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10.3 实际问题与二元一次方程组（第 3 课时）分层作业
基础训练
1．某工厂去年的总利润为200万元，今年的总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年
的总利润为780万元．小明列出二元一次方程组{ x−y=200 )刻画这一情境中的
(1+20%)x−(1−10%)y=780
等量关系，则方程组中的x，y表示的未知量分别为（ ）
A．今年的总收入为x万元，总支出为y万元
B．今年的总支出为x万元，总收入为y万元
C．去年的总收入为x万元，总支出为y万元
D．去年的总支出为x万元，总收入为y万元
【分析】分析方程组可得方程组中的 x，y表示的未知量分别为：去年的总收入为 x万元、总支出为y
万元，根据去年的利润（总收入﹣总支出）为200万元，今年的利润为780万元，即可列方程组．
【解答】解：设去年的总收入为x万元、总支出为y万元，
由题意得，{ x−y=200 )，
(1+20%)x−(1−10%)y=780
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找
出等量关系，列出相应的方程组．
2．甲、乙两种商品原来的单价和为300元．因市场变化，甲商品降价5%，乙商品提价20%，调价后，
两种商品的单价和比原来的单价和提高了 10%．设甲种商品原来的单价是x元，乙种商品原来的单价
是y元，可列出的方程组是（ ）
A．{ x+ y=300 )
(1+5%)x+(1−20%)y=300×(1+10%)
B．{ x+ y=300 )
(1+5%)x+(1−20%)y=300×(1−10%)
C．{ x+ y=300 )
(1−5%)x+(1−20%)y=300×(1+10%)D．{ x+ y=300 )
(1−5%)x+(1+20%)y=300×(1+10%)
【分析】根据调价前后甲、乙两种商品的单价和，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵甲、乙两种商品原来的单价和为300元，
∴x+y＝300；
∵甲商品降价5%，乙商品提价20%，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了10%，
∴（1﹣5%）x+（1+20%）y＝300×（1+10%）．
∴根据题意可列方程组{ x+ y=300 )．
(1−5%)x+(1+20%)y=300×(1+10%)
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
3．（2022•泰安）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000
元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了 20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共
花费5100元．求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格．
【分析】设第一次购进A种茶的价格为x元/盒，B种茶的价格为y元/盒，利用总价＝单价×数量，即
可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设第一次购进A种茶的价格为x元/盒，B种茶的价格为y元/盒，
依题意得：{ 30x+20 y=6000 )，
20×(1+20%)x+15×(1+20%)y=5100
{x=100)
解得： ．
y=150
答：第一次购进A种茶的价格为100元/盒，B种茶的价格为150元/盒．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关
键．
4．根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨 10%，乙地降价5
元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品
的销售单价．
【分析】设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商品的销售单价为y元，根据销售单价调整
前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，列出二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商品的销售单价为y元，
由题意得：{ y−x=10 )，
(y−5)−(1+10%)x=1
{x=40)
解得： ，
y=50
答：调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该商品的销售单价为50元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关
键．
5．某人从吉林驱车赶往长春共用2小时，吉林至长春全程为120km，全程分为公路和市区道路两部分，
在公路上行驶的平均速度为80km/h，在市区道路上行驶的平均速度为40km/h．根据题意，甲、乙两名
同学分别列出的方程组一部分如下：
甲：
{x+ y=120
) □乙：{80x+40 y=□)．
x y
+ =□ □=□
80 40
（1）请你在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组；
（2）求这个人在公路上驱车行驶的时间．
【分析】（1）甲设公路长x km，市区道路长y km，根据题意列出方程组；乙设公路行驶xh，市区道
路行驶yh，根据题意列出方程组即可；
（2）设公路行驶x h，市区道路行驶y h，列出二元一次方程组，解之即可．
【解答】解：（1）甲设公路长x km，市区道路长y km，
{x+ y=120
)
根据题意得 ；
x x
+ =2
80 40
乙设公路行驶x h，市区道路行驶y h，
{80x+40 y=120)
根据题意得 ；
x+ y=2
（2）设公路行驶x h，市区道路行驶y h，
{80x+40 y=120①)
根据题意得 ，
x+ y②
①﹣②×40得40x＝120﹣80，
解得x＝1，
将x＝1代入②，得1+y＝2，解得y＝1，
{x=1)
∴ ，
y=1
答：这个人在公路上驱车行驶的时间为1h．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是，读懂题意，设出未知数，找出合适
的等量关系，列出方程组．
能力提升
6．某市出租车起步价所包含的路程为 0～3km，超过3km的部分按每千米另收费．明明乘坐这种出租车
走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，
超过3km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（ ）
A．{3x+(7−3)y=16
)
3x+(13−3)y=28
{x+7 y=16
)
B．
x+13 y=28
C．{x+(7−3)y=16
)
x+(13−3)y=28
D．{ x+(7−3)y=16 )
3x+(13−3)y=28
【分析】设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，根据题意明明乘坐这种出租车
走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元列出二元一次方程组，即可求解．
【解答】解：设这种出租车的起步价为 x 元，超过 3km 后每千米收费 y 元，根据题意得，
{x+(7−3)y=16 )，
x+(13−3)y=28
故选：C．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的
相等关系．
7．如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工
厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（吨•千米），铁路运价为1.2元/（吨•
千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元．请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？
（1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：
甲：{ 1.5(20x+10 y)=(ㅤㅤ) )
1.2(110x+120 y)=(ㅤㅤ)
x y
{ 1.5(20⋅ +10⋅ )=(ㅤㅤ) )
乙： 8000 1000
x y
1.2(110⋅ +120⋅ )=(ㅤㅤ)
8000 1000
根据甲、乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，然后在等式右边的方框内补
全甲、乙
两名同学所列方程组，
甲：x表示 产品的重量 ，y表示 原料的重量 ；
乙：x表示 产品销售额 ，y表示 原料费 ．
（2）甲同学根据他所列方程组解得x＝300，则y＝ 400 ，并解决该实际问题： 这批产品的销售
额比原料费和运费的和多 188780 0 元 ．
【分析】（1）仔细分析题意根据题目中的两个方程表示出x，y的值并补全方程组即可；
（2）将x的值代入方程组即可得到结论．
【解答】解：（1）甲：x表示产品的重量，y表示原料的重量，
乙：x表示产品销售额，y表示原料费，
甲方程组右边方框内的数分别为：15000，97200，乙方程组右边方框内的数分别为：15000，97200．
故答案为：产品的重量，原料的重量，产品销售额，原料费．
（2）将x＝300代入原方程组解得y＝400，
∴产品销售额为300×8000＝2400000（元），
原料费为400×1000＝400000（元），
∴运费为15000+97200＝112200（元），
∴2400000﹣（400000+112200）＝1887800（元）
答：这批产品的销售额比原料费和运费的和多1887800元．故答案为：400，这批产品的销售额比原料费和运费的和多1887800元．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是从题目中找到等量关系并写出
表示出x、y所表示的实际意义．
拔高拓展
8．北京、上海两厂能制造同型号电子计算机，除本地使用外，北京可调运给外地 10台，上海可调运给
外地4台，现协议给重庆8台，武汉6台，每台运费如下表：现在有一种调运方案的总运费为 7600
元，问这种调运方案中北京、上海分别该给武汉、重庆各多少台？
终点
每台运费（元） 武汉 重庆
起点
北京 400 800
上海 300 500
【分析】等量关系为：400×北京运往武汉的台数+800×北京运往重庆的台数+300×上海运往武汉的台数
+500×上海运往重庆的台数＝7600，把相关数值代入求解即可．
【解答】解：设北京运往武汉x台，则北京运往重庆（10﹣x）台，上海运往武汉（6﹣x）台，上海运
往重庆4﹣（6﹣x）＝（x﹣2）台．
400x+800×（10﹣x）+300×（6﹣x）+500×（x﹣2）＝7600，
解得x＝6，
∴10﹣x＝4，
6﹣x＝0，
x﹣2＝4．
答：北京运往武汉6台，北京运往重庆4台，上海运往武汉0台，上海运往重庆4台．
【点评】考查了一元一次方程的应用，得到北京和上海运往各地的机器台数的代数式是解决本题的突
破点，得到总运费的等量关系是解决本题的关键．
