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专题 8.16 二元一次方程组（全章知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】二元一次方程组的相关概念
1. 二元一次方程的定义
定义：方程中含有两个未知数（一般用x和y），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元
一次方程.
2.二元一次方程的解
定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
3. 二元一次方程组的定义
定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成
方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组 .
4. 二元一次方程组的解
定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
【知识点二】二元一次方程组的解法
1.解二元一次方程组的思想
消元
二元一次方程组 一元一次方程
转化
2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法
（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或y）的代数式表示y（或x），
y=ax+b x=ay+b
即变成 （或 ）的形式；
②将
y=ax+b
（或
x=ay+b
）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y（或x），得
到一个关于x（或y）的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；
④把x（或y）的值代入
y=ax+b
（或
x=ay+b
）中，求y（或x）的值；
{
⑤用“ ”联立两个未知数的值，就是方程组的解.（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成
有一个未知数的系数绝对值相等的形式；
②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的
两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
{
⑤将两个未知数的值用“ ”联立在一起即可.
【知识点三】实际问题与二元一次方程组
【知识点四】三元一次方程组
1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的
未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方
程组.
等都是三元一次方程组.
2．三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三
元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组
的一般步骤是：
（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知
数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
（5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
3. 三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤：
（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
（4）解这个方程组，求出未知数的值；
（5）写出答案(包括单位名称)．
【考点一】二元一次方程组的相关概念
【例1】对于题目：“若方程组 的解为 ，且整式 ，求：整式A
的值．”
小明化简求值时，将系数□看错了，他求的A的值为0；
小宇求的结果，与题的正确答案一样，A的值为6．
(1)小明将系数□看成的数是多少？
(2)化简整式A．
【答案】(1)小明将系数□看成的数是 ； (2)
【分析】（1）先求出 ，设小明将系数□看成了m，则 ，根据小明求的A的值，
得到关于m的方程，解方程即可得到 ；
（2）设正确的□为n，则 ，根据小宇求的A的值为6得到 ，
解得： ，即可得到答案．
（1）解：∵方程组 的解为
∴ ，解得 ．
设小明将系数□看成了m，则 ，
∵小明求的A的值为0，
∴ ，解得： ，即小明将系数□看成的数是 ；
（2）设正确的□为n，
则 ，
∵小宇求的A的值为6
∴ ，解得： ，
∴ ．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解、一元一次方程的应用、整式的加减等知识，熟练掌握一元一次
方程的的解法和整式的加减法则是解题的关键
【举一反三】
【变式1】若二元一次方程组 的解是 ，则 的值是（ ）
A． B．1 C． D．5
【答案】D
【分析】将 代入 求出m、n的值，再求m+n即可．
解：∵二元一次方程组 的解是 ，
∴ ，
解得 ，
∴m+n=5，
故选：D．
【点拨】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
【变式2】如果将方程 变形为用含 的式子表示 ，那么 ．【答案】
【分析】先移项，再系数化为1即可．
解：移项，得： ，
方程两边同时除以 ，得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了解二元一次方程，将x看作常数，把y看做未知数，灵活应用等式的性质求解是关键．
【考点二】二元一次方程组的解法
【例2】计算：按要求解下列二元一次方程组．
(1) （代入法）； (2) （加减法）．
【答案】(1) ； (2)
【分析】（1）由 得， ，将 代入②式得， ，解得， ，将 代入
①式得， ；
（2） 得， ，解得， ，将 代入①式得， ，计算求出 值，进而可得
结果．
解：（1）解： ，
由 得， ，
将 代入②式得， ，解得， ，
将 代入①式得， ，
∴ ；（2）解： ，
得， ，解得， ，
将 代入①式得， ，解得， ，
∴ ．
【点拨】本题考查了代入消元法、加减消元法解二元一次方程组．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵
活运用．
【举一反三】
【变式1】若关于x，y的方程组 （a，b是常数）的解为 ，则方程组
的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两方程组各方程间的关系，可得出方程组 的解为 ，进而可得出结
论．
解：∵关于x，y的方程组 （a，b是常数）的解为 ，
∴方程组 的解为 ，即 ．
故选：A．
【点拨】本题考查了方程组的解，方程组之间的关系，熟练掌握方程组之间的关系是解题的关键．
【变式2】已知方程组 ，则xy＝ ．【答案】1
【分析】方程组利用加减消元法求出解得到x与y的值，代入原式计算即可求出值．
解：①+②得：4x=4，
解得：x=1，
把x=1代入①得：y=0，
则原式=10=1．
故答案为：1．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【例3】已知关于 ， 的方程组
（1）求这个方程组的解（用含有m的式子表示）；
（2）当m取何值时，这个方程组的解满足“x的2倍与y的3倍的和等于1”．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）利用解方程的步骤求解即可；
（2）由题意可得关于x、y的方程，然后把（1）中的解代入即可求得m的值．
解：（1）解方程组
①+②得，
∴
把 代入①得，
∴方程组的解为：
（2）根据题意得：
把 代入 得：
，
解得：【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是正确的求出方程组的解．
【举一反三】
【变式1】在关于 ， 的二元一次方程组 的下列说法中，错误的是（）
A．当 时，方程的两根互为相反数 B．当且仅当 时解得 为 的 倍
C． ， 满足关系式 D．不存在自然数 使得 ， 均为正整数
【答案】D
【分析】A．当a＝2时，方程组变形得到结果，即可判断；
B．将x=2y代入方程，解出a即可判断；
C．用含a是代数式表示x和y，再将x、y代入x−5y进行计算即可判断；
D．用含a是代数式表示x和y，当a＝16时，x＝11，y＝1，即可判断．
解：A、当a＝2时，方程组为
，
①＋②×2得：7x＝7，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝−1，
则x＋y＝1−1＝0，
即方程的两根互为相反数，
∴A选项不符合题意；
B． 当x=2y时，原方程组可变为：
解得：
∴当且仅当 时解得 为 的 倍；
∴B选项不符合题意．
C． ，
①＋②×2得：7x＝5a−3，解得：x＝ ，y＝ ，
∵x−5y＝ ，正确，
∴C选项不符合题意；
D、由C可知：x＝ ，y＝ ，
要使x为自然数，可得5a−3＝7，14，21，…；同理a−9＝7，14，21，…，
当a＝16时，x＝11，y＝1，
所以存在自然数a，使得x，y均为正整数，
∴D选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解、二元一次方程的解、解二元一次方程组，解决本题的关键是掌
握二元一次方程的相关知识．
【变式2】根据要求，解答下列问题．
（1）解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：
① 的解为 ；
② 的解为 ；
③ 的解为 ．
（2）以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为 ．
【答案】
【分析】（1）观察方程组发现第一个方程x的系数与第二个方程y的系数相等，第一个方程y的系数与第
二个方程x的系数相等，可利用加减消元法解方程．
（2）根据每个方程组的解，得到x与y的关系；
本题考查了解二元一次方程组，找出题目中二元一次方程组及其解的规律是解题的关键．解：①
得 ，
得 ，
解得 ，
故答案为： ；
②
得 ，
得 ，
解得 ，
故答案为： ；
③
得 ，
得 ，
解得 ，故答案为： ；
（2）以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为 ，
故答案为： ．
【例4】某商场第1次用39000元购进甲，乙两种商品，销售完后获得利润6000元，它们的进价和售价
如表（总利润 单价利润 销售量）：
价格商品 进价（元/件） 售价（元/件）
甲 120 135
乙 100 120
(1)该商场第1次购进甲，乙两种商品各多少件？
(2)商场第2次以原进价购进甲，乙两种商品，购进甲商品的件数不变，而购进乙商品的件数是第1次的2
倍，甲商品按原售价销售，而乙商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等
于5400元，则乙种商品是按几折销售的？
【答案】(1)商场第1次购进甲商品200件，乙商品150件；(2)乙种商品打九折销售的
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
（1）设第1次购进甲商品x件，乙商品y件，根据该商场第1次用39000元购进甲乙两种商品且销售完后
获得利润6000元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设乙商品打m折出售，根据总利润 单价利润 销售量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可
得出结论．
解：（1）解：设第1次购进甲商品x件，乙商品y件．
根据题意得： ，
解得： ．
答：商场第1次购进甲商品200件，乙商品150件．
（2）解：设乙商品打m折出售．
根据题意得： ，解得： ．
答：乙种商品打九折销售的．
【举一反三】
【变式1】初三某班学生在会议室看录像，每排坐13人，则有1人无处坐，每排14人，则空12个座位，
则这间会议室共有座位的排数是( )
A．12 B．14 C．13 D．15
【答案】C
【分析】设这间会议室共有座位x排，根据学生人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得
出结论．
解：设这间会议室共有座位x排，
根据题意得：13x+1=14x-12，
解得：x=13．
答：这间会议室共有座位13排．
故选C．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，根据学生人数不变，列出关于x的一元一次方程是解题的关键．
【变式2】一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，如果1立方米木料可制作方桌桌面50个，或制作桌腿
300条，现有5立方米木料，用多少木料做桌面，多少木料做桌腿，恰好全部制成方桌？设用x立方米木
料做桌面，y立方米木料做桌腿，根据题意列方程组为 ．
【答案】
【分析】根据题意可得等量关系：①x立方米木料做桌面+y立方米木料做桌腿=5立方米；②桌面的总
数×4=桌腿的总数，根据等量关系列出方程组即可．
解：设用x立方米木料做桌面，y立方米木料做桌腿，根据题意得：
，
故答案为 ．
【点拨】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关
系．
【例5】某校组织初二年级380名学生到广东南路革命化州纪念馆研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生130人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
(2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满：
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆租金200元，大客车每辆租金300元．请选出最省钱的租车方案、并求出最少租金．
【答案】(1)每辆小客车能坐30名学生，每辆大客车能坐40名学生
(2)①方案1：租小客车2辆，大客车8辆；方案2：租小客车6辆，大客车5辆；方案3：租小客车10辆，
大客车2辆．②最省钱的租车方案是方案3租小客车10辆，大客车2辆，最少租金为2600元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用,二元一次方程的应用：
（1）设每辆小客车能坐x人，每辆大客车能坐y人，根据题意可得等量关系：3辆小客车和1辆大客车每
次可运送学生130人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人，根据等量关系列出方程组，再
解即可；
（2）①根据题意可得小客车m辆运的人数+大客车n辆运的人数=380，然后求出整数解即可；②根据①所
得方案和小客车每辆租金200元，大客车每辆租金300元分别计算出租金即可．
解：（1）解：设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生，
依题意得： ，
解得： .
答：每辆小客车能坐30名学生，每辆大客车能坐40名学生．
（2）解：①依题意得： ，
∴ ，
又∵m，n均为整数，
∴ 或 或 ，
∴共有3种租车方案，
方案1：租小客车2辆，大客车8辆；
方案2：租小客车6辆，大客车5辆；
方案3：租小客车10辆，大客车2辆．②方案1所需租金为 （元）；
方案2所需租金为 （元）；
方案3所需租金为 （元）．
∵ ，
∴最省钱的租车方案是方案3租小客车10辆，大客车2辆，最少租金为2600元．
【举一反三】
【变式1】《九章算术》是我国古代数学专著，其中第八卷记录了这样一道题：“今有上禾七秉，损实一
斗，益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗，与上禾二秉，而实一十斗．问上、下禾实一秉各
几何？”其大意为“今有 捆上等禾结出的粮食，减去 斗上等禾，再加上 捆下等禾结出的粮食，共 斗；
捆下等禾结出的粮食，加上 斗下等禾，再加上 捆上等禾结出的粮食，共 斗，问上等禾和下等禾每捆
各能结出多少斗粮食（斗为体积单位）？”设上等禾每能结出 斗粮食，下等每能结出 斗粮食，根据题
意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设上等禾每捆结出 斗粮食，下等每捆结出 斗粮食，根据 捆上等禾结出的粮食，减去 斗上等
禾，再加上 捆下等禾结出的粮食，共 斗； 捆下等禾结出的粮食，加上 斗下等禾，再加上 捆上等禾
结出的粮食，共 斗，列出二元一次方程组即可．
解：设上等禾每捆结出 斗粮食，下等每捆结出 斗粮食，
根据题意可得 ，
整理得 ，
故选： ．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意找到到题中的等量关系列出方程组，是解答本题的
关键．
【变式2】用如图①中的长方形和正方形纸板作侧而和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．
现在仓库里有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则
的值可能是 ．（填序号）①2022 ②2021 ③2020 ④2019 ⑤2018
【答案】③
【分析】设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，然后根据所需长方形纸板和正方形纸板的张
数列出方程组，再根据x、y的系数表示出m+n并判断m+n为5的倍数，然后选择答案即可．
解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，
根据题意得 ，
两式相加得，m+n=5（x+y），
∵x、y都是正整数，
∴m+n是5的倍数，
∵①2022、②2021、③2020、④2019、⑤2018五个数中只有2020是5的倍数，
∴m+n的值可能是2020．
故答案为：③．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，根据未知数系数的特点，观察出所需两种纸板的张数的和正
好是5的倍数是解题的关键．
【考点四】三元一次方程组
【例6】关于x的代数式 ，当 时，其值为 ；当 时，其值为3；当 时，其值为
35；
(1)求a，b，c的值
(2)当 时，求代数式 的值．
【答案】(1) ， ， ； (2)16
【分析】（1）根据题意列出关于a，b，c的三元一次方程组，进行计算即可解答；
（2）根据（1）中算出的a，b，c，得到代数式，然后令 代入计算即可．（1）解：由题意得： ，
得： ，
得： ，
得： ，
得： ，
解得： ，
把 代入④得： ，
解得： ，
把 ， 代入①得： ，
解得： ，
∴原方程组的解为： ，
（2）当 时， ，
∴ 的值为16．
【点拨】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解三元一次方程组是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】已知方程组 ，若消去z，得二元一次方程组不正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：在方程组 中，①＋②得 ，①×2＋③得 ， ②×2－③得，所以由④与⑤可以组成A，由④与⑥可以组成B，由⑤与⑥可以组成C，所以选择D．
【变式2】已知x、y、z满足 ，则 的值为 .
【答案】
【分析】根据非负数的性质可得 ，再解三元一次方程组求得x、y、z的值，再代入求值即可．
解：∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
