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专题 8.5 消元——加减法解二元一次方程组（知识梳理与考点分类
讲解）
【知识点一】消元法
1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组
转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知
数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.
2.消元的基本思路：未知数由多变少.
3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.
【知识点二】加减消元法解二元一次方程组
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去
这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．
特别提醒：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数
乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；
(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得
的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．
【知识点三】选择适当的方法解二元一次方程组
解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过
适当练习做到巧妙选择，快速消元．
【考点目录】
【考点1】用加减解二元一次方程组；
【考点2】选择合适方法解二元一次方程组;【考点3】用整体加减法解二元一次方程组；
【考点4】加减法解二元一次方程组综合应用;
【考点1】用加减法解二元一次方程组；
【例1】（2023八年级上·全国·专题练习）用加减法解下列方程组：
（1） （2）
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法步骤是解答的关键．
（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）先去分母整理方程组，再利用加减消元法解二元一次方程组即可．
（1）解：
得： ，
∴ ，
把 代入①得 ，
∴ ，
∴方程组的解是 ；
（2）解：整理得： ，
得： ，
∴ ．把 代入①得： ，
∴ ．
∴方程组的解是 ．
【变式1】（22-23七年级下·广西河池·期末）用加减法解方程 时，下列四种变形中正确
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用加减法解方程组时，要满足方程组中某一个未知数的系数相等或互为相反数，把原方程
变形要根据等式的性质，本题中方程①×3，②×2， 就可把x的系数变成相等的数．
解： ，
×3得： ，
×2得： ，
组成方程组得： ，
故选：D．
【点拨】二元一次方程组的解法有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单，
运用加减法解方程组时，要满足方程组中某一个未知数的系数相等或互为相反数.
【变式2】（23-24八年级下·上海·阶段练习）方程组 的解为 ．
【答案】【分析】
本题考查了解方式方程组，用换元法求解即可．
解：设 ，
则原方程组可化为 ，
，得
，
∴ ，
把代入①，得
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
经检验 符合题意．
故答案为： ．
【考点2】选择合适方法解二元一次方程组；
【例2】（22-23七年级下·重庆南川·期末）典例1：阅读材料：善于思考的小军在解方程组
时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形为 ，即 ，③
把方程①代入③得 ， ，
把 代入①得 ，方程组的解为 ．
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组 ．
（2）已知 ， 满足方程组 ，求整式 的立方根．
【答案】（1） ；（2）立方根为2
【分析】（1）根据题目解题步骤进行求解即可；
（2）应用二元一次方程组中的加减消元法思路进行求解即可；
（1）解：
将方程②变形为 ，即 ③，
把方程①代入③得 ， ，
把 代入①得 ，
∴方程组的解为
（2）
将方程① ②得： ，得 ③
代③入①得 ，
整式 ，
∴整式 的立方根为2．【点拨】本题主要考查二元一次方程组的应用，明确题目所给过程步骤是解题的关键．
【变式1】（22-23七年级下·新疆阿克苏·期末）已知二元一次方程 ，则 的值为
（ ）
A．9 B．18 C．6 D．
【答案】B
【分析】解二元一次不等式组得到 的值，最后代数求值．
解： ，
，
得 ，
故 ，
即方程的解为 ，
将 的值代入 ，
原式 ．
故选B．
【点拨】本题主要考查解二元一次方程组以及代数求值，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的
关键．
【变式2】（2023·山东临沂·二模）已知方程组 ，则 的值是 ．
【答案】3
【分析】此题考查了解二元一次方程组．方程组两方程相加即可求出 的值．
解： ，
① ②得： ，
则 ．
故答案为：3．【考点3】用整体加减法解二元一次方程组；
【例3】（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）按要求解下列二元一次方程组．
（1） （代入法）； （2） （加减法）．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】本题考查解二元一次方程组．
（1）根据方程特点选择代入消元法求解即可；
（2）根据方程特点选择加减消元法求解即可．
（1）解： ，
由①得， ，
将 代入②式得， ，
解得， ，
将 代入①式得， ，
∴原方程组的解为 ；
（2）解： ，
①×2+②×3得， ，解得， ，
将 代入②式得， ，解得， ，
∴原方程组的解为
【变式1】（23-24七年级上·山东滨州·期末）以下解方程组 的步骤正确的是（ ）
A．代入法消去m，由①得 B．代入法消去n，由②得
C．加减法消去n， 得 D．加减法消去m， 得【答案】A
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握代入消元法与加减消元法解方程组是解本题的关
键．利用代入法或加减法逐一分析每个选项即可得到答案．
解：A、代入法消去m，由①得 ，故符合题意；
B、代入法消去n，由②得 ，故不符合题意；
C、加减法消去n， 得 ，故不符合题意；
D、加减法消去m， 得 ，故不符合题意；
故选A．
【变式2】（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）对于解二元一次方程组① ；②
．下面是四位同学的解法，甲：①②均用代入法；乙：①②均用加减法；丙：①用代入法，
②用加减法；丁：①用加减法，②用代入法．其中所用的解法比较简便的是 ．
【答案】丙
【分析】本题考查二元一次方程组的求解，求解过程需要根据不同题目特点选择合适解题方法，变量
之间其中一个已由另一个表示，利用代入法更为便捷；若变量系数相同或为相反数，加减法更为便捷，据
此可得答案．
解：①利用代入消元法解方程组较为简便；
②利用加减消元法解方程组较为简便；
综上，丙所说的方法比较简便；
故答案为：丙．
【考点4】用加减法解二元一次方程组综合运用.
【例4】（22-23七年级下·山西忻州·期末）综合与实践
问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组： ．观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中
的 看成一个整体，把 看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
设 ， ，则原方程组可化为__________，解关于m，n的方程组，得 ，
所以 ，解方程组，得__________．
探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组： ．
拓展延伸：（3）已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，求关于x，y的方程
组 的解．
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）
【分析】（1）根据换元法和加减消元法可得答案；
（2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，
再解方程组可得答案；
（3）将所求方程组变形，然后得出 ，进而可得答案．
解：（1）设 ， ，
则原方程组可化为 ，
解关于m，n的方程组，得 ，所以 ，
解方程组，得 ，
故答案为： ， ；
（2）设 ， ，
则原方程组可化为 ，
解关于m，n的方程组，得 ，
所以 ，
解方程组，得 ；
（3）方程组 可化为 ，
∵关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，
∴ ，
∴ ．【点拨】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法以及换元法的应用是解题的关键．
【变式1】（2024八年级·全国·竞赛）方程组 的解的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查含绝对值的二元一次方程组，分情况讨论，去绝对值后解二元一次方程组即可．
解：分4种情况：
当 ， 时，
方程组变形为 ，
解得 ；
当 ， 时，
方程组变形为 ，无解；
当 ， 时，
方程组变形为 ，无解；
当 ， 时，
方程组变形为 ，
解得 ，与 矛盾，无解；
综上可知，方程组 的解的个数是：1个，
故选A．
【变式2】（21-22七年级下·河北石家庄·阶段练习）根据要求，解答下列问题．
（1）解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：① 的解为 ；
② 的解为 ；
③ 的解为 ．
（2）以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为 ．
【答案】
【分析】（1）观察方程组发现第一个方程x的系数与第二个方程y的系数相等，第一个方程y的系数
与第二个方程x的系数相等，可利用加减消元法解方程．
（2）根据每个方程组的解，得到x与y的关系；
本题考查了解二元一次方程组，找出题目中二元一次方程组及其解的规律是解题的关键．
解：①
得 ，
得 ，
解得 ，
故答案为： ；
②
得 ，
得 ，解得 ，
故答案为： ；
③
得 ，
得 ，
解得 ，
故答案为： ；
（2）以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为 ，
故答案为： ．
