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第十章 二元一次方程组（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列选项是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的定义
【分析】本题考查二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的
最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，据此逐项判断即可．
【详解】解：A. 不是方程，故该选项不正确，不符合题意；
B. 是二元一次方程，故该选项正确，符合题意；
C. 不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，未知数的项的最高次数是2，故不是二元一次方程，不符合题意．
故选：B．
2．下列各组值中，是方程组 的解的是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】加减消元法
【分析】本题考查了解二元一次方程组，关键在于观察未知数的系数，再利用加减消元法求解．观察可知
的系数互为相反数，故可以利用加减消元法中令方程两个方程组相加即得 ，故得 ，再将
1
学科网（北京）股份有限公司代入 得 ．
【详解】解：
，得 ，
解得 ，
将 代入①，得 ，
所以二元一次方程组的解是
故选：A．
3．已知 是方程 的一个解，那么 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
【分析】本题主要考查二元一次方程的解，解题的关键是掌握使二元一次方程两边的值相等的两个未知数
的值，叫做二元一次方程的解．根据题意将 代入 求解即可．
【详解】解： 是方程 的一个解，
，
解得： ，
故选：A．
4．利用加减消元法解方程组 ，下列做法正确的是（ ）
A．要消去 ，可以将 B．要消去 ，可以将
C．要消去 ，可以将 D．要消去 ，可以将
2
学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【知识点】加减消元法
【分析】本题考查加减消元法．根据加减消元法，逐一进行判断即可．
【详解】解：
要消去 ，可以将 ，要消去 ，可以将
故选：C．
5．已知关于x，y的方程组 ，若 ，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，解一元一次方程，熟练掌握方程组的解法是解题关键．
先利用方程组中的第二个方程减去第一个方程得 ，再根据 得到 的一元一次方程，
解方程即可．
【详解】解：
由 得， ，即
解得： ．
故选：A．
6．若关于 、 的方程组 的解为 ，其中 的值被盖住了，不过仍能求出 ，则 的值
为（ ）
3
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，把 代入方程组第二个方程求出 的值，再将 ， 的
值代入 中，进而求出 的值即可．正确求出 的值是解题关键．
【详解】解：把 代入 得： ，
解得： ，
把 ， 代入 得： ，
解得： ，
故选：A．
7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．
问人与车各几何？译文：今有若干人出行，如果三人同乘一辆车，两车空；二人同乘一辆车，有九人步行．
问人与车各是多少？设人数为x人，车数为y辆，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系列出方程组是关键．设人数为x人，车数为y
辆，如果三人同乘一辆车，两车空；二人同乘一辆车，有九人步行．据此即可列出二元一次方程组．
【详解】解：根据题意得： ，
故选： ．
8．如果表中给出的每一对 ， 的值都是二元一次方程 的解，则表中 的值为（ ）
0 1 2 5
3 1
A． B． C．0 D．7
【答案】A
4
学科网（北京）股份有限公司【知识点】二元一次方程的解
【分析】本题考查了二元一次方程的解，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值，叫
方程的解）是解此题的关键．
将 代入 中求出 ，再把 代入 求出 ，再将 代入方程即可求出
m．
【详解】解：把 代入 ，得 ，
∴ ，
则 ，
把 代入 ，得 ，
∴ ，
∴二元一次方程为： ，
把 代入 ，得 ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
9．用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知 ，则B点的坐标是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
5
学科网（北京）股份有限公司【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、坐标与图形综合
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的综合运用．结合点的坐标与观察图形可以发现，图形中存在两
个数量关系．即从竖直方向看和从水平方向看，列出方程组，从而求出长方形的长与宽．又通过图形可以
发现，关于点B， 两个长方形的长， 一个长方形的长 一个长方形的宽，从而求出点B的坐标．
【详解】解：设长方形的长为 ，宽为 ，
则 ，
解得 ，
则 ， ；
点 在第二象限，
，
故选：D．
10．用现代高等代数的符号可以将方程组 的系数排成一个表 ，这种由数列排成的表
叫做矩阵．矩阵 表示 ， ， 为未知数的三元一次方程组，若 为定值，则 与
关系（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三元一次方程组的定义及解
【分析】本题主要考查了解三元一次方程组、二元一次方程组的定义等知识点，理解题意、根据新定义解
答问题是解题的关键．
根据矩阵定义列方程组求解即可．
6
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：由题意得： ，
①×2+②得： ，
∵ 为定值，
∴ ．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知 ，用含x的代数式表示y，则 ．
【答案】
【知识点】代入消元法
【分析】根据等式的性质计算即可．
本题考查了用一个未知数表示另一个未知数，熟练掌握等式的性质，正确变形是解题的关键．
【详解】解：由方程 可得到
．
故答案为： ．
12．二元一次方程 有 个非负整数解．
【答案】4
【知识点】二元一次方程的解
【分析】本题考查了求二元一次方程的特殊解，将 化为 ，然后根据方程的解为非负整
数求解即可．
【详解】解：∵
∴ ，
∵方程的解为非负整数，
7
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴有4组非负整数解．
故答案为：4．
13．方程组 的解满足 ．则 ．
【答案】
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、加减消元法
【分析】本题考查解二元一次方程组，一元一次方程，解题的关键是先求出方程组的解，然后代入
，再解关于 的方程即可．
【详解】解： ，
解得： ，
∵方程组 的解满足 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
14．若关于 ， 的方程组 与关于 ， 的方程组 具有相同的解，则 ，
．
【答案】 1
【知识点】加减消元法、方程组相同解问题
【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，利用方程组的解的定义， ， 满足 个方
程，则先解 和 组成的方程组，再把 、 代入另外两个方程得到关于 、 的方程组，然
后解方程组求出 、 的值．能得出关于 、 的方程组是解此题的关键．
8
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵关于 ， 的方程组 与关于 ， 的方程组 具有相同的解，
∴关于 ， 的方程组 与关于 ， 的方程组 具有相同的解，
解方程组 ，得 ，
把 代入 ，得 ，
解得： ，
故答案为： ； ．
15．若实数a，b满足 ，则 ．
【答案】
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值、加减消元法
【分析】本题考查了算术平方根的性质，非负数的性质，根据题意列出方程组，求得 的值是解题的关
键．根据平方的非负性以及算术平方根的非负性确定 的值，再代入代数式求值即可．
【详解】解：∵ ，
∴
解得
∴ ．
故答案为： ．
16．对 定义一种运算，规定 （其中 为非零常数），如 ，若
9
学科网（北京）股份有限公司，则 的值为 ．
【答案】8
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、加减消元法
【分析】本题以新运算为载体，考查了二元一次方程组的解法，正确得出方程组是解题的关键．根据新运
算法则可得关于 的方程组，解方程组可得 的值，再根据新运算求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
得： ，
∴ ，
把 代入①得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值为8．
故答案为：8．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1) ；
10
学科网（北京）股份有限公司(2) ．
【知识点】代入消元法、加减消元法
【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
（1）直接利用代入法求解即可；
（2）直接利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解： ，
把 代入 得： ，
解得： ，
把 代入 得： ，
∴方程组的解为： ；
（2）解：原方程组整理得： ，
得： ，
解得： ，
把 得： ，
解得： ，
∴方程组的解为： ．
18．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几
何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、
羊价各是多少？
【答案】合伙买羊的有21人，羊价为150钱．
【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)
11
学科网（北京）股份有限公司【分析】设合伙买羊的有 人，羊价为 钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3
钱”，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用，
找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：设合伙买羊的有 人，羊价为 钱，
依题意，得： ，
解得： ．
答：合伙买羊的有21人，羊价为150钱．
19．小华在解方程组 时，具体解法如下：
解：①×2得， ③，…………………（第一步）
③－②得， ，……………………（第二步）
所以， ，
将 代入①得， ．………………（第三步）
所以这个方程组的解是 ．
任务：
(1)这种求解二元一次方程组的解法叫做 （填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，第
一步的依据是 ；
(2)以上解答过程从第 步开始出现错误，具体错误是 ；
(3)请直接写出该二元一次方程组的正确解 ．
【答案】(1)加减消元法，等式的性质
(2)二，合并常数项时计算错误
(3)
【知识点】加减消元法
【分析】本题考查解二元一次方程组：
（1）根据解题步骤可知，为加减消元法，变形依据为等式的性质；
（2）第二步出现错误，合并常数项时计算错误；
12
学科网（北京）股份有限公司（3）利用加减消元法进行求解即可。
【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的解法叫做加减消元法，第一步的依据是等式的性质；
故答案为：加减消元法，等式的性质；
（2）第二步出现错误，原因是，合并常数项计算出错；
（3）解： 得， ③，
③－②得， ，
所以， ，
将 代入①得， ．
所以这个方程组的解是 ．
20．解答下列各题
(1)已知关于 ， 的二元一次方程组 的解 ， 的值相等，求 的值．
(2)已知关于 ， 的二元一次方程组 的解互为相反数，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】本题考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组；
（1）依题意， ，由①可得 ，代入②得， ，即可求解．
（2）依题意， ③，代入②得， ， ，将 代入①得， ，即可求解．
【详解】（1）解：
依题意，
由①可得 ，
解得：
∴ ，代入②得，
解得：
13
学科网（北京）股份有限公司（2）解：
依题意， ③
将③代入②得， ，
解得：
∴
将 代入①得，
解得：
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．关于x，y的二元一次方程均可以变形为 的形式，其中a，b，c，均为常数且 ， ，
规定：方程 的“关联系数”记为 ．
(1)二元一次方程 的“关联系数”为______．
(2)已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为 ，若 ，为该方程的一组解，且
均为正整数，求m，n的值．
【答案】(1)
(2) 或
【知识点】二元一次方程的定义、二元一次方程的解
【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程
组的方法．
（1）根据关联系数的定义进行解答即可；
（2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为 ，把 代入，得出 ，根据
m、n均为正整数，求出结果即可；
14
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：∵规定：方程 的“关联系数”记为 ，
∴二元一次方程 的“关联系数”为 ；
故答案为： ；
（2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为 ，
∴二元一次方程为 ．
∵ 为该方程的一组解，
∴ ，即 ．
∵m，n均为正整数，
∴ 或
22．已知关于 的方程组
(1)请直接写出方程 的所有正整数解；
(2)无论数 取何值，方程 总有一个固定的解，请求出这个解；
(3)若方程组的解中 恰为整数， 也为整数，求 的值．
【答案】(1) ， ；
(2)
(3) 或3或 或5
【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数、二元一次方程的解
【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解，二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握求方
程组的解是本题的关键．
（1）用含 的代数式表示 ，即可确定出方程的正整数解；
15
学科网（北京）股份有限公司（2）由固定的解与 无关，可得 ，代入可得固定的解；
（3）求出方程组中 的值，根据 恰为整数， 也为整数，可确定 的值．
【详解】（1）解：方程 ，
，
当 时， ；
当 时， ，
方程 的所有正整数解为： ．
（2）解： ，
，
当 时， ，
即固定的解为： ．
（3）解： ，
得： ，
，
，
恰为整数， 也为整数，
是3的约数，
或 ，或3，或 ．
故 或3或 ，或5.
23．“亲子猫”研学公司组织某中学师生共 人到佛顶山去参加研学活动，请阅读下列对话，解决实际
问题：
老师：“客运公司有 座和 座两种型号的客车可供租用，且租用 辆 座客车和 辆 座客车到佛顶
山研学，一天的租金共计 元．”
小英说：“我们学校七年级师生昨天在这个客运公司租了 辆 座和 辆 座的客车到佛顶山研学活动，
16
学科网（北京）股份有限公司一天的租金共计 元．”
(1)客运公司 座和 座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
(2)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，若使用最省钱的租车方式，
则租车费用应为多少元？
【答案】(1) 座客车每辆每天的租金为 元， 座客车每辆每天的租金为 元
(2)租车费用为 元
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、其他问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程组的知识，解题的关键是掌握二元一次方程组的应用，根据题意，列出方
程组，进行解答，即可．
（1）设 座客车每辆每天的租金为 元， 座客车每辆每天的租金为 元，根据题意，列出方程组，即
可；
（2）设租 辆 座客车， 辆 座客车，根据题意得： ，分类讨论， ， 的值，根据
租金为 ，求出最省钱的方案，即可．
【详解】（1）解：设 座客车每辆每天的租金为 元， 座客车每辆每天的租金为 元，
∴由题意得， ，
解得： ．
答： 座客车每辆每天的租金为 元， 座客车每辆每天的租金为 元．
（2）解：设租 辆 座客车， 辆 座客车，
∴
∴
∵ ， 都是非负整数，
∴ 或 或 或
∵租金为 ，
∴当 时， （元）；
17
学科网（北京）股份有限公司当 时， （元）；
当 时， （元）；
当 时， （元）；
∵ ，
∴使用最省钱的租车方式，费用为 元．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．数学方法：
解方程组： ，若设 ， ，则原方程组可化为 ，解
方程组得 ，所以 ，解方程组得 ，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去
替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)直接填空：已知关于 的二元一次方程组 ，的解为 ，那么关于 的二元一次方程
组 的解为： ．
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组 ．
(3)拓展应用：已知关于 的二元一次方程组 的解为 ，
求关于 的方程组 的解．
18
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】二元一次方程组的特殊解法
【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，根据题目给出的示例，用换元法解二元一次方程组是解
答本题的关键．
（1）设 ，即可得到 ，解方程组即可求解；
（2）设 ，则原方程组化为 ，解方程组即可求解；
（3）设 ，则原方程组化为 ， ，根据已知，可得 ，得
到 ，即可得到答案．
【详解】（1）解：设 ，
则原方程组化为 ，
∵关于 的二元一次方程组 的解为 ，
∴ ，
19
学科网（北京）股份有限公司解得： ，
故答案为： ；
（2）解：设 ，
则原方程组化为 ，
解得 ，
∴ ，
解得 ；
（3）解：设 ，
则原方程组化为 ，
整理得 ，
∵关于 的二元一次方程组 的解为 ，
∴ ，
∴ ，
20
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
25．
(1)填表，使上下每对 ， 的值是方程 的解．
(2)以上表中 的值为横坐标， 的值为纵坐标，在图 的平面直角坐标系中标出这些点观察并思考：
①这些点是否在一条直线上?
②过这些点中的任意两点作直线，在该直线上任取一点，这个点的坐标是方程 的解吗?
(3)(2)中这样的点我们可以找到无数个，这些点的全体叫做方程 的图象；请在图 的同一平面直角
坐标系中画出方程 的图象，并根据两个方程的图象直接写出方程组 的解．
(4)图2给出了方程组 的图象，根据图象提供的信息求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)①均在同一条直线上；是
(3)
(4)
【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解及其直线方程的图象；
21
学科网（北京）股份有限公司（1）先解出方程 的四个解，再在平面直角坐标系中利用描点法作图，再根据图形解答即可；
（2）根据（1）所作的图形即可解答；
（3）用描点法分别画出两个二元一次方程的图象，根据图象的交点就是方程组的解，即可解答；
（4）根据方程组的解为 ，进而求得 的值，即可求解．
【详解】（1）解：二元一次方程 的解，
可以为： ，
填表如下，
（2）①如图所示，由图可知，这些点都在同一条直线上；
②在这条直线上任取一点，这个点的坐标是方程 的解；
（3）解： 的解，
可以为：
如图所示，
22
学科网（北京）股份有限公司根据图象的交点就是方程组的解，则方程组 的解为
（4）解：根据函数图象可得方程组 的解为
∴
解得：
∴
23
学科网（北京）股份有限公司
