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10.3 实际问题与二元一次方程组【8 个必考点】
【人教版2024】
【知识点 列二元一次方程组解决实际问题的基本步骤】....................................................................................2
【必考点1 和差倍分问题】......................................................................................................................................2
【必考点2 几何图形问题】......................................................................................................................................5
【必考点3 数字幻方问题】....................................................................................................................................10
【必考点4 工程问题】............................................................................................................................................14
【必考点5 行程问题】............................................................................................................................................18
【必考点6 销售问题】............................................................................................................................................22
【必考点7 方案问题】............................................................................................................................................28
【必考点8 古代问题】............................................................................................................................................34
【知识点 列二元一次方程组解决实际问题的基本步骤】
(1)设:弄清题意和题目中的数量关系,设出未知数;
(2)找:找出题目中的两个等量关系:
(3)列:根据找出的两个等量关系列出方程组;
(4)解:解方程组;
(5)检:检验所得的解是不是方程组的解,检验是否符合题意;
(6)答:写出答案(包括单位).
【必考点1 和差倍分问题】
【例1】某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆．货运公司调派甲
货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱 ，B种货物每箱 ．因为两种货物包装箱
完全一样，装运工人一时疏忽，使得两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检
时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重 ，则甲车有（ ）箱货物装错．
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲车装A种货物x箱，B种货物y箱，根据从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆，运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重 ，列
出方程组进行求解即可．
【详解】解：设甲车装A种货物x箱，B种货物y箱，则乙车装A种货物 箱，B种货物 箱，
根据题意得：
，
解得： ，
∴甲车装了18箱A和2箱B，乙车装了2箱A和18箱B，
所以，甲车有2箱货物装错．
故选：D．
【例2】如图，足球的表面是由 块呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，已知黑色皮块数比白色皮块数的
一半多 块，则白色皮块的块数是（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程的运用，设黑色的有x块，白色的有y块，根据数量关系列二元一次方
程组求解即可，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
【详解】解：设黑色的有 块，白色的有 块，
∴ ，
解得， ，
∴白色皮块的块数为 ，
故选：B ．【变式1】五一黄金周期间，几位同学一起去郊外游玩男同学都背着红色的旅行包，女同学都背着黄色的
旅行包，其中一位男同学说：“我看到的红色旅行包个数是黄色旅行包个数的1.5倍．”另一位女同学却
说：“我看到的红色旅行包个数是黄色旅行包个数的2倍．”如果这两位同学说的都对，那么女同学的人
数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】要求女同学的人数是多少人，只要求出黄色旅行包的个数即可；可以用方程进行解答，设红包x
个，黄包y个；由题意可得：x-1=1.5y，x=2（y-1）；解方程即可得出结论．
【详解】解：设红包x个，黄包y个，由题意得：
解得
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解答此题的关键是先通过分析，找出黄色旅行包与红色
旅行包之间的数量关系，然后设出两个未知数，根据题意列出方程，解答即可．
【变式2】有一头驴子和一头骡子都驮着袋数不同的货物走街串巷，在众目睽睽之下累得大汗淋漓，驴子
就抱怨负担太重了，骡子说：“你还抱怨，就省省吧！如果你给我一袋，那我所负担的重量就是你的两
倍；如果我给你一袋，你所驮货物的重量才跟我所驮货物的重量一样！”如果每袋货物都是一样重的，那
么驴子原来所驮货物的袋数是 袋．
【答案】5
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系是关键．
设骡子原来所驮的货物有 袋，驴子有 袋，根据“如果你给我一袋，那我所负担的重量就是你的两倍；
如果我给你一袋，你所驮货物的重量才跟我所驮货物的重量一样”列方程组计算求解．
【详解】解：设骡子原来所驮的货物有 袋，驴子有 袋，
由题意可得 ，解得
答骡子原来所驮的货物有7袋，驴子有5袋．
故答案为：5.
【变式3】陕西是联合国粮农组织认定的世界苹果最佳优生区，是全球集中连片种植苹果最大区域，某苹果园现有一批苹果，计划租用A、B两种型号的货车将苹果运往外地销售，已知满载时，用3辆A型车和2
辆B型车一次可运苹果13吨；用4辆A型车和3辆B型车一次可运苹果18吨．求1辆A型车和1辆B型
车满载时一次分别运苹果多少吨？
【答案】1辆A型车满载时一次可运苹果3吨，1辆B型车满载时一次可运苹果2吨
【分析】设1辆A型车满载时一次可运苹果x吨，1辆B型车满载时一次可运苹果y吨，然后根据题意可列
方程组进行求解．
【详解】解：设1辆A型车满载时一次可运苹果x吨，1辆B型车满载时一次可运苹果y吨，由题意得：
，
解得： ；
答：1辆A型车满载时一次可运苹果3吨，1辆B型车满载时一次可运苹果2吨．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．
【变式4】小明家需要用钢管做防盗窗，按设计要求，需要长为0.8m的钢管100根，长为2.5m的钢管32
根，并要求这些用料粗细相同且不能是焊接而成的．现钢材市场的钢管每根长为6m．
(1)试问一根长6m的钢管有哪些裁剪方法呢？请填写下空（余料作废）．
方法①：当只裁剪长为0.8m的用料时，最多可剪______根．
方法②：当先剪下1根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料______根．
方法③：当先剪下2根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料______根．
(2)用（1）中的方法②和方法③各裁剪多少根6m长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料？小明
是这样考虑的：设用（1）中方法②裁剪x根6m长的钢管，用方法③裁剪y根6m长的钢管．由题意，可
列方程组，进而得到问题的解决，请帮助小明把过程补充完整．
解：设用（1）中的方法②裁剪x根6m长的钢管，用方法③裁剪y根6m长的钢管，
根据题意，得
【答案】(1)7，4，1
(2)用方法②剪24根，方法③裁剪4根6m长的钢管
【分析】（1）由总数÷每份数=份数就可以直接得出结论；
（2）设用方法二剪x根，方法三裁剪y根6m长的钢管，就有x+2y=32，4x+y=100，由此方程构成方程组
求出其解即可．
【详解】（1）解：方法①：6÷0.8=7…0.4，因此当只裁剪长为0.8m的用料时，最多可剪7根；方法②：（6-2.5）÷0.8=4…0.3，因此当先剪下1根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料4
根；
方法③：（6-2.5×2）÷0.8=1…0.2，因此当先剪下2根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料1
根；
故答案为：7，4，1．
（2）解：设用（1）中的方法②裁剪x根6m长的钢管，用方法③裁剪y根6m长的钢管，
根据题意，得 ，解得： ．
答：用方法②剪24根，方法③裁剪4根6m长的钢管．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据每份数×份数=总
数建立方程是关键．
【必考点2 几何图形问题】
【例1】如图，在长方形 中，放入六个形状、大小相同的小长方形，经测量， ，
．图中阴影部分的总面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数混合运算的实际应用，设小长方形的长为 ，宽为
，根据题意列出方程组求出 的值，进而根据图形列式计算即可求解，由方程组求出小长方形的长
和宽是解题的关键．
【详解】解：设小长方形的长为 ，宽为 ，
由题意得， ，解得 ，
∴小长方形的长为 ，宽为 ，
∴ ，
故选： ．
【例2】用图①中的长方形木板和正方形木板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖木箱．现
仓库里有 块长方形木板和 块正方形木板，经过工人组装发现，正方形木板恰好用完，而长方形木板余
下 块，则 ， 的值可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程组，设竖式纸盒 个，横式纸盒 个，由题意列出方程组可求解．根据题
意列出正确的方程组是本题的关键．
【详解】解：设竖式纸盒 个，横式纸盒 个，
依题意，得： ，
∴ ，
即 ，
∴ 是 的倍数，
A． ，此时 不是 的倍数，故此选项不符合题意；
B． ，此时 不是 的倍数，故此选项不符合题意；
C． ，此时 是 的倍数，故此选项符合题意；
D． ，此时 不是 的倍数，故此选项不符合题意．故选：C．
【变式1】老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①所示的方式放置，再
交换两木块的位置，按照图②所示的方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设
桌子的高度为 ，长方体木块一个面（图中展示的面）的长比宽大 ，根据图中两种放置的方式，
列出二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设桌子的高度为 ，长方体木块一个面（图中展示的面）的长比宽大 ，
由题意得： ，
解得： ，
∴桌子的高度为 ，
故选：C．
【变式2】 个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图 所示，若拼成如图 所示的正方
形，中间还留下一个洞，恰好是边长为 厘米的小正方形．一个小长方形的长为 厘米．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据两个长方形的长与宽之间的关系找到
相等关系，根据相等关系列方程组求解即可．【详解】解：设小长方形的长为 ，宽为 ，
根据题意可得： ，
解方程组可得： ，
小长方形的长为 ．
故答案为： ．
【变式3】如图，三个大小相同的长方形沿“横—竖—横”排列在一个长为5，宽为4的大长方形中，则图
中一个小长方形的面积等于 ．
【答案】2
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用：设小长方形的长，宽分别为 ，用小长方形的长和宽，
与大长方形的长和宽的关系，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设小长方形的长，宽分别为 ．根据题意可得：
解得
∴小长方形面积为： ．
故答案为：2．
【变式4】工作人员从仓库领取如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式
的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．
(1)下表是工作人员两次领取纸板数的记录：
正方形纸板 长方形纸板
次数
（张） （张）
第一次 560 940
第二次 420 1002①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误，请判断第几次的记录有误，并说明理由；
②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式和横式纸盒各多少个？
(2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1:3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸
盒与横式纸盒个数的比值；
(3)拓展延伸：现在仓库里有 张正方形纸板和 张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸
板用完，则 的值可能是（ ）
A．2013 B．2014 C．2015 D．2016
【答案】(1)①第二次，见解析；②做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒
(2)3
(3)C
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找到正确的数量关系是本题的关键．
（1）①设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，由领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是5的倍
数，可判断第二次记录错误；
②由第一次记录，列出方程组，可求解；
（2）由正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，可得 ，可求解；
（3）设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，然后根据所需长方形纸板和正方形纸板的张数列
出方程组，再根据x、y的系数表示出 并判断 为5的倍数，然后选择答案即可．
【详解】（1）解：①第二次记录错误，
理由如下：设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，
则需要正方形纸板 张，需要长方形的纸板 张，
∴领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和为 ，应该是5的倍数，
而 ， ，1422不能被5整除，
∴第二次记录有误；
②由题意可得： ，解得： ，
答：做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒；
（2）解：由题意可得： ，
解得： ，
∴ ，
答：竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3．
（3）解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，
根据题意得： ，
两式相加得， ，
∵x、y都是正整数，
∴ 是5的倍数，
∵2013、2014、2015、2016四个数中只有2015是5的倍数，
∴ 的值可能是2015．
故选：C．
【必考点3 数字幻方问题】
【例1】一个两位数，十位数字比个位数字的 倍大 ．若这个两位数减去 恰好等于个位数字与十位数字
对调后所得的两位数，设十位数字是 ，个位数字是 ，则列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了用二元一次方程组解决实际问题，解决本题的关键是根据题目中的相等关系列出方程
即可．
【详解】解：设十位数字是 ，个位数字是 ，
十位数字比个位数字的 倍大 ，
，
这个两位数减去 恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，
，可列方程组 ．
故答案为： ．
【例2】“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史
上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个 表格，一行的三个数，列的三个数，斜对
角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则 的值为
．
【答案】0
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关
键．根据每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，列出二元一次方程组，解方程
组，即可得出结论．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ，
，
故答案为：0．
【变式1】有一个三位数，将最左边的数字移到最右边，则它比原来的数小 ，又知原来的三位数的百位
上的数的 倍比十位上的数与个位上的数组成的两位数小 ，则原来的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关
键．
设百位数字为 ，由十位数字和个位数字组成的两位数为 ，根据“将最左边的数字移到最右边，则它比原来的数小 ；又知原来的三位数的百位上的数的 倍比十位上的数与个位上的数组成的两位数小 ”，
可列出关于 、 的二元一次方程，解之即可求出结论．
【详解】解：设百位数字为 ，由十位数字和个位数字组成的两位数为 ，
根据题意得： ，
解得： ，
原来的数为 ，
故答案为： ．
【变式2】幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入
幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻
方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是 ．
【答案】20
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意得每一横行、每一竖列以及两条对角线上的 个数之
和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的 个数之和相等，
∴最左下角的数为： ，
则最中间的数为： 或 ，
最右下角的数为： 或 ，
∴ ，
解得： ，
∴ 与 的积为 ，故答案为：20．
【变式3】如图所示的是一个最简单的二阶幻圆的模型．有以下要求：①内、外两个圆周上的四个数字之
和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字．
【答案】填写的数字分别为2，9
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为x，y，根
据：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方
程组即可．
【详解】解：设题图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为x，y．
根据题意，得： ，
整理，得 ，
解得： ，
故题图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为2，9．
【变式4】两个两位数的差是10，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大
的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，若这两个四位数的和是5050，求较大的两位数与
较小的两位数分别是多少？
【答案】较大的两位数与较小的两位数分别30，20
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方
程组是解题的关键．设较大的两位数为 ，较小的两位数为 ，根据题意可得等量关系：①两个两位数的
差是10；② 和 的和是5050，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：设较大的两位数为 ，较小的两位数为 ，根据题意得： ，
解得： ，
答：较大的两位数与较小的两位数分别30，20．
【必考点4 工程问题】
【例1】一家商店进行装修．若请甲，乙两个装修队同时施工，8天可以完成装修；若先请甲队单独做6
天，再请乙队单独做12天也可以完成装修．甲，乙两队单独完成装修各需多少天？
【答案】甲，乙两队单独完成装修各需12天和24天．
【分析】本题考列二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组．
设甲队的工作效率为 ，乙队的工作效率为 ，根据题意，列二元一次方程组求解．
【详解】解：设甲队的工作效率为 ，乙队的工作效率为 ．
由题意，得 ，
解得 ，
甲单独完成装修天数： （天），
乙单独完成装修天数： （天）．
答：甲，乙两队单独完成装修各需12天和24天．
【例2】穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、
乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进 米，经过6天施工，甲、乙两组共掘
进57米．
(1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？
(2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进 米．按此施工
进度，能够比原来少用多少天完成任务？
【答案】(1)甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、 米；
(2)能比原来少用 天．【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意是解本题的关键；
（1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，根据题意列方程组，解方程组即可；（2）设按原
来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，分别计算出施工进度改进前和改进后
完成任务还需的天数，再作差即可．
【详解】（1）解：设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，
由题意得 ，
解得 ．
答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、 米；
（2）解：设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，则
（天），
（天），
则 （天）．
答：能比原来少用 天．
【变式1】安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．由于工期过长，安
先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数恰好比乙工
程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队
单独完成此项工程需要的天数之和为55天．
(1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天；
(2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的 ．
【答案】(1)甲队单独完成此项工程需要40天，乙队单独完成此项工程需要15天
(2)与公司派来的乙工程队再合作6天可完成此项工程
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方
程（组）．
（1）设甲队单独完成此项工程需要 天，乙队单独完成此项工程需要 天，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解；
（2）设与公司派来的乙工程队再合作 天可完成此项工程的 ，根据题意列出一元一次方程，解方程，即
可求解．
【详解】（1）解：设甲队单独完成此项工程需要 天，乙队单独完成此项工程需要 天，
根据题意得
解得
答：甲队单独完成此项工程需要40天，乙队单独完成此项工程需要15天
（2）解：设与公司派来的乙工程队再合作 天可完成此项工程的 ，
根据题意得 ，
解得 ，
答：与公司派来的乙工程队再合作6天可完成此项工程 ．
【变式2】风味美饭店生意火爆，座无虚席，老板决定扩大规模重新装修．若先请甲施工队单独做3天，
再请乙施工队单独做24天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱7200元．若先请甲施工队单独做9
天，再请乙施工队单独做16天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱7600元．
(1)甲、乙两施工队工作1天，风味美饭店老板应各付多少工钱？
(2)若甲、乙两施工队合作，则需要同时做几天才能完成施工任务？
【答案】(1)甲施工队工作1天，老板应付400元，乙施工队工作1天，老板应付250元
(2) 天
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系是解题的关键．
（1）设甲施工队工作1天，老板付 元，乙施工队工作1天，老板付 元，根据题意列方程组
，求解即可．
（2）设甲施工队的工作效率为 ，乙施工队的工作效率为 ，根据题意列方程组 ，求出甲施工队的工作效率为 ，乙施工队的工作效率为 ，继而可求出甲、乙两施工队同时做需要的天
数．
【详解】（1）解：设甲施工队工作1天，老板付 元，乙施工队工作1天，老板付 元，
根据题意，得 ，
解得 ，
∴甲施工队工作1天，老板应付400元，乙施工队工作1天，老板应付250元．
（2）设甲施工队的工作效率为 ，乙施工队的工作效率为 ，
根据题意，得 ，
解得 ，
∴甲，乙两施工队同时做需 （天）能完成施工任务．
【变式3】羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的 工程、 工程，甲工
程队晴天需要 天完成，雨天工作效率下降 ；乙工程队晴天需 天完成，雨天工作效率下降 ，实
际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（ ）天．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设两工程队各工作了 天，在施工期间有 天有雨，根据题
意列出方程组即可求解，根据题意正确列出方程组是解题的关键．
【详解】解：设两工程队各工作了 天，在施工期间有 天有雨，
由题意得， ，解得
∴两个工程队各工作了 天，
故选： ．
【变式4】某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两
个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工
程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工 米，乙工程队每天施工
米．
【答案】 44.5 42.5
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲工程队每天施工 米，乙工程队每天施工 米，根据
题意，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设甲工程队每天施工 米，乙工程队每天施工 米，由题意，得：
，解得： ，
答：甲工程队每天施工 米，乙工程队每天施工 米；
故答案为： ， ．
【必考点5 行程问题】
【例1】甲、乙两人准备自行车骑行比赛，相约一同训练．两人从相距80千米的两地同时出发，相向而
行，经过2个小时相遇；若甲比乙提前1小时出发，那么乙出发 小时后两者相遇．则甲、乙两人的速度
分别为 ．
【答案】16千米 时，24千米 时
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲的速度为 千米 时，乙的速度为 千米 时，根据两
人从相距80千米的两地同时出发，相向而行，经过2个小时相遇；若甲比乙提前1小时出发，那么乙出发
小时后两者相遇，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设甲的速度为 千米 时，乙的速度为 千米 时，
，
解得 ，所以，甲的速度为16千米 时，乙的速度为24千米 时．
故答案为：16千米 时，24千米 时．
【例2】一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行
比顺流航行多用4小时．则该轮船在静水中的速度为 千米/小时，水流速度为 米/小时．
【答案】 12 3
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设该轮船在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千
米/小时，根据从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时，列出方程组进行求解即
可．
【详解】解：设该轮船在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时，
依题意，得： ，
解得： ，
则该轮船在静水中的速度是12千米/小时，水流速度是3千米/小时．
故答案为：12，3．
【例3】列二元一次方程组解决实际问题：小明从家到学校需要先走一段上坡路再走一段下坡路，小明上
坡平均每小时走 ，下坡平均每小时走 ，那么从家走到学校需要15分钟，如果放学回家时，小明
的上坡和下坡的平均速度不变，则从学校回家需要20分钟，请问小明家与学校的距离是多少千米？
【答案】0.7千米
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解答本题的关键．设小明从家到学校上坡路
程为 ，下坡路程为 ，根据时间＝路程÷速度分别列出x和y的二元一次方程组，解方程求出x，y
即可．
【详解】解：设小明从家到学校上坡路程为 ，下坡路程为 ，
根据题意得： ，
解得： ，
∴ ，答：小明家与学校的距离是0.7千米．
【例4】甲、乙两人都以不变的速度在400米的环形路上跑步．如果同时同地出发，反向而行，每隔2分
钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔6分钟相遇一次．已知甲比乙跑得快．
(1)甲、乙两人速度分别是多少米每分钟？
(2)甲、乙两人跑一圈各需要多少分钟？
【答案】(1)甲、乙两人速度分别是 米/每分钟， 米/每分钟
(2)甲、乙两人跑一圈各需要3分钟，6分钟
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）设甲每分钟跑 米，乙每分钟跑 米，根据“如果同时同地出发，反向而行，每隔2分钟相遇一次，
如果同时同地出发，同向而行，每隔6分钟相遇一次”，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，解之即
可得出结论．
（2）由路程 速度 时间进行求解即可．
【详解】（1）解：设甲每分钟跑 米，乙每分钟跑 米，
依题意，得： ，
解得： ．
答：甲、乙两人速度分别是 米/每分钟， 米/每分钟；
（2）解：甲跑一圈各需要 （分钟），
乙跑一圈各需要 （分钟），
【变式1】小明骑自行车去某景区，出发时，他先以 的速度走平路，而后又以 的速度上坡到
达景区，共用了 ；返回时，他先以 的速度下坡，而后以 的速度走过平路，回到原出发
点，共用了 ，求从出发点到景区的路程．
【答案】9千米
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可解答．【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米，
根据题意得： ，
解得： ，
则 （千米），
答：从出发点到景区的路程是9千米．
【变式2】两列火车同时从相距 千米的两地相向出发， 小时后相遇，如果第一列火车比第二列火车
早出发 小时，那么在第二列火车出发 小时后相遇，求两列火车的速度．
【答案】第一列火车速度为 千米/小时，第二列火车速度为 千米/小时
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确找出等量关系．设第一列火车速度为 千
米/小时，第二列火车速度为 千米/小时，根据题意列方程组即可求解．
【详解】解：设第一列火车速度为 千米/小时，第二列火车速度为 千米/小时，
根据题意得： ，
解得： ，
答：第一列火车速度为 千米/小时，第二列火车速度为 千米/小时．
【变式3】一列快车长 ，慢车长 ，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开所用时间为
；若两车相向而行，两车从相遇到完全离开所用时间为 ，求两车的平均速度各是多少？
【答案】快车，慢车的平均速度分别为 ，
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系式是解题的关键．
设快车，慢车的平均速度分别为 、 ，根据“若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开所用
时间为 ；若两车相向而行，两车从相遇到完全离开所用时间为 ，”建立二元一次方程组并求解即可
得出答案．
【详解】解：设快车，慢车的平均速度分别为 、 ，
根据题意列方程组： ，解得 ，
故快车，慢车的平均速度分别为 ， ．
【变式4】甲，乙在 的环形跑道上跑步，两人从某起点同时出发．如果同向而行，那么经过 甲比
乙多跑一圈；如果反向而行，那么经过 两人第一次相遇．
(1)求甲，乙两人的速度；
(2)甲，乙同向而行时，丙也在跑道上跑步，且与甲，乙方向一致．若出发 后甲追上丙，出发 后乙
追上丙，则出发时丙在甲，乙前面多少米？丙的速度是多少？
【答案】(1)甲，乙两人的速度分别是
(2)出发时丙在甲，乙前面 ，丙的速度是
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确的理解题意找到等量关系是解题的关键．
（1）设甲，乙两人的速度分别为： ， ；反向而行，两人相遇时所走的路程之和为400米；同
向而行，两人相遇时甲比乙多走400米，据此列出方程组求解即可；
（2）设丙在甲乙前方 ，丙的速度是 ，根据题意列方程组即可得到结论．
【详解】（1）解：设甲，乙两人的速度分别为： ， ；
根据题意得， ，
解得： ，
答：甲，乙两人的速度分别为： ；
（2）解：设丙在甲乙前方 ，丙的速度是 ，
根据题意得， ，
解得： ，
答：丙在甲乙前方 ，丙的速度是 ．【必考点6 销售问题】
【例1】随着冬季的来临，某商场准备购进一批冬装进行销售．若3件甲品牌冬装和1件乙品牌冬装的进
价为210元；2件甲品牌冬装和3件乙品牌冬装的进价为280元．
(1)求甲、乙两种品牌的冬装每件的进价分别为多少元？
(2)若甲品牌冬装每件的售价为80元，乙品牌冬装每件的售价为110元，若该商场同时购进甲、乙两种品
牌的冬装共25件，总进价恰好为1400元，求商场销售完这批服装共盈利多少元？
【答案】(1)每件甲品牌冬装的进价是50元，每件乙品牌冬装的进价是60元
(2)商场销售完这批服装共盈利1050元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）设每件甲品牌冬装的进价是 元，每件乙品牌冬装的进价是 元，根据“3件甲品牌冬装和1件乙品
牌冬装的进价为210元；2件甲品牌冬装和3件乙品牌冬装的进价为280元”，可列出关于 ， 的二元一
次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该商场购进 件甲品牌冬装， 件乙品牌冬装，利用总进价 进货单价 购进数量，可列出关于
的二元一次方程组，解之可得出 的值，再将其代入 中，即可求出结论．
【详解】（1）设每件甲品牌冬装的进价是 元，每件乙品牌冬装的进价是 元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：每件甲品牌冬装的进价是50元，每件乙品牌冬装的进价是60元；
（2）设该商场购进 件甲品牌冬装， 件乙品牌冬装，
根据题意得： ，
解得： ，
（元）．
答：商场销售完这批服装共盈利1050元．【例2】列方程（组）解应用题：
某超市用9600元购进甲、乙两种商品共200件，这两种商品的进价，标价如下表：
价格
甲种 乙种
类型
进价
30 60
（元/件）
标价
50 90
（元/件）
(1)求甲、乙两种商品各购进多少件？
(2)若甲种商品按标价下降a元出售，乙种商品按标价八折出售，那么这批商品全部售出后，超市共获利
2640元，求a的值．
【答案】(1)甲种商品购进80件，乙种商品购进120件
(2)5
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键．
（1）设甲种商品购进x件，乙种商品购进y件，利用进货总价 进货单价 购进数量，结合该超市用9600
元购进甲、乙两种商品共200件，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总利润 每件甲商品的销售利润 购进数量 每件乙商品的销售利润 购进数量，可列出关于a
的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲种商品购进x件，乙种商品购进y件，
根据题意得： ，
解得： ．
答：甲种商品购进80件，乙种商品购进120件；
（2）解：根据题意得： ，
解得： ．
答：a的值为5．
【变式1】“预防为主，生命至上”．商场计划购进一批消防器材进行销售，已知购进15个干粉灭火器和
20个消防自救呼吸器共需1500元，购进20个干粉灭火器和25个消防自救呼吸器共需1950元．
(1)求一个干粉灭火器和一个消防自救呼吸器的进价分别是多少元；(2)该商场计划用4800元购进干粉灭火器和消防自救呼吸器共100个，销售时，干粉灭火器在进价的基础
上加价 进行销售；消防自救呼吸器每件加价10元进行销售，求全部售出后共可获利多少元．
【答案】(1)一个干粉灭火器的进价为60元，一个消防自救呼吸器的进价为30元
(2)全部售出后共可获利1480元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．
（1）设一个干粉灭火器的进价为 元，一个消防自救呼吸器的进价为 元，根据题意列出方程组，解出
的值即可解答；
（2）设购进干粉灭火器 个，购进消防自救呼吸器 个，根据题意列出方程组，解出 的值，再计算获
利即可解答．
【详解】（1）解：设一个干粉灭火器的进价为 元，一个消防自救呼吸器的进价为 元，
由题意得， ，
解得： ，
答：一个干粉灭火器的进价为60元，一个消防自救呼吸器的进价为30元．
（2）解：设购进干粉灭火器 个，购进消防自救呼吸器 个，
由题意得， ，
解得： ，
购进干粉灭火器60个，购进消防自救呼吸器40个，
全部售出后共可获利 （元），
答：全部售出后共可获利1480元．
【变式2】茶叶是我省西南地区特产，某村部分青年返乡创业生产销售 ， 两种茶叶，去年年初制订的
计划是完成总销售利润 万元．经过努力，其中生产销售 种茶叶的利润比原计划增加 ，生产销售
种茶叶的利润比原计划增加 ，实际生产销售的总利润为 万元，他们去年生产销售 ， 两种茶叶
实际完成的销售利润各多少万元？
【答案】 ， 实际完成的销售利润分别为 万元， 万元
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，熟练根据题意正确列出等式是解题的关键．设去年生产销售 种茶叶计划完成的销售利润为 万元，去年生产销售 种茶叶计划完成的销售利润为 万元，分别利
用“去年年初制订的计划是完成总销售利润 万元”和“生产销售 种茶叶的利润比原计划增加 ，
生产销售 种茶叶的利润比原计划增加 ，实际生产销售的总利润为 万元”进行列式即可．
【详解】解：设去年生产销售 种茶叶计划完成的销售利润为 万元，去年生产销售 种茶叶计划完成的
销售利润为 万元，
根据题意得： ，
解得： ，
∴ （万元）， （万元），
答：他们去年生产销售 ， 两种茶叶实际完成的销售利润分别为 万元， 万元．
【变式3】为了进一步加强学生的校园安全意识，某班开展校园安全知识竞赛活动，去奶茶店购买A，B两
种款式的奶茶作为奖品．若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A款奶茶，10杯B
款奶茶，共需270元．奶茶店为了满足市场的需求，推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自
主选择加料一份或者不加料．
(1)求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元；
(2)在不加料的情况下，购买A，B两种款式的奶茶（两种都买），刚好用了220元，请问有几种购买方
案？
(3)若小华恰好用了380元购买A，B两款奶茶，其中A款不加料的数量是总数量的 ，则B款加料的奶茶
买了多少杯？
【答案】(1)A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元
(2)见解析
(3)3杯
【分析】（1）设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据若买10杯A款奶茶，5杯
B款奶茶，共需160元；若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．列出二元一次方程组，解方程
组即可；
（2）设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，根据在不加料的情况下，购买A、B两种款
式的奶茶（两种都要），刚好花220元，列出二元一次方程，求出正整数解即可；（3）设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯，
则B款加料的奶茶买了 杯，根据小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，列出二元一次方程，求
出正整数解即可．
【详解】（1）解：设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，
由题意得： ，
解得： ，
答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元；
（2）设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，
由题意得： ，
整理得： ，
∵m、n均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴有3种购买方案：
①购买A种款式的奶茶16杯，购买B种款式的奶茶5杯；
②购买A种款式的奶茶10杯，购买B种款式的奶茶10杯；
③购买A种款式的奶茶4杯，购买B种款式的奶茶15杯；
（3）解：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b
杯，
则B款加料的奶茶买了 杯，即 杯，
由题意得： ，
整理得： ，
∵a、b、 均为正整数，∴ ，
∴ ，
答：B款加料的奶茶买了3杯．
【变式4】佰洋电器公司销售每台进价分别为2000元、1700元的A、B两种型号的净水器，下表是2025年
3月前两周的销售情况：
销售数量
销售时
销售总额
段
A种型号 B种型号
第一周 3台 5台 18000元
第二周 4台 10台 31000元
(1)求A，B两种型号的净水器的销售单价？
(2)由于前两周两种净水器都销售一空，电器公司第三周采购这两种型号的净水器共30台，恰好花费54000
元，求A种型号的净水器采购了多少台？
(3)在（2）的条件下，电器公司第三周开始销售部分刚购进的A型号和B型号净水器，但发现市场将要被
新款智能净水器所取代，为扩大销售量，将剩余B种型号净水器按售价的七折进行销售，A种型号净水器
原售价不变，当第三周采购的30台净水器都销售一空后统计这30台净水器的利润为6700元，求电器公司
第三周采购的30台净水器中，用于打折销售的B种型号净水器为多少个？
【答案】(1)A型2500元，B型2100元
(2)10台
(3)10台
【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次方程的应用，根据题意正确列方程（组）是解题的关键．
（1）设A种型号的净水器的销售单价为x元，B种型号的净水器的销售单价为y元，根据“第一周A种
型号净水器的销售量为3台，B种型号净水器的销售量为5 台，销售总额为18000元；第二周A种型号净
水器的销售量为4台，B种型号净水器的销售量为10台，销售总额为31000元”，即可得出关于x， y的
二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A种型号的净水器采购了m台，则B种型号的净水器采购了 台，根据总价 单价 数量，
即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）设电器公司第三周采购的30台净水器中，用于打折销售的B种型号净水器为n台，则不打折销售的B种型号净水器为 台，根据利润 销售收入 进货成本，即可得出关于n的一元一次方程，解之即
可得出结论．
【详解】（1）解：设A种型号的净水器的销售单价为x元，B种型号的净水器的销售单价为y元，
依题意，得 ，
解得： ，
答：A种型号的净水器的销售单价为2500元，B种型号的净水器的销售单价为2100元．
（2）解：设A种型号的净水器m台，则B种型号的净水器 台，
依题意，得： ，
解得 ，
答：A种型号的净水器采购了10台．
（3）解：设电器公司第三周采购的30台净水器中，用于打折销售的B种型号净水器为n台，则不打折销
售的B种型号净水器为 台，
依题意，得： ，
解得： ，
答：电器公司第三周采购的30台净水器中，用于打折销售的B种型号净水器为10台．
【必考点7 方案问题】
【例1】已知用2辆 型车和1辆 型车装满货物一次可运货10吨；用1辆 型车和2辆 型车装满货物
一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用 型车 辆， 型车 辆，一次运完，且恰
好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)一辆 型车和一辆 型车装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案．
(3)若 型车每辆租金1000元/次， 型车每辆租金1200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租
金费．
【答案】(1)一辆 型车装满货物一次可运货3吨，一辆 型车装满货物一次可运货4吨
(2)可租用 型车9辆， 型车1辆；租用 型车5辆， 型车4辆；租用 型车1辆， 型车7辆(3)最省钱的租车方案为：租用 型车1辆， 型车7辆，费用为9400元
【分析】本题考查了二元一次方程组与方案问题．解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和二元
一次方程．
（1）设一辆 型车和一辆 型车装满货物一次可分别运货 吨， 吨，根据题意建立二元一次方程组即可
求解；
（2）根据货物总重量可得 ，即可求解；
（3）由（2）中的结论即可计算各方案所用费用，即可求解．
【详解】（1）解：设一辆 型车和一辆 型车装满货物一次可分别运货 吨， 吨，
由题意可得， ，
解得： ，
答：一辆 型车装满货物一次可运货3吨，一辆 型车装满货物一次可运货4吨；
（2）由题意得： ，
， 只能取整数
，
答：可租用 型车9辆， 型车1辆；租用 型车5辆， 型车4辆；租用 型车1辆， 型车7辆；
（3）解：由题意可得，
（元 ；
① （元 ；
② （元 ；
③最省钱的租车方案为：租用 型车1辆， 型车7辆，费用为9400元．
【变式1】一方有难八方支援，某市政府筹集了 抗旱物资打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供
选择，每辆车的运载能力和运费如下（假设每辆车均满载）：
车型 甲 乙 丙
每辆汽车运载量 5 8 10
50
每辆汽车运费/元 400 600
0
(1)若全部物资都用乙、丙两种车型来运送，需运费8200元，乙、丙两种车型各需几辆？(2)为了节约运费，该市政府决定一共安排16辆运送车辆，且甲、乙、丙三种车型都参与运送，请你用列
方程组的方法求三种车型各有多少辆．
(3)哪种方案的运费最少？最少是多少元？
【答案】(1)乙车型8辆，丙车型7辆
(2)有两种运送方案：①甲车型2辆，乙车型8辆，丙车型6辆；②甲车型4辆，乙车型3辆，丙车型9辆
(3)甲车型2辆，乙车型8辆，丙车型6辆，最少运费是8400元
【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用问题，根据题意准确的列出方程组是求解本题的关键.
（1）设需要乙车 辆，丙车 辆，根据运费 元，总吨数134吨，列出方程组求解即可；
（2）设甲车有 辆，乙车有 辆，丙车有 辆，列出方程组，再根据 均为正整数，求出 的值，
即可求解；
（3）分别求出两种方案的运费即可求解；
【详解】（1）解：设需要乙车 辆，丙车 辆
由题意可得：
解得：
需要乙车8辆，丙车7辆
（2）解：设甲车有 辆，乙车有 辆，丙车有 辆
由题意可得：
消去 可得：
由于 是正整数，且小于16，则：
由 是正整数，解得
有两种运送方案：
①甲车型4辆，乙车型3辆，丙车型9辆；②甲车型2辆，乙车型8辆，丙车型6辆；
（3）解：两种方案得运费分别是：
① ；
② ；
甲车型2辆，乙车型8辆，丙车型6辆时，最少运费是8400元.
【变式2】途经武冈境内的新新高速预计2025年底可完工通车，为了加快施工进度， 施工方将引进A，B
两种型号的卡车进入工地运载施工材料．已知用2辆A型车和1辆B型车装满施工材料一次可运10吨；用
1辆A型车和2辆B型车装满施工材料一次可运11吨．
(1)求1辆A型车和1辆B型车都装满施工材料一次可分别运多少吨？
(2)现有80吨施工材料需要运送，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆（每种车辆 至少1辆且A型车数
量少于B型车），一次运完，且恰好每辆车都装满施工材料、若A型车每辆需费用100元/次，B型车每辆
需费用120元/次，请你设计出所有用车方案并选出最省钱的用车方案，求出此时最少费用．
【答案】(1)1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨
(2)租A型车4辆，B型车17辆，最少租车费是2440元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，根据“用2辆A型车
和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨”，即可
得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结果；
（2）利用一次性装运货物的总重量=1辆A型车装满货物一次可运货重量×租用A型车的数量+1辆B型车
装满货物一次可运货重量×租用B型车的数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为非负整
数且A型车数量少于B型车，即可得出各租车方案，利用租车费=每辆A型车的租金×租用A型车的数量
+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，可分别求出各租车方案所需租车费，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，依题意
得：
，
解得： ．
答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨．（2）解：依题意得： ，
∴ ．
∵a，b均为正整数，
∴解得： 或 或 或 或 或 ，
∵ ，
∴共有2种租车方案，
方案1：租用4辆A型车，17辆B型车；
方案2：租用8辆A型车，14辆B型车；
方案1所需租金为 （元）；
方案2所需租金为 （元）；
∵ ，
∴最省钱的租车方案是：租A型车4辆，B型车17辆，
答：租A型车4辆，B型车17辆，最少租车费是2440元．
【变式3】某景点的门票价格如下表：
购票人数 90及以上
门票单价/元 48 45 42
(1)某校七年级（1）（2）两个班共有82人去游览该景点，其中（1）班人数少于40，（2）班人数多于40
且少于90．若两班都以班为单位单独购票，则一共支付3807元，两个班各有多少名学生？
(2)该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过40，九年级的报名人数超过40，
但不超过80．若两个年级分别购票，总计支付门票费4434元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付
门票费4032元．问八年级、九年级各报名多少人．
【答案】(1)七（1）班有39名学生，七（2）班有43名学生
(2)八年级报名38人，九年级报名58人
【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用．
（1）设七（1）班有x名学生，七（2）班有y名学生，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设八年级报名a人，九年级报名b人，分两种情况：①若 ，②若 ，由题意分别列
出方程组，解方程组即可．
【详解】（1）解：设七（1）班有x名学生，七（2）班有y名学生，由题意，得 ，
解得 ，
答：七（1）班有39名学生，七（2）班有43名学生；
（2）解：设八年级报名a人，九年级报名b人，分两种情况：
①若 ，由题意，得 ，
解得 （不合题意，舍去），
②若 ，由题意，得 ，
解得 ，
答：八年级报名38人，九年级报名58人．
【变式4】绍兴是个鱼米之乡，物产丰富，每天将新鲜蔬菜61吨运往省城杭州，现有甲、乙、丙三种车型
供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（t/辆） 1 3 4
汽车运费（元/辆） 100 250 300
(1)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费5300元，问分别需甲、乙两种车型各多少辆；
(2)如果打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，且它们的总辆数为20辆，请你设计一种满足条件的运
输方案，并求出该方案的总费用．（每个档次的得分不同，优秀>良好>合格）
车型 甲 乙 丙 总费用
注意：4800元 总费用 元为良好总费用 元为合格
汽车辆
数
【答案】(1)需要甲13辆，乙16辆；(2)共有6种运输方案，详见解析．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系，列出方程是解答关键．
（1）设需要 辆甲种车， 辆乙种车，根据题意列出方程组，解此方程组即可求解；
（2）设使用 辆甲种车， 辆乙种车，则使用 辆丙种车，根据 辆甲种车运送的蔬菜 辆乙
种车运送的蔬菜 辆丙种车运送的蔬菜 列出方程，再根据 、 、 都是正整
数，进而即可求解．
【详解】（1）解：设需要 辆甲种车， 辆乙种车，
∴
∴ ，
∴需要甲13辆，乙16辆．
（2）解：设使用 辆甲种车， 辆乙种车，则使用 辆丙种车，
∴
∴
又∵ ， ， 均为正整数，
∴ 或 或 或 或 或 ，
∴共有6种运输方案，所需费用如下表，
总费
车型 甲 乙 丙 等级
用
6 1 13 4750 优秀
5 4 11 4800 良好
汽车
辆数
4 7 9 4850 良好
3 10 7 4900 良好2 13 5 4950 合格
1 16 3 5000 合格
【必考点8 古代问题】
【例1】在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图 ，图中各行从左到右列
出的算筹数分别表示未知数 ， 的系数与相应的常数，图 的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表
达就是 ，则图 所示的算筹图所表示的方程组为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理清题意，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键．
根据图 的算筹图知第一行为第一个方程，前两个数分别为 、 的系数，第三个数为方程右侧常数的十
位，第四个数为方程右侧常数的个位，然后根据图 所示的算筹图列出二元一次方程组即可．
【详解】解：图 所示的算筹图所表示的方程组为 ，
故选：C．
【例2】我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙
10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的 ．若设甲原有 钱，乙原有 钱，则可列
方程（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，由甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍，得
；由乙给甲5钱，则乙的钱是甲的 ，得 ，据此列出相应的方程组即可．
【详解】解：设甲原有 钱，乙原有 钱，
依题意得 ，
故选：A．
【变式1】我国古代数学著作《九章算术》中有一道“买田”问题，其大致意思是：用一万钱可买好田和
坏田共一百亩，若……问好田和坏田分别买了多少亩？设买好田x 亩，坏田y 亩，可列出符合题意的方程
组 根据已有信息，则题中用“……”表示的缺失条件应为 （ ）
A．好田三百亩用一钱，坏田五百亩用七钱
B．好田七百亩用五百钱，坏田一亩用三百钱
C．好田五百亩用七钱，坏田三百亩用一钱
D．好田一亩用三百钱，坏田七亩用五百钱
【答案】D
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据选项一一列式判断即可．
【详解】解： ．好田三百亩用一钱，坏田五百亩用七钱，可列出方程 ，故该选项不
符合题意；．好田七百亩用五百钱，坏田一亩用三百钱，可列出方程 ，故该选项不符合题意；
．好田五百亩用七钱，坏田三百亩用一钱，可列出方程 ，故该选项不符合题意；
．好田一亩用三百钱，坏田七亩用五百钱，可列出方程 ，故该选项符合题意；
故选：D．
【变式2】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载有这样一道题：“今有善行者行一百步，
不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之．” 意思是：同样时间段内，
走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人走多少步才能追上
走路慢的人？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了y步，根据题意可列方程
组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是理解题意找到等量关系．
根据走路快的人走100步的时候，走路慢的才走了60步可得走路快的人与走路慢的人速度比为 ，
利用走路快的人追上走路慢的人时，两人所走的步数相等列出方程组．
【详解】解：设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了y步，根据题意可列方程
组为 ，
故选：B．
【变式3】我国传统数学名著 九章算术 记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六
两 问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有 头牛、 只羊，值 两银子； 头牛、 只羊，值 两银
子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)某商人准备用 两银子买牛和羊 要求既有羊又有牛，且银两须全部用完 ，且羊的数量不少于牛数量的 倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
【答案】(1)每头牛值 两银子，每只羊值 两银子
(2) 购买 头牛， 只羊； 购买 头牛， 只羊．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设每头牛值 两银子，每只羊值 两银子，根据“ 头牛、 只羊，值 两银子； 头牛、 只羊，
值 两银子”，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买 头牛， 只羊，根据某商人准备用 两银子买牛和羊，列出二元一次方程，再根据羊的数
量不少于牛数量的 倍，得 ，然后求出满足条件的正整数解即可．
【详解】（1）解：设每头牛值 两银子，每只羊值 两银子，
依题意得： ，
解得： ，
答：每头牛值 两银子，每只羊值 两银子；
（2）设购买 头牛， 只羊，
依题意得： ，
整理得： ，
、 均为正整数，
为 的倍数，
羊的数量不少于牛数量的 倍，
，
或 ，
商人有 种购买方法：
购买 头牛， 只羊；
购买 头牛， 只羊．
【变式4】阅读下列材料，解决问题．《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史
上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱
一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”
译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这
一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
(1)【尝试】若设公鸡有x只，母鸡有y只．
①小鸡有________只，买小鸡一共花费________文钱（用含x，y的式子表示）．
②根据题意，列出一个含有x，y的方程________．
(2)【探索】若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有
多少只？
(3)【拓展】除了问题（2）中的解之外，请写出两组符合“百鸡问题”的解，并简要说明理由．
【答案】(1)① ， ；②
(2)公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只
(3)①公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有0
只，母鸡有25只，小鸡有75只．理由见解析
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）①由购买鸡
的只数找出购买小鸡的只数；②找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出
二元一次方程组；（3）结合 、 均为整数求出二元一次方程的解．
（1）①根据共买鸡100只，即可求出小鸡购买的只数，结合小鸡的价格即可求出购买小鸡的总花费；
②根据总价 单价 数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于 、 的二元一次方程；
（2）根据（1）中②的结论结合公鸡数量是母鸡数量的3倍，即可得出关于 、 的二元一次方程组，解
之即可得出结论；
（3）根据总价 单价 数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于 、 的二元一次方程，结合 、
均为整数，即可求出结论．
【详解】（1）解：① 要买100只鸡，且小鸡每三只值一文钱，
买了 只小鸡，买小鸡花了 文钱．
故答案为： ； ．
②根据题意得： ．故答案为： ．
（2）解：设公鸡有 只，母鸡有 只，则小鸡有 只，
根据题意得： ，
解得： ，
．
答：公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只．
（3）解：根据题意得： ，
化简得： ，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ，舍去．
故除了问题（2）中的解之外，以下三组答案，写出其中任意两组即可：①公鸡有8只，母鸡有11只，小
鸡有81只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只．
