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第十章 二元一次方程组（提高卷）
班级：________________姓名：_________________得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择12道、填空6道、解答6道.答卷
前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规
定的位置.
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)在每小题所给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若 (k−2)x|k−1|−3 y=2 是关于 x,y 的二元一次方程，那么 k2−3k−2= （ ）
A．8 B．-2或4 C．-2 D．-4
【答案】C
【分析】根据二元一次方程的定义解答即可.
【详解】∵ 是关于 的二元一次方程，
(k−2)x|k−1|−3 y=2 x,y
∴|k-1|=1且k-2≠0，
∴k=0，
∴k2−3k−2=−2
故选C.
【点睛】本题考查的是二元一次方程的定义，掌握其定义是关键，易错点是不注意k-2≠0.
2．若¿，是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值为( )．
A.−1 B.0 C.1 D.2
【答案】B
【分析】本题考了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义得出a−1=1，
b=0或a−1=0，b=0，求出a，b，再代入求出答案即可．能根据二元一次方程组的定义
得出a−1=1，b=0或a−1=0，b=0是解此题的关键．
【详解】解：∵ ¿是关于x，y的二元一次方程组，
则①a−1=1，b=0，∴a=2，
∴ab=2×0=0；
或②a−1=0，b=0，
即a=1，
∴ab=1×0=0；
故答案为：B．
3．在二元一次方程x+3y＝1的解中，当x＝2时，对应的y的值是（ ）
1 1
A． B．﹣ C．1 D．4
3 3
【答案】B
【分析】把x＝2代入方程x+3y＝1求出y即可．
【详解】解：把x＝2代入程x+3y＝1得：2+3y＝1，
1
y＝﹣ ．
3
故选B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的应用，主要考查学生的计算能力．
4．已知¿和¿是二元一次方程ax+by=6的两个解，则a，b的值分别为（
）
A．2，−1 B．−2，1 C．−1，2 D．1，−2
【答案】A
【分析】此题考查二元一次方程的解，解二元一次方程组；把两组解分别代入方程中，得
出关于a、b的方程组，解方程组即可．
【详解】解：根据题意可知：¿，
解得：¿，
故选：A
5．关于x，y的方程组¿与¿有相同的解，则a+4b−5的值为（
）
A．−1 B．−6 C．−10 D．−12
【答案】D
【分析】本题考查同解方程组．将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，
求出未知数的值，把两个含参方程组成方程组，将未知数的值代入，再解方程组求出参数
的值，进而求出代数式的值即可．【详解】解：∵方程组¿与¿有相同的解，
∴¿与¿的解相同，
由¿，解得¿，
∴¿，解得¿，
∴a+4b−5=−12；
故选D．
6已知：甲、乙两人同解方程组¿ 时,甲看错了方程(1)中的a,解得¿,乙看错了(2)中的b,解得
¿，则a+b的平方根为( )．
A.1和-1 B. 2和-2 C. 3和-3 D. 4和-4
【答案】A
【详解】分析：根据甲看错了方程（1）中的a，解得¿，将¿代入4x=by-2，以及把¿，代入
ax+5y=15，即可得出a，b的值，求出即可.
详解：把 ¿ 代入（2）得-8=b-2；
所以b=-6
把¿代入（1）得5a-20=15
所以a=7
a+b的平方根等于1和-1
故选A
点睛：此题主要考查了二元一次方程组的解以及幂的乘方运算，根据已知分别得出a，b的
值是解决问题的关键．
7．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1．若这
个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，则这个两位数是（
）
A．86 B．68 C．94 D．73
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设十位数字是x，个位数字是y，由题意列
方程组求解即可得到答案，读懂题意，准确列出二元一次方程组是解决问题的关键．
【详解】解：设十位数字是x，个位数字是y，则¿，
解得¿，
∴原来的两位数是73，
故选：D．
8．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专
著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得
甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多
1 2
少，甲若得到乙所有钱的 ，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的 ，则乙也有50钱．问甲、
2 3
乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组
（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【答案】B
【分析】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系是解题关键．根据甲若得到乙所有
1 1 2
钱的 ，则甲有50钱可列方程为x+ y=50，根据乙若得到甲所有钱的 ，则乙也有50
2 2 3
2
钱可列方程为 x+ y=50，由此即可得．
3
【详解】解：由题意，可列二元一次方程组为¿，
故选：B．
9．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，将长方形ABCD的一角折叠，折痕
为AE，∠BAD比∠BAE大18°，设∠BAD和∠BAE的度数分别为y、x，那么x、y所
适合的一个方程组是（ ）A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，设∠BAD和∠BAE的度数分别为y、x，
根据题意，列出方程组即可求解，根据题意，找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设∠BAD和∠BAE的度数分别为y、x，
由题意可得，¿
故选：B．
10．化学方程式依据化学反应过程中的质量守恒定律，在化学方程式等号左右两边同一元
素原子的个数要相同．如 点燃 就表示两份H 与一份O 点燃生成两份的H O
2H +O = 2H O 2 2 2
2 2 2
（水），已知
xC H + yO
点
=
燃
6xCO +3xH O
，由此列出关于x,y的二元一次方程为（
6 6 2 2 2
）
A．x+ y=6x+3x B．x+ y=6x+2×3x
C．2y=6x+3x D．2y=2×6x+3x
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，结合题干的化学式，观察得出C,H原子的个数
在方程左右两边不需要用y表示，唯有O的原子个数是用y表示，且同一元素原子个数在方
程左右两边是相等的，故列方程2y=2×6x+3x，即可作答．
【详解】解：依题意， 点燃 ，
xC H + yO = 6xCO +3xH O
6 6 2 2 2
则2y=2×6x+3x，
故选：D
11．老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看
到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一个人，用合作的方式完成该方程组的解题过程，过程如图所示，合作中出现错误的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丙和丁
【答案】C
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法与加减消元法是解题的关键；
观察四位同学的解题过程，找出出错的即可．
【详解】解：¿，
8−3 y
由①得：x= ③，
2
8−3 y
把③代入②得：3× −5 y=5，
2
去分母得：24−9 y−10 y=10，
14
解得：y= ，
19
55
由③得：y=
19
则合作中出现错误的同学为丙；
故答案为：C
12．已知关于x，y的二元一次方程组¿，下列结论正确的是（ ）
①当m=1时，方程组的解也是x+ y=2m+1的解；
②x，y均为正整数的解只有1对；
③无论m取何值，x、y的值不可能互为相反数；
④若方程组的解满足x−y=1，则m=0．
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
【答案】A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法和二元一次方程组的解，熟练掌握二元一
次方程组的解法和解是解题的关键．根据方程组得x+ y=3，然后再依据题目信息即可依次判断．
【详解】解：①当m=1时，方程组¿整理得，¿，
由①+②可得，x+ y=3，
当m=1时，方程x+ y=2m+1得x+ y=3，
∴当m=1时，方程组的解也是x+ y=2m+1的解，故①正确；
②解方程组¿，①+②得x+ y=3，
当x，y均为正整数时，则有¿或¿，
∴共有2对，故②错误；
③解方程组¿，①+②得x+ y=3，
∴无论m取何值，x，y的值不可能是互为相反数，故③正确；
④解方程组¿，①+②得x+ y=3，
当方程组的解满足x−y=1时，
解得¿，
代入原方程组可得¿
解得，m=0，故④正确；
综上，正确的结论是①③④，
故选：A．
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)请把答案直接填写在横线
上
13．若关于x，y的二元一次方程2x+3 y=21与3x+2y=4有相同的解，则这个相同的解
是 ．
【答案】¿
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关
键．
根据题意解出方程组即可．
【详解】解：由题意知，这个相同的解就是方程组¿的解，
解得：¿．
故答案为：¿ ．
14．若¿是关于x,y的二元一次方程mx+ny=4的一组解，则2m−4n−10的值为 ．
【答案】−2【分析】此题考查了二元一次方程的解和求代数式的值．根据二元一次方程的解得到
m−2n=4，再整体代入2m−4n−10=2(m−2n)−10即可得到答案．
【详解】解：将¿代入方程mx+ny=4，得m−2n=4，
∴2m−4n−10=2(m−2n)−10=2×4−10=−2．
故答案为：−2．
15．已知方程组¿，则x+ y的值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，通过观察x，y的系数之和相等，①+②即可求
出x+ y的值是解题的关键．①+②得：3x+3 y=9，所以3(x+ y)=9，从而直接求得x+ y
的值．
【详解】解：¿，
①+②得：3x+3 y=9，
∴3(x+ y)=9，
∴x+ y=3，
故答案为：3．
16．若方程组¿的解x、y的和为0，则k的值为 ．
【答案】2
【分析】先求出方程组的解，然后再根据x、y的和为0，得出方程2k-6+4-k=0，解出即可．
【详解】解：解方程组¿，
解得¿．
∵x、y的和为0，
则有2k-6+4-k=0，
解得k=2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，关键是熟练掌握二元一次方程组的解法即
代入消元法和加减消元法．注意：在运用加减消元法消元时，两边同时乘以或除以一个不
为0的整数或整式，一定注意不能漏项．
17．若方程组¿，其中xyz不等于0，那么x:y:z=
【答案】2:3:1
【分析】本题考查加减消元法，掌握加减消元法和将z看成参数来解答是解题的关键．理
解清楚题意，将z看成参数，把x，y用z表示出来，代入代数式求解即可．【详解】解：¿，
①+②得：2x−4z=0，
整理得：x=2z，
①−②得：2y−6z=0，
整理得：y=3z，
∴x:y:z=2z:3z:z=2:3:1，
故答案为：2:3:1．
18．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，炳同学将边长为x的两个正方形靠边各
放置两个边长为a,b的长方形，然后分别以a+x,b+x为边长构造两个大正方形，根据图中
的数据，可求得x的值是 ．
【答案】75
【分析】由正方形的性质可得¿，再消去a，b，建立一元一次方程即可.
【详解】解：由题意可得：¿，
整理可得：¿，
∴90−x=x−60，
∴2x=150，
解得：x=75；
故答案为：75
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，熟练的利用图形性质建立方程组是解本题
的关键.
三、解答题(本大题共6小题，共46分。解答时应写出文字说明、证明过程或
演算步骤)
19．(每题5分，共10分) 解方程组:．
(1)¿(2)¿．
解(1)：¿
由4×①−3×②得：7 y=35，
解得y=5，
将y=5代入②得：4x−5×5=3，
解得x=7，
所以该方程组的解为¿；
解(2)：¿
整理得：¿
由①−②得：3 y=−9，
解得y=−3，
将y=−3代入②得：3x+3=15，
解得x=4，
所以该方程组的解为¿．
20．（共7分）
解方程组¿．
解：¿
①+②,得 4047x+4047 y=16188，
∴x+ y=4③，
③×2023，得 2023x+2023 y=8092④，
①−④，得 y=2，
把y=2代入③，得x=2，
∴原方程组的解为¿．
21．（共7分）（22-23七年级下·全国·课后作业）定义：若有序数对(x,y)满足二元一次
方程ax+by=c（a，b为不等于0的常数），则称(x,y)为二元一次方程ax+by=c的数对
解．例如：有序数对(−1,3)满足3x−y=−6，则称(−1,3)为3x−y=−6的数对解．
(1)下列有序数对是二元一次方程2x+ y=4的数对解的是__________．（填序号）
①(1 )，② ，③ ．
,−3 (−1,6) (1,2)
2
(2)若有序数对(p+q,p+5)为方程2x−y=1的一个数对解，且p，q为正整数，求p，q的值．
【答案】(1)②③
(2)¿或¿
【详解】（1）②③
（2）∵有序数对(p+q,p+5)为方程2x−y=1的一个数对解，
∴2(p+q)−(p+5)=1．整理，得p+2q=6．
∵p，q为正整数，∴¿或¿．
22．（共7分）两组工人按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额20%、第二组
超额15%完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件，求本月原计划第一组生产多
少个零件、第二组生产多少个零件．
【答案】 320 360
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设原计划
第一组生产x个零件、第二组生产y个零件，根据题意列二元一次方程求解即可．
【详解】解：设原计划第一组生产x个零件、第二组生产y个零件，
则¿，
解得：¿，
即原计划第一组生产320个零件、第二组生产360个零件，
故答案为：320；360．
23．（共7分）．（2025·山西·模拟预测）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积
极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种
头盔4个和B种头盔3个共需390元．
(1)求A，B两种头盔的单价各是多少元；
(2)若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔(A,B两种头盔均购买)，销售1个A种
头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这
些头盔全部售出，最大利润是多少元？
【答案】(1)A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元
(2)共有2种购买方案，最大利润是220元
【分析】(1)设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头
盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一
次方程组，解方程组即可；(2)设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头
盔(A,B两种头盔均购买)，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量
关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
【详解】（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，
由题意得：¿，
解得：¿，
答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元．
（2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个，
由题意得：75m+30n=450，
5
整理得：n=15− m，
2
∵m、n均为正整数，
∴¿或¿，
∴该商店共有2种购买方案：
①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为35×2+15×10=220(元)；
②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为35×4+15×5=215(元)；
∵220>215，
∴最大利润是220元．
24．（共8分）甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1
点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽
车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲
地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？
【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米．
【分析】设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是
(74−x−y)千米，再根据去与返回的时间建立方程组求解即可．
【详解】解：从下午1点到下午3点30分共2.5小时，从下午4点到下午6点48分共2.8
小时．
设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是(74−x−y)千米，
根据题意得：¿，
整理得：¿，解得：¿，
∴74−x−y=74−30−16=28．
答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米．
