：本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数应用以及分类讨论思想、转化思想，考
查函数恒成立问题，属于中档题.
19．已知甲箱、乙箱均有6件产品，其中甲箱中有4件正品，2件次品；乙箱中有3件正品，3件次品．
(1)现从甲箱中随机抽取两件产品放入乙箱，再从乙箱中随机抽取一件产品，求从乙箱中抽取的这件产品恰
好是次品的概率；
(2)现需要通过检测将甲箱中的次品找出来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到能将次品全部找出时检测结束，已知每检测一件产品需要费用15元，设X表示能找出甲箱中的所有次品时所需要的检测费
用（单位：元），求X的分布列与数学期望．
11
【答案】(1)
24
(2)分布列见解析，E(X)=64
【分析】（1）由全概率公式计算从乙箱中抽取的这件产品恰好是次品的概率；
（2）计算X的所有可能取值的概率，进而列出分布列，计算期望.
【详解】（1）设A=“从甲箱中抽取的两件产品均为正品”，B=“从甲箱中抽取的两件产品为一件正品，一
件次品”，C=“从甲箱中抽取的两件产品均为次品”，D=“从乙箱中抽取的一件产品为次品”，由全概率公式，
得P(D)=P(A)×P(D|A)+P(B)×P(D|B)+P(C)×P(D|C)
C2
3
C1C1
4
C2
5 11
= 4 × + 4 2 × + 2 × = ．
C2 8 C2 8 C2 8 24
6 6 6
（2）X的所有可能取值为30，45，60，75．
A2
1
则P(X=30)= 2 = ；
A2 15
6
C1C1A2
2
P(X=45)= 2 4 2 = ；
A3 15
6
A4 C1C2A3
4
P(X=60)= 4 + 2 4 3 = ；
A4 A4 15
6 6
C1C3A4
8
P(X=75)= 2 4 4 = ．
A4 15
6
所以X的分布列为
X 30 45 60 75
1 2 4 8
P
15 15 15 15
1 2 4 8
X的数学期望E(X)=30× +45× +60× +75× =64（元）．
15 15 15 15
ax2
20．已知函数f (x)= −lnx−lna−1有三个零点.
ex−1(1)求a的取值范围；
(2)设函数f (x)的三个零点由小到大依次是x ,x ,x .证明：aex 1 x 3>e.
1 2 3
【答案】(1)a>1
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，根据x≥2,0<x<2分类讨论研究函数的单调性，确定零点个数，构造函数，研究函数
值的符号即可得到导函数的符号，即可求出原函数的单调区间，从而确定零点个数；
lnex ln(aex) lnx
（2）把原函数有三个零点转化为 = 有三个根，构造t(x)= ，求导研究函数单调性，结
ex aex x
合根的分布得aex =ex 1,aex =ex 3，要证aex
1
x 3>e，等价于证x x >2−k，
1 3 1 3
等价于x +x >1+k，构造函数从而证明q(x )>q(1+k−x )，即证e1−x 1−1+lnx <0,x ∈(0,1)，构造
1 3 3 1 1 1
函数，利用导数单调性即可证明.
ae1−x(2x2−x3)−1
【详解】（1）因为f (x)定义域为(0,+∞)，又f'(x)= (a>0)，
x
（ⅰ）当x≥2,f'(x)<0,f (x)单调递减；
2x2−x3 x(x−1)(x−4)
（ⅱ）当x∈(0,2)，记g(x)= ，则g'(x)= ，
ex−1 ex−1
当x∈(0,1),g'(x)>0；当x∈(1,2),g'(x)<0，
所以g(x)在(0,1)单调递增，在(1,2)上单调递减，g(x)≤g(1)=1，
又g(0)=0,g(2)=0，所以0<g(x)≤1，
①当a∈(0,1],f'(x)≤0，则f (x)单调递减，至多一个零点，与题设矛盾；
( 1)
a g(x)−
②当 a ，由（ⅱ）知，f'(x)有两个零点，
a>1,f'(x)=
x
记f'(x)两零点为m,n，且m<1<n，
则f (x)在(0,m)上单调递减，在(m,n)上单调递增，在(n,+∞)上单调递减，
因为f (n)>f (1)>0，令p(x)=xe1−x,(0<x<1)，则p'(x)=(1−x)e1−x>0,(0<x<1)，1 1
所以0<
1
<1,f
(1)
=
1
e
1−
a−1<
1
e
1−
1−1=0，
a a a 1
所以f (n)>0,f (m)<0，且x趋近0，f (x)趋近于正无穷大，x趋近正无穷大，f (x)趋近负无穷大，
所以函数f (x)有三零点，
综上所述，a>1；
aex ln(aex) lnex ln(aex)
（2）f (x)=0等价于 = ，即 = ，
ex x ex aex
lnx 1−lnx
令t(x)= ，则t'(x)= ，
x x2
所以t(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，
1
由（1）可得x < <x <1<x ，则aex <e,ex 1<e,aex >e,ex 3>e，
1 a 2 3 1 3
所以t(aex )=t(ex 1),t(aex )=t(ex 3)，所以aex =ex 1,aex =ex 3，
1 3 1 3
则x ,x 满足¿，k>1，
1 3
要证aex
1
x 3>e，等价于证x x >2−k，
1 3
x−1
易知¿，令q(x)=x−lnx，则q'(x)=
，
x
令q'(x)<0得0<x<1，令q'(x)>0得x>1，
所以函数q(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
下面证明x +x >1+k，由x <1<x ，即证q(x )>q(1+k−x )，
1 3 1 3 3 1
即证k>1+k−x −ln(1+k−x )，
1 1
即证0>1−x −ln(1+x −lnx −x )=1−x −ln(1−lnx )，
1 1 1 1 1 1
即证e1−x 1−1+lnx <0,x ∈(0,1)，
1 1
−xe1−x+1
令c(x)=e1−x−1+lnx,x∈(0,1)，c'(x)= ，
x
令y=−xe1−x+1，则y'=(x−1)e1−x<0,(x∈(0,1))，所以y=−xe1−x+1>0，
−xe1−x+1
所以c'(x)= >0，则c(x)<c(1)=0，所以e1−x 1−1+lnx <0,x ∈(0,1)，
x 1 1所以x +x >1+k，所以x x −1≥lnx x =x +x −2k>1+k−2k=1−k，
1 3 1 3 1 3 1 3
所以x x >2−k，所以原命题得证.
1 3
【点睛】利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确
定极值点和单调区间从而确定其大致图像；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通
过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想
研究；③构造辅助函数研究.
21．5G网络是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.已知某精密设备制造企业加工5G零件，根据长期检
测结果，得知该5G零件设备生产线的产品质量指标值服从正态分布N(μ,σ2).现从该企业生产的正品中随
机抽取100件､测得产品质量指标值的样本数据统计如图.根据大量的产品检测数据，质量指标值样本数据
的方差的近似值为100，用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值.已知质量指标值
不低于70的样品数为25件.
附：P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.683，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.
(1)求x（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)若质量指标值在[54,84]内的产品称为优等品，求该企业生产的产品为优等品的概率；
(3)已知该企业的5G生产线的质量控制系统由n(n∈N,n≥3)个控制单元组成，每个控制单元正常工作的
概率为p(0<p<1)，各个控制单元之间相互独立，当至少一半以上控制单元正常工作时，该生产线正常运
行生产.若再增加1个控制单元，试分析该生产线正常运行概率是否增加？并说明理由.
【答案】(1)64
(2)0.819
(3)质量控制系统有奇数个控制单元，增加1个控制单元设备正常工作的概率变小；质量控制系统有偶数个
控制单元，增加1个控制单元设备正常工作的概率变大.答案见解析【分析】（1）根据题意求出a，再由频率分布直方图中频率之和为1求b，计算均值即可；
（2）由产品质量指标值X∼N(64,102)，根据正态分布曲线的对称性求解即可；
（3）分原控制单元的个数为偶数、奇数两类情况分别讨论，分别计算增加一个控制单元后正常工作概率，
作差比较即可得解.
【详解】（1）因为质量指标值不低于70的样品数为25件，所以
25
(a+0.005)×10=
100
所以a=0.020，
因为(0.010+0.020+b+0.020+0.005)×10=1，
所以b=0.045，.
由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取100件的平均数为：
40+50 50+60 60+70
x=0.010×10× +0.020×10× +0.045×10× +0.020×10×
2 2 2
70+80 80+90
+0.005×10× =64.
2 2
（2）由题意知μ=64，
样本方差s2=100，故σ=10，
所以产品质量指标值X∼N(64,102)，
优等品的概率P(54≤X≤84)=P(54≤X≤64)+P(64≤X≤84)
1 1
=P(μ−σ≤X≤μ)+P(μ≤X≤μ+2σ)= ×0.683+ ×0.954≈0.819;
2 2
（3）假设质量控制系统有奇数个控制单元，
设n=2k−1(k∈N ,k≥2)，
+
记该生产线正常运行的概率为p ，若再增加1个控制单元，
k
则第一类：原系统中至少有k+1个控制单元正常工作，
其正常运行概率为p(1)=p −Ck pk (1−p) k−1 ；
k 2k−1
第二类：原系统中恰好有k个控制单元正常工作，新增1个控制单元正常工作，其正常运行概率为
p(2)=Ck pk (1−p) k−1p=Ck pk+1 (1−p) k−1 ；
2k−1 2k−1所以增加一个控制单元正常运行的概率为
p =p −Ck pk (1−p) k−1+Ck pk+1 (1−p) k−1=p +Ck pk (1−p) k−1(p−1),
k+1 k 2k−1 2k−1 k 2k−1
即p −p =−Ck pk (1−p) k ，
k+1 k 2k−1
因为0<p<1，所以p −p <0，
k+1 k
即增加1个控制单元设备正常工作的概率变小；·
假设质量控制系统有偶数个控制单元，设n=2k(k∈N ,k≥2)，记该生产线正常运行的概率为p ，若增
+ k
加1个元件，
则第一类：原系统中至少有k+1个元件正常工作，其正常运行概率为p(1)=p ；
k
第二类：原系统中恰好有k个控制单元正常工作，新增1个控制单元正常工作，
其正常运行概率为p(2)=Ck pk (1−p) k p=Ck pk+1 (1−p) k ；
2k 2k
所以增加一个控制单元正常运行的概率为p =p +Ck pk+1 (1−p) k ，
k+1 k 2k
即p −p =Ck pk+1 (1−p) k,
k+1 k 2k
因为0<p<1，所以p −p >0，
k+1 k
即增加1个控制单元设备正常工作的概率变大.
1
22．已知函数f (x)=lnx+ (a−x) 2 ，其中a∈R．
2
(1)当a=1时，求函数f (x)在(1,f (1))处的切线方程；
(2)讨论函数f (x)的单调性；
(3 15 )
(3)若f (x)存在两个极值点x ,x (x <x ),|f (x )−f (x )|的取值范围为 −ln2, −2ln2 ，求a的取值
1 2 1 2 2 1 4 8
范围．
【答案】(1)x−y−1=0
(2)答案见解析(3√2 5)
(3) ,
2 2
【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；
（2）求导后，分类讨论a，根据导数的符号可得结果；
（3）根据f (x)存在两个极值点可得a>2，且x ⋅x =1,x +x =a，根据单调性可得f (x )>f (x )，将
1 2 1 2 1 2
x x x
|f (x )−f (x )|化为ln 1− 1 + 2 ，利用比值代换可求出结果.
2 1 x 2x 2x
2 2 1
1
【详解】（1）当a=1时，f (x)=lnx+ (1−x) 2 ，定义域为(0,+∞)，
2
1
所以f'(x)= −(1−x)，
x
所以k=f'(1)=1，又f (1)=0，
所以函数f (x)在(1,f (1))处的切线方程为y=x−1，即x−y−1=0.
（2）f (x)的定义域是(0,+∞)，
1 1 1 x2−ax+1
f (x)=lnx+ x2−ax+ a2 ，f'(x)= +x−a= ，
2 2 x x
令g(x)=x2−ax+1，则Δ=a2−4．
①当a≤0或Δ≤0，即a≤2时，f'(x)≥0恒成立，所以f (x)在(0,+∞)上单调递增．
a−√a2−4 a+√a2−4
②当¿，即a>2时，由f' (x)>0，得0<x< 或x> ；
2 2
a−√a2−4 a+√a2−4
由f'(x)<0，得 <x< ，
2 2
( a−√a2−4) (a+√a2−4 ) (a−√a2−4 a+√a2−4)
所以f (x)在 0, 和 ,+∞ 上单调递增，在 , 上单调递减．
2 2 2 2
综上所述，当a≤2时，f (x)在(0,+∞)上单调递增；( a−√a2−4) (a+√a2−4 ) (a−√a2−4 a+√a2−4)
当a>2时，f (x)在 0, 和 ,+∞ 上单调递增，在 , 上单
2 2 2 2
调递减
（3）由（2）当a≤2时，f (x)在(0,+∞)上单调递增，此时函数f(x)无极值；
当a>2时，f (x)有两个极值点，即方程x2−ax+1=0有两个正根x ,x ，
1 2
所以x ⋅x =1,x +x =a，则f (x)在(x ,x )上是减函数．所以f (x )>f (x )，
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1
因为f (x)=lnx+ x2−ax+ a2 ，
2 2
所以|f (x )−f (x )|=f (x )−f (x )
2 1 1 2
=lnx + 1 x2−ax + 1 a2− ( lnx + 1 x2−ax + 1 a2)
1 2 1 1 2 2 2 2 2 2
x 1
=ln 1+ (x2−x2)−a(x −x )
x 2 1 2 1 2
2
x 1
=ln 1+ (x2−x2)−(x +x )(x −x )
x 2 1 2 1 2 1 2
2
x 1
=ln 1− (x2−x2)
x 2 1 2
2
x x2−x2
=ln 1− 1 2
x 2x x
2 1 2
x x x
=ln 1− 1 + 2 ，
x 2x 2x
2 2 1
x 1 1
令t= 1 (0<t<1)，则f (x )−f (x )= ℎ(t)=lnt− t+ ，
x 1 2 2 2t
2
1 1 1 −t2+2t−1 −(t−1) 2
ℎ '(t)= − − = = <0，
t 2 2t2 2t2 2t2
所以ℎ(t)在(0,1)上单调递减，(1) 3 (1) 15 1 3 15 1
又ℎ = −ln2,ℎ = −2ln2，且ℎ( )= −ln2< ℎ(t)< −2ln2= ℎ( )，
2 4 4 8 2 4 8 4
1 1
所以 <t< ，
4 2
由a2=
(x
1
+x
2
) 2
=t+
1
+2,t∈
(1
,
1)
，
x x t 4 2
1 2
1 (1 1)
又g(t)=t+ +2在 , 上单调递减，
t 4 2
所以
9
<a2<
25
且a>2，所以实数a的取值范围为
(3√2
,
5)
．
2 4 2 2
【点睛】方法点睛：涉及到双变量的问题一般可以利用比值代换处理，本题中，将|f (x )−f (x )|化为
2 1
x x x x
ln 1− 1 + 2 后，设t= 1 (0<t<1)，化为关于t的函数，再利用导数进行处理.
x 2x 2x x
2 2 1 2
