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题 8.14 三元一次方程组（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】三元一次方程及三元一次方程组的概念
1.三元一次方程的定义
含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是
三元一次方程．
2．三元一次方程组的定义
一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
【知识点二】三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的一般步骤
（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未
知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
（5）将求得的三个未知数的值用“｛”合写在一起．
【知识点三】三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤
1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如x，y，z）表示题目中的两个（或三个）未知数；
2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
4．解这个方程组，求出未知数的值；
5．写出答案（包括单位名称）．
特别提醒：
（1）解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，
不符合题意的应该舍去．
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．
（3）一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
【考点目录】
【考点1】解三元一次方程组； 【考点2】三元一次方程组的特殊解法；
【考点3】三元一次方程组的应用.【考点1】解三元一次方程组；
【例1】（22-23七年级下·全国·课时练习）解下列三元一次方程组：
(1) ； (2)
【答案】(1) ； (2)
解：（1）
由①，得4x＝3y，x＝ y④
由②得4z＝5y，z＝ y，⑤
把④和⑤代入③，得 ，解得y＝12
把y＝12代入④和⑤，得 ．
∴原方程组的解为 ．
（2）将原方程组改写为
由②，得x＝6＋4y，代入①化简，得
11y－4z＝－19，④
由③，得2y＋3z＝4，⑤
由④×3＋⑤×4，得33y＋8y＝－57＋16，∴y＝－1
将y＝－1代入⑤，得z＝2
将y＝－1代入②，得x＝2
∴原方程组的解为
【变式1】（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）下列四组数值中，是方程组 的解的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是三元一次方程组的解，解题的关键是利用加减消元法进行求解．
方程组利用加减消元法求解即可．
解：
得：
得：
把 代入 中
，
把 ， 代入 得：
，
方程组的解为 ，故选：D．
【变式2】（23-24八年级上·贵州毕节·阶段练习）将三元一次方程组 消去未知数z，得到的
二元一次方程组为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解三元一次方程组，利用加减消元法解三元一次方程组即可得．
解： ，
由② ③得： ④，
∴
故答案为： ．
【考点2】三元一次方程组的特殊解法；
【例2】（23-24九年级上·长沙·阶段练习）已知 ， ， 为正数，且 ，求 的
值．
【答案】
【分析】将原方程组变形得 ， ， ，进而可求出 ， ，
的值，然后代入 计算即可．
解： ，
，
，同理可得： ， ，
解得： ， ， ，
．
【点拨】本题考查了三元一次方程组的解法，正确变形是解答本题的关键．
【变式1】（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设 ，则 （ ）
A．12 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据方程②得到 ，结合方程①可得 ，由此即可得到答案．
解：
由②得 ，
∴ ，
∴ ，
故选C．
【点拨】本题主要考查了解三元一次方程组，正确求出x、y之间的关系式是解题的关键．
【变式2】（23-24七年级下·全国·随堂练习）若 是三元一次方程组 的解，则 的
值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解三元一次方程组，把 代入 中即可求解，解题的关键是理解三
元一次方程组的解．解：∵ 是三元一次方程组 的解，
∴将 代入 中得：
，
解得： ，
故答案为： ．
【考点3】三元一次方程组的应用；
【例3】（22-23七年级下·四川遂宁·阶段练习）关于x的代数式 ，当 时，其值为 ；当
时，其值为3；当 时，其值为35；
（1）求a，b，c的值
（2）当 时，求代数式 的值．
【答案】(1) ， ， ；(2)16
【分析】（1）根据题意列出关于a，b，c的三元一次方程组，进行计算即可解答；
（2）根据（1）中算出的a，b，c，得到代数式，然后令 代入计算即可．
（1）解：由题意得： ，
得： ，
得： ，
得： ，
得： ，
解得： ，
把 代入④得： ，
解得： ，
把 ， 代入①得： ，解得： ，
∴原方程组的解为： ，
（2）当 时， ，
∴ 的值为16．
【点拨】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解三元一次方程组是解题的关键．
【变式1】（23-24七年级上·浙江舟山·期末）已知多项式 中， ， ， 为常数， 的取值与
多项式对应的值如下表：
1 2
7
则值为（ ）
A．15 B．19 C．21 D．23
【答案】D
【分析】本题考查的是三元一次方程组的特殊解法，先根据表格信息建立方程组，再利用整体未知数的方
法解方程即可；先求解 ， ，再利用整体代入法可得答案．
解：当 时， ①，
当 时， ②，
当 时， ③，
当 时， ④，
③ ①得： ，即 ，
④ ②得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选D
【变式2】（22-23七年级下·福建泉州·期末）已知 满足 ，则．
【答案】20
【分析】利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答；
解：
得：
得：
故答案为：20
【点拨】本题考查了解三元一次方程组，代数式求值，练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
【例4】（23-24八年级上·山东枣庄·期末）【阅读感悟】
已知实数 、 满足 ，求 和 的值．
本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得 、 的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路
运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得
代数式的值，如由① ②可得 ，由① ②可得 ，这样的解题思想称为“整体思
想”．
【解决问题】
（1）已知二元一次方程组 ，求 和 的值；
（2）有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种4根，乙种2
根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？
【答案】(1) ， ； (2)1根丙种钢条长 米．
【分析】本题考查解二元一次方程组和三元一次方程组．熟练掌握整体思想，利用整体思想进行求解，是
解题的关键．
（1）利用整体思想进行求解即可；
（2）设甲种钢条长 米，乙种钢条长 米，丙种钢条长 米，根据题意，列出三元一次方程组，利用整体
思想进行求解即可；解：（1）解： ，
，得： ；
，得： ；
（2）设甲种钢条长 米，乙种钢条长 米，丙种钢条长 米，
由题意，得： ，
，得： ；
∴丙种钢条长 米．
【变式1】（2024八年级·全国·竞赛）有3堆硬币，每枚硬币的面值相同．小李从第1堆取出和第2堆一
样多的硬币放入第2堆；又从第2堆中取出和第3堆一样多的硬币放入第3堆；最后从第3堆中取出和现
存的第1堆一样多的硬币放入第1堆，这样每堆有16枚硬币，则原来第1堆有 枚硬币．
【答案】22
【分析】此题考查了列三元一次方程组和解三元一次方程组的方法．设原来第1堆有x枚硬币，第2堆有y
枚硬币，第3堆有z枚硬币．根据最后每堆有16枚硬币列方程组求解．
解：设原来第1堆有x枚硬币，第2堆有y枚硬币，第3堆有z枚硬币，根据题意，得：
，
解得： ．
即原来第1堆有22枚硬币．
故答案为：22
【变式2】（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前
两架天平保持平衡，如果要使第三架天平右边应放“▲”的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B
【分析】本题考查三元一次方程组的应用．根据题意设■，●，▲分别为 ，根据题干图列出关于
的等式找出等量关系即为本题答案．
解：设■，●，▲分别为 ，
根据题意得：第一个天平： ，
第二个天平： ，
即： ，
解得： ，
∴第三个天平： ，即第三个天平左边为一个 时，右边为 个 ，
故选：B．
