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第十章 二元一次方程组含参问题 8 个必考点
【人教版2024】
【必考点1 根据二元一次方程的定义求参】.........................................................................................................1
【必考点2 根据二元一次方程的解求代数式的值】.............................................................................................2
【必考点3 根据二元一次方程固定解求参】.........................................................................................................4
【必考点4 二元一次方程组同解问题】.................................................................................................................6
【必考点5 二元一次方程组解看错问题】.............................................................................................................8
【必考点6 根据二元一次方程组的解满足条件求参】.......................................................................................10
【必考点7 根据二元一次方程组的解的情况求参】...........................................................................................13
【必考点8 根据二元一次方程组的整数解求参】...............................................................................................16
【必考点1 根据二元一次方程的定义求参】
1
【例1】若− x|m−2|+(m−3)y=7是关于x、y的二元一次方程，则m的值为 ．
2
{|m−2|=1)
【分析】根据二元一次方程的定义得出 ，然后求解即可．
m−3≠0
{|m−2|=1)
【解答】解：根据题意得 ，
m−3≠0
解得m＝1，
故答案为：1．
m
【变式1】若mx3m﹣3n﹣nym+2n＝1是关于x、y的二元一次方程，则 = ．
n
【分析】根据二元一次方程的定义可以得到x的次数和y的次数应该都等于1，由此得到关于m，n的方
程组，解方程组就可以得到m，n的值，从而求出题目代数式的值．
【解答】解：根据二元一次方程的定义，得
{3m−3n=1)
，
m+2n=1
5 2
运用代入法解得m= ，n= ，
9 95
m 9 5
即 = = = 2.5．
n 2 2
9
【变式2】若方程（m﹣2）x|m|﹣1+（n+3）yn2−8=6是关于x，y的二元一次方程，则mn＝
．
【分析】根据二元一次方程的定义可得：|m|﹣1＝1，n2﹣8＝1且m﹣2≠0，n+3≠0，求出m、n的值，
进而得到mn的值．
【解答】解：由题意得：|m|﹣1＝1，n2﹣8＝1，
解得：m＝±2，n＝±3，
∵m﹣2≠0，n+3≠0，
解得：m≠2，n≠﹣3，
∴m＝﹣2，n＝3，
则mn＝﹣6，
答案为：﹣6．
【变式3】若（m﹣1）xy+9x+3yn﹣2＝7是关于x，y的二元一次方程，则m＝ ，n＝ ．
【分析】根据二元一次方程的定义即可得到答案．
【解答】解：根据二元一次方程的定义，方程中只含有2个未知数且未知数的次数为1，得
{m−1=0)
，
n−2=1
解得m＝1，n＝3．
故答案为：1，3．
【必考点2 根据二元一次方程的解求代数式的值】
【例1】若 { x=3 ) 是二元一次方程ax+by=− 1 的一个解，则6a﹣4b+2025的值为 ．
y=−2 2
【分析】把 { x=3 ) 代入方程ax+by =− 1 得出3a﹣2b =− 1 ，变形后得出6a﹣4b+2025＝2（3a﹣2b）
y=−2 2 2
+2025，再代入求出答案即可．
{ x=3 ) 1 1
【解答】解：∵把 代入方程ax+by =− ，得3a﹣2b =− ，
y=−2 2 2
∴6a﹣4b+2025
＝2（3a﹣2b）+20251
＝2×（− ）+2025
2
＝﹣1+2025
＝2024．
故答案为：2024．
{x=2a)
【变式1】已知 是二元一次方程2x﹣5y+7＝0的一个解，则代数式9﹣8a+10b的值为 ．
y=b
{x=2a)
【分析】把 代入方程得，4a﹣5b＝7，再根据9﹣8a+10b＝9﹣2（4a﹣5b），进行整体代入求
y=b
解即可．
{x=2a) {x=2a)
【解答】解：∵ 是二元一次方程2x﹣5y+7＝0的一个解，把
y=b y=b
代入得，4a﹣5b+7＝0，即4a﹣5b＝﹣7，
∴9﹣8a+10b＝9﹣2（4a﹣5b）＝9﹣2×（﹣7）＝23，
故答案为：23．
1 3
【变式2】已知x＝2，y＝﹣1是关于x、y的二元一次方程ax+by＝1的一组解，则 b−a+ = ．
2 2
1 1
【分析】将x＝2，y＝﹣1代入ax+by＝1，得，2a﹣b＝1，等式两边同除2，可得 b﹣a=− ，即得
2 2
1 3
b−a+ 的值．
2 2
【解答】解：将x＝2，y＝﹣1代入ax+by＝1，
得，2a﹣b＝1，
1 1
∴ b﹣a =− ，
2 2
1 3
∴ b−a+ = 1，
2 2
故答案为：1．
【变式3】已知 { x=2 ) 是二元一次方程ax+by＝1的一组解，则 5 b−5a+ 3 = ．
y=−1 2 2
{ x=2 )
【分析】把 代入二元一次方程 ax+by＝1得关于 a，b的等式，利用等式的基本性质求出
y=−1
5
b−5a的值，再整体代入求值即可．
2{ x=2 )
【解答】解：把 代入二元一次方程ax+by＝1得：2a﹣b＝1，
y=−1
∴b﹣2a＝﹣1，
5b﹣10a＝﹣5，
5b 10a 5
− =− ，
2 2 2
5b 5
−5a=− ，
2 2
5 3
∴ b−5b+
2 2
5 3
=− +
2 2
＝﹣1．
【必考点3 根据二元一次方程固定解求参】
【例1】已知关于x，y的二元一次方程（3x﹣2y+9）+m（2x+y﹣1）＝0，不论m取何值，方程总有一个固
定不变的解，这个解是 ．
【分析】该方程变形为（3+2m）x+（m﹣2）y＝m﹣9，再分别令3+2m＝0和m﹣2＝0时求解方程即
可．
【解答】解：该方程变形为（3+2m）x+（m﹣2）y＝m﹣9，
3
当3+2m＝0时，解得m=− ，
2
3 3 3
将m=− 代入方程得，0×x+（− −2）y=− −9，
2 2 2
解得y＝3；
当m﹣2＝0时，解得m＝2，
将m＝2代入方程得，（3+2×2）x+0×y＝2﹣9，
解得x＝﹣1，
{x=−1)
∴不论m取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是 ，
y=3
{x=−1)
故答案为： ．
y=3
【变式1】若关于x、y的二元一次方程（m+1）x+（2m﹣1）y+1﹣5m＝0无论实数m取何值，此二元一次
方程都有一组相同的解，则这个解是 ．
【分析】根据二元一次方程解的定义，以及“无论实数 m取何值，此二元一次方程都有一组相同的解”的意义进行解答即可．
【解答】解：关于x、y的二元一次方程（m+1）x+（2m﹣1）y+1﹣5m＝0，
即（m+1）x+（2m﹣1）y＝5m﹣1，
由于无论实数m取何值，此二元一次方程都有一组相同的解，而当x＝1，y＝2时，左边＝m+1+2（2m
﹣1）＝5m﹣1＝右边，
{x=1)
所以这个解为 ，
y=2
{x=1)
故答案为： ．
y=2
【变式2】已知关于x，y的方程（m﹣2）x+（m﹣1）y＝3m+a，不论m是怎样的常数，总有一组解为
{x=2)
(其中a，b是常数），则a的值为 ．
y=b
【分析】令m＝1，可得出原方程为﹣x＝3+a（y值未知，想法消去y值），再代入x＝2，即可求出a
值．
【解答】解：∵关于x，y的方程（m﹣2）x+（m﹣1）y＝3m+a，不论m是怎样的常数，总有一组解为
{x=2)
(其中a，b是常数），
y=b
∴令m＝1，则原方程为﹣x＝3+a，
∴﹣2＝3+a，
∴a＝﹣5，
∴a的值为﹣5．
故答案为：﹣5．
m x
【变式3】关于x，y的方程mx+ny＝m﹣2n，其中m，n是常数．若 =2，则 的值是 ．不论m，n
n y
取何值，该方程始终成立，则x﹣y的值是 ．
m x
【分析】先得（x﹣1）m＝（﹣2﹣y）n，结合 =2，得y＝﹣2x，再代入 ，因为不论m，n取何值，
n y
该方程始终成立，即令它们前的系数为0，进行列式计算，即可作答．
【解答】解：（1）∵mx+ny＝m﹣2n，
∴mx﹣m＝﹣2n﹣ny，
则（x﹣1）m＝（﹣2﹣y）n，m
∵ =2，
n
m −2−y
则 = =2，
n x−1
得y＝﹣2x，
x x 1
则 = =− ；
y −2x 2
（2）∵不论m，n取何值，该方程始终成立，且由（1）知（x﹣1）m＝（﹣2﹣y）n，
∴x﹣1＝0，﹣2﹣y＝0，
解得x＝1，y＝﹣2，
则x﹣y＝1+2＝3，
1
故答案为：− ，3．
2
【必考点4 二元一次方程组同解问题】
{ 2x+ y=5 ) { x−y=1 )
【例1】已知关于x、y的方程组 与 有相同的解，则a和b的值为（ ）
ax+3 y=−1 4x+by=11
{ a=2 ) { a=4 ) {a=−2) {a=−4)
A． B． C． D．
b=−3 b=−6 b=3 b=6
【分析】利用方程组的解的定义，x、y满足4个方程，则先解2x+y＝5和x﹣y＝1组成的方程组，再把
x、y代入另外两个方程得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b的值．
{2x+ y=5) {x=2)
【解答】解：解方程组 得 ，
x−y=1 y=1
{x=2) {ax+3 y=−1) {2a+3=−1)
把 代入 得 ，
y=1 4x+by=11 8+b=11
{a=−2)
解得 ．
b=3
故选：C．
{3x+4 y=2
)
{a
x+by=4)
【变式1】若方程组 b 与 3 有相同的解，则a、b的值为（ ）
ax− y=5
2 2x−y=5
A．2，﹣3 B．2，﹣1 C．3，﹣2 D．﹣1，2
【分析】根据方程组解的意义求解．
{3x+4 y=2) { x=2 )
【解答】解：解方程组 得： ，
2x−y=5 y=−1b
{2a+ =5)
2
∴ ，
2
a−b=4
3
{ a=3 )
解得： ，
b=−2
故选：C．
{5x−2y=3) {x−4 y=−3)
【变式2】已知关于x，y的方程值 与关于x，y的方程组 的解相同，则m+n的
mx+5 y=4 5x+ny=1
值为 ．
{5x−2y=3)
【分析】首先解方程组 ，即可求得方程组的解，然后把方程组的解代入含有m，n的两
x−4 y=−3
个方程，即可求解出m，n的值，最后计算m+n值即可．
{5x−2y=3)
【解答】解：解方程组 ，
x−4 y=−3
{x=1)
得 ，
y=1
{x=1)
把 代入方程mx+5y＝4得m+5＝4，
y=1
解得m＝﹣1，
{x=1)
把 代入方程5x+ny＝1得5+n＝1，
y=1
解得n＝﹣4，
∴m+n＝﹣5．
故答案为：﹣5．
{3x−5 y=36) {2x+5 y=−26)
【变式3】已知关于x，y的二元一次方程组 与方程组 有相同的解．
bx+ay=−8 ax−by=−4
（1）求这两个方程组的相同解；
（2）求（2a+b）2025的值．
【分析】（1）将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出方程组的解即可；
（2）把两个含参方程组成方程组，将方程组的解代入，再解方程组求出参数的值，进而求出代数式的
值即可．
{2x+5 y=−26①)
【解答】解：（1）由题意得： ，
3x−5 y=36②①+②得：5x＝10，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：4+5y＝﹣26，
解得：y＝﹣6，
{ x=2 )
原方程组的解为： ；
y=−6
{ x=2 ) {ax−by=−4) {2a+6b=−4)
（2）把 代入 中可得： ，
y=−6 bx+ay=−8 2b−6a=−8
{a+3b=−2①)
化简得： ，
b−3a=−4②
①×3得：3a+9b＝﹣6③，
②+③得：10b＝﹣10，
解得：b＝﹣1，
把b＝﹣1代入②得：﹣1﹣3a＝﹣4，
解得：a＝1，
∴原式＝（2×1﹣1）2025
＝12025
＝1．
【必考点5 二元一次方程组解看错问题】
{ax+5 y=15①)
【例1】甲乙两人共同解方程组 ，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为
4x−by=−2②
{x=−3)
；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为
{x=5)
；计算a2024+(−
1
b)
2025
= ．
y=−1 y=4 10
【分析】根据题意建立关于a，b的方程，求出a，b的值即可解决问题．
【解答】解：由题知，
{x=−3)
将 代入4x﹣by＝﹣2得，
y=−1
﹣12+b＝﹣2，
解得b＝10．
{x=5)
将 代入ax+5y＝15得，
y=4
5a+20＝15，
解得a＝﹣1，1
所以a2024+(−
)
2025=（﹣1）2024+（﹣1）2025＝0．
10
故答案为：0．
{ mx+ y=5① )
【变式1】小米、大豆两人同时解方程组 ，小米一边做作业一边看电视，不小心看错了
2x−ny=13②
{ x= 7 ) { x=3 )
①中的m，解得 2 ，大豆一边做作业一边吃零食，一走眼，看错了②中的n，解得 ．
y=−7
y=−2
求原方程组的解．
【分析】将 { x= 7 2 ) 代入2x﹣ny＝13得2× 7 +2n=13，解得n＝3；将 { x=3 ) 代入mx+y＝5得3m﹣
2 y=−7
y=−2
{ 4x+ y① )
7＝5，解得m＝4，即原方程组为 ，然后利用加减消元法解方程组即可．
2x−3 y=13②
{ x= 7 ) 7
【解答】解：将 2 代入2x﹣ny＝13得2× +2n=13，
2
y=−2
解得n＝3；
{ x=3 )
将 代入mx+y＝5得3m﹣7＝5，
y=−7
解得m＝4，
{ 4x+ y① )
∴原方程组为 ，
2x−3 y=13②
①×3+②得14x＝28，
解得x＝2，
将x＝2代入①得4×2+y＝5，
解得y＝﹣3，
{ x=2 )
∴ ．
y=−3
{ mx+ y=5① ) { x= 7 )
【变式2】甲、乙两人同时解方程组 ，甲解题看错了①中的m，解得 2 ，乙解题
2x−ny=13②
y=−2
{ x=3 )
时看错②中的n，解得 ．
y=−7（1）求m，n的值；
（2）求原方程组的解．
【分析】（1）把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值；
（2）把m与n的值代入方程组求解即可得到答案．
{ x= 7 )
【解答】解：（1）把 2 代入②得：7+2n＝13，
y=−2
解得：n＝3，
{ x=3 )
把 代入①得：3m﹣7＝5，
y=−7
解得：m＝4，
∴m＝4，n＝3；
{ 4x+ y=5① )
（2）把m＝4，n＝3代入方程组得： ，
2x−3 y=13②
①×3+②得：14x＝28，即x＝2，
把x＝2代入①得：y＝﹣3，
{ x=2 )
则方程组的解为 ．
y=−3
{■x+■y=2) { x=3 )
【变式3】一个被墨水污染的方程组如下： ，小刚回忆说：这个方程组的解是 ，而
■x−7 y=8 y=−2
{x=−2)
我求出的解是 ，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根
y=2
据小刚的回忆，把方程组复原出来．
{ax+by=2
)
【分析】设方程组为 ，而两个解都是第一个方程的解，将两个解代入到第一个方程中得
mx−7 y=8
{ x=3 )
到关于a、b的二元一次方程组求出a和b，再将 代入第二方程得到m的值，即可得出答案．
y=−2
{ax+by=2
)
【解答】解：设被滴上墨水的方程组为 ，
mx−7 y=8
{ x=3 ) {x=−2)
由小刚所说，知 和 都是原方程组中第一个方程ax+by＝2的解，
y=−2 y=2
{3a−2b=2
)
则有 ，
−2a+2b=2{a=4)
解之，得 ．
b=5
{ x=3 )
又因方程组的解是 ，
y=−2
所以3m+14＝8，
m＝﹣2．
{ 4x+5 y=2 )
故所求方程组为 ．
−2x−7 y=8
【必考点6 根据二元一次方程组的解满足条件求参】
{3x−2y=k−3)
【例1】若关于x，y的方程组 的解满足x+y＝2024，则k等于（ ）
x+6 y=3k−1
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【分析】先利用加减消元法求得x、y的值，再代入x+y＝2024，求解即可．
{3x−2y=k−3①)
【解答】解： ，
x+6 y=3k−1②
由3×①+②得，10x＝6k﹣10，
3
解得x= k−1，
5
3 3
把x= k−1代入②得， k−1+6 y=3k−1，
5 5
2
解得y= k，
5
∵方程组的解满足x+y＝2024，
3 2
∴ k−1+ k=2024，
5 5
解得k＝2025．
故选：D．
{ 2x+3 y=k )
【例2】已知关于x，y的方程组 的解满足x+y＝k﹣1，则k＝（ ）
3x+2y=k+1
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【分析】根据二元一次方程组的解法得到5x+5y＝2k+1，再将x+y＝k﹣1代入得到关于k的方程，求出
方程的解即可．
{ 2x+3 y=k① )
【解答】解： ，
3x+2y=k+1②①+②得，5x+5y＝2k+1，
即5（x+y）＝2k+1，
∵x+y＝k﹣1，
∴5（k﹣1）＝2k+1，
解得k＝2．
故选：D．
{ 4x+9 y=15 )
【变式1】已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足3x+15y＝16+2a，则a的值是
x+3 y=2−2a
．
【分析】先解二元一次方程组，用含a的式子表示方程组的解，然后代入方程3x+15y＝16+2a中即可求
出a的值．
{ 4x+9 y=15① )
【解答】解： ，
x+3 y=2−2a②
②×3，得3x+9y＝6﹣6a③，
①﹣③，得x＝9+6a，
8a+7
把x＝9+6a代入②，得y=− ，
3
{
x=9+6a
)
所以方程组的解是 8a+7 ，
y=−
3
{
x=9+6a
)
把 8a+7 代入3x+15y＝16+2a中，得
y=−
3
8a+7
3（9+6a）+15×(− )=16+2a，
3
解得a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
{3x+4 y=4m+3)
【变式2】如果关于x，y的二元一次方程组 的解满足方程5x﹣2y＝3m+10，则m的值
11x+6 y=4
为 ．
{3x+4 y=4m+3)
【分析】根据关于x，y的二元一次方程组 的解满足方程5x﹣2y＝3m+10，列出含有
11x+6 y=4
字母参数m的字母系数方程组，解方程组，求出x，y，再把x，y代入11x+6y＝4，得到关于m的一元
一次方程，解方程求出m即可．{3x+4 y=4m+3)
【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组 的解满足方程5x﹣2y＝3m+10，
11x+6 y=4
{3x+4 y=4m+3①)
∴ ，
5x−2y=3m+10②
②×2得：10x﹣4y＝6m+20③，
①+③得：13x＝10m+23，
10m+23
x= ，
13
10m+23 11m−15
把x= 代入①得：y= ，
13 26
10m+23 11m−15
把x= 和y= 代入11x+6y＝4得：
13 26
10m+23 11m−15
11× +6× =4，
13 26
110m+253 33m−45
+ =4，
13 13
143m+208
=4，
13
143m+208＝52，
143m＝﹣156，
156 12
m=− =− ，
143 11
12
故答案为：− ．
11
{3x−4 y=5−k)
【变式3】关于x，y的二元一次方程组 的解满足x﹣3y＝10+k，则k的值是 ．
2x−y=2k+3
{3x−4 y=5−k①)
【分析】关于x，y的二元一次方程组 的第①个方程减去第②个方程，可得x﹣3y
2x−y=2k+3②
＝2﹣3k，然后根据方程组的解满足x﹣3y＝10+k，可得2﹣3k＝10+k，据此求出k的值即可．
{3x−4 y=5−k①)
【解答】解： ，
2x−y=2k+3②
①﹣②，可得x﹣3y＝2﹣3k，
{3x−4 y=5−k)
∵关于x，y的二元一次方程组 的解满足x﹣3y＝10+k，
2x−y=2k+3
∴2﹣3k＝10+k，解得k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【必考点7 根据二元一次方程组的解的情况求参】
{x+2ay=3−a)
{x=−1
)
【例1】对于二元一次方程组 ，①当a＝2时，方程组的解是 1 ，②当a＝3时，
−ax−2y=1 y=
2
1
x+2y= ；③若该方程组无解，则a＝±1，以上结论中正确的个数有（ ）
2
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】①把a＝2代入方程组，求解方程组即可；
②把a＝3代入方程组，求解方程组即可；
③先消去x，得到关于y的一元一次方程，再根据一元一次方程的一次项系数和常数项判断方程组是否
有解．
{ x+4 y=1 )
【解答】解：①当a＝2时，方程组为 ，
−2x−2y=1
{x=−1
)
解得： 1 ，
y=
2
故①正确；
{ x+6 y=0 )
②当a＝3时，方程组为 ，
−3x−2y=1
两式相加得：﹣2x+4y＝1，
1
∴﹣x+2y= ，
2
故②错误；
③由第一个方程得：x＝3﹣a﹣2ay，
代入第二个方程得：﹣a（3﹣a﹣2ay）﹣2y＝1，
化简得：2（a2﹣1）y＝﹣a2+3a+1，
当a＝±1时，2（a2﹣1）y＝0，﹣a2+3a+1≠0，所以该方程组无解，
故③正确；
故选：C．
{ x−by=1 )
【变式1】关于x、y的二元一次方程组 ，则下列说法中正确的是（ ）
ax+3 y=27
{x= )
5 3
①当a＝1，b＝2时，该方程组的解是 ；②当ab＝﹣3时，该方程组无解；③当a＝2，b=−
1 2
y=
5
时，该方程组有无数个解；④当ab≠﹣3时，该方程组有唯一解．
A．②④ B．①③ C．①②④ D．①③④
【分析】①代入a，b的值，解出方程组即可；
②③④先消去x，得到关于y的一元一次方程，再根据一元一次方程的一次项系数和常数项判断是否
有解．
{x−2y=1①)
【解答】解：①当a＝1，b＝2时，得 ，
x+3 y=2②
②﹣①得5y＝1，
1
∴y= ，
5
1 7
把y= 代入①，得x= ．
5 5
7
{x= )
5
所以当a＝1，b＝2时，该方程组的解是 ，
1
y=
5
故①正确；
{ x−by=1①)
② ，
ax+3 y=2②
②﹣①×a得（3+ab）y＝2﹣a
当ab＝﹣3，a≠2时，0＝2﹣a，此方程无解，
当ab＝﹣3，a＝2时，0＝0，此方程有无数个解，
故②不正确，
3
③当a＝2，b=− 时，
2
由②知，0＝0，此方程有无数个解，即方程组有无数个解，故③正确；
④当ab≠﹣3时，（3+ab）y＝2﹣a有唯一解，所以原方程组有唯一解，故④正确．
故选：D．{ x+ay+1=0 )
【变式2】关于x，y的方程组 有无数组解，则a+b的值为 ．
bx+2y+1=0
【分析】根据题意可知方程x+ay+1＝0和方程bx+2y+1＝0是同一个方程，据此求解a、b的值即可得到
答案．
{ x+ay+1=0 )
【解答】解：∵关于x，y的方程组 有无数组解，
bx+2y+1=0
∴方程x+ay+1＝0和方程bx+2y+1＝0是同一个方程，
{a=2)
∴ ，
b=1
∴a+b＝1+2＝3．
故答案为：3．
{ax+2y=3)
【变式3】关于x，y的二元一次方程组 ，下列说法正确的是 ．
2x−by=4
7
{ x= )
4
①当a＝b＝2时，方程组的解为 ．
1
y=−
4
②当a＝b＝0时，方程组无解．
③当a≠0时，b无论为何值，方程组均有解．
a 2
④当 ≠− 时，方程组有解．
2 b
【分析】根据解二元一次方程组的知识，进行求解即可．
{2x+2y=3①)
【解答】解：①当a＝b＝2时，二元一次方程组为 ，
2x−2y=4②
①+②，得
4x＝7，
7
解得x= ，
4
7
把x= 代入①式，得
4
7
2× +2y=3，
4
1
解得y=− ，
47
{ x= )
4
∴当a＝b＝2时，方程组的解为 ．
1
y=−
4
故①正确；
{2y=3)
②当a＝b＝0时，二元一次方程组为 ，
2x=4
{x=2
)
解得 3 ，
y=
2
{x=2
)
∴当a＝b＝0时，方程组的解为 3 ．
y=
2
故②错误；
③∵ax+2y＝3，
a 3
∴y=− x+ ，
2 2
a 3 3b+8
把y=− x+ 代入2x﹣by＝4中，得x= ，
2 2 4+ab
12−8a
∴y=
，
2(4+ab)
若4+ab＝0，即ab＝﹣4时，方程组无解，
故③错误；
a 2
④当 ≠− ，
2 b
∴ab≠﹣4，
3b+8
{ x= )
4+ab
∴在 中，x，y有意义，
12−8a
y=
2(4+ab)
a 2 {ax+2y=3)
∴当 ≠− 时，二元一次方程组 有解，
2 b 2x−by=4
故④正确，
∴正确的为：①④．故答案为：①④．
【必考点8 根据二元一次方程组的整数解求参】
{mx−2y=9)
【例1】若关于x，y的方程组 的解为整数，则满足条件的所有整数m的和为 ．
3x−2y=5
【分析】由方程组
{mx−2y=9①)
，①﹣②得x =
4
，再根据x，y都是整数，可得4是（m﹣3）
3x−2y=5② m−3
的倍数，由此得出m﹣3＝±1或±2或±4，然后分情况进行分析，分别求出x，y，m的值，找出符合题意
的m值即可得出答案．
{mx−2y=9①)
【解答】解：对于方程 ，
3x−2y=5②
①﹣②得：（m﹣3）x＝4，
4
∴x= ，
m−3
∵x，y为整数，
∴4是（m﹣3）的倍数，
∴m﹣3＝±1或±2或±4，
4
当m﹣3＝1时，m＝4，x= =4，
4−3
把x＝4代入②，得3×4﹣2y＝5，
7
解得：y= （舍去）；
2
4
当m﹣3＝﹣1时，m＝2，x= =−4，
2−3
把x＝﹣4代入②，得3×（﹣4）﹣2y＝5，
17
解得：y=− （舍去）；
2
4
当m﹣3＝2时，m＝5，x= =2，
5−3
把x＝2代入②，得3×2﹣2y＝5，
1
解得：y= （舍去）；
2
4
当m﹣3＝﹣2时，m＝1，x= =−2，
1−3
把x＝﹣2代入②，得3×（﹣2）﹣2y＝5，11
解得：y=− （舍去）；
2
4
当m﹣3＝4时，m＝7，x= =1，
7−3
把x＝1代入②，得3×1﹣2y＝5，
解得：y＝﹣1，
{ x=1 )
∴方程组的解为 ；
y=−1
4
当m﹣3＝﹣4时，m＝﹣1，x= =−1，
−1−3
把x＝﹣1代入②，得3×（﹣1）﹣2y＝5，
解得：y＝﹣4，
{x=−1)
∴方程组的解为 ．
y=−4
{mx−2y=9)
综上所述，当m＝7或﹣1时，方程组 是解是整数，
3x−2y=5
∴7+（﹣1）＝7﹣1＝6．
故答案为：6．
{ x+2y−6=0 )
【变式1】已知关于x，y的方程组
x−2y+mx+5=0
（1）若方程组的解满足x+y＝0，则m＝ ．
（2）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，m＝ ．
{ x+2y−6=0 )
【分析】（1）根据x+y＝0可得x＝﹣y，代入 求解即可；
x−2y+mx+5=0
1
（2）利用加减消元法解关于x、y的方程组得到x= ，利用有理数的整除性得到2+m＝±1，从而得
2+m
到满足条件的m的值．
【解答】解：（1）∵x+y＝0，
{ x+2y−6=0 )
∴x＝﹣y，代入 ，
x−2y+mx+5=0
{ −y+2y−6=0 )
得 ，
−y−2y+m⋅(−y)+5=0
{
y=6
)
解得 13 ，
m=−
613
故答案为：− ；
6
{ x+2y−6=0① )
（2） ，
x−2y+mx+5=0②
①+②得（2+m）x＝1，
1
解得：x= ，
2+m
∵x为整数，m也为整数，
∴2+m＝±1，
∴m＝﹣1或﹣3，
故答案为：﹣1或﹣3．
{ mx+ y=3 )
【变式2】若关于x，y的二元一次方程组 的解是整数，则满足条件的整数m的和是
5x+3 y=15
．
【分析】解方程组，将x和y用m表示出来，根据x、y和m均为整数，确定m的值，从而求出符合条
件的m的和．
{ mx+ y=3① )
【解答】解： ，
5x+3 y=15②
由①，得y＝3﹣mx③，
6
将③代入②，得x= ④，
5−3m
15(1−m) 5(5−3m)−10 10
将④代入③，得y= = =5− ．
5−3m 5−3m 5−3m
∵x，y和m均为整数，
∴5﹣3m＝±1，±2．
4
当5﹣3m＝1时，m= （舍去）；
3
当5﹣3m＝﹣1时，m＝2；
当5﹣3m＝2时，m＝1；
7
当5﹣3m＝﹣2时，m= （舍去）；
3
综上，m＝1或2．
∵1+2＝3，
∴满足条件的整数m的和是3．故答案为：3．
{nx+(n+1)y=n+2)
【变式3】已知关于x，y的方程组 （n是常数）．
x−2y+mx=−5
{ x+2y=3 )
（1）当n＝1时，则方程组可化为 ．
x−2y+mx=−5
①请直接写出方程x+2y＝3的所有非负整数解．
②若该方程组的解也满足方程x+y＝2，求m的值．
（2）当n＝3时，如果方程组有整数解，求整数m的值．
【分析】（1）①根据x，y为非负整数即可求出方程x+2y＝3的所有非负整数解；
{x+2y=3)
②先解二元一次方程组 ，然后把x、y的值代入方程x﹣2y+mx＝﹣5中即可求出m的值；
x+ y=2
（2）把n＝3代入到原方程组，通过消元得到（5+2m）x＝﹣5，再根据方程组有整数解，且m为整
数，分情况求解即可．
【解答】解：（1）①∵x，y为非负整数，
{x=1) {x=3)
∴方程x+2y＝3的所有非负整数解为 ， ；
y=1 y=0
{x+2y=3①)
②根据题意得 ，
x+ y=2②
①﹣②得，y＝1，
把y＝1代入②得，x＝1，
{x=1)
∴方程组的解是 ，
y=1
{x=1)
将 代入x﹣2y+mx＝﹣5中，得m＝﹣4；
y=1
{ 3x+4 y=5① )
（2）当n＝3时，原方程组可化为 ，
x−2y+mx=−5②
②×2得，2x﹣4y+2mx＝﹣10③，
①+③得，5x+2mx＝﹣5，
整理得，（5+2m）x＝﹣5，
∵方程组有整数解，且m为整数，
∴5+2m＝±1或5+2m＝±5，
{x=−5)
当5+2m＝1时，m＝﹣2，此时方程组的解是 ；
y=5{
x=5
)
当5+2m＝﹣1时，m＝﹣3，此时方程组的解是 5 （舍去）；
y=−
2
{x=−1)
当5+2m＝5时，m＝0，此时方程组的解是 ；
y=2
{x=1
)
当5+2m＝﹣5时，m＝﹣5，此时方程组的解是 1 （舍去）；
y=
2
综上，整数m的值为﹣2或0．
{ax+2y=a+1)
【变式4】已知关于x，y的方程组 ，其中a，b为整数．
2x+2by=3
（1）若方程组有无穷多组解，求实数a与b的值；
（2）当b＝a﹣1时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由．
【分析】（1）先把①中y的值代入②，使方程变为只含x的一元一次方程，根据x的系数讨论方程组
有无穷多组解时a的取值即可；
（2）要分类讨论，即2﹣a＝0和2﹣a≠0，再结合整数解的问题，进一步分析作答．
{ax+2y=a+1①，)
【解答】解：（1）依题意，
2x+2by②，
由①得，2y＝（1+a）﹣ax，③
将③代入②得2x+[（1+a）﹣ax]b＝3，
整理得出（2﹣ab）x＝3﹣b﹣ab，④
∵方程组有无穷多组解，
∴2﹣ab＝0且3﹣b﹣ab＝0时，
即ab＝2，则3﹣b﹣2＝0，
∴b＝1，a＝2
（2）解：没有，理由如下：
由（1）得（2﹣ab）x＝3﹣b﹣ab，
∵b＝a﹣1，
∴[2﹣a（a﹣1）]x＝3﹣（a﹣1）﹣a（a﹣1），
整理得（2﹣a）（a+1）x＝（2﹣a）（2+a），
①当2﹣a＝0时，即a＝2，b＝a﹣1＝1，
{ax+2y=a+1①，)
∵
2x+2by②，{2x+2y=2+1，)
∴此时方程组为
2x+2y=3，
则x+y＝1.5，
∵x，y为整数，
∴原方程没有整数解，
②当2﹣a≠0时，即a≠2，此时（a+1）x＝（2+a），
若a+1＝0时，（a+1）x＝（2+a）显然无解，
2+a 1
若a+1≠0时，x= ，代入ax+2y＝a+1得y= ，
1+a 2(1+a)
∵a为整数，
1
∴y= 不可能为整数，
2(1+a)
∴原方程无整数解；
综上：原方程没有整数解．
