文档内容
第十章 二元一次方程组的计算必考六大类型（50 题）
【人教版2024】
【类型1 用指定的方法解方程组】..........................................................................................................................1
【类型2 用适当的方法解方程组】..........................................................................................................................2
【类型3 解三元一次方程组】..................................................................................................................................3
【类型4 换元法解二元一次方程组】.....................................................................................................................4
【类型5 整体代入法解二元一次方程组】.............................................................................................................7
【类型6 叠加叠减法解系数较大的方程组】.........................................................................................................9
【类型1 用指定的方法解方程组】
1．按要求解下列方程组．
{5x−y=3
)
{2x+3 y=1)
（1） （用代入法）； （2） （用加减法）．
3x+2y=7 3x−2y=8
2．用指定的方法解方程组
{ x+ y=2 ) {2x−5 y=−21)
（1） （代入消元法）； （2） （加减消元法）．
3x+2y=4 4x+3 y=23
3．用指定的方法解方程组：
{ y=2x−1① ) {2x−y=−5①)
（1）用代入法解： ； （2）用加减法解： ．
2x+3 y=−7② 6x+3 y=3②
4．按要求解方程组：
{x−y=−5) {3x−4 y=10)
（1） （代入法）； （2） （加减法）．
2x+3 y=5 5x+6 y=42
5．解二元一次方程组：
{ x+ y=5① ) {2x−4 y=14①)
（1） （代入法）； （2） （加减法）．
4x−2y=2② 3x+2y=5②
6．解方程组：
{ y−x=2 ) { 2x+ y=3 )
（1）（用代入法） ； （2）（用加减法） ．
4 y+2x=14 4x+3 y=3
7．解方程组{3x+2y=14) {4x+3 y=5)
（1）用代入法解： ． （2）用加减法解： ．
x= y+3 2x−y=−5
8．用指定的方法解下列方程组：
{2x−5 y=14①) {2x+3 y=9①)
（1） （代入法）； （2） （加减法）．
y=−x② 3x+5 y=16②
9．解下列方程组：
{ y=2x−3①) { x+ y=5① )
（1） （用代入消元法）； （2） （用加减消元法）．
3x+2y=8② 2x+3 y=11②
10．解方程组：
（1）{2x−y=5 )（用代入消元法）； （2）
{3(x−2y)+8 y=4
) （用加减消元法）．
x y
3x+4 y=2 + =2
3 2
【类型2 用适当的方法解方程组】
11．用适当的方法解下列方程组．
（1）{ x=1−y )； （2） { x +1= y ) ．
3
2x−y=−4
2(x+1)−y=6
12．解下列方程组：
（1）{2x−5 y=7)； （2） { x+ y + x−y =6 ) ．
3 2
4x−3 y=7
3(x+ y)−2(x−y)=2
13．解下列方程组：
（1）{3x+ y=8)； （2） { x−1 = y+1 ) ．
2 3
2x−y=7
2(x−y)=8−3 y
14．解下列方程组：
（1）{3x+2y=14)； （2） { x+ y + x−y =1 ) ．
2 3
2x−y=7
4(x+ y)−5(x−y)=−38
15．解下列方程组：（1）{ 2x−y=1，① )； （2）
{4(x−y−1)=3(1−y)−2，①
) ．
x y
4x+3 y=27；② + =2．②
2 3
16．解方程组：
{3x+4 y=16) { 2x−3 y+5=0 )
（1） ； （2） 6 y−4x+3 ．
6x+9 y=25 =2y+1
7
17．解二元一次方程组：
（1）{x−y=7 )； （2）
{2(3x−4)−3(2y−1)=1
) ．
x y
3x+ y=5 + =1
3 2
18．解下列的二元一次方程组：
（1）{5x+2y=8)； （2）
{4(x−y−1)=3(1−y)−2
) ．
x y
3x−y=7 + =2
2 3
19．解二元一次方程组：
1
（1）
{ 2x−4(y−
4
)=3 )
； （2）
{x+ y
=
0.3x+0.4 y
) ．
0.02 0.3
(x+3) 2y+3 1
− = x+ y=2
5 3 15
20．解方程组：
{4(x−1)−3(y+2)=−8)
{x+4 y
−6=
5 y−1
)
（1） ； （2） 3 2 ．
3x−2y=3
5x+7 y=9
【类型3 解三元一次方程组】
{x−4 y+z=−3，①
)
21．解三元一次方程组 2x+ y−z=18，② ．
x−y−z=7，③
{
x+2y−z=1
)
22．解方程组： 3x−3 y+z=2 ．
2x+3 y+z=7
{
2x+3 y−z=11
)
23．解方程组： 2x+ y−5z=8 ．
−2x+7 y+z=19{
x+3 y+2z=3
)
24．解方程组： 2x−3 y−z=−2 ．
4x+3 y−3z=−2
{
x−y−z=−1，
)
25．解方程组： 3x+5 y+7z=11，
4x−y+2z=−1.
4x+9 y−12=0①
{ )
3 y−2z−1=0②
26．解三元一次方程组： ．
19
7x+5z− =0③
4
{x+ y
=
z+x
=
y+z
)
27．设线段x、y、z满足 2 3 4 ，求x、y、z的值．
x+ y+z=18
28．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝﹣2：当x＝2时，y＝7．
（1）求a，b，c的值；
（2）求当x＝﹣3时，y的值．
{x−4
=
y+1
=
z+2
)
29．解方程组： 3 4 5 ．
x−2y+3z=30
{2x−3 y+5z=5
)
30．解方程组： 3x+ y−2z=9 ．
5x−2y+z=12
【类型4 换元法解二元一次方程组】
31．阅读材料，解答问题：
材料：解方程组{3(x+ y)−(x−y)=2 )，我们可以设 x+y＝a，x﹣y＝b，则原方程组可以变形为
5(x+ y)+3(x−y)=8
{3a−b=2
)
{a=1) {x+ y=1) {x=1)
，解得 ，将a、b转化为 ，再解这个方程组得 ．这种解方程的过
5a+3b=8 b=1 x−y=1 y=0
程，就是把某个式子看作一个整体，用一个字母代替他，这种解方程组得方法叫做换元法．
请用换元法解方程组：{3(x+ y)−2(x−y)=1)．
(x+ y)+(x−y)=7
32．阅读探索
（1）知识积累解方程组{(a−1)+2(b+2)=6)．
2(a−1)+(b+2)=6
{x+2y=6)
解：设a﹣1＝x，b+2＝y，原方程组可变为 ，
2x+ y=6
{x=2)
解方程组，得 ．
y=2
{a−1=2)
即 ，
b+2=2
{a=3)
所以有 ．
b=0
此种解方程组的方法叫换元法．
a b
{ ( −1)+2( +2)=4)
（2）拓展提高运用上述方法解方程组： 3 5 ．
a b
2( −1)+( +2)=5
3 5
33．阅读探索：
材料一：解方程组{(a−1)+2(b+2)=6)时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：
2(a−1)+(b+2)=6
{x+2y=6)
解：设a﹣1＝x，b+2＝y，原方程组可化为 ，
2x+ y=6
{x=2) {a−1=2) {a=3)
解得 ，即 ，解得 ．
y=2 b+2=2 b=0
{4x+10 y=6①)
材料二：解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
8x+22y=10②
解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，
{ x=4 )
则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为： ．
y=−1
根据上述材料，解决下列问题：
a b
{ ( −1)+2( +2)=4)
（1）运用换元法解求关于a，b的方程组： 4 3 的解；
a b
2( −1)+( +2)=5
4 3（ 2 ） 若 关 于 x ， y 的 方 程 组 {a 1 x+b 1 y=c 1 )的 解 为 {x=10)， 求 关 于 m ， n 的 方 程 组
a x+b y=c y=6
2 2 2
{5a (m−3)+3b (n+2)=c )的解．
1 1 1
5a (m−3)+3b (n+2)=c
2 2 2
{3x−2z+12y=47①)
（3）已知x、y、z，满足 ，试求z的值．
2x+z+8 y=36②
34．阅读下列材料，解答问题：
材料：解方程组{5(x+ y)−3(x−y)=2)，若设 x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程组可变形为
2(x+ y)+4(x−y)=6
{5m−3n=2) {m=1) {x+ y=1) {x=1)
，用加减消元法得 ，所以 ，在解这个方程组得 ，由此可以看
2m+4n=6 n=1 x−y=1 y=0
出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方
法叫换元法．
问题：请你用上述方法解方程组 { x+ y = x−y ) ．
2 3
2(x+ y)−3x+3 y=25
35．先阅读下列材料；再解决相关问题：
解方程组{(a−1)+2(b+2)=6)
2(a−1)+(b+2)=6
{x+2y=6)
解：设a﹣1＝x，b+2＝y，原方程组可转化为
2x+ y=6
{x=2) {a−1=2) {a=3)
解方程组得 ，即 ，所以 ．此种解方程组的方法叫换元法．
y=2 b+2=2 b=0
1 1
{ + =2，)
（1）如果用换元法解方程组： m n ，可以设x＝ ，y＝ ，则该方程组可以转化为
1 1
− =7
m n
关于x、y的方程组： ；a b
{2( −1)+3( +2)=7，)
（2）用换元法解方程组： 3 5 ．
a b
5( −1)−2( +2)=8
3 5
36．【阅读材料】
小明同学遇到下列问题：
2x+3 y 2x−3 y
{ + =7)
解方程组 4 3 ，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较
2x+3 y 2x−3 y
+ =8
3 2
大，也容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看作一个数，把（2x﹣3y）看作一个数，通过换元，可
以解决问题．以下是他的解题过程：
令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，
m n
{ + =7)
这时原方程组化为 4 3 ，解得{m=60 )，
m n n=−24
+ =8
3 2
{m=60
)
把 代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．
n=−24
{ 2x+3 y=60 ) { x=9 )
得 解得 ．
2x−3 y=−24 y=14
{ x=9 )
所以，原方程组的解为
y=14
【解决问题】
请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：
x+ y x−y
{ + =2 )
（1）解方程组 3 5 ；
x+ y x−y
− =−1
3 5
（2）已知方程组{ax+by=m)的解是{x=3)，求方程组{a(x+1)−by=m)的解．
cx+dy=n y=2 c(x+1)−dy=n37．解方程组{5(x+ y)−3(x−y)=2)若设（x+y）＝A，（x﹣y）＝B，则原方程组可变形为
2(x+ y)+4(x−y)=6
{5A−3B=2) {A=1) {x+ y=1) {x=1)
，解方程组得 ，所以 解方程组得 ，我们把某个式子看成一个
2A+4B=6 B=1 x−y=1 y=0
整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫换元法，请用这种方法解方程组
{ x+ y + x−y =6 ) ．
2 3
2(x+ y)−3x+3 y=24
38．数学方法：
解方程组：{3(2x+ y)−2(x−2y)=26)，若设 2x+y＝m，x﹣2y＝n，则原方程组可化为
2(2x+ y)+3(x−2y)=13
{3m−2n=26) {m=8 ) { 2x+ y=8 ) {x=3)
，解方程组得 ，所以 ，解方程组得 ，我们把某个式子看
2m+3n=13 n=−1 x−2y=−1 y=2
成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
{ax+by=6) {x=−2)
（1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组 ，的解为 ，那么关于m、n的
bx+ay=3 y=4
二元一次方程组{a(m+n)+b(m−n)=6)的解为： ．
b(m+n)+a(m−n)=3
（2）知识迁移：请用这种方法解方程组 { x+ y − x−y =4 ) ．
2 3
2(x+ y)+x−y=16
（3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组{a
1
x+b
1
y=c
1
)的解为{ x=4 )，求关于x，y的方
a x+b y=c y=−3
2 2 2
程组{2a x+3b y=5c
)的解．
1 1 1
2a x+3b y=5c
2 2 2
39．阅读与思考：阅读下列材料，完成后面的任务．
2
{2(m+2)+3(n− )=1，)
善于思考的李同学在解方程组 3 时，采用了一种“整体换元”的解法．
2
7(m+2)+6(n− )=2
3
2 2
解：把m+2，n− 看成一个整体，设m+2＝x，n− = y．
3 3
{2x+3 y=1，)
{x=0，
)
{m+2=0，
) {m=−2，)
原方程组可化为 解得 1 ∴ 2 1 ，∴原方程组的解为
7x+6 y=2， y= ， n− = ， n=1.
3 3 3
任务：
（1）方程组{3x−2y=1，)的解是{x=3，)，则方程组{3(a+b)−2(a−b)=1，)的解是
9x−2y=19 y=4， 9(a+b)−2(a−b)=19
．
{3(x+ y)−4(x−y)=4，
)
（2）仿照上述解题方法，用“整体换元”法解方程组
x+ y x−y
+ =1.
2 6
40．我们在解二元一次方程组{3(2x+ y)−2(x−2y)=26)时，若假设{2x+ y=m)，则原方程组可化为
2(2x+ y)+3(x−2y)=13 x−2y=n
{3m−2n=26) {m=8 ) { 2x+ y=8 ) {x=3)
，解之得 ，即 ，解之得 ，在上面的解题过程中，我们把
2m+3n=13 n=−1 x−2y=−1 y=2
某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法．
{ax+by=6) {x=−2)
（1）已知关于x、y的二元一次方程组 的解为 ，求关于m、n的二元一次方程组
bx+ay=3 y=4
{a(m+n)+b(m−n)=6)的解；
b(m+n)+a(m−n)=3
（2）请用上面的换元法解方程组 { x+ y − x−y =4 ) ．
2 3
2(x+ y)+x−y=16【类型5 整体代入法解二元一次方程组】
41．先阅读材料，然后解方程组．
{ x+ y−2=0 ①)
材料：解方程组： ．
3(x+ y)−y=4 ②
由①，得x+y＝2．③
把③代入②，得3×2﹣y＝4，解得y＝2．
把y＝2代入③，得x＝0．
{x=0)
∴原方程组的解为 ．
y=2
这种方法称为“整体代入法”你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程
{ 3x−2y−1=0 ① )
组： 3x−2y+5 ．
+ y=2 ②
6
42．阅读材料并解决问题．
（1）观察发现；
{ x+ y=4① )
材料：解方程组
3(x+ y)+ y=14②
解：将①整体代入②，得3×4+y＝14，
解得y＝2，
把y＝2代入①，得x＝2，
{x=2)
所以 ．
y=2
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请直接写出
{ x−y−1=0 )
的解为 ．
4(x−y)−y=5
{2x+ y=−3m+2①) 5
（2）拓展运用：若关于x，y的二元一次方程组 的解满足x+ y＞− ，请求出满
x+2y=7② 6
足条件的m的所有正整数值．
{5x−2y=43) {x=9)
（3）迁移应用：若关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，则若关于a，b的二元
3x+4 y=31 y=1二次方程组{5a2−2b2=43)的解是
．
3a2+4b2=31
43．【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常也会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方
{2x+5 y=3①)
程组转化为一元一次方程求解，比如，解方程组 ，首先将方程②变形得4x+10y+y＝
4x+11y=5②
5，即2（2x+5y）+y＝5③，其次把方程①代入③得：2×3+y＝5，即y＝﹣1，最后把y＝﹣1代入方程
{ x=4 )
①，得x＝4，所以方程组的解为 ．
y=−1
{3x+4 y=16①)
【解决问题】（1）请用“整体代入消元”的方法解方程组 ；
6x+10 y=25②
{ x+xy+3 y=10①)
（2）已知x、y满足方程组 ，求xy的值．
3x−xy+9 y=10②
44．阅读材料：我们已经学过利用“代入消元法”和“加减消元法”来解二元一次方程组，通过查阅相关
{ 2x+ y=0①)
资料，“勤奋组”的同学们发现在解方程组 时，可以采用一种“整体代入”的解法．
4x+3 y=6②
解：将方程②变形为4x+2y+y＝6，即2（2x+y）+y③，
把方程①代入方程③，得：2×0+y＝6，解得y＝6，
把y＝6代入方程①得x＝﹣3，
{x=−3)
所以方程组的解为 ．
y=6
请你根据上述材料，解决以下问题：
{ 2x−y=5 )
（1）利用“整体代入”法解方程组 ；
7x−3 y=20
{x+2y=k−1)
（2）小明利用“整体代入”法解方程组 时，解得y＝﹣1，求k的值．
2x+3 y=k
45．【材料阅读】
在“二元一次方程组”中，学习过用“代入法”和“加减法”解方程组，我们还可以巧用“整体代入
法”解方程组．例如：
{3x+2y=5)
解方程组： ；
6x+5 y=8
解：将6x+5y＝8，变形为6x+4y+y＝8，即2（3x+2y）+y＝8．
将3x+2y＝5代入，可得y＝﹣2．将y＝﹣2代入3x+2y＝5，可得x＝3．
{x=3，)
所以，方程组的解为 ．
y=−2
【解决问题】：
{2x−5 y=−3)
（1）利用上述“整体代入法”解方程组： ；
4x−11y=2
（2）已知x，y满足方程组：{ 2x2+xy−3 y2=5 )，不用求出x，y的具体值，求
x2−
5
y2
的值．
2x2−2xy+ y2=−3 6
【类型6 叠加叠减法解系数较大的方程组】
{32x+35 y=38 ①)
46．【阅读理解】在课堂上，大家探究方程组： 的不同解法．同学们发现：虽然这
30x+33 y=36 ②
个方程组中x，y的系数及常数项的数值较大，但我们也是可以用教材上学过的常规的代入消元法、加
减消元法来解出来的，小明带着这个问题查找了一些课外辅导资料，他发现采用下面的解法来消元更简
单：
①﹣②，得2x+2y＝2，所以x+y＝1③；
③×35﹣①，得3x＝﹣3．
{x=−1)
解得x＝﹣1，从而y＝2所以原方程组的解是 ．
y=2
【尝试应用】请你认真观察方程组的特点，也尝试运用小明发现的上述方法解这个方程组：
{2016x+2018 y=2020 ①)
．
2019x+2021y=2023 ②
47．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
{14x+15 y=16①)
解方程组 时，由于x、y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、
17x+18 y=19②
加减消元法来解，那将是计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得：3x+3y＝3，所以x+y＝1③
③×14得：14x+14y＝14④
①﹣④得：y＝2，从而得x＝﹣1
{x=−1①)
所以原方程组的解是
y=2②
{2022x+2023 y=2024)
（1）请你运用上述方法解方程组
2025x+2026 y=2027{2077x−2078 y=2079)
（2）请你直接写出方程组 的解是 ；
2078x−2079 y=2080
（3）猜测关于x、y的方程组{mx+(m+1)y=m+2)（m≠n）的解是什么？并用方程组的解加以验
nx+(n+1)y=n+2
证．
{32x+35 y=38①)
48．解方程组 时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、
30x+33 y=36②
加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
解：①﹣②得2x+2y＝2，所以x+y＝1③．
③×35﹣①得3x＝﹣3，解得x＝﹣1，则y＝2．
{x=−1)
∴原方程组的解是
y=2
{1009x+1007 y=2019①)
请你运用上述方法解方程组：
1011x+1013 y=2021②
49．【阅读材料】
{10x+23 y=119①)
解二元一次方程组： ．
23x+10 y=145②
思路分析：解这个方程组直接用加减法或代入法运算都比较复杂，但观察方程组的未知数的系数可以看
出，若先把两个方程相加可得到：33x+33y＝264，化简得x+y＝8，所以x＝8﹣y③．
把③代入方程①，得10（8﹣y）+23y＝119，解得y＝3，把y＝3代入③，得x＝5．
{x=5)
∴原方程组的解是 ．这样运算显得比较简单．
y=3
解答过程：由 ①+②，得33x+33y＝264，即x+y＝8．
∴x＝8﹣y③，把③代入①，得10（8﹣y）+23y＝119．
解得y＝3，把y＝3代入③，得x＝5．
{x=5)
∴原方程组的解是
y=3
【学以致用】
{x+3 y=5)
（1）填空：由二元一次方程组 ，可得x+y＝ ；
3x+ y=3
{2021x−2022y=2023①)
（2）解方程组： ；
2020x−2021y=2022②
【拓展提升】（3）当 1时，解关于x，y的方程组{(m−1)x+(m+2)y=−5m−1①)．
m≠−
2 (m+3)x−(2−m)y=−5m−5②
50．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
{14x+15 y=16①)
解方程组 时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、
17x+18 y=19②
加减消元法来解，计算量将会很大，且容易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得3x+3y＝3．
x+y③．
③×14得14x+14y＝14④．
①﹣④得y＝2，从而得x＝﹣1．
{x=−1) {2015x+2016 y=2017)
原方程组的解是 （1）请运用上述方法解方程组 ；
y=2 2018x+2019 y=2020
{ 998x+999 y=1000 )
（2）请直接写出方程组 的解是 ；
9998x+9999 y=10000
（3）猜测关于x，y的方程组{mx+(m+1)y=m+2)（m≠n）的解，并加以验证．
nx+(n+1)y=n+2
