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专题 8.6 消元——加减法解二元一次方程组（分层练习）
一、单选题
1．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）已知 是关于a、b的二元一次方程组，求 是
（ ）
A．15 B．3 C．9 D．12
2．（2024·浙江宁波·一模） 表示小于a的最大整数， 表示不小于b的最小整数，若整数x、y满
足 ，则 的平方根为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组 无解，则a的
值是（ ）
A．2 B．6 C． D．
4．（23-24七年级下·全国·随堂练习）若单项式 与 是同类项，则 的值为（
）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（22-23七年级下·贵州铜仁·阶段练习）在方程 中，当 时， ；当 时， ；
则当 时， （ ）
A．8 B．10 C． D．12
6．（22-23七年级下·甘肃天水·期末）已知 ，则 、 的值分别是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，7．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）已知关于 ， 的二元一次方程组 的解满足
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（22-23七年级下·辽宁盘锦·期末）点 满足二元一次方程组 的解，则点A在第
（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
9．（22-23七年级下·四川广元·期末）已知 （n为自然数），且 ， ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）已知关于 ， 的方程组 ，下列结论：
①当 时，方程组的解也是 的解；②无论 取何值， ， 不可能互为相反数；
③ ， 都为非负整数的解有 对； ④若 ，则 ，其中不正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2023·河南·模拟预测）方程组 的解为 ．
12．（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）若 与 是同类项，则 ，
．
13．（23-24七年级上·山东滨州·期末）若 ，则 ．14．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如果关于x，y的二元一次方程组 的解满
，那么m的值是 ．
15．（2023八年级上·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组 与关于x，y的方程组
的解相同，则 的值为 ．
16．（23-24七年级下·全国·假期作业）如果方程组 的解是方程 的一个解，那
么 的值为 ．
17．（23-24八年级上·四川雅安·阶段练习）若方程组 有无数组解，则 ．
18．（22-23七年级下·福建泉州·期中）已知方程组 ，那么 ．
19．（22-23七年级下·山东菏泽·阶段练习）若方程组 的解是 ，某学生看错了c，求
出解为 ，则正确的
20．（23-24八年级上·四川成都·期中）关于 ， 的方程组 （其中 ， 是常数）的
解为 ，则关于 ， 的方程组 的解为 ．
三、解答题21．（23-24八年级上·广东佛山·期中）解方程组
（1）用代入法解： （2）用加减法解：
22．（23-24七年级下·全国·课后作业）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组
解：由 ，得
，即
．③
，得
．④
，得
，
从而可得
．
所以原方程组的解是
请你仿照上面的解法，解方程组：
23．（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）解下列方程（组）；
（1） ； （2） ．24．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）如图 和 的度数满足方程组 ，且
， ．
（1）求 与 的度数；
（2）判断 与 的位置关系，并说明理由；
（3）求 的度数．
25．（23-24七年级上·四川成都·期末）已知关于 的方程组 ．
（1）请写出方程 的所有正整数解．
（2）如果方程组有整数解，求整数 的解．
26．（22-23七年级下·四川眉山·期末）阅读材料：小明在解二元一次方程组 时采用了一种“整体代换”的解法：
解：由①，得： ③
将③代入②得， ，即 ，
把 代入③，得 ．
∴方程组的解为 ．
请你模仿小明的方法，解决下列问题：
（1）若 ，则 ．
（2）解方程 ；
（3）已知关于x、y的方程组 ，求 的值．参考答案：
1．B
【分析】
本题主要考查了解一元二次方程，直接把方程组中两个方程相加可得 ，则 ．
解：把方程组中两个方程相加可得 ，
∴ ，
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．
根据题意先求出 和 的值，从而可得 ，然后把 的值代入式子中进行计算，即可解
答．
解：由题意得： ，
解得： ，
∵ 为整数，
∴ ，
∴ ，
∴ 的平方根是 ，
故选：D．
3．D
【分析】本题主要考查解一元二次方程，运用加减法求得 ，由方程组无解得 ，求
出 的值即可．
解：
得， ，∵关于x，y的二元一次方程组 无解，
∴ ，
解得， ，
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了同类项的定义、二元一次方程组的解法，代数式求值，属于基本题型，熟练掌握
基本知识是解题关键．根据同类项的定义可得关于m、n的方程组，解方程组即可求出m、n的值，再代入
解答即可．
解：
解：∵单项式 与 是同类项，
∴
解得
∴ ，
故选：B．
5．B
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元
法．将x与y的两对值代入 中，得到二元一次方程组，解方程组求出k与b的值，将 代入计
算即可求出y的值．
解：当 时， ；当 时， ：
∴
解得： ，
∴ ，将 代入 得： ．
故选B．
6．D
【分析】本题考查了非负数的性质及解二元一次方程组，先根据非负数的性质得到关于 、 的二元
一次方程，再用加减消元法或代入消元法求出未知数的值，求出 ， 的值即可，根据非负数的性质得出
方程组是解答此题的关键．
解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
故选： ．
7．A
【分析】本题考查解二元一次方程组，先根据题意组成新的方程组 ，解得 ，代
入 即可求解，掌握二元一次方程组的解法，正确求解方程组的解是解题的关键．
解：由 满足 ，
则 ，
得： ，
把 代入 得： ，
∴方程组的解为 ，
把 代入 得 ，
解得： ，故选： ．
8．C
【分析】先解方程组，后根据点的坐标特征，确定位置即可．
解：∵ ，
解得 ，
∴ ，
故选C．
【点拨】本题考查了解方程组，点的坐标与象限，熟练掌握解方程组，坐标与象限的关系是解题的关
键．
9．B
【分析】先根据已知条件，列出关于 ， 的方程组，求出 ， ，再根据定义代入计算即可．
解： ， ， ，
，
得： ，
把 代入 得： ，
，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了规律型：数字的变化类，解题关键是根据题意，求出 ， 的值．
10．B【分析】①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程 即可判断；②根据消元法
解二元一次方程组，用含有字母的式子表示 、 ，再根据互为相反数的两个数相加为 即可求解；③根
据试值法求二元一次方程 的自然数解即可得结论；④根据整体代入的方法即可求解．
解：将 代入原方程组，得 ，
解得： ．
将 代入方程 的左右两边，
得：左边 ，右边 ，即左边 右边，
∴当 时，方程组的解不是方程 的解，故①错误，符合题意；
解原方程组 ，得 ，
∴ ，
∴无论 取何值， ， 的值不可能是互为相反数，故②正确，不符合题意；
∵ ，
∴ 、 为非负整数的解有 ， ， ， ，
∴ ， 都为为非负整数的解有 对，故③正确，不符合题意；
∵ ， ，
∴ ，
解得： ，故④错误，符合题意．
综上所述：②③正确，①④错误．
故选B．
【点拨】本题考查二元一次方程的解，二元一次方程组的解，解二元一次方程组．解题的关键是掌握
二元一次方程的解和二元一次方程组的解的定义，解二元一次方程组的方法和步骤．11．
【分析】
此题考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键．
先利用加减消元法求出n的值，再利用代入消元法求出m的值即可．
解：
得， ,
解得 ，
把 代入②得， ,
解得 ,
所以方程组的解是 ，
故答案为： .
12．
【分析】
本题考查同类项的定义及解二元一次方程组，所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那
么就称这两个单项式为同类项，正确理解同类项的定义是解题关键．根据同类项的定义得出关于 、 的
二元一次方程组，解方程组求出 、 的值即可得答案．
解：
∵ 与 是同类项，
∴ ，
①+②得：8a＝8，
解得： ，
把 代入①得： ，
故答案为： ；13．
【分析】
本题考查算术平方根的非负性，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．根据非负数之和等于 0，则每
一个非负数都等于0，可求出a，b的值，再计算 即可．
解：解∶∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
故答案为∶ ．
14．3
【分析】本题考查了解方程组，求得解，代入 解答即可．
解：解方程组 ，
得 ，
又二元一次方程组 的解满 ，
故 ，
解得 ，
故答案为：3．
15．
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，先求出x和y的值，再代入求出m，n的值再求解；解：方程组 ，
解之得 ，
代入 得 ，
代入 得 ，
故 ；
16．1
【解析】略
17．
【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，将方程组整理为 ，解之
即可得出结论．
解： ，
得， ，
所以，当 ，即 时，y可以为任何值，此时方程组有无数组解．
故答案为： ．
18．3
【分析】把k看做常数解二元一次方程组，求得 ， ，再代入计算即可．
解：
由 ，得 ，
解得： ，
把 代入②，得 ，
∴ ，故答案为：3．
【点拨】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用加减法求解二元一次方程是解题的关键．
19．
【分析】把两个解代入第一个方程组的第一个方程，把第二个解代入方程组的第二个方程，即可得到
一个关于 ， ， 的方程组，即可求解．
解： 方程组 的解是 ，
把 ， 代入方程组得： ，
整理得： ，
又看错了 ，求出解为 ，
把 ， 代入 得： ②，
①②联立得： ，
② ① 得： ，解得： ，
把 代入①得： ，
．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了方程组的解的定义，正确得到方程组，解方程组是解题的关键．
20．【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据已知得出关于 ， 的方程组，进而得出答案，熟练
掌握运算法则是解题的关键．
解：∵关于 ， 的方程组 （其中 ， 是常数）的解为 ，
∴方程组方程组 的解为 ，
∴ ，
故答案为： ．
21．（1） ；（2） ．
【分析】本题考查的是解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的步骤是解题关键．
（1）利用代入消元法解出方程；
（2）利用加减消元法解出方程．
（1）解： ，
由②代入①得 ，
解得， ，
把 代入②得， ，
原方程组的解为 ；
（2）解： ，
由 得： ，
解得： ，把 代入②得： ，
解得： ，
原方程组的解为： ．
22．
【分析】
本题主要考查解二元一次方程组，采用代入消元法或加减消元法，结合题干给出的方法求解即可．
解：解法一：
，得
，即
．③
，得
．
把 代入 ，得
．
所以原方程组的解为
解法二：
，得
，即
，
所以 ．③
把 代入 ，得
，
解得．
把 代入 ，得
．
所以原方程组的解为
23．（1） ；（2）
【分析】本题考查的是解一元一次方程以及解二元一次方程组，熟练掌握方程的相关解法和步骤是解
题关键．
（1）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
（1）解： ，
去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ；
（2）解： ，
由②得： ，
，得： ，
解得： ，
将 代入①得： ，
解得： ，
∴原方程组的解是 ．
24．（1） ， ；（2） ．理由见分析；（3）【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，平行线的性质与判定，平行公理的应用，熟记平行线
的判定方法是解本题的关键．
（1） 利用加减消元法解方程组即可得到答案；
（2）证明 ，结合 ，可得结论；
（3）先证明 ， ，从而可得答案．
（1）解：由 ，
得： ，解得 ，
把 代入②得 ；
（2） ．
理由如下：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（3）∵ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
25．（1） ， ；（2）整数m的值为 或 或 或4
【分析】本题考查了二元一次方程的解，二元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是熟练应用
加减消元法．
（1）确定出方程的正整数解即可；
（2）根据方程组有整数解，确定出整数m的值即可．
解：（1）∵ ，
∴ ，∴方程 的正整数解有： ， ；
（2） ，
得， ，
∴ ，
∵方程组有整数解，且m是整数，
∴ ， ， ， ，
∴ 或 ； 或 ； 或 ； 或 ．
此时 ， ， ， ， ， ，4，11．
当 时， ， ，不符合题意；
当 时， ， ，符合题意；
当 时， ， ，符合题意；
当 时， ， ，不符合题意，
当 时， ， ，符合题意，
当 时， ， ，不符合题意；
当 时， ， ，符合题意，
当 时， ， ，不符合题意，
综上，整数m的值为 或 或 或4．
26．（1）9；（2） ；（3）25
【分析】（1）将 变形为 ，再整体代入计算即可；
（2）将方程①变形为 ，将方程②变形为 ，把③代入④，解得： ，把
代入③，解得： ，即可得方程组的解；（3）将方程①变形为 ，将方程②变形为 ，再由 即
可求解．
（1）解：∵ ，
∴ ；
（2）解： ，
由①得 ，
由②得 ，
把③代入④，得 ，
解得： ，
把 代入③，得 ，
解得： ，
∴ ；
（3）解： ，
由①得 ，
由②得 ，
由 得 ．
【点拨】此题考查了代数式求值，解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元
法与加减消元法．注意整体思想的运用．
