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专题 8.19 二元一次方程组（全章分层练习）（培优练）
一、单选题
1．方程 的正整数解有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
2．若 是方程 的一个解，则 的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．已知代数式 与 是同类项，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如果方程组 与 有相同的解，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知方程组 的解满足 ，求 的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
6．已知 的解是 ，求 的解为（ ）
A． B． C． D．
7．根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是（ ）
A．6元 B．8元 C．10元 D．12元8．已知关于x，y的方程组 ，给出下列说法：
①当 时，方程组的解也是 的解；
②若 ，则 ；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．关于实数a，b，定义一种关于“※”的运算： ，例如： ．依据
运算定义，若 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B．1 C． D．
10．小明仿照我国古算题编写了一道题：“今有九百元可得鸡兔共十又一只，一百八十元鸡两只，
二百四十元兔四只．问鸡兔各几何？”设鸡有 只，兔有 只，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．已知，若 是二元一次方程 的一个解，则代数式 的值是
12．一次自助餐聚餐，每一位男宾付130元，每一位女宾付100元，每带一个孩子付60元，现在
有 的成人各带一个孩子，总共收了2160元，根据报名情况，参加聚会的男宾比女宾多．请问这
个活动共有 人参加．
13．现有 ， ， ， ， 五张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程．（1）若取 ， 卡片，则联立得到的二元一次方程组的解为 ．
（2）若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为 ，则取的两张卡片为 ．
14．无论k取何值时，关于x，y的方程 均有解 则 的
值为 ．
15．二元一次方程组有可能无解，例如方程组 无解，原因是：将 ，得
，它与②式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于 ， 的方程组 无解，则
， 满足的条件是 ．
16．关于 ， 的方程 ，其中 ， 是常数．若 ，则 的值是 ．不论
， 取何值，该方程始终成立，则 的值是 ．
17．列方程组解题：“今有马二、牛一，直金七两；马三、牛二，直金十二两．马、牛各直金几
何？”其大意是：2匹马，1头牛，一共价值7两；3匹马，2头牛，一共价值12两，问每匹马、
每头牛各价值多少两？设每匹马 两，每头牛 两．根据题意，可列方程组为 ．
18．公式 可以用来求正方形网格中顶点为格点的多边形面积，其中x表示多边形内部
格点数，y表示多边形边上格点数.例如：图中三角形ABC中， ， ， ；图中三角形
DEF中， ， ， .请借助上面提供的网格求出 ， 时， .三、解答题
19．（1）用代入法解方程组： ； （2）用加减法解方程组：
20．已知关于x，y的方程组 和 有相同解，求 的值．
21．已知关于 ， 的方程组 （ 是常数）．
(1)当 时，则方程组可化为 ．
①请直接写出方程 的所有非负整数解．
②若该方程组的解也满足方程 ，求 的值．
(2)当 时，如果方程组有整数解，求整数 的值．
22．已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分
别为B，A两地，两车均先以每小时a千米的速度行驶，再以每小时b千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．
(1)若 ，且甲车行驶的总时间为 小时，求a和b的值；
(2)若 ，且乙车行驶的总时间为 小时，求两车相遇时，离A地多少千米？
23．数学方法：
解方程组： ，若设 ， ，则原方程组可化为
，解方程组得 ，所以 ，解方程组得 ，我们把某个式子看成
一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组 ，的解为 ，那么关于m、n的二
元一次方程组 的解为： ．
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组 ．
(3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，
求关于x，y的方程组 的解．
24． 平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，得利润20元；乙种商品每件进价50元，售价80元．
(1)甲种商品每件进价为_____元，每件乙种商品所赚利润_____元 ；
(2)若该商场进货时同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲、乙商品各
多少件？如果这些商品全部出售，商场共获利多少元？
(3)在“五一”期间，该商场只对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
少于等于450 不优惠
超过450，但不超过600 按打九折
超过600 其中600部分八点二折优惠，超过600的部分打三折优惠
按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少
件？参考答案：
1．C
【分析】先将方程化为 ，再根据 均为正整数进行分析即可得．
【详解】解：方程 可化为 ，
∵ 均为正整数，
∴ ，且是 的倍数，
，且 为奇数，
则当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
即方程 的正整数解为 ， ， ，共有3组，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握方程的解法是解题关键．
2．C
【分析】把方程的解代入得 ，从而确定 ，整体代入计算即可．
【详解】解：∵ 是方程 的一个解，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程解的定义，即使得二元一次方程左右相等的一组未知数的值，熟练
掌握定义，灵活变形计算是解题的关键．
3．C
【分析】根据同类项的定义列出关于 、 的方程组，求出 、 的值即可．【详解】解：∵代数式 与 是同类项，
∴ ，
解得： ，
故选：C．
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组及同类项的概念，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消
元法是解答此题的关键．
4．D
【分析】根据方程组同解，构建新的二元一次方程组 ，利用代入消元法解方程组即可得到答案．
【详解】解： 方程组 与 有相同的解，
满足 ，
由①得 ，
将③代入②得 ，
，
将 代入方程组 与 可得到 ，
由① ②得 ，
，
．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，涉及方程组同解，二元一次方程组的解法等，熟练掌握二元一次方
程组的解法是解决问题的关键．
5．C【分析】本题考查了二元一次方程组的解的意义和解二元一次方程组，先将已知方程组中不含字母k的方
程与 组成方程组求出x、y的值，再把x、y的值代入含k的方程求即可．
【详解】解：由题意得：
，解得： ，
把 代入 得：
解之得： ，
故选C．
6．B
【分析】把x=3，y=4代入第一个方程组，可得关于a，b 方程组，两方程同时乘5可得出
1 1
，再结合第二个方程组即可得出结论．
【详解】解：把 代入方程组得： ，
方程同时×5，得： ，
∴方程组 的解为 ，
故选B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，发现两方程组之间互相联系是解题的关键．
7．B
【分析】设一盒杯子x元，一个暖瓶y元，根据图示可得：一个杯子+一个暖瓶=43元，3个杯子+2个暖瓶
=94元，列方程组求解．
【详解】设一盒杯子x元，一个暖瓶y元，
由题意得，，
解得：
，
即一个杯子为8元．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量
关系，列方程组求解．
8．D
【分析】将 代入原方程组得 ，解得 ，经检验得是 的解，故①正确；方
程组 两方程相加得 ，根据 ，得到 ，解得 ，故②正
确；根据 ， ，得到 ，得到 ，从而得到无论a取何值，x，y
的值不可能互为相反数，故③正确；根据 ，得到x，y都为自然数的解有
共5对，故④正确．
【详解】解：将 代入原方程组得 ，
解得 ，
将 代入方程 左右两边，左边 ，右边 ，
∴当 时，方程组的解也是 的解，故①正确；
方程组 得 ，
若 ，则 ，解得 ，故②正确；
∵ ， ，
∴两方程相加得 ，
∴ ，
∴ 无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确；
∵ ，
∴x，y都为自然数的解有 共5对，
故④正确．
故选：D
【点睛】本题考查了消元法解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，二元一次方程的自然数解等知识，
理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质和等量代换是解题关键．
9．C
【分析】根据运算定义可得： ，解方程即可得到 ，则问题随之得解．
【详解】∵ ， ，
∴根据运算定义可得： ，
解得方程得： ，
∴ ，
故选：C．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及定义新运算等知识，理解新运算的含义以及掌握二元
一次方程组的解法是解答本题的关键．
10．A
【分析】
本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意是解题的关键．根据题目中的等量关系列出方
程即可．
【详解】解：根据题意可得： ，
故选A．
11．
【分析】把 代入方程，得到 ，然后对 进行化简，最后利用整体代入，即可得到
答案.
【详解】解：把 代入方程，得到 ，
∵
∴原式= ，
故答案为 .
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．注意灵活
运用整体代入法解题.
12．20
【分析】设聚会的男宾为x人，女宾为y人，则孩子有 （x+y）人，由题意：每一位男宾付130元，每一
位女宾付100元，每带一个孩子付60元，总共收了2160元，列出二元一次方程，求出符合题意的正整数
解，即可解决问题．
【详解】解：设聚会的男宾为x人，女宾为y人，则孩子有 （x+y）人，
由题意得：130x+100y+ （x+y）×60＝2160，
整理得：5x+4y＝72，∴y＝18﹣ x，
∵x、y为正整数，
∴ 或 或 ，
∵参加聚会的男宾比女宾多．
∴x＞y，
∴ ，
∴x+y＝15，
∴ （x+y）＝ ×15＝5，
∴x+y+ （x+y）＝15+5＝20，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
13． B和C
【分析】（1）根据二元一次方程组加减消元法即可解得；
（2）把解代入卡片逐项验证即可．
【详解】（1）解：
得
，
把 代入①得
，
解得 ；
（2）把 代入 ， ， ， ， 五张卡片中，可得 ， ， 不成立，
代入B得： ，成立，
代入C得： ，成立，
故答案为：B和C．
【点睛】此题考查了二元一次方程组，解题的关键是熟记加减消元法解方程组．
14．
【分析】将原方程转化为 的形式，根据未知数的对应系数相等求出x，y的值，从而
进行解答即可．
本题考查了二元一次方程的解．把已知方程变形为 的形式是解题的难点．
【详解】解：由 ，得
，即 ．
∵无论k取何值时，关于x，y的方程 均有解
∴ ，
解得 ．
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
15． 且
【分析】根据题意，方程组两边系数相等，得出矛盾，即可求解．
【详解】解：∵关于 ， 的方程组 无解，
，得 ，∴ ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解题意是解题的关键．
16． 3
【分析】
本题考查了二元一次方程的应用，涉及移项合并同类项，先得 ，结合 ，得
，再代入 ，因为不论 ， 取何值，该方程始终成立，即令它们前的系数为0，进行列式计算，
即可作答．
【详解】（1）解：∵
∴
则
∵
则
得
则
（2）∵不论 ， 取何值，该方程始终成立，且由（1）知
∴
解得
则
故答案为： ，317．
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据2匹马，1头牛，一共价值7两；3匹马，2头牛，一
共价值12两，列出二元一次方程组即可．
【详解】解：由题意得： ，
故答案为： ．
18．
【分析】根据题意，列出二元一次方程组，解方程组求得 的值，代入公式即可求解．
【详解】解：依题意，
解得：
∴
∴当 ， 时， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意求得 的值是解题的关键．
19．（1） ；（2） .
【分析】（1）由x-y=3得x=3+y，再代入求出x，再求出y；
（2）先对原方程组变形，再运用加减消元法解答.
【详解】解：（1）
由①得x=3+y③将③代入②得：y=
将y= 代入③得：x=
所以原方程组的解为：
（2）原方程组可化为：
①×2得：6x+4y=24③
②×3得：6x-9y=-15④
③-④得：13y=39，解得：y=3
将y=3代入①中得：x=2
所以原方程组的解为：
【点睛】本题考查了二元一次方程组得两种解法，其关键在于扎实的计算能力和严谨的思维.
20．
【分析】先求出方程组 的解，再把 代入 得出 ，求出
a、b的值，最后把a、b的值代入 计算即可．
【详解】解：∵关于x，y的方程组 和 有相同解，
∴解方程组 得： ，
把 代入 得： ，解得： ，
∴ ．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能把二元一次方程组转化成一元一次
方程是解本题的关键．
21．(1)① ， ②
(2) 或0
【分析】（1）①根据 ， 为非负数即可求得方程 的所有非负整数解；②先解方程组 ，
然后将 ， 的值代入方程 中即可获得答案；
（2）将 代入原方程组，利用加减消元法得到 ，再根据方程组有整数解，且 为整数，分
情况讨论即可．
【详解】（1）解：①∵ ， 为非负整数，
∴方程 的所有非负整数解为
， ；
②∵根据题意可得 ，
解得 ，
将 代入 中，
解得 ；
（2）当 时，原方程组可化为 ，
由 ，可得 ，
整理可得 ，
∵方程组由整数解，且 为整数，∴ 或 ，
当 时，解得 ，此时方程组的解为 ；
当 时，解得 ，此时方程组的解为 （舍去）；
当 时，解得 ，此时方程组的解为 ；
当 时，解得 ，此时方程组的解为 （舍去）．
综上所述，整数 的值为 或0．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，熟练掌握解二元一次方程组的方法，并根据题意确定
的值是解题关键．
22．(1)a和b的值分别为60，40；
(2)
【分析】（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等且时间为 小时及 建立方程组求出其解即可；
（2）由乙车行驶的时间相等就可以得出两次的时间分别为 小时，由两段路程之和等于120及
建立方程组求出其解即可求出a、b的值，从而得到甲车前一半的时间为 ，从而得出相遇时甲车还没行
驶到60km，则离A地的路程为相遇时间乘甲车开始的速度即可．
【详解】（1）解：∵甲车以两种速度行驶的路程相等，
∴甲车以两种速度行驶的路程均为60 km．
∴由题意得： ，
解得： ；即a和b的值分别为60，40；
（2）∵乙车以两种速度行驶的时间相等，
∴乙车以两种速度行驶的时间均为 小时
∴由题意得：
解得： ；
∴甲车前一半的时间为： ，
由于 ，则乙 h时行的路程为： ，
∵ ，
∴甲车行驶到一半路程时，甲乙两车的路程和超过120km，
∴相遇时甲车还没行驶到60km，
∴相遇时间为： ，
则离A地的路程为： ．
即：两车相遇时，离A地 ．
【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，解答时分别运用路
程相等和时间相等建立方程组是解答本题的关键．
23．(1)
(2)
(3)【分析】（1）设 ， ，即可得 ，解方程组即可求解；
（2）设 ， ，则原方程组可化为 ，解方程组即可求解；
（3）设 ， ，则原方程组可化为， ，根据 的解为 ，可得
，即有 ，则问题得解．
【详解】（1）设 ， ，则原方程组可化为 ，
∵ 的解为 ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ；
（2）设 ， ，则原方程组可化为 ，
解得 ，
即有 ，解得 ，
即：方程组的解为 ；
（3）设 ， ，则原方程组可化为 ，
化简，得 ，
∵关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，
∴ ，即有 ，
解得： ，
故方程组的解为： ．
【点睛】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题
的关键．
24．(1)40， 30 ；
(2)购进甲种商品40件，乙种商品10件；商场共获利1100元
(3)小华在该商场购买乙种商品7件或8件．
【分析】（1）直接由“进价=售价-利润”、“单件利润=售价-进价”计算即可得到答案；
（2）设购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，然后结合条件列出方程组，即可得到甲、乙两种商品的数
量；
（3）先设小梅购买乙种商品a件，然后根据乙种商品原来的钱进行分类讨论，再根据实际付款列出方程求
得a的值，最后得到结果．【详解】（1）由题意得，
甲种商品每件进价为60-20=40（元），
乙种商品每件的利润为80-50=30（元），
故答案为：40，30．
（2）设购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，根据题意有
解得
40×20+10×30=1100
所以购进甲种商品40件，乙种商品10件；商场共获利1100元
（3）设打折前一次性购物总金额为a元，
若a超过450，但不超过600，则有 ，解得 ，
此时购买乙种商品的数量为： （件）；
若a超过600，则有 ，解得 ，
此时购买乙种商品的数量为： （件）；
综上所述，小华一次性购买乙种商品实际付款504元，则小华在该商场购买乙种商品7件或8件．
【点睛】本题以销售问题为背景，考查了一元一次方程及二元一次方程组的应用，解题的关键是熟知销售
问题有关的计算公式．
