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10.3 实际问题与二元一次方程组（第 2 课时）分层作业
基础训练
1．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，下
列方程组正确的是（ ）
{2x=80) { 2x=80 )
A． B．
x=2y 2x=x+3 y
{ x+ y=80 ) {x+ y=80)
C． D．
2x=x+3 y x=2y
【分析】首先设每块小长方形地砖的长为xcm，宽为ycm，由图示可得等量关系：①2个长＝1个长
+3个宽，②一个长+一个宽＝80cm，根据等量关系列出方程组，再解即可．
【解答】解：设每块小长方形地砖的长为xcm，宽为ycm，
{ x+ y=80 )
由题意得： ，
2x=x+3 y
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等
量关系，列出方程组．
2．如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，设每块小长方形墙砖的长为 x cm，宽为y
cm，则下列所列方程组正确的是（ ）
{x+10=3 y) { x−y=10 )
A． B．
2y=40 2y+40=2x{x−y=10) { x+10=3 y )
C． D．
2y=40 2y+40=2x
【分析】每块小长方形墙砖的长为 x cm，宽为y cm，根据图形，比较图形中的高度，找到两个等量
{ x+10=3 y )
关系，列出方程组为 即可．
2y+40=2x
【解答】解：每块墙砖的长为x cm，宽为y cm，
{ x+10=3 y )
根据题意得： ．
2y+40=2x
故选：D．
【点评】本题考查了从实际问题抽象出二元一次方程组，关键是根据题意找到等量关系式．
3．如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，若求阴影部分的面
积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为x，宽为y，根据题意，下列方程组正确的是（
）
{x+2y=20) {x+2y=20)
A． B．
4x=15 4 y=15
{x+2y=20) {x+2y=20)
C． D．
3 y=x x+ y=15
【分析】根据大矩形的长及其内小长方形各边间的关系，即可得出关于 x，y的二元一次方程组，此题
得解．
【解答】解：∵大矩形的长为20，
∴x+2y＝20；
观察图形，可知：x＝3y，
{x+2y=20)
∴根据题意可列方程组 ，
3 y=x
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．
4．用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图 2的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库
里有500张正方形纸板和800张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将库存的纸板用完，则可列方程是（ ）
{ x+2y=500 ) {2x+2y=500)
A． B．
4x+2y=800 4x+4 y=800
{ x+3 y=500 ) { x+2y=500 )
C． D．
4x+2y=800 4x+3 y=800
【分析】根据共有500张正方形纸板和800张长方形纸板，列方程组即可求解．
{ x+2y=500 )
【解答】解：根据题意，得 ，
4x+3 y=800
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找出合适的等量关系，正确列出二元一次方
程组是解题的关键．
5．甲乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇；若同向而行，且甲比乙先出发
1小时，那么在乙出发后经4小时甲追上乙，求甲、乙两人的速度．设甲的速度为x千米/小时，乙的
速度为y千米/小时，则可列方程组为（ ）
{2x+2y=18) {2x−2y=18)
A． B．
5x−4 y=18 5x+4 y=18
{2x+2y=18) {2x+2y=18)
C． D．
5x=4 y−18 5x+4 y=18
【分析】根据甲乙两人在相距 18千米的两地，若同时出发相向而行，经 2小时相遇，可得2x+2y＝
18，根据甲比乙先出发1小时，那么在乙出发后经4小时甲追上乙，可得5x﹣4y＝18，从而可以列出
相应的方程组．
{2x+2y=18)
【解答】解：由题意可得 ．
5x−4 y=18
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程
组．
6．从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走 3km，平路每小时走4km，下坡每小时
走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．设从甲地到乙地上坡与平路分别为x
km，y km，依题意，所列方程组正确的是（ ）x y 42 x y 42
{ + = ) { + = )
A． 4 5 60 B． 5 4 60
x y 54 x y 54
+ = + =
3 4 60 3 4 60
x y x y
{ + =42) { + =42)
C． 5 4 D． 4 5
x y x y
+ =54 + =54
3 4 3 4
【分析】利用时间＝路程÷速度，结合“从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min”，即可列出
关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵从甲地到乙地需54min，
x y 54
∴ + = ；
3 4 60
∵从乙地到甲地需42min，
x y 42
∴ + = ，
5 4 60
x y 42
{ + = )
∴根据题意得可列方程组 5 4 60 ．
x y 54
+ =
3 4 60
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
7．（2024重庆）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分
别用A、B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要A、B两种外墙漆各300千克，购买外墙
漆总费用为15000元，已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元．求A、B两种
外墙漆每千克的价格各是多少元？
【分析】设A种外墙漆每千克的价格是x元，B种外墙漆每千克的价格是y元，根据“购买外墙漆总费
用为15000元，且A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元”，可列出关于x，y的
二元一次方程组，解之即可得出结论；
【解答】解：设A种外墙漆每千克的价格是x元，B种外墙漆每千克的价格是y元，
{300x+300 y=15000)
根据题意得： ，
x−y=2{x=26)
解得： ．
y=24
答：A种外墙漆每千克的价格是26元，B种外墙漆每千克的价格是24元；
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正
确列出二元一次方程组．
8．一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，设∠1＝x°，∠2＝y°，先根据题意列
出二元一次方程组，再求解．
【分析】根据图示可得∠1和∠2互余，进而可得x+y＝90，再根据∠1的度数比∠2的度数大50°可得
x﹣y＝50，然后利用加减消元法计算即可．
{x+ y=90)
【解答】解：由题意得： ，
x−y=50
{x=70)
解得： ．
y=20
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等
量关系．
9．为了保护生态平衡，绿化环境，国家大力鼓励“退耕还林还草”，其补偿政策如表1．
种树、种草每亩每年补粮、补钱情况表（表1）
种植名称 种树 种草
补偿内容
补粮 150千克 100千克
补钱 200元 150元
小浪底库区某农户积极响应国家号召，承包了一片山坡地种树、种草，所得到国家的补偿如表2，
种树、种草亩数及补偿通知单（表2）
种树、种草 补粮 补钱
30亩 4000千克 5500元
问该农户种树、种草各多少亩？（用两种方法解题，只列出方程（组））
【分析】可用一元一次方程、二元一次方程组的角度求解，等量关系为：总共 30亩，补钱4000千
克，补钱5500元．【解答】解：方法一：设该农户种树x亩，则种草（30﹣x）亩，
则150x+（30﹣x）×100＝4 000．
解得：x=20，
所以30﹣x=10.
答：该农户种树20亩，则种草10亩.
方法二：设该农户种树x亩，种草y亩，
{ x+ y=30 )
则 ．
200x+150 y=5500
解得：x=20，y=10.
答：该农户种树20亩，则种草10亩.
【点评】本题考查了一元一次方程及二元一次方程组的应用，解答解答本题的关键是仔细审题，找到
等量关系．
10．小敏做拼图游戏时发现：8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图①所示．小
颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图②所示的正方形，不过中间留下一个边长恰好为2cm的小正
方形空白，你能算出每个小长方形的长和宽各为多少吗？
思考1：设小长方形的长为x cm，宽为y cm．在图①中大长方形的长有两种表现形式，一种是5个小
长方形的 宽 的和，另一种是3个小长方形的 长 的和，可得方程 5 y ＝ 3 x ．
思考2：在图②中，大正方形的边长也有两种表现形式，一种是 1 个小长方形的长和 2 个小
长方形的宽的和，另一种从中间看为 2 个小长方形的长与空白小正方形的 边长 的和，可得方
程 x + 2 y ＝ 2 x + 2 ．
【分析】思考1：根据小长方形的宽×5＝小长方形的长×3解答即可；
思考2：根据2个小长方形的宽+1个小长方形的长＝2+2个小长方形的长解答即可．
【解答】解：思考1：设小长方形的长为x cm，宽为y cm．在图①中大长方形的长有两种表现形
式，一种是5个小长方形的宽的和，另一种是3个小长方形的长的和，可得方程5y＝3x．
故答案为：宽，长，5y＝3x．思考2：在图②中，大正方形的边长也有两种表现形式，一种是 1个小长方形的长和2个小长方形的
宽的和，另一种从中间看为2个小长方形的长与空白小正方形的边长的和，可得方程x+2y＝2x+2．
故答案为：1，2，边长，x+2y＝2x+2．
【点评】本题是考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是善于从图形中挖掘出隐含的
等量关系．
能力提升
11．如图，由矩形和三角形组合而成的广告牌紧贴在墙面上，重叠部分（阴影）的面积是 4m2，广告牌所
占的面积是 30m2（厚度忽略不计），除重叠部分外，矩形剩余部分的面积比三角形剩余部分的面积多
2m2，设矩形面积是xm2，三角形面积是ym2，则根据题意，可列出二元一次方程组为（ ）
A．{ x+ y−4=30 ) B．{ x+ y=26 )
(x−4)−(y−4)=2 (x−4)−(y−4)=2
C．{ x+ y−4=30 ) D．{x−y+4=30)
(y−4)−(x−4)=2 x−y=2
【分析】根据题意找到等量关系：①矩形面积+三角形面积﹣阴影面积＝30；②（矩形面积﹣阴影面
积）﹣（三角形面积﹣阴影面积）＝2，据此列出方程组．
【解答】解：依题意得：{ x+ y−4=30 )．
(x−4)−(y−4)=2
故选：A．
【点评】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住
题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
12．一列快车长70米，一列慢车长80米．若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车所用时间为
20秒．若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4秒，求两车每秒各行多少米？
如图，设快车每秒行x米，慢车每秒行y米．根据题意填空．
（1）若同向而行，经过20秒快车行驶的路程比慢车行驶的路程多 15 0 米，可列方程 2 0 x ﹣ 2 0 y
＝ 15 0 ．
（2）若相向而行，两车4秒共行驶 15 0 米，可列方程 4 x + 4 y ＝ 15 0 ．{20x−20 y=150) {x=22.5)
（3）由以上可得方程组 ，解得 ．
4x+4 y=150 y=15
【分析】（1）根据题意，快车比慢车多行驶的是两车的车长；
（2）相向行驶，相遇时，两车行驶的总路程是两车的车长；
（3）将（1）（2）的两个方程联立，再用加减消元法求解即可．
【解答】解：（1）∵快车长70米，慢车长80米，两车同向行驶，
∴20秒快车比慢车多行驶70+80＝150米，
∴20x﹣20y＝150，
故答案为：150，20x﹣20y＝150；
（2）∵两车相向行驶，两车从相遇到离开时间为4秒，
∴两车4秒共行驶150米，
∴4x+4y＝150，
故答案为：150，4x+4y＝150；
{20x−20 y=150①)
（3）将（1）（2）联立方程组为 ，
4x+4 y=150②
②×5，得20x+20y＝750③，
①+③，得40x＝900，
解得x＝22.5，
将x＝22.5代入①得，y＝15，
{x=22.5)
∴方程组的解为 ，
y=15
{20x−20 y=150) {x=22.5)
故答案为： ， ．
4x+4 y=150 y=15
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，根据所给条件列出正确的二元一次方程组是解
题的关键．
拔高拓展13．问题：如图，一个长方形的长减少5cm，宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相
等．这个长方形的长、宽分别是多少厘米？设长方形的长、宽分别是x cm，y cm．
（1）小明绞尽脑汁列出了四个不同的方程组：
①{x−5= y+2)； ②{x−5= y+2)；
xy=(x−5) 2 xy=(y+2) 2
③ {x−5=(y+2) 2 )； ④{ x−5= y+2 )．
xy=(x−5) 2 xy=(x−5)(y+2)
以上四个方程组中，能正确反映题意的有 ①②④ ；（请直接填写序号）
（2）小明列出的正确方程组，根据目前所学知识不易求解，便请教老师，老师提示这个问题可以列二
元一次方程组来解答，并适时点拨，小明终于明白了．请你写出小明列出的二元一次方程组，并写出
解题过程．
【分析】（1）根据长﹣5＝宽+2，就成为一个正方形，及两图形的面积相等，可得出方程组
①②④；
（2）根据“这发型的边长相等”和“增加的面积＝减少的面积”列方程组求解．
【解答】解：（1）解：由题意得：x﹣5＝y+2且xy＝（x﹣5）2＝（y+2）2＝（x﹣5）（y+2），
故答案为：①②④；
（2）设长方形的长、宽各是x cm，y cm，
则：{ x−5= y+2 )，
2(x−5)=5 y
1
{x=8 )
解得： 3 ，
1
y=1
3
1 1
答：长方形的长为8 cm、宽是1 cm．
3 3【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找到相等关系是解题的关键．
