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专题 8.18 二元一次方程组（全章分层练习）（提升练）
一、单选题
1．下列说法中，正确的是
A． 是二元一次方程组
B． 是方程组 的解
C．方程 的解是
D．方程 的解必是方程组 的解
2．若 与 是同类项，则 ， 的值分别是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
3．方程组 的解的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．在等式 中，当 时， ；当 时， ．那么这个等式为（ ）
A． B． C． D．
5．如果关于 ， 的方程组 ，则 的值（ ）
A． B． C．－2022 D．与 有关
6．将 代入 的可得（ ）
A． B． C． D．7．已知关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．计算机的某种运算程序如图，已知输入3时输出的运算结果是5，输入4时输出的运算结果是
7．若输入的数是x（x≠0）时输出的运算结果为P，输入的数是3x时输出的运算结果为Q，则（
）
A．P：Q＝3 B．Q：P＝3
C．（Q﹣1）：（P﹣1）＝3 D．（Q+1）：（P+1）＝3
9．《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，共重 斤（古代 斤= 两），雀重燕轻，互
换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为 两、
两，下列方程组正确的为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知关于 和 的方程组 （k为常数），得到下列结论：
①无论 取何值，都有 ；
②若 ，则 ；
③方程组有非负整数解时， ；
④若 和 互为相反数，则 ，其中正确的个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
二、填空题
11．若 是二元一次方程，则 ．12．已知 是关于 的二元方程 的一个解，那么 = .
13．已知m、n满足方程组 则 的值为 ．
14．已知关于a，b，c的方程组 ，则 ＝ ．
15．若关于 的二元一次方程组 的解满足 ，则 的值为 ．
16．小亮解方程组 的解为 ，由于不小心，滴上了两滴墨水刚好遮住了两个数●
和★，请你帮他找回●这个数， ●＝ ．
17．“翰墨凝书香 执笔颂中华”．某校为了奖励在规范汉字书写大赛中表现突出的同学，购买了
甲，乙两种奖品共100件，费用为1352元，其中，甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元．若
设购买了x件甲种奖品，y件乙种奖品，根据题意可列方程组 ．
18．已知关于x，y的二元一次方程组 （a是常数），若不论a取什么实数，代数式
（k是常数）的值始终不变，则 ．
三、解答题
19．已知 为常数，且对任意有理数 ，有 恒成立．求
的值．
20．解下列方程组:(1) (2)
21．（1）若关于x的方程2x﹣3=1和 =k﹣3x有相同的解，求k的值
（2）阅读材料：解方程组 时，可由①得x﹣y=1③，然后再将③代入②得4×1﹣
y=5，求得y=﹣1，从而进一步求得 ，这种方法被称为“整体代入法”，请用上述方法解方程
组
22．用代入法解三元一次方程组 ．
23．在《二元一次方程组》这一章的复习课上，刘老师给出了下面的题目：
在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条 米长的公路，
甲队每天修建 米，乙队每天修建 米，一共用 天完成．
(1)李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组 ，请写出李东所列方程组中
未知数x，y表示的意义：x表示________，y表示________；并写出该方程组中△处的数应是
________，□处的数应是________；
(2)陈彬同学的思路是想设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．下面请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？
24．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽
车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共
计110万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计115万元．
(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划用400万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均要购买，且400万
元全部用完），问该公司有哪几种购买方案，请通过计算列举出来；
(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利0.8万元，销售1辆B型汽车可获利0.5万元，在
（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？参考答案：
1．B
【分析】根据二元一次方程组的定义、二元一次方程组的解的定义、二元一次方程的解的定义逐一分析判
断即可．
【详解】 、方程组是二元二次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
、 是方程组 的解，故本选项符合题意；
、方程 的一组解是 ，还有很多组解，如： 也方程 的解，故本选项不符合
题意；
、方程 有无数组解，但不一定都是方程组 的解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义、二元一次方程组的解的定义、二元一次方程的解的定义等知
识点，能理解知识点的内容是解题的关键．
2．A
【分析】根据同类项的定义：如果两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，那么这两个单项
式就叫做同类项，据此求解即可．
【详解】解：∵ 与 是同类项，
∴ ，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了同类项的定义和解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握同类项的定义．
3．A
【分析】本题考查含绝对值的二元一次方程组，分情况讨论，去绝对值后解二元一次方程组即可．
【详解】解：分4种情况：
当 ， 时，方程组变形为 ，
解得 ；
当 ， 时，
方程组变形为 ，无解；
当 ， 时，
方程组变形为 ，无解；
当 ， 时，
方程组变形为 ，
解得 ，与 矛盾，无解；
综上可知，方程组 的解的个数是：1个，
故选A．
4．C
【分析】分别把当 时， ；当 时， 代入等式 中，得到关于k，b的一元二次方
程组，求出k，b的值，即可得出答案．
【详解】解：分别把当 时， ；当 时， 代入等式 中，得 ，
解得
∴等式为 ．
故选：C．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用及解法，理解题意，熟练解方程组是解题的关键．
5．A
【分析】直接用①-②即可得到答案．
【详解】解：
用①-②得： ，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了加减消元法，熟知加减消元法是解题的关键．
6．D
【分析】将 代入 ，再进行整理，即可得到答案．
【详解】解：将 代入 ，得： ，即
故选D．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的解法，先将已知代入方程得出一个关于x的方程，运用代入法是解
二元一次方程常用的方法．
7．A
【分析】本题考查解二元一次方程组，先根据题意组成新的方程组 ，解得 ，代入
即可求解，掌握二元一次方程组的解法，正确求解方程组的解是解题的关键．
【详解】由 满足 ，
则 ，
得： ，
把 代入 得： ，∴方程组的解为 ，
把 代入 得 ，
解得： ，
故选： ．
8．D
【分析】由运算程序可得3a+b=5，4a+b=7，求出a、b的值，再表示出P、Q，从而得出关系．
【详解】解：∵输入3时输出的运算结果是5，输入4时输出的运算结果是7．
∴ ，
∴a=2，b=-1，
∴P=2x-1，Q=6x-1，
∴（Q+1）：（P+1）=（6x）：（2x）=3，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据运算程序列出二元一次方程组是解决问题的关键．
9．C
【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
，
故选C．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
10．C
【分析】分别根据二元一次方程组的解，二元一次方程的解以及解二元一次方程组判断即可．
【详解】解：方程组 ，
得 ，即 ，故 正确；若 ，则 ，
解得 ，
，故 正确；
解方程组 ，得 ，
方程组有非负整数解时，有 ，
，
或 ，故 不正确；
若 和 互为相反数，则 ，
，
，故 正确．
故选： ．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握加减消
元法是解本题的关键．
11．5
【分析】主要考查二元一次方程的概念．二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数
是1的整式方程．
【详解】解：由 是二元一次方程，得
．
解得 ．∴ ，
故答案为：5．
12．1
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出m的值．
【详解】解：把 代入方程得：
3m-5=﹣2，
解得：m=1，
故答案为1.
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
13．
【分析】本题考查了求代数式的值，解二元一次方程组；能根据代数式的特点，选择整体代数法，从而将
两个方程相加是解题的关键．
【详解】解：
① ②得
；
故答案： ．
14．9
【解析】略
15．2
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解法，掌握整体代入法是解题的关键．
先把两方程相减，再利用整体代入法得到方程 ，然后解关于k的一元一次方程即可．
【详解】解： ，
得： ，即 ，解得： ．
故答案为：2．
16．8
【分析】把x=5代入方程组第二个方程求出y的值，进而确定出所求．【详解】解：把x=5代入2x-y=12得：10-y=12，
解得：y=-2，
∴2x+y=10-2=8，
则●=8．
故答案为：8．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
17．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出
合适的等量关系，列方程组．设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，根据等量关系：①购买甲，乙两种奖
品共100件；②甲、乙两种奖品花了1352元钱，列方程组即可求解．
【详解】解：设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，由题意得
．
故答案为： ．
18． /
【分析】本题考查了解二元一次方程组，将方程组中的两个方程利用加减法求出 ，可得
，然后结合已知可得答案．
【详解】解： ，
得： ，
∴ ，
∵不论a取什么实数，代数式 （k是常数）的值始终不变，
∴ ，故答案为： ．
19．
【分析】本题考查整式加减中的化简求值，解二元一次方程组．先根据 恒成立
求出x和y的值，再将所求整式去括号、合并同类项化简，最后代入求值即可．求出x和y的值是解题的关
键．
【详解】解： 恒成立，
，
解得 ，
．
20．(1) ; (2)
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：（1）
由②得y=1-2x
代入①得：x-3(1-2x)=4，解得：x=1，
把x=1代入②得：y=-1，
则方程组的解为
（2）
①×2-②得：7x=14，即x=2
把x=2代入②得：y=-3
则方程组的解为
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
21．（1）k= ；（2） .
【分析】（1）求出方程2x﹣3=1中x的值，再把k当作已知条件求出方程 =k﹣3x中x的值，再根据两
方程有相同的解列出关于k的方程，求出k的值即可．
（2）把第一个方程变形表示出3x﹣y，代入第二个方程求出3x+4y的值，联立求出x与y的值，即为原方
程组的解．
【详解】解：（1）解方程2x﹣3=1得x=2，
解方程 =k﹣3x得x= k，
∵两方程有相同的解，
∴ k=2，
解得k= ．
（2） ，
由①得：3x﹣y= ③，把③代入②得： （3x+4y）=6，
解得：3x+4y=4，
再解方程组 得： ，
则原方程组的解为 ．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
22．
【分析】观察每个方程的特点，将 变形为z＝3x+2y﹣16，分别代入剩下的方程，再利用加
减消元解二元一次方程组即可．
【详解】解： ，
由②得：z＝3x+2y﹣16④，
把④代入①得：2x+y+9x+6y﹣48＝13，即11x+7y＝61⑤；
把④代入③得：x+3y﹣15x﹣10y+80＝10，即2x+y＝10⑥，
⑥×7﹣⑤得：3x＝9，即x＝3，
把x＝3代入⑥得：y＝4，
把x＝3，y＝4代入④得：z＝1，
则方程组的解为 ．
【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，正确运用消元思想进行运算是解题的关键．
23．(1)甲队修路的天数；乙队修路的天数； ；
(2)乙队修建了8天【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用．熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．
（1）根据方程组等式的意义进行判断即可；
（2）依题意得， ，计算求解可得 ，然后根据乙队修建的天数 ，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，x表示甲队修路的天数，y表示乙队修路的天数；该方程组中△处的数应是
，□处的数应是 ，
故答案为：甲队修路的天数；乙队修路的天数； ； ；
（2）解：依题意得， ，
解得， ，
∴乙队修建的天数 （天）．
答：乙队修建了8天．
24．(1)A型号的汽车每辆进价为25万元，B型号的汽车每辆进价为20万元
(2)共有以下3种购买方案：
方案1：A型号的汽车购进4辆，B型号的汽车购进15辆；
方案2：A型号的汽车购进8辆，B型号的汽车购进10辆；
方案3：A型号的汽车购进12辆，B型号的汽车购进5辆．
(3)方案3获利最大，最大利润是12.1万元
【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程整数解，有理数混合运算的应用；
（1）等量关系式：购买2辆A型汽车的费用 购买3辆B型汽车的费用 110万元，购买3辆A型汽车
购买2辆B型汽车的费用 115万元；据此列出方程组，即可求解；
（2）设A型号的汽车购进a辆，B型号的汽车购进b辆，等量关系式：购买a辆A型号的汽车的费用 购
买b辆B型号的汽车的费用 400万元，列出方程，求出正整数解，即可求解；（3）根据（2）的购买方案，求出每种方案的获利情况，进行比较，即可求解；
找出等量关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：设A型号的汽车每辆进价为x万元，B型号的汽车每辆进价为y万元，依题意得：
，
解得： ，
答：A型号的汽车每辆进价为25万元，B型号的汽车每辆进价为20万元．
（2）解：设A型号的汽车购进a辆，B型号的汽车购进b辆，依题意得：
，
即： ，
因为两种型号的汽车均购买，
所以a、b均为正整数，
所以 或 或 ，
所以共有以下3种购买方案：
方案1：A型号的汽车购进4辆，B型号的汽车购进15辆；
方案2：A型号的汽车购进8辆，B型号的汽车购进10辆；
方案3：A型号的汽车购进12辆，B型号的汽车购进5辆．
（3）解：方案1可获利： （万元）
方案2可获利： （万元）
方案3可获利： （万元）
因为
所以方案3获利最大，最大利润是12.1万元．
