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专题 8.7 二元一次方程组特殊解法（题型分类专题）
【题型一】整体思想解二元一次方程组
1．先阅读，再解方程组．
解方程组 时，可由①得 ③，然后再将③代入②，得 ，
解得 ，从而进一步得 这种方法被称为“整体代入法”．
请用上述方法解方程组
2．阅读以下材料，解方程组： ．
王林在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：
解：由①得 ③，将③代入②，……
（1）请你替王林补全完整的解题过程．
（2）请你用“整体代入法”解方程组： ．
3．请阅读下列材料，解答问题：
材料：解方程组 ，若设 ， ，则原方程组可变形为 ，用加减消元法解得 ，所以 ，再解这个方程组得 ．由此可以看出，在上述解方程组过
程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把这种解方程组的方法叫换元法．
问题：请你用上述方法解方程组 ．
【题型二】换元法解二元一次方程组
4．先阅读下列材料；再解决相关问题：
解方程组
解：设 ， ，原方程组可转化为
解方程组得 ，即 ，所以 ．此种解方程组的方法叫换元法．
（1）如果用换元法解方程组： ，可以设 ______， ______，则该方程组可以转化为
关于 、 的方程组：______；
（2）用换元法解方程组：
5．【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元” ．所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．
换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元．
【方法引领】
用换元法解方程组： ．
分析：由于方程组中含有式子 和 ，所以可设 ．
原方程组可化为 ．
解得 ，即 ．
进而可求得原方程组的解．
……
【问题解决】用换元法解决下列问题：
（1）若关于x，y的方程组 的解是 ，则关于a，b的方程组
的解是 ；（直接写答案）
（2）已知方程组 ，求x，y的值．
6．【知识累计】解方程组解：设 ，原方程组可变为
解得： ．所以 ，解得 ．此种解方程组的方法叫换元法．
【拓展提高】运用上述方法解下列方程组：
【能力运用】已知关于 的方程组 的解为 ，
直接写出关于 的方程组 的解为______．
【题型三】二元一次方程组的整数解
7．求关于 的方程 的整数解．
8．阅读材料：已知关于 ， 的二元一次方程 有一组整数解 ，则方程 的
全部整数解可表示为 （ 为整数）．问题：求方程 得所有正整数解．
解：该方程有一组整数解为 ，则全部整数解可表示为 （ 为整数）．
∵ ，∴ ．
∵ 为整数，∴ 或 ．∴该方程的正整数解为 或 ．
根据以上解法，回答下列问题：
（1）方程 的全部整数解表示为 （ 为整数），则 __________；
（2）请你参照上述解题方法，求方程 的全部正整数解．
9．阅读材料：
已知关于x，y的二元一次方程 有一组整数解 ，则方程 的全部整数解可表
示为 （t为整数）．问题：求方程 的所有正整数解．
小明参考阅读材料，解决该问题如下：
解：该方程一组整数解为 ，则全部整数解可表示为 （t为整数）．
因为 ，解得
因为t为整数，所以t=0或-1．所以该方程的正整数解为 和 ．
通过你所知晓的知识，请解决以下问题：
（1）方程3x-5y=11的全部整数解表示为： （t为整数），则 ______；
（2）请你参考小明的解题方法，求方程2x+3y=24的全部正整数解；
（3）若a，b均为正整数，试判断二元一次方程组 有几组正整数解？并写出其解．
【题型四】二元一次方程组大数据问题
10．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组
解：由 ，得
，即
．③
，得
．④
，得
，
从而可得
．所以原方程组的解是
请你仿照上面的解法，解方程组：
11．解下方程组
（1） （2）
12．解答题：
解方程组 时，由于 ， 的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、
加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
① ②得 ，所以 ③，
③ ①得 ，
解得 ，从而 ，
所以原方程组的解是 ．请你运用上述方法解方程组： ．
【题型五】二元一次方程组新定义问题
13．对于有理数x，y，定义新运算：x&y＝ax+by，x y＝ax﹣by，其中a，b 是常数．已知
1&1＝1，3 2＝8．
（1）求a，b的值；
（2）若关于x，y的方程组 的解也满足方程x+y＝5，求m的值；
（3）若关于x，y的方程组 的解为 ，求关于x，y的方程组
的解．
14．我们规定：对于数对 ，如果满足 ，那么就称数对 是“和积等数对”：如果满
足 ，那么就称数对 是“差积等数对”，例如 ， ．所以数对 为
“和积等数对”，数对 为“差积等数对”．
（1）下列数对中，“和积等数对”的是 ；“差积等数对”的是 ．① ，② ，③ ．
（2）若数对 是“差积等数对”，求 的值．
（3）是否存在非零有理数 ， ，使数对 是“和积等数对”，同时数对 也是“差积等
数对”，若存在，求出 ， 的值，若不存在，说明理由．
15．对于有理数x，y，定义新运算： ，其中a，b是常数．已知
．
（1）求a，b的值；
（2）若关于x，y的方程组 的解也满足方程 ，求m的值；
（3）若关于x，y的方程组 的解为 ，求关于x，y的方程组
的解．
【题型六】二元一次方程组有解、无解、无穷组解问题
16．k、b为何值时，关于x、y方程组 有唯一解？无解？有无数解？17．当m，n为何值时，方程组
（1）有唯一解； （2）有无数多个解： （3）无解
18．数学乐园：解二元一次方程组 ， 得： ，
当 时， ，同理： ；
符号 称之为二阶行列式，规定： ，
设 ， ， ，那么方程组的解就是
（1）求二阶行列式 的值；
（2）解不等式： ；
（3）用二阶行列式解方程组 ；
（4）若关于 、 的二元一次方程组 无解，求 的值．参考答案：
1．
【分析】将①变形为 ，再整体代入②中，即可求出y的值．再将y的值代入 ，即可求
出x的值，方程组得解．
解：
由①得， ，
代入②得 ，
解得 ，
把 代入③得， ，
解得 ．
故原方程组的解为 ．
【点拨】本题考查解二元一次方程组．读懂题意，掌握“整体代入法”的步骤是解题关键．
2．（1）见分析；（2）
【分析】（1）根据阅读材料补全完整的解题过程即可；
（2）整理方程组后，由③得 代入④得到关于y的方程，求出y的值，进而求出x的值，即可
确定出方程组的解．（1）解：由①得 ③，将③代入②，得 ，
解得： ，
把 代入①，得 ，解得 ，
故原方程组的解是 ．
（2）解： ，整理得 ，
把③代入④，得 ，
解得： ，
把 代入③，得 ，
解得： ，
故原方程组的解是 ．
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，熟练掌握消元的方法：代入消元法
与加减消元法是解题的关键．
3．
【分析】根据材料提供的换元法，设 ， ，得到一个关于 、 的方程组，解出 、
后得到关于 、 的方程组，解之可得答案．
解：设 ， ，
则原方程组可变形为 ，解得： ，∴ ，解得： ，
∴原方程组的解为 ．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，常用的方法是代入消元法和加减消元法，灵活使用这些方法
是解题的关键．
4．（1） ， ；（2）
【分析】（1）观察方程组的特点，可以设 ，即可解决问题；
（2）设 ，然后根据题目提供的解方程组的方法解答即可．
（1）解：用换元法解方程组： ，可以设 ，
则该方程组可以转化为关于 、 的方程组 ；
故答案为： ， ；
（2）设 ，
则原方程组可以转化为关于 、 的方程组 ，
解这个方程组，得 ，即 ，
解得 ．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的求解，正确理解题意、掌握换元法求解的方法是解题的关键．
5．（1） ；（2）x=4，y=3．
【分析】（1）根据题意，利用换元法解决此题．
（2）根据题意，利用换元法解决此题．
（1）解：由题意知，a+b=1，a-b=2．
得 ．
故答案为：
（2）设 ．
原方程组可化为 ．
解得 ．
即 ．
解得，x=4，y=3．
【点拨】本题主要考查解二元一次方程组，理解阅读材料，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本
题的关键．6．拓展提高： ；能力运用：
【分析】本题考查了换元法解方程组，正确理解换元法的意义是解题的关键．
拓展提高：设 ， ，原方程组可变为 ，求解即可．
能力运用：设 ， ，原方程组可变为 ，求解即可．
解：拓展提高：设 ， ，原方程组可变为 ，
解方程组，得 ，
∴ ，
解方程组，得 ．
能力运用：设 ， ，原方程组可变为 ，
∵关于 ， 的方程组 的解为 ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．7． 或 或 或
【分析】本题考查解二元二次方程和因式分解的应用；
先对方程左边分解因式，再分类讨论求解即可求解．
解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 或 或 ，
解得： 或 或 或
8．（1） ；（2） 或 或
【分析】（1）把 代入 ，求得 ，这就是对应的 ，计算即可．
（2）先求得方程的一组正整数解，仿照阅读提供的解法，计算即可．
解：（1）把 代入 ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵ 是方程 的一组正整数解，
∴ 的全部整数解可表示为 （ 为整数）．
∵ ，∴ ．
∵ 为整数，
∴ 或1或2．
∴该方程的正整数解为 或 或 ．
【点拨】本题考查了二元一次方程的解，一元一次不等式组的整数解，理解题意，掌握解题方法是解
题的关键．
9．（1）-1；（2） ， ， ；（3）该方程组有3组正整数解，分别为： ，
， ．
【分析】（1）把x=2代入方程3x-5y=11得，求得y的值，即可求得θ的值；
（2）参考小明的解题方法求解即可；
（3）先根据（2）得到关于a、b的二元一次方程，再结合a、b均为正整数确定a、b的值，进而得到
方程组的所有解．
（1）解：把x=2代入方程3x-5y=11得，6-5y=11，
解得y=-1，
∵方程3x-5y=11的全部整数解表示为： （t为整数），则θ=-1，
故答案为-1；
（2）解：方程2x+3y=24一组整数解为 ，则全部整数解可表示为 （t为整数）．
因为 ，解得-1＜t＜3．
因为t为整数，
所以t=0，1，2．所以方程2x+3y=24的全部正整数解为： ， ， ．
（3）解：由（2）得：9a+2b=24或6a+4b=24或3a+6b=24
∵a、b均为正整数
∴
∴该方程组有3组正整数解，分别为： ， ， ．
【点拨】本题考查了二元一次方程的解、一元一次不等式的整数解等知识点，理解题意、正常列出方
程组和不等式是解答本题的关键．
10．
【分析】
本题主要考查解二元一次方程组，采用代入消元法或加减消元法，结合题干给出的方法求解即可．
解：解法一：
，得
，即
．③
，得
．
把 代入 ，得
．
所以原方程组的解为
解法二：
，得，即
，
所以 ．③
把 代入 ，得
，
解得
．
把 代入 ，得
．
所以原方程组的解为
11．（1） ；（2）
【分析】（1） 消去y求解即可得到答案；
（2）先根据 即可得到x，y的关系，再代入消元求解即可得到答案；
（1）解： 得，
，
解得 ，
将 代入①得，
，
解得 ，
∴原方程组的解为： ；
（2）解： 得，
，
∴ ③，
将③代入②得，
，解得： ，
将 代入③得，
，
∴原方程组的解为： ；
【点拨】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握两种消元法，消元解一元一次方程．
12．
【分析】仿照例子，利用加减消元法可解方程组求解．
解： ，
得： ，
③，
∴
③ ①得： ，
解得： ，
将 代入③得： ，
∴原方程组的解为 ．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的解法，解二元一次方程组由代入消元法和加减消元法．
13．（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）根据题目所给的新定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可；
（2）先根据题意得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组用m表示出x、y，再根据x+y=5进行求
解即可；
（3）可令 再根据同解题意可知关于m、n的方程组 的解为 ，则据此求解即可；
（1）解：由题意得： ，
解得 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵关于x，y的方程组 的解也满足方程x+y＝5，
∴ ，
∴
（3）解：∵ ，
∴可令 ，
∴ ，
∵关于x，y的方程组 的解为 ，∴关于m、n的方程组 的解为 ，
∴ ，
解得 ．
【点拨】本题主要考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．
14．（1）①；②；（2） ；（3）存在非零有理数 ， ，使数对 是“和积等数
对”，同时数对 也是“差积等数对”
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数的四则运算，理解“和积等数对”和“差积等数
对”的定义是解题的关键．
（1）根据题目所给定义进行逐个计算判断即可；
（2）根据定义建立方程，再求解x即可；
（3）根据新定义可得 ，可用m来表示n，代入方程即可求解m，即可．
（1）解：∵
∴ ，
∴ 是“差积等数对”；
∵
∴ ，
∴ 是“和积等数对”；
∵∴ 既不是“和积等数对”，也不是“差积等数对”；
故答案为：①；②
（2）解：∵数对 是“差积等数对”，
∴ ，
解得： ；
（3）解：存在，
∵数对 是“和积等数对”，同时数对 也是“差积等数对”，
∴ ，
∴ ，
即 ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴ ．
即存在非零有理数 ， ，使数对 是“和积等数对”，同时数对 也是“差积等
数对”．
15．（1） ；（2）m ；（3）
【分析】（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可；
（2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程 求解即可；
（3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可．（1）解：由题意得 ，
解得： ；
（2）解：依题意得 ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
（3）解：由题意得： 方程组 的解为 ，
∴由方程组 得方程组 ，
∴方程组 的解满足 ，
解得 ．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思
想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键．
16．当 时，方程组有唯一解；当 ， 时，方程组无解；当 ， 时，方程组有
无数解．
【分析】两式作差，得到关于x的方程，确定此方程解得情况即可．解：
可得： ，化简可得：
（1）当 时，即 ，方程 有唯一解，即方程组 有唯一解；
（2）当 ， 时，即 ， ，方程 无解，即方程组
无解；
（3）当 ， 时，即 ， ，方程 有无数解，即方程组
有无数解；
综上，当 时，方程组有唯一解；当 ， 时，方程组无解；当 ， 时，方程组
有无数解．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的求解，一元一次方程的求解，解题的关键是掌握一元一次方程
的求解方法．
17．（1） ；（2） ；（3）
【分析】先把①变形得到 ，代入②使方程变为只含y的一元一次方程，根据y的系数讨论方
程组（1）有唯一一组解；（2）有无穷多组解；（3）无解时m，n的取值即可．
解：解方程组
由①变形得到 代入②得到 ，
∴ ，（1）当（m-6）≠0，即m≠6，方程有唯一解
将此y的值代入 中，
得：x＝ ，因而原方程组有唯一一组解；
（2）当 ＝0且 ＝0时，即 时，方程有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组
解；
（3）当 ＝0且 ≠0时，即 时，方程无解，因此原方程组无解．
【点拨】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数
的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．
18．（1） 的值是 ；（2）不等式的解集为 ；（3） ；（4）
【分析】（1）根据 ，即可求出 ；
（2）根据 ，得 ，解出 ，即可；
（3）根据 ， ， ，那么方程组的解就是 ，即可求出
的解；
（4）根据 无解，得 ，即可求出 的值．
解：（1）∵∴
∴ 的值是 ．
（2）∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴ 的解集为 ．
（3）∵方程组
∴方程组 中， ， ， ， ， ，
∴
，∴方程组的解为： ．
（4）∵
∴方程组 中， ， ， ， ， ，
∴
∵ 无解
∴
∴
解得 ．
【点拨】本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是理解题意新定义算法，根据二阶行列式计算．
