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10.1 二元一次方程组的概念 分层作业
基础训练
1．下列各式中属于二元一次方程的有（ ）
1 1 1
①x﹣2y＝1；②x+ =0；③y﹣z＝4；④xy＝1；⑤5x﹣3y；⑥ − =0．
3 x y
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据二元一次方程的定义进行判断即可．
【解答】解：根据二元一次方程的概念知，①③两个方程是二元一次方程；②是一元一次方程；④
中项的次数是二次，不是一次，不是二元一次方程；⑤不是方程，故不是二元一次方程；⑥是分式
方程；
综上所述，是二元一次方程的有两个，
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，关键掌握含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都
是1的方程叫做二元一次方程．
2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．{x+ y=5) B．
{x−2y=4
)
1 1
xy=6 + =5
x y
{ x−y=1 ) {2x+ y=3)
C． D．
x+3 y=4 x+z=4
【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的
整式方程．
【解答】解：A、第二个方程中的xy是二次的，故该选项错误；
B、该方程组中的第二个方程是分式方程，故该选项错误；
C、该方程组符合二元一次方程组的定义；
D、该方程组中有三个未知数，故该选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的定义一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程
组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．{x=1)
3．若 是关于x、y的二元一次方程ax﹣3y＝1的解，则a的值为（ ）
y=2
A．﹣5 B．﹣1 C．2 D．7
{x=1)
【分析】根据题意得，只要把 代入ax﹣3y＝1中，即可求出a的值．
y=2
{x=1)
【解答】解：把 代入ax﹣3y＝1中，
y=2
∴a﹣3×2＝1，
a＝1+6＝7，
故选：D．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的解，做题的关键是正确了解二元一次方程的解的定义．
4．二元一次方程x﹣2y＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（ ）
A． {
x=0
) B．{x=1) C．{x=1) D．{x=−1)
1
y=− y=1 y=0 y=−1
2
【分析】将x、y的值分别代入x﹣2y中，看结果是否等于1，判断x、y的值是否为方程x﹣2y＝1的
解．
1 1
【解答】解：A、当x＝0，y=− 时，x﹣2y＝0﹣2×（− ）＝1，是方程的解；
2 2
B、当x＝1，y＝1时，x﹣2y＝1﹣2×1＝﹣1，不是方程的解；
C、当x＝1，y＝0时，x﹣2y＝1﹣2×0＝1，是方程的解；
D、当x＝﹣1，y＝﹣1时，x﹣2y＝﹣1﹣2×（﹣1）＝1，是方程的解；
故选：B．
【点评】本题考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把 x，y的值代
入原方程验证二元一次方程的解．
{x=2)
5．已知 是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝7的解，则代数式4m+6n﹣3的值是（ ）
y=3
A．14 B．11 C．7 D．4
{x=2)
【分析】把 代入mx+ny＝7，求出2m+3n的值，再把所求代数式化成含有2m+3n的形式，最后
y=3
整体代入进行计算即可．
{x=2)
【解答】解：把 代入mx+ny＝7得：2m+3n＝7，
y=3∴4m+6n﹣3
＝2（2m+3n）﹣3
＝2×7﹣3
＝14﹣3
＝11，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程解的定义．
6．已知（a﹣2） y＝1是一个二元一次方程，则a的值为（ ）
xa2−3+
A．±2 B．﹣2 C．2 D．无法确定
【分析】根据二元一次方程未知数x的指数为1，系数不为0判断即可．
【解答】解：∵（a﹣2） y＝1是一个二元一次方程，
xa2−3+
∴{a−2≠0)，
a2−3=1
解得：a＝﹣2，
故选：B．
【点评】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：只含有 2个未知
数，且含有未知数的项的次数是1的整式方程．
{x=11)
7．已知二元一次方程x+3y＝14，请写出该方程的一组整数解 （答案不唯一） ．
y=1
【分析】把y看作已知数求出x，确定出整数解即可．
【解答】解：x+3y＝14，
x＝14﹣3y，
当y＝1时，x＝11，
{x=11)
则方程的一组整数解为 ．
y=1
{x=11)
故答案为： （答案不唯一）．
y=1
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
{x=−1)
8．若关于x，y的二元一次方程的一个解是 ，则这个方程可以是 x + y ＝ 0 （答案不唯一） ．
y=1
（写一个即可）{x=−1)
【分析】因此此题可根据二元一次方程的解为 来得出符合条件的二元一次方程即可．
y=1
{x=−1)
【解答】解：可根据二元一次方程的解为 来得出符合条件的二元一次方程可以是：
y=1
x+y＝0（答案不唯一）；
故答案为：x+y＝0（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键．
9．爷爷与孙子下棋，爷爷赢1盘记1分，孙子赢1盘记3分，下了8盘，每盘都分出了胜负，此时两人
得分相等．问他们各赢了多少盘？设爷爷赢了 x 盘，孙子赢了 y 盘，根据题意可列出方程组：
{x+ y=8)
．
x=3 y
【分析】设爷爷赢了x盘，孙子赢了y盘，根据总盘数为8和两人得分相等，列出方程组即可．
{x+ y=8)
【解答】解：设爷爷赢了x盘，孙子赢了y盘，根据题意得： ．
x=3 y
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，寻找此题中的等量关系是解题关键．
{ x=2 )
10．若 是关于x、y的方程3x﹣2y＝2m和5x+y＝3n的公共解，则m+n＝ 7 ．
y=−1
【分析】把x与y的值分别代入已知两个方程中计算求出m与n的值，代入计算即可求出m+n的值．
{ x=2 )
【解答】解：把 分别代入方程3x﹣2y＝2m和5x+y＝3n得：6+2＝2m，10﹣1＝3n，
y=−1
解得：m＝4，n＝3，
则m+n＝4+3＝7．
故答案为：7．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
{ x=3 )
11．已知关于x、y的二元一次方程6x+5y＝a的一组解为 ，求﹣4a的平方根．
y=−5
【分析】将x，y的值代入原方程，可求出a的值，再求﹣4a的平方根即可．
{ x=3 )
【解答】解：将 代入原方程，得6×3+5×（﹣5）＝a，
y=−5
∴a＝﹣7，
∴﹣4a＝﹣4×（﹣7）＝28，
∴﹣4a的平方根是±2❑√7．
【点评】本题考查了二元一次方程的解以及平方根，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知
数的值是解题的关键．12．已知二元一次方程5x+3y＝18．
（1）把方程写成用含x的代数式表示y的形式；
（2）填表，使x、y的值是方程5x+3y＝18的解；
x 0 1 2 3 4
y 6 13 8 1 2
−
3 3 3
（3）根据表格，请直接写出方程的非负整数解．
【分析】（1）要用含x的代数式表示y，就要把方程中含有x的项和常数项移到方程的右边，再把y
的系数化为1即可；
5
（2）将x的值1，3，4分别代入y=− x+6，求出y的值即可；
3
（3）根据表格，直接写出方程的非负整数解即可．
【解答】解：（1）5x+3y＝18，
得3y＝18﹣5x，
5
所以y=− x+6；
3
5 13 2
（2）将x的值1，3，4分别代入y=− x+6中得到y的值分别为： ，1，− ；
3 3 3
∴填表如下：
x 0 1 2 3 4
y 6 13 8 1 2
−
3 3 3
13 2
故答案为： ，1，− ；
3 3
{x=0) {x=3)
（3）由上表可知：方程的非负整数解为： 或 ．
y=6 y=1
【点评】本题考查了二元一次方程的解，以及方程的非负整数解，学会用含一个未知数的代数式表示
另一个未知数是解题的关键．
能力提升
13．如果表中给出的每一对x，y的值都是二元一次方程ax﹣by＝3的解，则表中m的值为（ ）
x 0 1 2 5
y 3 1 ﹣1 m
A．﹣7 B．﹣3 C．0 D．7{x=0) {x=1)
【分析】将 代入ax﹣by＝3中求出b＝﹣1，再把 代入ax+y＝3求出a＝2，再将x＝5代
y=3 y=1
入方程即可求出m．
{x=0)
【解答】解：根据题意可知，把 代入ax﹣by＝3，
y=3
得﹣3b＝3，
解得：b＝﹣1，
则ax+y＝3，
{x=1)
把 代入ax+y＝3，得a+1＝3，
y=1
解得：a＝2，
∴二元一次方程ax﹣by＝3为：2x+y＝3，
将x＝5代入2x+y＝3，得10+y＝3，
解得：y＝﹣7，
即m＝﹣7．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，掌握方程的解的定义是解此题的关键．
14．定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1的整式方程叫做二元一次不定方程．
例：x+2y＝3是二元一次不定方程．
（1）求二元一次不定方程x+2y＝3的正整数解；
（2）若笔记本7元一本，水笔4元一支，乐乐用30元恰好买了若干笔记本和水笔，求笔记本和水笔
的数量．
【分析】（1）由x+2y＝3得x＝3﹣2y，再根据x、y为正整数，可得出方程的解；
（2）设买笔记本x本，买水笔y支，根据金额＝单价×数量，列出方程，再求出方程的正整数解即
可．
【解答】解：（1）∵x+2y＝3，
∴x＝3﹣2y，
∵x、y为正整数，
∴x＝1，y＝1．
（2）设买笔记本x本，买水笔y支，根据题意，得
7x+4y＝30，
30−7x
∴y= ，
4∵x、y为正整数，
∴x＝2，y＝4．
答：买笔记本2本，买水笔4支．
【点评】本题考查二元一次方程的应用，求二元一次方程的正整数解是关键．
15．关于x，y的二元一次方程均可以变形为ax+by＝c的形式，其中a，b，c均为常数且a≠0，b≠0，规
定：方程ax+by＝c的“关联系数”记为（a，b，c）．
（1）二元一次方程4x﹣3y＝5的“关联系数”为 （ 4 ，﹣ 3 ， 5 ） ；
{x=m+n)
（2）已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为（2，﹣1，1），若 为该方程的一组
y=m+5
解，且m，n均为正整数，求m，n的值．
【分析】（1）根据关联系数的定义进行解答即可；
{x=m+n)
（2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为2x﹣y＝1，把 代入，得出m+2n＝6，根据
y=m+5
m、n均为正整数，求出结果即可．
【解答】解：（1）∵a，b，c均为常数且a≠0，b≠0，规定：方程ax+by＝c的“关联系数”记为
（a，b，c），
∴二元一次方程4x﹣3y＝5的“关联系数”为（4，﹣3，5）；
故答案为：（4，﹣3，5）；
（2）∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为（2，﹣1，1），
∴二元一次方程为2x﹣y＝1．
{x=m+n)
∵ 为该方程的一组解，m，n均为正整数，
y=m+5
∴2（m+n）﹣m﹣5＝1，即m+2n＝6．
{m=4) {m=2)
∴ 或 ．
n=1 n=2
【点评】本题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程组的方法．
拔高拓展
16．已知关于x、y的二元一次方程ax+3y+b＝0（a，b均为常数，且a≠0）．
2−x
（1）当a＝1，b＝﹣2时，用含x的代数式表示y为： y= ；
3
{ x=2 )
（2）若 是该二元一次方程的一个解；
y=−b①探索a与b的关系，并说明理由；
②无论a，b取何值，这些方程都有一个公共的解，请求出这个解．
【分析】（1）把a＝1，b＝﹣2代入关于x、y的二元一次方程ax+3y+b＝0得关于x，y的方程，把y
用x表示出来即可；
{ x=2 )
（2）①把 代入关于x、y的二元一次方程ax+3y+b＝0得关于a，b的方程，进行整理即可得
y=−b
到答案；
②把a＝b代入原方程变形，根据无论a，b取何值，这些方程都有一个公共的解，求出所求结果即
可．
【解答】解：（1）把a＝1，b＝﹣2代入关于x、y的二元一次方程ax+3y+b＝0得：
x+3y﹣2＝0，
3y＝2﹣x，
2−x
y= ，
3
2−x
故答案为：y= ；
3
（2）①a＝b，理由如下：
{ x=2 )
把 代入关于x、y的二元一次方程ax+3y+b＝0得：
y=−b
2a﹣3b+b＝0，
2a﹣2b＝0，
2a＝2b，
∴a＝b；
②由①可知：a＝b，
∴原方程化为：ax+3y+a＝0，
a（x+1）+3y＝0，
∵无论a，b取何值，这些方程都有一个公共的解，
∴x+1＝0，3y＝0，解得：x＝﹣1，y＝0，
{x=−1)
∴这个公共解为： ．
y=0
【点评】本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程的解是使方程左右两
边相等的未知数的值．
