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10.3 实际问题与二元一次方程组（11 大类型提分练）
类型一、和差倍问题..........................................................................................................................................1
类型二、方案问题..............................................................................................................................................2
类型三、行程问题..............................................................................................................................................4
类型四、工程问题..............................................................................................................................................6
类型五、数字问题..............................................................................................................................................9
类型六、年龄问题............................................................................................................................................11
类型七、配套问题............................................................................................................................................12
类型八、销售问题............................................................................................................................................14
类型九、几何问题............................................................................................................................................17
类型十、图表信息问题....................................................................................................................................19
类型十一、古数学问题....................................................................................................................................22
类型一、和差倍问题
1．（23-24七年级下·全国·课后作业）甲、乙两水池现共贮水40 t，如果甲池进水4 t，乙池进水8 t，那么
甲池水量等于乙池水量，则甲、乙两水池原先各自的贮水量是（ ）
A．甲22 t，乙18 t B．甲23 t，乙17 t
C．甲21 t，乙19 t D．甲24 t，乙16 t
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲水池原先的贮水量是x t，乙水池原先的贮水量是y
t，根据题意，列出二元一次方程组进行求解即可．
【详解】设甲水池原先的贮水量是x t，乙水池原先的贮水量是y t．
{ x+ y=40 )
根据题意，得 ，
x+4= y+8
{x=22)
解得 ；
y=18
所以甲水池原先的贮水量是22t，乙水池原先的贮水量是18t．
故选A．
2．（23-24七年级下·全国·假期作业）在一个停车场，停了小轿车和摩托车一共32辆，这些车一共有108
个轮子，则该停车场小轿车和摩托车的辆数分别为（ ）
A．21，11 B．22，10 C．23，9 D．24，8
【答案】B
【解析】略
3．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）在《哪吒2》的剧情中，哪吒和敖丙一起炼制A，B两种丹药．已知
炼制一颗A丹药需要3份火莲精华和2份龙鳞粉末，炼制一颗B丹药需要5份火莲精华和4份龙鳞粉末．经
过合作，哪吒和敖丙一共收集了45份火莲精华与34份龙鳞粉末，且炼制完丹药时这些材料刚好用完．求
炼制A丹药与B丹药各多少颗？
【答案】炼制A丹药5颗，炼制B丹药6颗
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，根据表格数据列方程组并正确求解即可．【详解】解：设炼制A丹药x颗，炼制B丹药y颗，
{3x+5 y=45)
根据题意，得 ，
2x+4 y=34
{x=5)
解方程组，得 ．
y=6
答：共炼制A丹药5颗，炼制B丹药6颗．
4．（2025·山西运城·模拟预测）2024年10月30日，搭载“神舟十九号”载人飞船的长征二号F遥十九运
载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，将航天员蔡旭哲、宋令东和王浩泽顺利送入太空，“神舟十九
号”载人飞船发射取得圆满成功.某电商平台经销商看准商机，迅速推出“天宫”和“神舟”两款模型玩具，
已知销售店老板从玩具生产商购进1个“天官”模型的费用比购进1个“神舟”模型的费用多20元；购进
3个“天宫”模型的费用与购进4个“神舟”模型的费用相等.分别求“天宫”模型和“神舟”模型的进货
单价.
【答案】“天宫”模型的进货单价为80元，“神舟”模型的进货单价为60元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设
“天宫”模型的进货单价为x元，“神舟”模型的进货单价为y元，根据销售店老板从玩具生产商购进1
个“天官”模型的费用比购进1个“神舟”模型的费用多20元及购进3个“天宫”模型的费用与购进4个
“神舟”模型的费用相等，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设“天宫”模型的进货单价为x元，“神舟”模型的进货单价为y元，
{x−y=20)
根据题意得： ，
3x=4 y
{x=80)
解得： ，
y=60
答：“天宫”模型的进货单价为80元，“神舟”模型的进货单价为60元．
类型二、方案问题
5．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某班有15名女同学参加夏令营活动，住宿时有2人间和3
人间可供租住，每个房间都要住满，她们有几种租住方案（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
【答案】C
【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，
列出方程，找出符合条件的正整数解．设住了x间2人间，y间3人间，列出方程2x+3 y=15，根据2x为
偶数，15为奇数，推出y为奇数，找出所有符合条件的正整数解即可．
【详解】解：设住了x间两人间，y间3人间，
根据题意可列方程：2x+3 y=15，
∵2x为偶数，15为奇数，
∴3 y为奇数，则y为奇数，
当y=1时，x=6；当y=3时，x=3；
当y=5时，x=0；
∴共有3种住宿方案，
故选：C．
6．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某小组分若干本书，若每人分一本，则余一本，若每人分给2本，
则缺3本，那么共有图书（ ）
A．6本 B．5本 C．4本 D．3本
【答案】B
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设人数为x,图书为y,根据每人分一本，则余一本，若每人分2
本，则缺3本列出方程组解答即可．
【详解】解：设人数为x人，图书为y本，根据题意可得：
{ x+1= y )
，
2x−3= y
{x=4)
解得， ，
y=5
所以，共有图书5本，
故选：B．
7．（24-25七年级下·福建厦门·期中）已知，用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1
辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有27吨货物，计划同时租用A型车a辆，
B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆车B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你直接写出该公司的租车方案．
【答案】(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨．
(2)①A型车1辆，B型车6辆；②A型车5辆，B型车3辆．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：
（1）设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨，y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车
装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨”，即可得出关于x、y
的二元一次方程组，解之即可得出结论；
27−3a
（2）由（1）的结论结合某物流公司现有27吨货物，即可得出3a+4b=27，即b= ，由a、b均
4
为正数即可得出各租车方案．
【详解】（1）解：设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨，y吨，
{2x+ y=10)
根据题意得： ，
x+2y=11
{x=3)
解得： ．
y=4
答：1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨．（2）解：设分别租a辆A型车和b辆B型车，
由题意可得：3a+4b=27，
27−3a
∴b= ．
4
∵a，b均为整数，（要求既有A型车又有B型车）
{a=1) {a=5)
∴有 和 两种情况．
b=6 b=3
故共有两种租车方案，分别为：
①A型车1辆，B型车6辆；
②A型车5辆，B型车3辆．
8．（24-25七年级下·全国·课后作业）8名同学去郊游，途中计划用20元购买汽水和奶茶，其中汽水每杯
是2元，奶茶每杯是3元．
(1)有几种购买方案？每种方案可买汽水和奶茶各多少杯？
(2)当奶茶至少买2杯，每人至少有1杯饮料时，有几种购买方案？
【答案】(1)三种购买方案，见解析
(2)两种
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
（1）设购买可乐x杯，奶茶y杯，根据总价=单价×数量，即可得出关于x,y的二元一次方程，结合x,y均
为正整数即可得出各购买方案；
（2）根据题意和表格即可求解．
【详解】（1）解：设购买x杯汽水和y杯奶茶，根据题意，得2x+3 y=20．因为x,y均为正整数，
列表可得：
x 1 4 7
y 6 4 2
所以有三种购买方案：
购买方式1：购买可乐1杯，奶茶6杯；
购买方式2：购买可乐4杯，奶茶4杯；
购买方式3：购买可乐7杯，奶茶2杯．
（2）解：根据题意，结合表格可知有两种购买方案，即4杯汽水，4杯奶茶，7杯汽水，2杯奶茶．
类型三、行程问题
9．（23-24七年级下·全国·课后作业）A，B两地相距3km，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行
到A地，两人同时出发，20min后相遇，又经过10min后，甲所余路程为乙所余路程的2倍，则甲、乙二
人的速度分别是（ ）
A．4km/h和5km/h B．3km/h和4km/h C．2km/h和4km/h D．2km/h和
3km/h【答案】A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设甲、乙二人的
速度分别是xkm/h和ykm/h，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案．
1 1
【详解】解：20min= h，10min= h，
3 6
设甲、乙二人的速度分别是xkm/h和ykm/h，
1
{ (x+ y)=3 )
3
根据题意，可得 ，
(1 1) [ (1 1) )
3− + x=2 3− + y
3 6 3 6
{x=4)
解得 ，
y=5
即甲、乙二人的速度分别是4km/h和5km/h．
故选：A．
10．（24-25七年级下·全国·课后作业）甲，乙两船相距42nmile，相向而行，2h后相遇；同向而行，甲
14h后追上乙．水流速度忽略不计，甲，乙两船的速度分别为（ ）
A．11nmile/h,10nmile/h B．13nmile／h,12nmile／h
C．14nmile／h,11nmile／h D．12nmile/h,9nmile/h
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，涉及相遇问题和追及问题．需要理解“相向而行”和“同向
而行”的含义．
在相遇问题中，两船的路程之和等于总路程．在追及问题中，快船的路程减去慢船的路程等于两船的初始
距离，分别利用“路程=速度×时间”列出方程组．
【详解】解：设甲船的速度为xnmile／h，乙船的速度为ynmile／h，
{ 2(x+ y)=42 )
根据题意，得 ，
14(x−y)=42
{x=12)
解得： ，
y=9
∴甲船的速度为12nmile／h，乙船的速度为9nmile／h，
故选：D．
11．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）甲、乙两人都以不变的速度在400米的环形路上跑步．如
果同时同地出发，反向而行，每隔2分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔6分钟相遇一次．
已知甲比乙跑得快．
(1)甲、乙两人速度分别是多少米每分钟？
(2)甲、乙两人跑一圈各需要多少分钟？400 200
【答案】(1)甲、乙两人速度分别是 米/每分钟， 米/每分钟
3 3
(2)甲、乙两人跑一圈各需要3分钟，6分钟
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）设甲每分钟跑x米，乙每分钟跑y米，根据“如果同时同地出发，反向而行，每隔2分钟相遇一次，
如果同时同地出发，同向而行，每隔6分钟相遇一次”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可
得出结论．
（2）由路程÷速度=时间进行求解即可．
【详解】（1）解：设甲每分钟跑x米，乙每分钟跑y米，
{2(x+ y)=400)
依题意，得： ，
6(x−y)=400
400
{ x= )
3
解得： ．
200
y=
3
400 200
答：甲、乙两人速度分别是 米/每分钟， 米/每分钟；
3 3
400
（2）解：甲跑一圈各需要400÷ =3（分钟），
3
200
乙跑一圈各需要400÷ =6（分钟），
3
12．（24-25七年级下·全国·课后作业）兄弟二人骑车同时从甲地到乙地，弟弟在前一半路程每小时行4千
1 1
米，后一半路程每小时行6千米．哥哥按时间分段行驶，前 时间每小时行4千米，中间 时间每小时行5
3 3
1
千米，后 时间每小时行6千米，结果哥哥比弟弟早到20分钟．甲乙两地相距多少千米？
3
【答案】甲乙两地相距40千米
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键．
设甲乙两地相距x千米，哥哥所用的时间为y，根据“弟弟在前一半路程每小时行4千米，后一半路程每小
1 1 1
时行6千米．哥哥按时间分段行驶，前 时间每小时行4千米，中间 时间每小时行5千米，后 时间每小
3 3 3
时行6千米，结果哥哥比弟弟早到20分钟”，列二元一次方程，求解即可得出答案．
【详解】解：设甲乙两地相距x千米，哥哥所用的时间为y．
1 1
{ x x )
2 2 20
+ = y+
4 6 60 ，
1 1 1
4× y+5× y+6× y=x
3 3 3{x=40)
解得 ，
y=8
答：甲乙两地相距40千米．
类型四、工程问题
13．（22-23七年级下·广东广州·阶段练习）羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区
人和镇的A工程、B工程，甲工程队晴天需要14天完成，雨天工作效率下降30%；乙工程队晴天需15天完
成，雨天工作效率下降20%，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（ ）天．
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设两工程队各工作了x天，在施工期间有y天有雨，根据题意
列出方程组即可求解，根据题意正确列出方程组是解题的关键．
【详解】解：设两工程队各工作了x天，在施工期间有y天有雨，
1 1
{ (x−y)+ ×(1−30%)y=1)
14 14
由题意得， ，
1 1
(x−y)+ ×(1−20%)y=1
15 15
{x=17)
解得
y=10
∴两个工程队各工作了17天，
故选：C．
14．（23-24七年级下·全国·课后作业）某工人原计划在限定的时间内加工一批零件，如果每小时加工15
个零件，就可以超额完成3个；如果每小时加工18个零件，就可以提前1h完成．这批零件有 个，
按原计划需 h完成．
【答案】 72 5
【分析】本题考查列二元一次方程组解应用题，掌握列二元一次方程组解应用题的方法与步骤，抓住等量
关系列方程是解题关键．
设按原计划需x小时完成．根据等量关系如果每小时加工 15个零件，可以超额完成 3 个；如果每小时加
工 18个零件，可以提前 1 小时完成，列方程，解方程即可．
【详解】解：设按原计划需x小时完成，这批零件有 y个，
{ 15x−3= y )
根据题意可得： ，
18(x−1)= y
{ x=5 )
解得： ，
y=72
答：这批零件有 72个，按原计划，5小时完成．
故答案为：72；5．
15．（24-25七年级下·全国·课后作业）安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此
项工程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项
工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天．
(1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天；
4
(2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的 ．
5
【答案】(1)甲队单独完成此项工程需要40天，乙队单独完成此项工程需要15天
4
(2)与公司派来的乙工程队再合作6天可完成此项工程
5
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方
程（组）．
（1）设甲队单独完成此项工程需要x天，乙队单独完成此项工程需要y天，根据题意列出方程组，解方程
组，即可求解；
4
（2）设与公司派来的乙工程队再合作a天可完成此项工程的 ，根据题意列出一元一次方程，解方程，即
5
可求解．
【详解】（1）解：设甲队单独完成此项工程需要x天，乙队单独完成此项工程需要y天，
根据题意得¿
解得¿
答：甲队单独完成此项工程需要40天，乙队单独完成此项工程需要15天
4
（2）解：设与公司派来的乙工程队再合作a天可完成此项工程的 ，
5
10 a a 4
根据题意得 + + =1× ，
40 40 15 5
解得a=6，
4
答：与公司派来的乙工程队再合作6天可完成此项工程 ．
5
16．（24-25七年级下·四川资阳·阶段练习）穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了
一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5
米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米．
(1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？
(2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进0.3米．按此施工
进度，能够比原来少用多少天完成任务？
【答案】(1)甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、4.5米；
300
(2)能比原来少用 天．
49
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意是解本题的关键；
（1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，根据题意列方程组，解方程组即可；（2）设按原
来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，分别计算出施工进度改进前和改进后完成任务还需的天数，再作差即可．
【详解】（1）解：设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，
{ x−y=0.5 )
由题意得 ，
6(x+ y)=57
{ x=5 )
解得 ．
y=4.5
答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、4.5米；
（2）解：设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，则
a=(1957−57)÷(5+4.5)=200（天），
9500
b=(1957−57)÷(5+4.5+0.3)= （天），
49
9500 300
则a−b=200− = （天）．
49 49
300
答：能比原来少用 天．
49
类型五、数字问题
17．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1．若这个两位数减去
36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，则这个两位数是（ ）
A．86 B．68 C．94 D．73
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设十位数字是x，个位数字是y，由题意列方程组求解即可
得到答案，读懂题意，准确列出二元一次方程组是解决问题的关键．
【详解】解：设十位数字是x，个位数字是y，
{ x−2y=1 )
则 ，
(10x+ y)−36=10 y+x
{x=7)
解得 ，
y=3
∴原来的两位数是73，
故选：D．
18．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方
——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相
等．如图是一个未完成的幻方，则x−y的值是（ ）
x 6 20
22 yA．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．理解题意，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据定
义补全九宫格，列二元一次方程组求解即可．
【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，都是x+20+6=x+26，
补全九宫格如下：
x 6 20
22 x+2 y
4 18 x+4
{ 22+x+2+ y=x+26 )
∴ ，
x+x+2+x+4=x+26
{x=10)
解得 ，
y=2
∴x−y=10−2=8．
故选：C．
19．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）有一个两位数，设它的十位上的数字为x，个位上的数字
为y，已知十位上的数字与个位上的数字之和为11，把十位上的数字和个位上的数字互换位置后得到一个
新的两位数，新的两位数比原来的两位数大27．
(1)原来的两位数为__________，新的两位数为__________（用含有x、y的代数式表示）
(2)根据题意，求原来的两位数．
【答案】(1)10x+ y，10 y+x
(2)47
【分析】本题考查列代数式，二元一次方程组的实际应用：
（1）根据题意，列出代数式即可；
（2）根据题意，列出方程组进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，原来的两位数为10x+ y；新的两位数为10 y+x；
（2）由题意，得：
{ x+ y=11 ) {x=4)
，解得： ，
10 y+x−10x−y=27 y=7
∴原来的两位数为47．
20．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为11，把十位数字和
个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45．
(1)试通过列一元一次方程的方法求出原来的两位数；
(2)若设原来的两位数的个位数字为x，十位数字为y，依据题意列出关于x，y的方程组（无需求解），并
检验（1）中求得的结果是否满足所列的方程组．【答案】(1)原来的两位数为38；
{ x+ y=11 )
(2) ，检验见解析．
10 y+x+45=10x+ y
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方
程组是解题的关键．
（1）设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为(11−x)，根据“把十位数字和个位数字互换位置后得
到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结
论；
（2）根据“十位数字与个位数字之和为11，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新
的两位数比原来的两位数大45”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，再代入x,y值，验证即可．
【详解】（1）解：设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为(11−x)，依题意，得：
10(11−x)+x+45=10x+(11−x)，
解得：x=8，
∴11−x=3，
∴原来的两位数为38；
（2）解：依题意，得：
{ x+ y=11 )
，
10 y+x+45=10x+ y
由（1）知x=8,y=3，
{ 8+3=11 )
∴ ，
10×3+8+45=10×8+3
{x=8)
∴ 是方程组的解，
y=3
∴（1）中求得的结果满足所列的方程组．
类型六、年龄问题
21．（23-24七年级下·全国·假期作业）小明问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时
你才出生，你到我这么大时我已经39岁了．”老师年龄为 岁，小明年龄为 岁．
【答案】 26 13
【解析】略
22．（23-24七年级上·广东江门·开学考试）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年
的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为
岁， 乙的年龄为 岁．
【答案】 28 21
【分析】设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大(x−y)岁，然后根据题意列出方程组求解
即可．
【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大(x−y)岁，{ x = y−(x−y) )
由题意得： 2 ，
x+(x−y)=2y−7
{x=28)
解得： ，
y=21
即今年甲的年龄为28岁，乙的年龄为21岁，
故答案为：28，21．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系列出方程组是解题的关键．
23．（23-24七年级下·全国·课后作业）今年父亲的年龄是玲玲的5倍，6年后父亲的年龄是玲玲的3倍，今
年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？
【答案】今年玲玲的年龄是6岁，今年父亲的年龄是30岁．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
{ y=5x )
设今年玲玲的年龄是x岁，今年父亲的年龄是y岁，根据题意列出方程 ，然后解出方程即
y+6=3(x+6)
可．
【详解】解：设今年玲玲的年龄是x岁，今年父亲的年龄是y岁，
{ y=5x ) { x=6 )
根据题意得， ，解得： ，
y+6=3(x+6) y=30
答：今年玲玲的年龄是6岁，今年父亲的年龄是30岁．
24．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才
2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁．
【答案】今年李老师24岁，该学生13岁
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该
学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可．
【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则
相据该学生和李老师的年龄差不变，
可得¿
解得¿
答：今年李老师24岁，该学生13岁．
类型七、配套问题
25．（23-24七年级下·全国·课后作业）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或盒底25个，一个盒
身与两个盒底配成一套罐头盒．现有110张白铁皮，用 张制盒身可以正好制成整套罐头盒．
【答案】50
【分析】本题以配套问题为背景考查了二元一次方程组的应用，解本题的关键是根据一个盒身与两个盒底
配成一套罐头盒列出方程组．
设用x张铁皮制盒身，用y张铁皮制盒底，根据题意列方程组求解即可．
【详解】解：设用x张铁皮制盒身，用y张铁皮制盒底，{ x+ y=110 )
依题意得，
2×15x=25 y
{x=50)
解得 ．
y=60
所以用50张制盒身可以正好制成整套罐头盒．
故答案为：50．
26．（2025七年级下·全国·专题练习）某工厂有m名工人，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型
零件，其中某产品每套由4个A型零件和3个B型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种
零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则m的值为 ．
【答案】40
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程组，是解题的关键．设安排x名
工人加工A型零件，则安排(m−x)名工人加工B型零件，根据每个工人每天能加工6个A型零件或者3个
B型零件，每套由4个A型零件和3个B型零件配套组成，50天恰好完成1200套产品，列出方程组，解方
程组即可．
【详解】解：设安排x名工人加工A型零件，则安排(m−x)名工人加工B型零件，
根据题意得：¿，
整理得：¿，
解得：¿，
则工厂有40名工人，
故答案为：40．
27．（24-25七年级下·天津和平·期中）春季是传染病高发的季节，同学们要勤通风常洗手，为了同学们的
身体健康，李老师为全年级师生购买洗手液，根据市场调研，李老师发现某品牌的洗手液的大瓶装(500g)
和小瓶装(250g)两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2:5，某厂每天生产这种洗手液22.5吨，请同学们
利用二元一次方程组的数学思想，帮助李老师估计一下这些洗手液应该分装多少个大瓶，多少个小瓶才是
最合理的？（请同学们注意单位换算）
【答案】这些消毒液应该分装20000大瓶，50000小瓶
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系，准确列方程组进行计算是解题关键．
设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶，根据题意列出方程组，解方程组求出x，y的值，即可求解．
【详解】解：依题意，22.5吨=22500千克=22500000克，
设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶，
{ 5x=2y )
由题意得 ，
500x+250 y=22500000
{x=20000)
解得 ，
y=50000
答：这些消毒液应该分装20000大瓶，50000小瓶．
28．（23-24七年级下·全国·课后作业）某纸品加工厂制作甲（需要材料为1个正方形和4个长方形）、乙
（需要材料为2个正方形和3个长方形）两种无盖的长方体小盒，利用边角料裁出正方形、长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形边长相等，现将160张正方形硬纸片和340张长方形硬纸片全部用于制作这两
种无盖长方体小盒，分别可以做多少个？
【答案】甲种小盒40个，乙种小盒60个
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设可以做成无盖长方体小盒各x个，y个，根据将
160张正方形硬纸片和340张长方形硬纸片全部用于制作这两种无盖长方体小盒，列出方程组求解即可．
【详解】解：设可以做成无盖长方体小盒各x个，y个，
{ x+2y=160 )
由题意得， ，
4x+3 y=340
{x=40)
解得 ，
y=60
答：可以做成甲种小盒40个，乙种小盒60个．
类型八、销售问题
29．（2025七年级下·全国·专题练习）2024年5月3日，嫦娥六号探测器准确进入地月转移轨道，发射任
务取得圆满成功，有两个旅游团去某航天科技馆参观，第一个旅游团有15名成人和10名儿童，共花费门
票850元；第二个旅游团有40名成人和50名儿童，由于人数较多，成人票打八折，儿童票打六折，共花
费2030元．则成人票每张原价为 元，儿童票每张原价 元．
【答案】 40 25
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设成人票每张原价x元，儿童票每张原价y元，根据第一
个旅游团有15名成人和10名儿童，共花费门票850元；第二个旅游团有40名成人和50名儿童，由于人
数较多，成人票打八折，儿童票打六折，共花费2030元，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设成人票每张原价x元，儿童票每张原价y元，由题意得：
{ 15x+10 y=850 )
，
40×0.8x+50×0.6 y=2030
{x=40)
解得： ，
y=25
所以，成人票每张原价40元，儿童票每张原价25元．
故答案为：40，25．
30．（24-25七年级下·全国·课后作业）小锦和小丽购买了一些中性笔和笔芯．小锦买了20支中性笔和2盒
笔芯，用了64元；小丽买了2支中性笔和3盒笔芯，用了40元．每支中性笔的价格为 元，每盒笔芯
的价格为 元．
【答案】 2 12
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组．设每支中性笔的价格为x元，每盒笔芯的价格为y元，根据“单价乘以数量等于总价”列方程组，求解方
程组即可．
【详解】设每支中性笔的价格为x元，每盒笔芯的价格为y元，
{20x+2y=64)
根据题意，得 ，
2x+3 y=40
{ x=2 )
解得 ．
y=12
故答案为：2，12．
31．（23-24七年级下·全国·课后作业）某灯饰商场计划购进甲、乙两种型号的台灯1000盏，这两种型号
台灯的进价、售价如下表．
台灯类 每盏台灯的进 每盏台灯的售
型 价/元 价/元
甲种 45 60
乙种 60 80
(1)如果商场的进货款为54000元，那么可购进甲、乙两种型号的台灯各多少盏？
(2)某图书馆在该商场购买甲、乙两种型号的台灯各若干盏，已知商场获利200元，图书馆可能有哪些购买
方案？（直接写出答案）
【答案】(1)甲种台灯400盏，乙种台灯600盏
(2)方案1：甲种台灯4盏，乙种台灯7盏．方案2：甲种台灯8盏，乙种台灯4盏．方案3：甲种台灯12盏，
乙种台灯1盏
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设购进甲、乙两种型号的台灯各为x盏、y盏，然后根据题意可得方程组；
（2）设购买甲种型号台灯m台，购买乙种型号台灯n台，根据题意列出二元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：设购进甲、乙两种型号的台灯各为x盏、y盏，由题意得：
{ x+ y=1000 )
，
45x+60 y=54000
{x=400)
解得： ；
y=600
答：购进甲种台灯400盏，乙种台灯600盏
（2）解：甲型号利润为：60−45=15元，乙型号利润为：80−60=20元，
设购买甲种型号台灯m台，购买乙种型号台灯n台，
根据题意可得：15m+20n=200，
3m
整理得：3m+4n=40，即n=10−
4
当m=4时，n=7；
当m=8时，n=4；当m=12时，n=1；
∴共有3种方案：
方案1：甲种台灯4盏，乙种台灯7盏；
方案2：甲种台灯8盏，乙种台灯4盏；
方案3：甲种台灯12盏，乙种台灯1盏．
32．（24-25七年级下·浙江·期中）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表所示：
类型 进价/（元/个） 售价/（元/个）
A款 m 120
B款 n 90
若该商场购进4个A款足球和11个B款足球需980元；购进2个A款足球和3个B款足球需340元．
(1)求m和n的值．
(2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3 000元，那么该商场可获利多少元？
(3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款
足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售
A，B两款足球各多少个（每款都有销售）？
【答案】(1)m的值为80，n的值为60
(2)可获利1000元
(3)销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）根据“该商场购进4个A款足球和11个B款足球需980元；购进2个A款足球和3个B款足球需340
元”，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值；
（2）利用销售总价等于销售单价乘以销售数量，可得出关于x，y的二元一次方程，再在方程的两边同时
除以3，即可求出结论；
（3）设该日商场销售a个A款足球，3b个B款足球，利用总利润等于每个的销售利润乘以销售数量，可
得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论．
{4m+11n=980)
【详解】（1）解：根据题意得： ，
2m+3n=340
{m=80)
解得： ，
n=60
∴m的值为80，n的值为60；
（2）解：根据题意得：120x+90 y=3000，
∴40x+30 y=1000，
∴(120−80)x+(90−60)y=40x+30 y=1000，
答：该商场可获利1000元；（3）解：设该日商场销售a个A款足球，3b个B款足球，
根据题意得：(120−80−10)a+(90×3−60×3−10×2)b=600，
7
∴a=20− b，
3
又∵a，b均为正整数，
{a=13) {a=6)
∴ 或 ，
b=3 b=6
{a=13) { a=6 )
∴ 或 ，
3b=9 3b=18
答：该日商场销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球．
类型九、几何问题
33．（24-25七年级下·河南开封·期中）如图，大长方形是由正方形A、B和长方形①、②、③组成，若长
方形①的周长为25，长方形②的周长为13，则正方形A、B的边长之比是（ ）
A．4:3 B．5:3 C．5:4 D．6:5
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，整式的加减法，列代数式，表示出两个正方形边长之间的数量
关系是解题的关键．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图形分别得出长方形①、②的长和
宽，再根据长方形①、②的周长，得到方程组解出a、b，即可求出正方形A、B的边长之比．
【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
则长方形②的宽为b，长为a+b；
长方形①的长为2b+a+b=a+3b，宽为a+3b− (a+b)=2b，
∵长方形①的周长为25，长方形②的周长为13，
{ 2b+2(a+b)=13 )
，
2(a+3b)+2×2b=25
{ a= 5 )
解得： 2 ，
b=2
5
则正方形A、B的边长之比是a:b= :2=5:4
2
故选：C．
34．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段练习）有四个完全相同的小长方形和两个完全相同的大长方形按如图
所示的方式摆放，若小长方形的长为 x，宽为 y，则x−y的值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，根据两个大长方形点的长相等，列出二元一次方程，进行求
解即可．
【详解】解：由图可知：20−x+ y=10−y+x，
∴2x−2y=10，
∴x−y=5；
故选D．
35．（23-24七年级下·全国·课后作业）学校举办“数学艺术周”创意设计展览．小明、小聪、小方用一张
大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案：
(1)根据图①、图②，求大正方形纸片和小正方形纸片的边长；
(2)若图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，求图③阴影部分的面积．
【答案】(1)大正方形纸片边长为12cm，小正方形纸片边长为4cm；
256
cm2
(2)
3
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程组和方程是解
题的关键．
{x+2y=20) {x=12)
（1）设大正方形纸片的边长为xcm，小正方形纸片的边长为ycm，得到 ，解得 ，即
x−2y=4 y=4
可得到答案；
4
（2）设重叠部分小正方形的边长为acm，得到3(4−a)+4=12，解得a= ，求出阴影部分的面积为
3
122−4×42+3×
(4) 2
=85
1
cm2 ．
3 3
【详解】（1）解：设大正方形纸片的边长为xcm，小正方形纸片的边长为ycm，
{x+2y=20)
根据题意，得
x−2y=4{x=12)
解得 ，
y=4
∴大正方形纸片边长为12cm，小正方形纸片边长为4cm；
（2）解：设重叠部分小正方形的边长为acm，
根据题意，得3(4−a)+4=12．
4
解得a= ，
3
∴阴影部分的面积为122−4×42+3×
(4) 2
=
256
cm2 ．
3 3
36．（24-25七年级下·全国·课后作业）[教材探究2变式]甲、乙两种作物单位面积产量的比是7:8．现要把
一块长150m，宽为100m的长方形土地，如图分为两块小长方形土地，左边长方形种甲种作物，右边长方
形种乙种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量相等？
【答案】把长方形土地分成左边长为80m，右边长70m，可使甲，乙两种作物的总产量相等
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设AE=xm，ED= ym，根据题意列出法方程组解答即可求
解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设AE=xm，ED= ym，
{ x+ y=150 )
由题意得， ，
100x×7=100 y×8
{x=80)
解得 ，
y=70
答：把长方形土地分成左边长为80m，右边长70m，可使甲，乙两种作物的总产量相等．
类型十、图表信息问题
37．（2025·广东深圳·一模）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数
学符号翻译出来，就是一个三阶幻方如图1所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相
等，图2是另一个未完成的三阶幻方，则x与y的和为（ ）A．−2 B．2 C．4 D．−4
【答案】A
【分析】设如图所示位置上的数分别是m，n，根据幻方，构造方程或方程组解答即可．
本题考查了方程组的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握解方程组和解方程是解题的关键．
【详解】解：设如图所示位置上的数分别是m，n，根据题意，得
{ 7+n=6+m )
，
m+n=−1+6=5
{m=3)
解得 ，
n=2
∴x+7=2+6,y+6=x+2
∴x=1,y=−3，
∴x+ y=−2，
故选：A．
38．（23-24七年级下·湖南郴州·期中）如图，在3×3的方格中做填字游戏，要求每行、每列及对角线上三
个方格中的数字和都相等，则表格中x，y的值分别为（ ）
4x
−3 −y
2 3 2y
A．1，−1 B．−1，1 C．2，−1 D．−2，1
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意等量关系，列出二元一次方程组求解即可．
{ 4x−3+2=2+3+2y )
【详解】解：依题意，得：
4x−y+2y=4x−3+2
{ x=1 )
解得： ，
y=−1
故选：A．
39．（23-24七年级下·浙江金华·期末）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某
文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示：请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
【答案】钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，根据数量总和为46，
金额综合为900元，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，
{ x+ y+6=46 )
由题意得 ，
15x+5 y+600=900
{x=10)
解得 ，
y=30
则10×15=150（元），30×5=150（元），
答：钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元．
40．（23-24七年级下·河南新乡·期中）某山区有若干名中学生、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中
学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐
款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：
捐款数额/元 资助贫困中学生人数/名 资助贫困小学生人数/名
七年级 4000 2 4
八年级 4200 3 3
九年级 4000
(1)求a，b的值；
(2)当地政府下达新政策给予补贴，秉持九年级学生捐多少补多少原则帮助贫困学生，与九年级学生的捐款
总额恰好解决了剩余贫困中、小学生的学习费用（中小学生均要资助），请求出政府和九年级学生的捐款
总额可捐助的贫困中、小学生人数的所有方案．
【答案】(1)a，b的值分别为800，600
(2)方案一：中学生7人，小学生4人；方案二：中学生4人，小学生8人；方案三：中学生1人，小学生
12人
【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找
出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
（1）根据题意可知，本题中的相等关系是捐款额，列方程组求解即可．
（2）利用九年级的捐款额8000列方程求人数．{2a+4b=4000)
【详解】（1）解：由题意得
3a+3b=4200
{a=800)
解得：
b=600
∴a，b的值分别为800，600；
（2）由题意得捐款总额为：4000×2=8000（元）
设九年级资助贫困的中学生人数为x，资助贫困的小学生人数为y；
可得：800x+600 y=8000；整理得：4x＋3 y=40，
3
即x=10− y；
4
又∵x、y均为正整数 ，
{x=7) {x=4) { x=1 )
∴ ；
y=4 y=8 y=12
即方案一：中学生7人，小学生4人；
方案二：中学生4人，小学生8人；
方案三：中学生1人，小学生12人；
类型十一、古数学问题
41．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔
同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．设鸡有x只，兔有y只，可列二元一次方程组为
（ ）
{ x+ y=35 ) { x+ y=35 ) { x=35+ y )
A． B． C． D．
2x+4 y=94 4x+2y=94 2x+4 y=94
{ y=35+x )
2x=94+ y
【答案】A
【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程组，根据上有三十五头，下有九十四足，列出方程组即
可。
【详解】解：设鸡有x只，兔有y只，由题意，得：
{ x+ y=35 )
，
2x+4 y=94
故选A．
42．（2025·湖北孝感·一模）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒
头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？译成白话文，其意思是：有100个和尚
分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大小和尚各有几人？设大和
尚x人，小和尚y人，可列方程组为（ ）{
x+ y=100
) {
x+ y=100
)
A． 1 B． 1
3x+ y=100 x+ y=100
3 3
{ x+ y=100 ) {
x+ y=100
)
C． D． 1
3x+ y=100 x+ y=100
3
【答案】A
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．分别利用有
100个和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，分别得出方程即可．
【详解】解：设大和尚x人，小和尚y人，
{
x+ y=100
)
则可以列方程组： 1 ．
3x+ y=100
3
故选：A．
43．（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）鸡兔同笼，是中国古代著名典型趣题之一，大约在1500年前，
《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有20头，下有54足，问雉、兔各几
何？”翻译过来就是：鸡和兔在同一个笼子里，数一数共有20个头，54条腿，问鸡和兔各几只？（列方
程组解答）
【答案】鸡13只，兔7只．
【分析】本题考查二元一次方程组的鸡兔同笼问题，找出等量关系并根据生活常识列出方程组是解题关键．
根据“上有20头，下有54足”，得出关于x、y的二元一次方程组，解之即得．
【详解】解：设鸡x只，兔y只，
{ x+ y=20 ) {x=13)
由题意得： ，解得： ，
2x+4 y=54 y=7
答：鸡13只，兔7只．
44．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：
“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名
客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子
各有多少？”请你用方程组的知识解答这个问题．
【答案】客人30个，盘子13个
【分析】本题考查二元一次方程，设有x个客人，y个盘子，根据题意列二元一次方程组并求解，找到正确
的等量关系是解题的关键．
【详解】解：设有x个客人，y个盘子．
x
{ = y+2)
2
根据题意，得 ,
x
+3= y
3{x=30)
解得 ，
y=13
答∶有30个客人，13个盘子．
