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10.3 实际问题与二元一次方程组（第 1 课时）分层作业
基础训练
1．（2024•天津）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引
绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳
子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，
则可以列出的方程组为（ ）
{ y−x=4.5 ) { y−x=4.5)
A． B．
x−0.5 y=1 x+0.5 y=1
{x+ y=4.5) {x+ y=4.5)
C． D．
x−y=1 y−x=1
2.（2023•宜宾）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中
著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少
只？若设鸡有x只，兔有y只，则所列方程组正确的是（ ）
{ x+ y=35 ) { x+ y=35 )
A． B．
4x+2y=94 2x+4 y=94
{ x+ y=94 ) { x+ y=94 )
C． D．
4x+2y=35 2x+4 y=35
3.（2023•甘孜州）有大小两种盛酒的桶，已知 5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代
的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设
大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为（ ）
{5x+ y=3，) {5x+ y=3，)
A． B．
x+5 y=2 x+ y=2
{x+5 y=3，) {5x+5 y=3，)
C． D．
5x+ y=2 x+5 y=2
4.（2023•内蒙古）某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队
在12场比赛中得20分．设该队胜x场，负y场，则根据题意，列出关于x、y的二元一次方程组正确
的是（ ）
{ x+ y=20 ) { x+ y=12 )
A． B．
x+2y=12 x+2y=20
{ x+ y=20 ) { x+ y=12 )
C． D．
2x+ y=12 2x+ y=201 1
5.（2022•舟山）上学期某班的学生都是双人桌，其中 男生与女生同桌，这些女生占全班女生的 ，本
4 5
学期该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多．设上学期该班有男生x人，女生y人，根据题意可得
方程组为（ ）
A．
{x+4= y
) B．
{x+4= y
)
x y x y
= =
4 5 5 4
C．
{x−4= y
) D．
{x−4= y
)
x y x y
= =
4 5 5 4
6．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦
果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？
若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题意的二元一次方程组 {
x+ y=1000
)，根据已有信
11 4
x+ y=999
9 7
息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（ ）
A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
7．（2024•吉林）钢琴素有“乐器之王”的美称．键盘上白色琴键和黑色琴键共有 88个，白色琴键比黑
色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．
8．近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1
个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元．求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？
9．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对
话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价．
能力提升
10．甘肃博物馆的“砂锅娃娃”系列文创备受欢迎，一个“素砂锅”中含有3个“戏精豆芽”和2个“弹
弹粉条”，一名工作人员1天能缝制180个“戏精豆芽”或者240个“弹弹粉条”，若博物馆有15名
工作人员缝制“戏精豆芽”和“弹弹粉条”，为了使每天缝制的两种娃娃刚好配套，假设 x名工作人
员缝制“戏精豆芽”，y名工作人员缝制“弹弹粉条”，根据题意列方程组正确的是（ ）
{ x+ y=15 ) { x+ y=15 )
A． B．
180x×2=240 y×3 180x×3=240 y×2
{x+ y=15) {x+ y=15)
C． D．
2x=3 y 3x=2y
11．一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是13；这个两位数除以它的各位数字之和，商是
4，余数是6，设十位上的数字为x，个位上的数字为y，列方程组为（ ）A．{10x+ y−3(x+ y)=13) B．{10x+ y+3(x+ y)=13)
10x+ y−6=4(x+ y) 10x+ y−6=4(x+ y)
C．{10x+ y−3(x+ y)=13) D．{10x+ y+3(x+ y)=13)
10x+ y+6=4(x+ y) 10x+ y+6=4(x+ y)
12．在《算法统宗》里记载了一道趣题：
原文：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君
布算莫迟疑!
意思是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜
果九个，请问甜、苦果各买几个？
下列是四位同学的解答：
①小明：设苦果买x个，甜果买y个，根据题意可列方程组为；
②小刚：设苦果买x个，甜果买y个，根据题意可列方程组为；
③小勇：设苦果买x个，甜果买（1000﹣x）个，根据题意可列方程为．
④小强：设苦果买x个，甜果买（1000﹣x）个，根据题意可列方程为．
其中，以上解答一定正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③ D．②④
13．【问题呈现】为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任委派学习委员小明为获奖同学每人购买一件
奖品．小明到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买 4本笔记本和2支钢笔，
需要86元；如果买3本笔记本和1支钢笔，需要57元．求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少
元．
【解法展示】设每本笔记本x元，每支钢笔y元．
{4x+2y=86①)
根据题意，得 （Ⅰ）
3x+ y=57②
②×2，得6x+2y＝114．③
③﹣①，得2x＝28，
解得x＝14．
把x＝14代入②，得4×14+2y＝86，
解得y＝15，
{x=14)
所以原方程组的解为 ．
y=15
答：每本笔记本14元，每支钢笔15元．【反思改进】
（1）解二元一次方程组（Ⅰ）时，如果先化简方程①，再用加减消元法求解也很方便．请同学们按
照这种思路，写出解方程组（Ⅰ）的过程．
（2）把题目中的数量关系列表表示如下：
笔记本/本 钢笔/支 总价/元
第一种情况 4 2 86
第二种情况 3 1 57
增加量 4﹣3＝1 2﹣1＝1 86﹣57＝29
请根据表格的提示，列出比二元一次方程组（Ⅰ）更简单的方程组解答此题，并写出完整的解题过
程．
拔高拓展
14.（2023•广西）【综合与实践】：有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”，某兴趣小
组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，
请完成下列方案设计中的任务，
【知识背景】：如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：（m +m）•l＝M•
0（a+y），其中秤盘质量m 克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤
0
纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．
【方案设计】：目标：设计简易杆秤．设定m ＝10，M＝50，最大可称重物质量为1000克，零刻线与
0
末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
（1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的
方程；
（3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值；
任务二：确定刻线的位置．
（4）根据任务一，用含m的代数式表示y；
（5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
