文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（江苏专用）
黄金卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．若集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为集合 ，集合 ，
所以 .
故选：C
2．已知复数 （ ，i为虚数单位），则 的最大值为（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
【答案】D
【解析】由题意得
，
当 时，等号成立，故 ，
故选：D.
3．已知双曲线 的离心率为 ，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设双曲线 的半焦距为 ，
因为双曲线 的离心率为 ，所以 ，解得 ，
由 ，得 ，
所以 ，
所以渐近线方程为 ，
所以两条渐近线的倾斜角分别为 和 ，
因 为，
所以，两条渐近线所夹的锐角为 ；
即双曲线的两条渐近线的夹角为 .
故选：C.
4．星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减．已知一星载激光通信系统在近海水下某深度的能
量估算公式为 ，其中E 是激光器输出的单脉冲能量，E 是水下潜艇接收到的光脉冲能量，
P r
S为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积（单位：km2，光斑面积与卫星高度有关）．若水下潜艇光学天线接
收到信号能量衰减T满足 （单位：dB）．当卫星达到一定高度时，该激光器光脉冲在潜艇接
收平面的光斑面积为75km2，则此时Γ大小约为（ ）（参考数据：1g2≈0.301）
A. －76.02 B. －83.98 C. －93.01 D. －96.02
【答案】B
【解析】因为 ，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75km2，
所以 ，则 ，
故选：B．
5．已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】：
，
将 代入 得 ，
故选:D．
6．已知 ，则 （ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】由 ，
则 ，得 ，
令 ，得 ，
左右两边除以 ，得 ，
所以 ．
故选：D．
7．已知椭圆 ， 为其左焦点，直线 与椭圆 交于点 ， ，且
．若 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】设椭圆的右焦点为 ，连接 ， ，故四边形 为平行四边形，
设 ， ，则 ， ，
， ，
中， ，
整理得到 ，即 ，故 .
故选：A
8 ． 已 知 等 比 数 列 的 前 项 和 为 ， ， 则 使 得 不 等 式
成立的正整数 的最大值为（ ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】C
【解析】已知 ，
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
因为数列 是等比数列，所以 ，即 ，
整理得 ，解得 ， ，公比 ，
所以 .
由不等式 得
，即 ，整理得 ，又 ，
所以 ，即 ， .
所以正整数 的最大值为11.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．随机抽取6位影迷对电影《长津湖》的评分，得到一组样本数据如下： ，则下列关
于该样本的说法中正确的有（ ）
A. 均值为95 B. 极差为6
C. 方差为26 D. 第80百分位数为97
【答案】ABD
【解析】由题意得 的平均值为 ，A正确；
极差为 ，B正确；
方差为 ，C错误；
由于 ，故第80百分位数为第5个数，即97，D正确，
故选：ABD
10．如图，在三棱柱 中， 是边长为2的正三角形， ，
，P，Q分别为棱 ，BC的中点，则（ ）
A. 平面 B. 平面 平面
C. 三棱柱 的侧面积为 D. 三棱锥 的体积为
【答案】BD【解析】记AC中点为D，连接 ，记 交点为E，连接EQ，
则 ， 四点共面，
因为P，D分别为 的中点，所以E为 的重心，即E为PC的三等分点，
又Q为BC中点，所以 不平行，
因为 平面PBC，平面 平面 ，
所以由线面平行性质定理可知 与平面 不平行，A错误；
连接 ，因为
所以
因为Q为BC中点，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ，B正确；
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以四边形 为矩形，面积为 ，
又因为 ，
所以三棱柱 的侧面积为 ，C错误；
记 的中点为H，连接 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，所以点P，A到平面 的距离相等， 四点共面，
又 ，Q为BC中点，
所以
因为 平面 ， 平面 ，所以BQ三棱锥 的高，且 因为
，
所以
所以 ，所以
所以 ，故D正确.
故选：BD
11．1807年法国数学家傅里叶指出任何音乐声都是形如 的纯音合成的复合音.若一个复
合音的数学模型是函数 ，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线 对称
C. 在区间 上单调递增
D. 当 时， 最小值为0，则
【答案】BD
【解析】由题意，函数 ，
对于选项A，因为 ，
所以 不是函数 的最小正周期，故选项A错误；对于选项B，因 为 ，
，
所以直线 是函数 的一条对称轴，故选项B正确；
对于选项C，因为 ，
当 ， 单调递增，且 ，
因为当 时，函数 单调递增，
当 时，函数 单调递减，
由复合函数的单调性可知：函数 在区间 先增后减，故选项C错误；
对于选项D，由选项C可知，当 时，函数 单调递增，
当 时，函数 单调递减，
当 时，函数 ，当 时，函数 ，当 时，
函数 ，
因为 时， 时， ，
由复合函数的单调性可知：当 时， 最小值为0，则 ，
故选项D正确，
故选：BD.
12．设函数 为 上的奇函数， 为 的导函数， ，，则下列说法中一定正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】因为函数 为 上的奇函数，所以 ，因为 ，
，所以当 得 ，所以 ，故A正确；
又 ，可得 ，则
，
所以函数 关于直线 对称，故 的值无法确定，故B不正确；
因为 ，则 ①，所以 关于 轴对称，
又 ，所以 ，即 ，
所以 关于点 对称，则 ②，
由①②得 ，所以 ，则 ，
故 的周期为6，由②可得 ，即 ，所以 ，故
C正确；
由②得 ，所以 ，
则 ，故D正
确.
故选：ACD.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某校1000名学生参加数学文化知识竞赛，每名学生的成绩 ，成绩不低于90分为优秀，
依此估计优秀的学生人数为____________（结果填整数）.附：若 ，则 ， .
【答案】23
【解析】由每名学生的成绩 ，得 ，
则
，
则优秀的学生人数为 .
故答案为：23.
14．已知 ， 则 ____________.
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为： .
15．直角三角形 中，斜边 长为2，绕直角边 所在直线旋转一周形成一个几何体．若该几何体
外接球表面积为 ，则 长为____________【答案】
【解析】设 ，因为 ，所以 ，
绕直角边 所在直线旋转一周形成一个几何体为圆锥，设圆锥外接球的半径为 ，
所以 ，解得 ，
设外接球的球心为 ，则球心在直线 上，所以 ，解得 .
故答案为：
16．在平面直角坐标系 中，点P在圆 上运动，点Q在函数 的图
象上运动，写出一条经过原点O且与圆C相切的直线方程为______；若存在点P，Q满足 ，则
实数a的取值范围是______.
【答案】 ①. 或 ②.
【解析】①容易知道，
直线 和直线 经过原点，但不与 相切，
设经过原点O的直线方程可以设为 ，
则 ，
的圆心为 ，半径为 ，
所以圆心到直线的距离 ，所以解得 ，
因此直线为 或 ；
②
，
，
当 时， 恒成立，容易知道 ，因此总存在点P，Q满足 成立；
当 时， 或 直线夹角为90°，需 有解，
只需 有解，
只需 有解，
令函数 ，
所以 ，
令 ，
容易知道， 为减函数，且 ，
所以当 时， ， 递增，当 时， ， 递减，
所以 ，
所以 .
综上所述， .故答案为： 或 .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）已知数列 、 满足 ， ， ， ，且
， .
（1）求证： 是等比数列；
（2）若 是递增数列，求实数 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析； （2） .
【解析】（1）由题可知： ， ，
故可得 ，又 ，∴ ，
∴ ，所以 是首项为1，公比为 的等比数列.
（2）方法一：
∵ 是递增数列，
∴ 对任意 恒成立，
∵ ，∴
则 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
由（1）知 ，
∴ 对任意 恒成立，
因为当 时 取得最大值，且最大值为1，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
方法二：得
即 ，又 ，
故数列 为首项 ，公差 的等差数列，
所以 ，
又由（1）知 ，所以 ，
因为 是递增数列，所以 对任意 恒成立.
所以 ，
所以 ，所以 ，
因为当 时 取得最大值，且最大值为1，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
（1）求C；
（2）若 ，求sinA．
【答案】（1） （2） 或1．
【解析】（1）由正弦定理 ，得 ，
因为 ，则 ，所以 ，因为 ，所以 ．
所以 ．
因为 ，则 ，可得 ，所以 ，
则 ，所以 ．
（2）方法一：因为 ，由正弦定理 ，得 ，
因为 ，
所以
，
即 ．
因为 ，则 ，所以 或 ，
所以 或 ，故 或1．
方法二：因为 ，由余弦定理得 ，
将 代入（*）式得 ，整理得 ，
因式分解得 ，解得 或 ，
①当 时， ，所以
因为 ，所以 ，
②当 时， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以sinA的值为 或1．
19．（12分）如图，在三棱柱 中，四边形 为正方形，点 为棱 的中点，平面
平面 ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）证明：取 中点 ，连接 ， ，
因为四边形 为正方形，点 为 的中点，点 为 的中点，所以 ，
又因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，因为点 为 的中点，所以 .
（2）解：因为平面 平面 ，平面 平面 ，
且 ， ，所以 平面 ，
以 为基底建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ，可得 ， ，
设 为平面 的一个法向量，则 ，
取 ，得 ，所以 ，
由 平面 ，可得平面 的一个法向量为 ，
则 ，
由图知二面角 为钝二面角，所以其余弦值为 .
20．（12分）已知函数 ， ．
（1）若 ，求证： ；
（2）若关于 的不等式 的解集为集合 ，且 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）若 ，则 ， ，所以 ，又 与 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
又 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得极小值即最小值，所以 .
（2）因为 ， ， ，
所以 ，显然 与 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
当 时 ， 时 ，
所以存在 使得 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，由（1）可知 时有 ，此时 ，显然符合 ；
①若 时 ，有 ，
由 上单调递增，且 ，
所以存在 使得 ，要使 的解集为集合 的子集，
而 的解集为 ，因为 ，所以 ，
又 上单调递增，所以 ，即有 ，则 ，令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，因为 ，所以 ，此时 ；
②若 时 ，所以 ，
又 在 上单调递减， 时 ，所以
所以存在 使得 ，则不等式 的解集为 ，
因 为，又 ，所以只需 ，
又 显然成立，所以 ，符合题意；
综上可得 .
21．（12分）甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得
0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的
概率为α，乙获胜的概率为β，两人平局的概率为 ，且每局比赛结果
相互独立．
（1）若 ， ， ，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率；
（2）当 时，
（i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E（X）的最大值；
（ii）若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率（用α，β表示），无需写出过程．
【答案】（1） （2）（i）分布列见解析，期望最大值为 ；（ii） .
【解析】（1）用事件A，B，C分别表示每局比赛“甲获胜”“乙获胜”或“平局”，则
， ， ，
记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N，则事件N包括事件ABAA，BAAA， ACCA，CACA，CCAA
共5种，
所以．
（2）（i）因为 ，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即 ，
由题意得X的所有可能取值为2，4，5，则
，
，
．
所以X的分布列为
X 2 4 5
P
所以X的期望
，
因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，
所以 ，
故 的最大值为 ．
（ii）记“甲学员赢得比赛”为事件M，则 ．
由（1）得前两局比赛结果可能有AA，BB，AB，BA，其中事件AA表示“甲学员赢得比赛”，事件BB表示
“乙学员赢得比赛”，事件AB，BA表示“甲、乙两名学员各得1分”，当甲、乙两名学员得分总数相同时，
甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同．
所以所以 ，即 ，
因 ，所以 ．
为
22．（12分）已知A，B是抛物线E： 上不同的两点，点P在x轴下方，PA与抛物线E交于点C，
PB与抛物线E交于点D，且满足 ，其中λ是常数，且 ．
（1）设AB，CD的中点分别为点M，N，证明：MN垂直于x轴；
（2）若点P为半圆 上的动点，且 ，求四边形ABDC面积的最大值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）因为 ，且P，A，C共线，P，B，D共线，所以 ，
所以直线AB和直线CD的斜率相等，即 ，
设 ， ， ， ，
则点M的横坐标 ，点N的横坐标 ，
由 ，得 ，
因式分解得 ，约分得 ，
所以 ，即 ，
所以MN垂直于x轴．
（2）设 ，则 ，且 ，当 时，C为PA中点，则 ， ，
因为C在抛物线上，所以 ，整理得 ，
当 时，D为PB中点，同理得 ，
所以 是方程 的两个根，
因为 ，
由韦达定理得 ， ，
所以 ，所以PM也垂直于x轴，
所以 ，
因为 ，
所以
， ，
当 时， 取得最大值 ，
所以 ，
所以四边形ABDC面积的最大值为 ．
