文档内容
专题 04 二元一次方程组
【考点1】二元一次方程(组)的定义★
【考点2】二元一次方程的解★
【考点3】解二元一次方程组★★
【考点4】二元一次方程组的特殊解法★★★
【考点5】二元一次方程组的错解复原问题★★★
【考点6】构造二元一次方程组求解★★
【考点7】二元一次方程组相同解问题★★
【考点8】已知二元一次方程组的解的情况求参★★★
【考点9】二元一次方程的应用★★★
知识点 1：二元一次方（组）
1.二元一次方程
（1）概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次
方程．
（2）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次
方程的解．
2.二元一次方程组
（1）概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两
个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．
（2）二元一次方程的解：二元一次方程组的两个方程 ，叫做二元一次方程组的解．
知识点2：解二元一次方程组
解二元一次方程组的方法：
（1）消元思想二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组
转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知
数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．
（2）代入消元法
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另
一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简
称代入法．
（3）加减消元法
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分
别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元
法，简称加减法.
知识点3：二元一次方程（ 组）的应用
二元一次方程组的应用的解题步骤
1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等
关系；
2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数；
3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等
步
量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的；
骤
4．解方程组；
5．检验：检验方程的根是否符合题意；
6．作答：检验后作出符合题目要求的答案．
【考点1】二元一次方程(组)的定义★
1．（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．x+5=3 y B．xy=2
1
C．x2−y=5 D．x+ =4
y
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，正确理解二元一次方程的定义是解题的关键．方程两边都是整式，只含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方
程二元一次方程．根据二元一次方程的定义，即可判断答案．
【详解】解：A、x+5=3 y是二元一次方程，所以选项A正确，符合题意；
B、xy=2的最高次数是2次，不是二元一次方程，所以选项B错误，不符合题意；
C、x2−y=5最高次数是2次，不是二元一次方程，所以选项错误，不符合题意；
1
D、x+ =4中含有分式，不是二元一次方程，所以选项D错误，不符合题意．
y
故选：A．
2．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）已知x，y，z是未知数，下列各方程组中是二元一
次方程组的是（ ）
{x+3z=8) {2x+y=5) { x2=1 ) {−2x+y=6)
A． B． C． D．
x−z=1 y+z=7 x+3 y=10 xy=4
【答案】A
【分析】本题考查的是二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题的关
键．
二元一次方程组的定义：一共含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数是1，这
样的整式方程组是二元一次方程组，由定义逐一判断即可得到答案．
{x+3z=8)
【详解】解：A、 是二元一次方程组，故本选项符合题意；
x−z=1
{2x+y=5)
B、 ，含有3个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
y+z=7
{ x2=1 )
C、 ，未知数的最高次数是2次，不是二元一次方程组，故本选项不符合
x+3 y=10
题意；
{−2x+y=6)
D、 ，含未知数项的最高次项是2，不是二元一次方程组，故本选项不符
xy=4
合题意；
故选：A
3．（24-25八年级上·福建三明·期末）下列方程组是二元一次方程组的是（）
{ x+y=3, )
{x−y=5,) { xy=2, ) {x−5 y=15,)
A． B． 1 1 1 C． D．
x=6+z; − = ; x+y=1; 3x+y=8.
x y 3【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程组的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．由两个一次
方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组，据此进行判断即可．
{x−y=5,)
【详解】解： 中含有3个未知数，不符合二元一次方程组的定义，则A不
x=6+z;
符合题意；
{ x+y=3, ) 1 1
1 1 1 中 , 不是整式，则B不符合题意；
− = ; x y
x y 3
{ xy=2, )
中xy的次数不是1，则C不符合题意；
x+y=1;
{x−5 y=15,)
符合二元一次方程组的定义，则A符合题意；
3x+y=8.
故选：D．
4．（24-25八年级上·河南郑州·期中）若2x|k)+(k−1)y=3是关于x，y的二元一次方程，
则k的值为 ．
【答案】−1
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义．只含有两个未知数，且含未知数的项
的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此得到|k)=1，k−1≠0，解之即可得到
答案．
【详解】解：∵2x|k)+(k−1)y=3是关于x，y的二元一次方程，
∴|k)=1，k−1≠0，
∴k=−1，
故答案为：−1．
【考点2】二元一次方程的解★
{ x=a )
1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知 是二元一次方程y−x+8=0的一个解，
y=3a
那么a的值是（ ）
A．−2 B．2 C．−4 D．4
【答案】C【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握使二元一次方程左右两边相等的未知
数的值叫方程的解是解题的关键．
{ x=a )
根据方程的解的定义把 代入二元一次方程y−x+8=0中，再解关于a的方程，
y=3a
即可求出a的值．
{ x=a )
【详解】解： 代入二元一次方程y−x+8=0，得
y=3a
3a−a+8=0，
解得：a=−4，
故选：C．
2．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）二元一次方程x+2y=7的正整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是用y表示出x．将y=1，2，…，
代入计算得到x为正整数即可．
【详解】解：方程x+2y=7，
解得：x=−2y+7，
当y=1时，x=5；y=2时，x=3；y=3时，x=1，
则方程的正整数解有3个．
故选：C．
{ x=2 )
3．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）若 是方程x+ay=3的一个解，则a的值
y=−1
为 ．
【答案】−1
{ x=2 )
【分析】本题考查了二元一次方程的解、一元一次方程．将 代入方程可得一
y=−1
个关于a的一元一次方程，解方程即可得．
{ x=2 )
【详解】解：由题意，将 代入x+ay=3得：2−a=3，
y=−1
解得a=−1，
故答案为：−1．
【考点3】解二元一次方程组★★1．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）解方程组：
{ x−y=2 )
(1) （用代入消元法）
3x+2y=16
{5x−3 y=8)
(2) （用加减消元法）
5x+2y=3
{x=4)
【答案】(1)
y=2
{ x=1 )
(2)
y=−1
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握代入消元法与加减消元法是解本
题的关键．
（1）把方程①化为x=y+2，再利用代入法求解即可；
（2）由②−①先求解y，再求解x即可．
{ x−y=2① )
【详解】（1）解： ，
3x+2y=16②
由①，得x=y+2．③
将③代入②，得3(y+2)+2y=16，
3 y+6+2y=16，
5 y=10，
y=2．
将y=2代入③，得x=4．
{x=4)
所以原方程组的解是 ；
y=2
{5x−3 y=8①)
（2）解： ，
5x+2y=3②
②−①，得5 y=−5，
y=−1．
将y=−1代入①，得5x+3=8，
x=1．
{ x=1 )
所以原方程组的解是 ．
y=−1
2．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）解方程组：
{ 3s−t=5 )
(1)
5s+2t=12{2x+3 y=12①)
(2)
3x+4 y=17②
{s=2)
【答案】(1)
t=1
{x=3)
(2)
y=2
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握消元法是解题的关键．
（1）用代入消元法解方程组；
（2）用加减消元法解方程组．
{ 3s−t=5① )
【详解】（1）解：
5s+2t=12②
由①得：t=3s−5③
将③代入②，得：5s+2(3s−5)=12
5s+6s−10=12
11s=22
s=2
将s=2代入③，得：t=1，
{s=2)
∴方程组的解为： ．
t=1
{2x+3 y=12①)
（2）解：
3x+4 y=17②
①×3−②×2，得：3×3 y−2×4 y=12×3−17×2，
化简得：y=2
将y=2代入①，得：2x+6=12
2x=6
x=3
{x=3)
∴方程组的解为： ．
y=2
{ x−2y=2 )
3．（23-24七年级下·福建福州·期中）解方程组： ．
2x+3 y=18
{y=2)
【答案】
x=6
【分析】本题考查了解二元一次方程组，用代入消元法求解即可．
{ x−2y=2① )
【详解】解： ，
2x+3 y=18②由①得：x=2+2y③
将③代入②得：2(2+2y)+3 y=18，
解得：y=2，
把y=2代入③得：x=6，
{y=2)
∴该方程组的解为： ．
x=6
4．（23-24八年级上·山东济南·期末）解方程组：
{ y=2x−5 )
(1) ；
3x+2y=4
{5x−6 y=4 )
(2) ．
2x−3 y=−1
{ x=2 )
【答案】(1)
y=−1
{ x=6 )
(2) 13
y=
3
【分析】本题考查解二元一次方程组，选择合适的方法是快速解题的关键．
（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
{ y=2x−5① )
【详解】（1）解：
3x+2y=4②
将y=2x−5代入②，得：3x+2(2x−5)=4，
解得x=2，
将x=2代入①，得：y=2×2−5=−1，
{ x=2 )
因此该方程组的解为 ；
y=−1
{5x−6 y=4① )
（2）解：
2x−3 y=−1②
①−②×2，得：x=6，
将x=6代入①，得：5×6−6 y=4，
13
解得y= ，
3
{ x=6 )
因此该方程组的解为 13 ．
y=
3【考点4】二元一次方程组的特殊解法★★★
{a x+b y=c )
1．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知关于x，y的方程组 1 1 1 的解是
a x+b y=c
2 2 2
{x=4)
，则关于x，y的方程组
{a
1
(x−1)−b
1
y=−c
1
)
的解是（ ）
y=5 a (x−1)−b y=−c
2 2 2
{x=−3) {x=5) {x=−3) { x=5 )
A． B． C． D．
y=−5 y=5 y=5 y=−5
【答案】C
【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组
的方法，二元一次方程组的解是解题的关键．仿照已知方程组的解确定出所求方程组的
解即可．
{a (x−1)−b y=−c )
【详解】解：关于x，y的方程组 1 1 1
a (x−1)−b y=−c
2 2 2
{a (1−x)+b y=c )
变形为 1 1 1 ，
a (1−x)+b y=c
2 2 2
∵关于x，y的方程组
{a
1
x+b
1
y=c
1
)
的解是
{x=4)
，
a x+b y=c y=5
2 2 2
{1−x=4) {x=−3)
∴ ，即 ．
y=5 y=5
故选：C．
{2x−y=10)
2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）已知方程组 ，则x+y= ．
x+4 y=−4
【答案】2
【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，把两个方程相加可得3x+3 y=6，
进而即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
{2x−y=10①)
【详解】解： ，
x+4 y=−4②
①+②，得3x+3 y=6，
∴3(x+y)=6，∴x+y=2，
故答案为：2．
3．（23-24七年级下·云南红河·期末）学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在
{ x+2y=5① )
黑板上写下一个方程组 ．
2x+5 y=9②
让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法：
解：将②变形为2(x+2y)+y=9，③
把①代入③，得10+y=9，解得y=−1．
把y=−1代入①，解得x=7．
{ x=7 )
∴方程组的解为 ．
y=−1
这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请
{ x−2y=3 ①)
你模仿小敏的“整体代换”法解方程组
3x−5 y=8 ②
{ x=1 )
【答案】
y=−1
【分析】本题考查的是代入法解方程组，先把方程②化为3(x−2y)+y=8，再利用代
入法解方程组即可．
{ x−2y=3 ①)
【详解】解： ，
3x−5 y=8 ②
由②得：3(x−2y)+y=8③，
把①代入③得：9+y=8，
解得：y=−1，
把y=−1代入①得：x=1，
{ x=1 )
∴方程组的解为 ；
y=−1
4．（23-24七年级下·广东汕头·期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：解方程组¿时，爱思考的慧慧同学发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，
计算量大，且易出现运算错误，她采用下面的解法则比较简单：
②−①得：4x+4 y=4，即x+y=1．③
③×15得：15x+15 y=15．④
{x=−1)
①−④得：y=2，代入③得x=−1．所以这个方程组的解是 ．
y=2
(1)请你运用慧慧的方法解方程组¿
(2)规律探究：猜想关于x、y的方程组¿的解是_______．
{x=−4)
【答案】(1)
y=5
{x=−2)
(2)
y=3
【分析】本题主要考查二元一次方程组的求法，理解题意，熟练掌握运用二元一次方
程组的解法是解题关键．
（1）根据题意，利用例题方法求解即可；
（2）根据题意，利用例题方法求解即可得．
{1995x+1998 y=2010①)
【详解】（1）解： ，
2010x+2013 y=2025②
②−①得：15x+15 y=15，即x+y=1，③
③×1995得：1995x+1995 y=1995，④
①−④得：3 y=15，即y=5，
把y=5代入③得x=−4，
{x=−4)
所以这个方程组的解是 ．
y=5
{mx+(m+a)y=m+3a①)
（2）解： ，
nx+(n+a)y=n+3a②
②−①得：(m−n)x+(m−n)y=m−n，即x+y=1，③
③×m得：mx+my=m，④
①−④得：ay=3a，即y=3，
把y=3代入③得x=−2，
{x=−2)
所以这个方程组的解是 ．
y=3{x=−2)
故答案为： ．
y=3
【考点5】二元一次方程组的错解复原问题★★★
{ax+5 y=c)
1．（23-24七年级下·安徽合肥·阶段练习）在解关于x，y的方程组 时，甲把
4x−by=1
{x=4)
方程组中的a看成了−8，求得的解为 ；乙看错了方程组中的b，求得的解为
y=3
{x=−3)
．
y=−1
(1)求正确的a，b，c的值；
(2)求原方程组的解．
【答案】(1)a=4，b=5，c=−17
{x=−2
)
(2) 9
y=−
5
【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，
{x=4) {ax+5 y=c)
（1）把 代入方程组 可求出b、c的值，再根据乙看错了方程组中
y=3 4x−by=1
{x=−3) {x=−3)
的b，得解为 ，可知 是方程ax+5 y=c的解，继而求出a的值；
y=−1 y=−1
（2）将a，b，c的值代入原方程组后，再解这个二元一次方程组即可．
{x=4) {−8x+5 y=c)
【详解】（1）解：由题意知， 是方程组 的解，
y=3 4x−by=1
{−8×4+5×3=c)
∴ ，
4×4−3b=1
{ b=5 )
解得 ，
c=−17
{x=−3)
∵乙看错了方程组中的b，求得的解为 ，
y=−1
{x=−3)
∴ 是方程ax+5 y=c的解，
y=−1
∴−3a+5×(−1)=−17，
解得：a=4，∴正确的a，b，c的值为：a=4，b=5，c=−17；
（2）解：当a=4，b=5，c=−17时，原方程组变为：
{4x+5 y=−17①)
，
4x−5 y=1②
①＋②，得：8x=−16，
解得：x=−2，
9
把x=−2代入①得：−8+5 y=−17，解得y=− ，
5
{x=−2
)
∴原方程组的解为 9 ．
y=−
5
{ax+5 y=15①)
2．（22-23八年级上·四川达州·期末）甲、乙两人在解方程组 时，甲看错
4x=by−2②
{x=2) {x=5)
了方程①中的a，解得 ，乙看错了方程②中的b，解得 ，求原方程组的
y=1 y=4
正确解．
{x=14)
【答案】
y=5.8
【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，首先将甲的解代入②，乙的解代
入①求出a与b的值，然后应用代入消元法，求出原方程组的正确解即可．
{ax+5 y=15①)
【详解】解：∵甲、乙两人在解方程组 时，甲看错了方程①中的a，
4x=by−2②
{x=2)
解得 ，
y=1
∴b−2=2×4,
解得b=10，
{x=5)
∵乙看错了方程②中的b，解得 ，
y=4
∴5a+5×4=15,
解得a=−1，
∴原方程组为¿，
由①得x=5 y−15③，
把③代入②得20 y−60=10 y−2，
解得y=5.8，将y=5.8代入③得x=29−15=14，
{x=14)
∴方程组的解为 ．
y=5.8
3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）在解方程组¿时，由于粗心，甲同学看错了方程组中
{x=4) {x=1)
的a，而得到解为 ，乙同学看错了方程组中的b，而得到解为 ，求原方
y=3 y=4
程组的解．
{x=3
)
【答案】 3
y=
2
{x=4)
【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组；把 代入方程组
y=3
{x=1)
的第二个方程，把 代入方程组的第一个方程，即可得到一个关于a，b的方程
y=4
组，解方程得出a，b的值，然后代入原方程组，然后解方程组即可．
{x=4)
【详解】解：将 代入3x−by=6得，12−3b=6，
y=3
解得：b=2
{x=1)
将 代入ax+4 y=21得，a+16=21，
y=4
解得：a=5
∴a=5，b=2
{5x+4 y=21①)
∴原方程组为：
3x−2y=6②
②×2得：6x−4 y=12 ③
①+③得，11x=33
∴x=3
3
将x=3代入②得，y=
2
{x=3
)
所以原方程组的解为 3
y=
2
【考点6】构造二元一次方程组求解★★1．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）对有理数x、y，定义新运算x⊗y=ax+by+5，其
中a，b为常数，已知1⊗2=10，(−2)⊗2=7．
(1)求a，b的值；
(2)如果x=−3，x⊗y=−18，求y的值．
{a=1)
【答案】(1)
b=2
(2)−10
【分析】此题考查了解列、解二元一次方程组，弄清题中的新定义运算规则列出方程
组是解本题的关键，
（1）根据题意得出关于a、b的方程组，求出ab的值即可；
（2）根据x=−3，x⊗y=−18得出关于y的方程，求出y的值即可．
{ a+2b+5=10 )
【详解】（1）解：由题意得 ，
−2a+2b+5=7
{a=1)
解得 ；
b=2
（2）由（1）知，a=1，b=2，
∵x⊗y=ax+by+5，
∴x⊗y=x+2y+5，
∵x⊗y=−18，
∴x+2y+5=−18，
∵x=−3，
∴−3+2y+5=−18，
解得y=−10．
2．（23-24七年级下·全国·课后作业）我们定义一个新运算：a※b=4a−3b−1，如
5※6=4×5−3×6−1=1．已知x※ y=2,x※2y=−1，分别求出x和y的值．
{ x= 3 )
【答案】 2
y=1
【分析】本题考查的是新定义运算的含义，二元一次方程组的解法，根据新定义建立
方程组，再解方程组即可．
【详解】解：∵a※b=4a−3b−1，
∴x※ y=4x−3 y−1，x※2y=4x−3×2y−1=4x−6 y−1，
∵x※ y=2，x※2y=−1，∴¿，即¿，
①−②得：3 y=3，解得：y=1，
将y=1代入①，得4x−3=3，
3
解得：x=
2
{ x= 3 )
解得： 2 ．
y=1
3．（24-25八年级上·陕西铜川·期末）对于任意实数x、y，定义新运算：
x☆y=ax+by−3，其中a、b为常数，等号右边为通常的加法、减法和乘法运算，
例如2☆1=2a+b−3．若2☆3=6，1☆(−1)=−1．求2☆(−2)的值．
【答案】1
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，新定义．根据新定义可得方程组
{2a+3b−3=6)
，解方程组求出a、b的值，再根据新定义代值计算即可．
a−b−3=−1
【详解】解：∵2☆ 3=6，1☆ (−1)=−1，
{2a+3b−3=6)
∴ ，
a−b−3=−1
{a=3)
∴ ，
b=1
∴2☆ (−2)=2a−2b−3=2×3−2×1−3=1．
【考点7】二元一次方程组相同解问题★★
{ x+y=3, )
1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如果关于x,y的二元一次方程组 与关于
mx+ny=8
{ x−y=1, )
x,y的二元一次方程组 有相同的解，则m−n的值为 ．
mx−ny=4
【答案】1
【分析】本题考查了解二元一次方程组，两个二元一次方程组有相同的解，首先从每
个方程组中取一个系数完整的方程，组成一个新的方程组，解新方程组求出方程的解，
再把求出的解分别代入方程mx+ny=8，mx−ny=4，得到关于m、n的方程组，解方
程组求出m、n的值，再把m、n的值代入代数式计算即可．{x+y=3①)
【详解】解：解方程组 ，
x−y=1②
①+②得：2x=4，
解得：x=2，
把x=2代入方程①可得：2+y=3，
解得：y=1，
{x=2)
∴方程组的解为 ，
y=1
{x=2)
把 分别代入mx+ny=8，mx−ny=4，
y=1
{2m+n=8③)
可得： ，
2m−n=4④
③+④得：4m=12，
解得：m=3，
把m=3代入方程③可得：6+n=8，
解得：n=2，
{m=3)
∴方程组的解为 ，
n=2
∴m−n=3−2=1．
故答案为：1 ．
{2x−3 y=3)
2．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）关于x、y的二元一次方程组 ，和
ax+by=1
{3x+2y=11)
关于x、y的二元一次方程组 的解相同，求2a−b的值．
ay−bx=3
【答案】2
【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题及解二元一次方程组，掌握以上知识是
解题的关键；
{2x−3 y=3)
根据同解方程定义可以重新组合得到二元一次方程组 将其方程组的解
3x+2y=11
{ay−bx=3)
代入 即可求解；
ax+by=1
{2x−3 y=3)
【详解】解：由题意可知方程组 的解和关于x、y的二元一次方程组
3x+2y=11{ay−bx=3)
的解相同．
ax+by=1
{2x−3 y=3) {x=3)
解方程组 得： ，
3x+2y=11 y=1
{x=3) {ay−bx=3) {3a+b=1①)
将 代入方程组 得： ，
y=1 ax+by=1 a−3b=3②
3
{ a= )
5
解得： ，
4
y=−
5
所以2a−b=2；
{ 3x−y=5 )
3．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x，y的方程组 和
4ax+5by=−22
{2x+3 y=−4)
有相同解，求(a−b) 2024的值．
ax−by=8
【答案】1
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，熟练掌握解二元
一次方程组的方法并能灵活运用是解决此题的关键．先求出方程组¿的解，再把¿代入
¿得出¿，求出a、b的值，最后把a、b的值代入(a−b) 2024 即可得解．
【详解】解：∵关于x，y的方程组¿和¿有相同解，
∴解方程组¿解得：¿，
把¿代入¿得：¿，
解得：¿，
∴(a−b) 2024 =(2−3) 2024 =(−1) 2024 =1．
4．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）已知方程组¿和方程组¿的解相同．
(1)求这两个方程组的相同解；
(2)求a，b的值．
{x=1)
【答案】(1) ；
y=3
{ a=1 )
(2) ．
b=−1
【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组；方程组的解；（1）根据题意得¿，解方程组，即可求解；
{x=1,)
（2）把 代入¿得到关于a，b的方程组，即可求解．
y=3
【详解】（1）解：由题意，得¿
①×2，得6x+2y=12，③
②+③，得13x=13，解得x=1．
将x=1代入①中，得3+y=6，解得y=3，
{x=1)
所以这两个方程组的相同解为 ；
y=3
{x=1,)
（2）把 代入¿
y=3
得¿
{ a=1 )
解得
b=−1
{ax−by=5) {ax+by=3)
5．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）如果方程组 与 有相同的解，
4x−y=9 2x+3 y=1
求a，b的值．
{a=2)
【答案】
b=1
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组同解联立新的二元一
{4x−y=9①)
次方程组是解题的关键．利用二元一次方程组同解可得 ，解得
2x+3 y=1②
{ x=2 ) { x=2 )
，再将 代入原两个方程组即可求解．
y=−1 y=−1
{ax−by=5) {ax+by=3)
【详解】解：∵方程组 与 有相同的解，
4x−y=9 2x+3 y=1
{4x−y=9①)
∴x，y满足 ，
2x+3 y=1②
由①得y=4x−9③，
将③代入②得x=2，
∴y=4×2−9=−1，
{ x=2 ) {ax+by=3) {ax−by=5) {2a+b=5④)
将 代入方程组 与 可得到 ，
y=−1 2x+3 y=1 4x−y=9 2a−b=3⑤
由④+⑤得a=2，∴b=5−4=1，
{a=2)
∴ ．
b=1
【考点8】已知二元一次方程组的解的情况求参★★★
1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）小明在解关于x、y的二元一次方程组¿时，解得
¿，则Δ代表的数是（ ）
A．5 B．1 C．−1 D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组， 先把x=4代入原方程，得出一个新的二
元一次方程组，再利用加减消元法即可得出答案．
【详解】解 把x=4代入原方程组得：
{8−3 y=5∶①)
4+y=Δ②
用 +3× 得：
20①=5+3Δ②，
解得：Δ=5，
故选：A．
2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知方程组¿的解满足x+y=4，则k= ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，先利用加减消元法
求出5x+5 y=3k+14，再由x+y=4得到5×4=3k+14，解方程即可．
{ 3x+2y=15① )
【详解】解：
2x+3 y=3k−1②
①+②得：5x+5 y=3k+14，
即5(x+y)=3k+14，
把x+y=4代入5(x+y)=3k+14得：5×4=3k+14，
解得k=2，
故答案为：2．
{ 3x+y=3k )
3．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）已知关于x，y的二元一次方程组 的
x−5 y=2−k
解满足x−y=6，则k的值为 ．
【答案】11【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程
k+1
的方法，得出x−y= ．根据原方程组①+②得：4x−4 y=2k+2，得出
2
k+1 k+1
x−y= ,根据x−y=6，得出 =6，求出k的值即可．
2 2
{ 3x+y=3k① )
【详解】解： ，
x−5 y=2−k②
k+1
①+②得：4x−4 y=2k+2，即x−y= ，
2
∵x−y=6，
k+1
∴ =6，
2
解得：k=11，
故答案为：11．
{x+2y=2a+1)
4．（23-24七年级上·安徽·单元测试）若关于x、y的二元一次方程组 的
x−y=6
解满足x与y互为相反数，则a的值是
【答案】−2
【分析】本题考查由含参数的二元一次方程组解的情况求参数，根据题意得到
{x+y=0) { x=3 )
x+y=0，联立 求解得到 ，进而代入x+2y=2a+1得−3=2a+1，
x−y=6 y=−3
解方程即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键．
{x+2y=2a+1)
【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组 的解满足x与y互为相
x−y=6
反数，
∴x+y=0，
{x+y=0) { x=3 )
联立 ，解得 ，
x−y=6 y=−3
{ x=3 )
将 代入x+2y=2a+1得−3=2a+1，解得a=−2，
y=−3
故答案为：−2．
【考点9】二元一次方程的应用★★★1．（21-22七年级下·江苏常州·期末）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：
甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二
家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多
你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，
乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ）
{x+9=2(y−9))
A．¿ B．
y+9=x−9
{x+9=2y) { x−9=2y )
C． D．
y+9=x y+9=x−9
【答案】B
【分析】本题考查根据实际问题列方程组，找准等量关系，是解题的关键．根据我若得
你9只羊，我的羊多你一倍，以及我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多，列出方
程组即可．
【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊，由题意，得：
{x+9=2(y−9))
；
y+9=x−9
故选B．
2．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能
源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销
售．据了解，购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需85万元；购进3辆A
型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需90万元．
(1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均
购买），请你设计出符合要求的购买方案．
(3)销售1辆A型汽车可获利1.8万元，销售1辆B型汽车可获利1.2万元．假如这些新
能源汽车全部售出，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元，15万元
(2)共有两种购买方案：方案一：购进3辆A型号的新能源汽车，购进8辆B型号的新
能源汽车；方案二：购进6辆A型号的新能源汽车，购进4辆B型号的新能源汽车
(3)第二种方案获得的利润最大，为15.6万元【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的运用，理解数量关系，正确列出方程
（组）求解是关键．
（1）设A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为x万元和y万元，根据数量关系列
二元一次方程组求解即可；
（2）设购进m辆A型号的新能源汽车，购进n辆B型号的新能源汽车，由数量关系列
二元一次方程，根据二元一次方程的解的方法代入求值即可；
（3）根据题意，分别算出方案一、二的利润即可．
【详解】（1）解：设A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为x万元和y万元，
{2x+3 y=85) {x=20)
根据题意可列方程组为 ，解得 ，
3x+2y=90 y=15
∴A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元，15万元．
（2）解：设购进m辆A型号的新能源汽车，购进n辆B型号的新能源汽车，
根据题意得：20m+15n=180，且m，n均为正整数，
{m=3) {m=6)
∴ 或 ，
n=8 n=4
共有两种购买方案：方案一：购进3辆A型号的新能源汽车，购进8辆B型号的新能源
汽车；方案二：购进6辆A型号的新能源汽车，购进4辆B型号的新能源汽车．
（3）解：方案一：获得的利润为：1.8×3+1.2×8=15（万元），
方案二：获得的利润为：1.8×6+1.2×4=15.6（万元），
∴第二种方案获得的利润最大，为15.6万元．
3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和
3倍大7；如果交换十位上的数与个位上的数，所得新两位数比原两位数2倍小1，求
这个两位数．
【答案】37
【分析】本题主要考查二元一次方程组解实际应用，熟练掌握二元一次方程组是解题
的关键．根据题意列出方程组进行解题即可．
【详解】解：设原两位数十位上的数是x，个位上的数是y，
{ 10x+y=3(x+y)+7 )
则
10 y+x=2(10x+y)−1
{x=3)
解得 ．
y=7
答：所求的两位数是37．4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，
某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的利润为a元/辆，B型车的利润为
b元/辆，该专卖店一月份前两周销售情况如下：
A型车销售量 B型车销售量
总利润（元）
（辆） （辆）
第一周 10 12 2240
第二周 20 15 3400
(1)求a，b的值．
(2)若第三周某天A型车和B型车的总利润为680元，请问这天A型车和B型车各卖出了
多少辆．
【答案】(1)a=80，b=120
(2)这天A型车和B型车分别卖出了7辆、1辆或4辆、3辆或1辆、5辆
【分析】此题考查了二元一次方程和二元一次方程组的应用，读懂题意正确列方程是
关键．
（1）根据第一周和第二周总利润列方程组并解方程即可；
（2）根据总利润为680元列二元一次方程，求整数解即可．
{10a+12b=2240)
【详解】（1）解：根据题意得 ，
20a+15b=3400
{a=80 )
解得 ；
b=120
（2）设这天A型车和B型车分别卖出了m辆、n辆，
根据题意得80m+120n=680，
整理得2m+3n=17，
{m=7) {m=4) {m=1)
解得 或 或 ，
n=1 n=3 n=5
所以这天A型车和B型车分别卖出了7辆、1辆或4辆、3辆或1辆、5辆．
5．（23-24七年级下·全国·课后作业）某种杂志每册售价4元，邮购该种杂志的邮寄费和优
惠方式如下：
邮购册数 1~99 100以上（含100）
邮寄费 总书价的10% 免费邮寄
优惠方式 不优惠 优惠10%两次邮购这种杂志共200册，总计金额784元，两次各邮购杂志多少册？
【答案】两次分别邮购杂志80册、120册
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
首先判断出两次购买数量的范围，设一次邮购纪念册x（x<100）册，第二次邮购纪
念册y册，根据两次邮购这种杂志共200册，总计金额784元，建立方程组求解即可．
【详解】解：若每次都购买100本，则
200×4×0.9=720≠784，
∴一次购买少于100本，另一次购买多于100本，
设一次邮购纪念册x（x<100）册，第二次邮购纪念册y册，
{ x+y=200 )
由题意，得 ，
4x(1+10%)+0.9×4 y=784
{ x+y=200 )
整理得： ，
4.4x+3.6 y=784
{ x=80 )
解得 ，
y=120
答：两次分别邮购杂志80册、120册．
1．（24-25七年级上·山东东营·期末）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号
航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取
得了圆满成功！小明和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．
下面是两位同学的对话：
小明：我买了1件甲种飞船模型和2件乙
种飞船模型，共花了55元．
小红：我买了2件甲种飞船模型和3件乙
种飞船模型，共花了95元．
(1)求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？
(2)若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过
计算说明有多少种购买方案．
【答案】(1)甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元(2)有2种购买方案
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，
找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键．
（1）设甲种飞船模型每件的售价为x元，乙种飞船模型每件的售价为y元，根据题意
列出二元一次方程组求解即可；
（2）设购买a件甲种飞船模型和b件乙种飞船模型，根据题意列出二元一次方程，然
后根据a，b均为正整数求解即可．
【详解】（1）解：设甲种飞船模型每件的售价为x元，乙种飞船模型每件的售价为y
元，
{ x+2y=55 )
根据题意，得 ；
2x+3 y=95
{x=25)
解得
y=15
答：甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元
（2）解：设购买a件甲种飞船模型和b件乙种飞船模型
根据题意，得25a+15b=200
3
∴a=8− b
5
∵a，b均为正整数，
∴当b=5时，a=5；
当b=10时，a=2，
∴有2种购买方案如下：
①购买5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型；
②购买2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型．
2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）某蔬菜种植基地向内地某城市运送114吨蔬菜，
计划租用甲、乙两种车型货车运输该批蔬菜，已知关于该两种车型货车运输此类蔬菜
有以下运输信息：
甲型车（满载） 乙型车（满载） 运货总量
2辆 3辆 42吨
3辆 4辆 58吨
根据以上信息，解答下列问题：(1)求1辆甲型车和1辆乙型车都装满货物一次可分别运输此类蔬菜多少吨？
(2)若蔬菜种植基地管理人员打算租用甲乙两种货车一次运完且恰好每辆车都装满此类
蔬菜：
①请你帮该蔬菜种植基地管理人员设计租车方案；
②若甲型车每辆需租金1000元/次，乙型车每辆需租金1200元/次．请你帮他们算算，
最少租车费是多少元？ 此时租车方案是什么？
【答案】(1)1辆甲型车和1辆乙型车一次分别可以运蔬菜6吨，10吨；
(2)①有三种租车方案：甲型车租4辆，乙型车租9辆；甲型车租9辆，乙型车租6辆；
甲型车租14辆，乙型车租3辆；②当租用A型车4辆，B型车9辆时，租车费最少为
14800元；
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，有理数混合
计算的应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设1辆甲型车和1辆乙型车一次分别可以运蔬菜x吨，y吨，然后根据表格所给
数据列出方程组求解即可；
（2）①设计划同时租用甲型车a辆，乙型车b辆，根据题意可得6a+10b=114，然后
求出a、b的范围结合a、b是正整数即可得到答案；②根据①所求代入进行求解即可．
【详解】（1）设1辆甲型车和1辆乙型车一次分别可以运蔬菜x吨，y吨，
{2x+3 y=42)
根据题意得： ，
3x+4 y=58
{ x=6 )
解得： ，
y=10
答：1辆甲型车和1辆乙型车一次分别可以运蔬菜6吨，10吨；
（2）解：①设计划同时租用甲型车a辆，乙型车b辆，
∴6a+10b=114，
5
则有a=19− b；
3
∵a，b为正整数，
∴b只能为3的倍数，
∴b=3，6，9
∴a=14，9，4，
∴有三种租车方案：甲型车租4辆，乙型车租9辆；甲型车租9辆，乙型车租6辆；甲
型车租14辆，乙型车租3辆；②甲型车每辆需租金1000元/次，B型车每辆需租金1200元/次，
当a=4，b=9，租车费用为：W =1000×4+9×1200=14800（元）；
当a=9，b=6，租车费用为：W =1000×9+6×1200=16200（元）；
当a=14，b=3，租车费用为：W =1000×14+3×1200=17200（元）．
∴当租用A型车4辆，B型车9辆时，租车费最少．
3．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）某网店用24000元的资金购进A、B两种玩具共
700件，准备在“双十二”期间销售，A、B两种玩具的进价分别为60元、15元．
(1)网店本次购进A、B两种玩具的数量分别是多少？（请用二元一次方程组解答）
(2)该网店的A种玩具在“双十二”期间销售火爆，商家决定向厂家再次追加A种玩具，
厂家接到定单后，马上安排车间的68名工人加班生产A种玩具．一个A种玩具是由2
个甲种配件和3个乙种配件组成的，每名工人每天可生产甲种配件16个或乙种配件10
个，那么需要分别安排多少名工人加工甲、乙两种配件，才能使每天加工的甲、乙两
种配件刚好配套？（请用二元一次方程组解答）
【答案】(1)购进A种玩具300件，购进B种玩具400件
(2)需要安排20名工人加工甲种配件，48名工人加工乙种配件，才能使每天加工的甲、
乙两种配件刚好配套
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设购进A种玩具的数量为x件，购进B种玩具的数量是y件，因为A、B两种玩具
共700件，准备在“双十二”期间销售，A、B两种玩具的进价分别为60元、15元，
{x=300)
所以列式¿然后解出 ，即可作答．
y=400
{m=20)
（2）设加工甲部件的有m人，加工乙部件的有n人，依题意，列式¿然后解出 ，
n=48
即可作答．
【详解】（1）解：设购进A种玩具的数量为x件，购进B种玩具的数量是y件，
根据题意得：¿
{x=300)
解得 ，
y=400
∴购进A种玩具300件，购进B种玩具400件．
（2）解：设加工甲部件的有m人，加工乙部件的有n人，
根据题意得：¿{m=20)
解得 ，
n=48
答：需要安排20名工人加工甲种配件，48名工人加工乙种配件，才能使每天加工的
甲、乙两种配件刚好配套．
一、单选题
1．（23-24七年级下·广西河池·期末）由2x−y=2，可以得到用x表示y的式子是（ ）
A．y=2x+2 B．y=−2x−2 C．y=2x−2 D．y=−2x+2
【答案】C
【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程，2x−y=2移项即可得到y=2x−2，据
此求解即可．
【详解】解：由2x−y=2，可以得到用x表示y的式子是y=2x−2，
故选：C．
{x=1)
2．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）已知 是关于x，y的方程3x−my=1的一个解，
y=2
则m的值为（ ）
A．−1 B．1 C．3 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程的解“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两
个未知数的值，叫做二元一次方程的解”、解一元一次方程，熟练掌握二元一次方程
{x=1)
的解的定义是解题关键．将 代入方程可得一个关于m的一元一次方程，解方程
y=2
即可得．
{x=1)
【详解】解：∵ 是关于x，y的方程3x−my=1的一个解，
y=2
∴3×1−2m=1，
解得m=1，
故选：B．
3．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书，其中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．
木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量
长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为
（ ）
{ y−x=4.5 ) { y−x=4.5 )
A． B．
x−0.5 y=1 0.5 y−x=1
{x+y=4.5) {x+y=4.5)
C． D．
y−x=1 x−y=1
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程组解决实际应用问题，根据剩余列式即可得到答案；
{ y−x=4.5 )
【详解】解：由题意可得， ，
x−0.5 y=1
故选：A．
4．（24-25八年级上·山西太原·期末）学习数学就是一个不断发现问题、分析问题和解决问
{5m+6n=32.8 )
题的思维过程．在数学课上，老师出了这样一道题：已知方程组 的
11m−7n=24.7
{m=3.8) {5(x−1)+6(y+2)=32.8 )
解是 ，在不解方程组的情况下，求方程组 的解，
n=2.3 11(x−1)−7(y+2)=24.7
{x=4.8)
小明经过思考后得到 ，小明这样解方程的思想是（ ）
y=0.3
A．公理化思想 B．数形结合思想 C．换元思想 D．方程思想
【答案】C
【分析】本题考查利用“换元”法解二元一次方程组．令m=x−1，n=y+2，根据题
{x−1=3.8)
意可得出 ，解出x，y即可．
y+2=2.3
【详解】解：令m=x−1，n=y+2，
{5m+6n=32.8 )
∴原方程组可化为 ，
11m−7n=24.7
{m=3.8)
依题意，得 ，
n=2.3
{x−1=3.8) {x=4.8)
∴ ，解得 ．
y+2=2.3 y=0.3小明这样解方程的思想是换元思想．
故选：C．
5．（24-25八年级上·重庆·期末）七件甲商品和八件乙商品共重48千克，甲商品比乙商品
重，互换其中一件，恰好一样重，设每件甲商品重x千克，每件乙商品重y千克，根据
题意可列方程组为（ ）
{ 7x+8 y=48 ) { 8x+7 y=48 )
A． B．
6x+y=7 y+x 6x−y=7 y−x
{ 7x+y=48 ) { 7x+8 y=48 )
C． D．
7x−y=8 y−x 7x+y=8 y+x
【答案】A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用．设每件甲商品重x千克，每件
乙商品重y千克，根据七件甲商品和八件乙商品共重48千克可得方程7x+8 y=48，
根据互换其中一件，恰好一样重可得方程6x+y=7 y+x，据此列出方程组即可．
{ 7x+8 y=48 )
【详解】解：由题意得， ，
6x+y=7 y+x
故选：A．
6．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）如果关于x，y的二元一次方程组
{ x−2y=k )
的解x，y满足x−y=7，那么k是（ ）
3x−4 y=2k−1
A．15 B．−15 C．14 D．−14
【答案】A
k−1
【分析】本题考查了解二元一次方程组，用②减①求出x−y= ，然后得出
2
k−1
=7即可求出k的值．
2
{ x−2y=k① )
【详解】解： ，
3x−4 y=2k−1②
②−①，得2x−2y=k−1，
k−1
∴x−y= ，
2
∵x−y=7，
k−1
∴ =7，
2∴k=15．
故选A．
二、填空题
7．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）若关于x、y的二元一次方程组¿的解满足x−y=1，
则a的值为 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查解二元一次方程和二元一次方程组的解，解题的关键是掌握加
减消元法解二元一次方程组的方法和二元一次方程的解的概念．根据题意得到关于
x、y的二元一次方程组求解，再代入求出a的值即可．
{x+y=3) {x=2)
【详解】解：由题意得 ，解得： ，
x−y=1 y=1
{x=2)
将 代入(a−1)x+y=a得2(a−1)+1=a，
y=1
解得：a=1，
故答案为：1．
8．（23-24七年级下·全国·课后作业）小明用8个相同的长方形（长是acm，宽是bcm）分
别拼出了两种图形：图①是一个正方形，且中间留下了一个边长是2cm的正方形小洞，
图②是一个大长方形．根据题意，可列出关于a，b的二元一次方程组为 ．
【答案】¿
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据图①可得，小长方形宽的2倍
减去长是中间正方形小洞的边长，由图②可知小长方形的长的3倍等于宽的5倍，据
此列出方程组即可．
【详解】解：由图①可知，2b−a=2，由图②可知3a=5b，
∴¿，
故答案为：¿．9．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）在方程2x−3 y=8中，用x的代数式表示y，得
．
2 8
【答案】y= x−
3 3
【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握等式的性质，对方程
2x−3 y=8进行变形，即可．
【详解】解：2x−3 y=8，
移项，得−3 y=8−2x，
2 8
系数化为“1”，得y= x− ，
3 3
2 8
故答案为：y= x− ．
3 3
三、解答题
10．（24-25八年级上·广东深圳·期末）解方程组：
(1)¿；
(2)¿．
{ x=3 )
【答案】(1)
y=−1
{ x=2 )
(2)
y=−1
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法，代入消元法是解题的关
键．
（1）运用代入消元法求解即可；
（2）运用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：解方程组：¿，
解：①代入②得：3x+x−4=8，
解得：x=3，
将x=3代入①得：y=3−4=−1，
{ x=3 )
∴原方程组的解是 ；
y=−1
（2）解：解方程组：¿解：①＋②得：2x=4，
解得：x=2，
将x=2代入②得：2+2y=0，
解得：y=−1，
{ x=2 )
∴原方程组的解是 ．
y=−1
11．（23-24七年级下·广东广州·期中）关于x,y的二元一次方程组，如果方程组的解x,y
满足x−y=1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”，请完成下面问题：
{ y=2x−4, )
(1)方程组 的解x与y是否具有“邻好关系”，请说明理由；
3x+2y=13
{2x+y=5k+1,)
(2)方程组 的解x与y具有“邻好关系”，求k的值．
x+2y=4k+2
【答案】(1)x与y具有“邻好关系”，理由见解析
(2)2
【分析】本题主要考查二元一次方程组的计算，理解“邻好关系”的计算，掌握解二
元一次方程组的方法是解题的关键．
{x=3)
（1）运用代入法解二元一次方程组得到 ，根据“邻好关系”的定义即可求解；
y=2
（2）根据题意，运用①−②得，x−y=k−1，再根据“邻好关系”的定义即可求解．
【详解】（1）解：x与y具有“邻好关系”，理由如下；
{ y=2x−4① )
，将①代入②得，3x+2(2x−4)=13，
3x+2y=13②
解得，x=3，将x=3代入①得，y=2×3−4=2，
{x=3)
∴ ，
y=2
∵x−y=3−2=1，
∴ x与y具有“邻好关系”；
{2x+y=5k+1①)
（2）解： ，①−②得，x−y=k−1，
x+2y=4k+2②
∵ x与y具有“邻好关系”，
∴x−y=k−1=1，
解得，k=2，
∴k的值为2．
12．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）“靖州杨梅”——湖南省靖州县特产，全国农产品地理标志．靖州杨梅已有上千年的栽培史，以色泽呈乌、酸甜适度、果大核小、品质
优良、营养丰富而著称．《靖州乡土志》诗云：“木洞杨梅尤擅名，申园梨栗亦争鸣，
百钱且得论摊买，恨不移根植上京．”目前，靖州杨梅主要分为台梅和乌梅两种．某
水果商为了解靖州杨梅的市场销售情况，购进台梅和乌梅两种进行试销．在试销中，
水果商将两种杨梅搭配销售，若购买台梅4千克，乌梅3千克，共需192元；若购买
台梅3千克，乌梅4千克，共需172元．
(1)求台梅和乌梅每千克各多少元？
(2)一顾客用不超过2600元购买这两种杨梅共100千克，要求台梅尽量多，他最多能购
买台梅多少千克？
【答案】(1)台梅每千克36元，乌梅每千克16元
(2)50千克
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关
系是解本题的关键．
（1）设台梅每千克x元，乌梅每千克y元，购买台梅4千克，乌梅3千克，共需192
元；若购买台梅3千克，乌梅4千克，共需172元人民币，再建立方程组即可；
（2）设最多能购买台梅m千克，，根据顾客用不超过2600元购买这两种杨梅共100
千克，再建立不等式即可．
【详解】（1）解：设台梅每千克x元，乌梅每千克y元，则
{4x+3 y=192)
，
3x+4 y=172
{x=36)
解得： ，
y=16
答：台梅每千克36元，乌梅每千克16元；
（2）设最多能购买台梅m千克，则
36m+16(100−m)≤2600，
∴20m≤1000，
解得：m≤50，
答：最多能购买台梅50千克．
13．（24-25七年级上·福建三明·期末）【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用
天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和2个10克的砝码，如何称出乒
乓球和纸杯的单个质量？【操作探究】下面是“实践小组”的探究过程：
准备物品： 15个大小相同的乒乓球（质量相同） 15个大小相同的纸杯（质量相
同）． ① ②
（1）探究过程：
天平左边 天平右边 天平状态
记录 8个乒乓球和1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡
Ⅰ
记录 4个乒乓球 2个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡
Ⅱ
【解决问题】
通过上述两次探究过程，求乒乓球和纸杯的单个质量．
【拓展设计】
（2）“实践小组”继续探究，得到下表：
天平左边 天平右边 天平状态
记录Ⅲ 乒乓球m个和一次性纸杯2个 一次性纸杯n个和2个10克砝码 平衡
请你探究m，n的值．
【答案】[解决问题]：乒乓球和纸杯的单个质量分别为4克和3克；[拓展设计]： 当
n=2时，m=5； 当n=6时，m=8； 当n=10时，m=11． ①
【分析】本题主要②考查一元一次方程和③二元一次方程的整数解，
[解决问题]设每个乒乓球的质量是x克，根据题意列出方程求解即可；
3n+14
[拓展设计]根据题意可知4m+2×3=3n+20，化简得m= ，找到满足条件得
4
解即可．
【详解】解：[解决问题]：
设每个乒乓球的质量是x克，则
8x+10 4x−10
依题意得： = ，解得：x=4，
14 2
4x−10 4×4−10 8x+10 8×4+10
= =3或 = =3
2 2 14 14
答：乒乓球和纸杯的单个质量分别为4克和3克．
[拓展设计]
4m+2×3=3n+204m=3n+14
3n+14
m=
4
当n=2时，m=5
①当n=6时，m=8
②当n=10时，m=11．
③
