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10.2.2 加减消元法 分层作业
基础训练
{ 2x+ y=3①)
1．（2021•益阳）解方程组 时，若将①﹣②可得（ ）
2x−3 y=4②
A．﹣2y＝﹣1 B．﹣2y＝1 C．4y＝1 D．4y＝﹣1
【分析】①﹣②得出（2x+y）﹣（2x﹣3y）＝3﹣4，再去括号，合并同类项即可．
{ 2x+ y=3①)
【解答】解： ，
2x−3 y=4②
①﹣②，得4y＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关
键．
{2x+3 y=−10①)
2．利用加减消元法解方程组 ，下列做法正确的是（ ）
3x−5 y=−6②
A．要消去y，可以将①×5+②×2
B．要消去x，可以将①×5+②×2
C．要消去y，可以将①×5+②×3
D．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2
【分析】观察方程组中x与y的系数特点，利用加减消元法判断即可．
【解答】解：要消去y可以将①×5+②×3，故选项A不合题意，C合题意；
要消去x，可以将①×3﹣②×2，故选项B、D不合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元
法．
{3x−y=7)
3．用加减法解方程组 时，要使方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当
x+2y=5
变形．以下四种变形中正确的是（ ）
{6x−2y=7) { 3x−y=7 ) {6x−2y=14) {3x−y=7 )
① ；② ；③ ；④ ．
x+2y=5 3x+6 y=15 x+2y=5 3x+6 y=5
A．②③ B．②④ C．①③ D．①②
【分析】利用加减消元法解方程组即可．{ 3x−y=7 )
【解答】解：若将x的系数变为相等的，变形为 ；
3x+6 y=15
{6x−2y=14)
若将y的系数变为相反数，变形为 ；
x+2y=5
综上，变形正确的是②③，
故选：A．
【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
{ m−n=2 )
4．以下解方程组 的步骤正确的是（ ）
2m+n=−5
A．代入法消去m，由①得m＝2﹣n
B．代入法消去n，由②得n＝2m﹣5
C．加减法消去n，①+②得3m＝﹣3
D．加减法消去m，①×2﹣②得﹣3n＝﹣1
【分析】根据题意，逐项判断即可．
【解答】解：A．代入法消去m，由①得m＝2+n，此项不正确；
B．代入法消去n，由②得n＝﹣2m﹣5，此项不正确；
C．加减法消去n，①+②得3m＝﹣3，此项正确；
D．加减法消去m，①×2﹣②得﹣3n＝9，此项不正确．
故选：C．
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是关键．
{3x−y=4m+1)
5.已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足x﹣y＝4，则m的值为（ ）
x+ y=2m−5
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】把方程组的两个方程相减得到2x﹣2y＝2m+6，结合x﹣y＝4，得到m的值．
{3x−y=4m+1①)
【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组为 ，
x+ y=2m−5②
①﹣②，得：
2x﹣2y＝2m+6，
∴x﹣y＝m+3，
∵x﹣y＝4，
∴m+3＝4，
∴m＝1．
故选：B．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是把方程组的两个方程相减得到 m的方
程，此题难度不大．
6．若|m+2n﹣1|+（m﹣3n+4）2＝0，则m+n的值为 0 ．
{m+2n−1=0)
【分析】根据非负数的性质可得 ，解出m和n的值即可解答．
m−3n+4=0
【解答】解：∵|m+2n﹣1|+（m﹣3n+4）2＝0，
{m+2n−1=0)
∴ ，
m−3n+4=0
{m=−1)
解得 ，
n=1
∴m+n＝﹣1+1＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了非负数的性质以及解二元一次方程组，解题的关键是掌握二元一次方程组的解
法．
{x−y=1①)
7．（2022•桂林）解二元一次方程组： ．
x+ y=3②
【分析】利用加减消元法可解答．
【解答】解：①+②得：2x＝4，
∴x＝2，
把x＝2代入①得：2﹣y＝1，
∴y＝1，
{x=2)
∴原方程组的解为： ．
y=1
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
8．解方程组：
（1）{ x+2y=4 )； （2）{ x+ y=3 )．
2x−3 y=1 5x−3(x−y)=1
（3）{ 2x−y=3 )； （4）
{x
−
y+1
=1)．
2 3
3(x+2)+2(y−4)=6
3x+2y=10
【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）将原式整理后利用加减消元法解方程组即可．（3）利用代入消元法解方程组即可；
{3x−2y=8)
（4）把原方程组整理，得 ，然后根据加减消元法解方程组即可．
3x+2y=10
{ x+2y=4①)
【解答】解：（1） ，
2x−3 y=1②
①×2﹣②得：7y＝7，
解得：y＝1，
将y＝1代入①得：x+2＝4，
解得：x＝2，
{x=2)
故原方程组的解为 ；
y=1
{ x+ y=3① )
（2）原方程组整理得 ，
2x+3 y=1②
②﹣①×2得：y＝﹣5，
将y＝﹣5代入①得：x﹣5＝3，
解得：x＝8，
{ x=8 )
故原方程组的解为 ．
y=−5
（3）{ 2x−y=3① )，
3(x+2)+2(y−4)=6
由①，得y＝2x﹣3③，
把③代入②，得3（x+2）+2（2x﹣3﹣4）＝6，
去括号，得3x+6+4x﹣14＝6，
移项、合并同类项，得7x＝14，
解得：x＝2，
把y＝2代入③，得y＝2×2﹣3＝1，
{x=2)
∴方程组的解为 ；
y=1
（4）
{x
−
y+1
=1) ，
2 3
3x+2y=10
{3x−2y=8①)
整理，得 ，
3x+2y=10②①+②，得6x＝18，
解得：x＝3，
把x＝3代入①，得3×3﹣2y＝8，
1
解得：y= ，
2
{x=3
)
∴方程组的解为 ．
1
y=
2
【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
9．下面是颖颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务：
{ 2x−y=4，① )
解方程组：
6x−4 y=19．②
解：①×3，得6x﹣3y＝12．③第一步
②﹣③，得﹣7y＝7，第二步
y＝﹣1．第三步
3
将y＝﹣1代入①，得x= 第四步
2
{y=−1
)
所以，原方程组的解为 第五步
3
x=
2
任务一：
填空：①这种求解二元一次方程组的方法叫做 加减 法，
以上求解步骤中，第一步的依据 等式的性质 ．
②第 二 步开始出现错误．
任务二：
{x=−1.5)
请解该方程组 ．
y=−7
【分析】任务一：①通过两个方程相减，消去了x，得到了关于y的一元一次方程，所以这是加减消
元法；
②第二步开始出现错误，具体错误是﹣3y﹣（﹣4y）应该等于﹣y；
任务二：解方程组即可．
【解答】解：任务一：①这种求解二元一次方程组的方法叫做加减法，求解步骤中，第一步的依据等
式的性质，故答案为：加减，等式的性质；
②第二步开始出现错误，具体错误是﹣3y﹣（﹣4y）应该等于﹣y，
故答案为：二；
任务二：①×3，得6x﹣3y＝12③，
②﹣③得﹣y＝7，
y＝﹣7，
将y＝﹣7代入①，x＝﹣1.5，
{x=−1.5)
所以，原方程组的解为 ．
y=−7
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化
为一元方程是解题的关键．
能力提升
{x+2y=4)
10．（2022•随州）已知二元一次方程组 ，则x﹣y的值为 1 ．
2x+ y=5
【分析】将第一个方程化为x＝4﹣2y，并代入第二个方程中，可得2（4﹣2y）+y＝5，解得y＝1，将y
＝1代入第一个方程中，可得x＝2，即可求解．
【解答】解：解法一：由x+2y＝4可得：
x＝4﹣2y，
代入第二个方程中，可得：
2（4﹣2y）+y＝5，
解得：y＝1，
将y＝1代入第一个方程中，可得
x+2×1＝4，
解得：x＝2，
∴x﹣y＝2﹣1＝1，
故答案为：1；
{x+2y=4①)
解法二：∵ ，
2x+ y=5②
由②﹣①可得：
x﹣y＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法与代入消元法．{ax−by=5) { 3x−y=1 )
11．若关于x，y的方程组 与关于x，y的方程组 有相同的解，则a＝ 4
ax+by=3 4x−3 y=−2
1
，b＝ − ．
2
{ 3x−y=1 ) {ax−by=5)
【分析】先解方程组 ，求出x，y，再把x，y代入方程组 得关于a，b的
4x−3 y=−2 ax+by=3
方程组，解方程组求出a，b即可．
{ 3x−y=1① )
【解答】解： ，
4x−3 y=−2②
①×3得：9x﹣3y＝3③，
③﹣②得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝2，
{x=1)
∴方程组的解为： ，
y=2
{ax−by=5) { 3x−y=1 )
∵关于x，y的方程组 与关于x，y的方程组 有相同的解，
ax+by=3 4x−3 y=−2
{ax−by=5) {x=1)
∴关于x，y的方程组 的解也为 ，
ax+by=3 y=2
{x=1) {ax−by=5) {a−2b=5①)
把 代入方程组 得： ，
y=2 ax+by=3 a+2b=3②
①+②得：a＝4，
1
把a＝4代入①得：b=− ，
2
{
a=4
)
∴ ，
1
b=−
2
1
故答案为：4，− ．
2
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握二元一次方
程组解的定义和利用加减消元与代入消元法解二元一次方程组．
12．在解关于 x，y 的方程组{(m+1)x−ny=8①)时，可以用①×2+②消去未知数 x，也可以用
nx+my=11②
①+②×5消去未知数y，则m﹣n＝（ ）8 6 8
A．4 B．− C．− D．
3 7 7
【分析】根据可以用①×2+②消去未知数x，得到2m+2+n＝0③，根据可以用①+②×5消去未知数
y，得到5m﹣n＝0④，据此建立关于m、n的方程组，解方程组即可得到答案．
【解答】解：①×2+②整理得得：（2m+2+n）x+（m﹣2n）y＝27，
∵可以用①×2+②消去未知数x，
∴2m+2+n＝0③，
①+②×5整理得得：（m+1+5n）x+（5m﹣n）y＝63，
∵可以用①+②×5消去未知数y，
∴5m﹣n＝0④，
{2m+n=−2)
联立③④得 ，
5m−n=0
2
{m=− )
解得 7 ，
10
n=−
7
2 10 8
∴m−n=− −(− )= ，
7 7 7
故选：D．
【点评】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是关键．
13．如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A，B，C，D对应的数分别是
数a，b，c，d，且2a﹣3b＝﹣2，那么数轴的原点是点 D ．
【分析】根据数轴上各个点所表示的数的大小关系进行计算即可．
【解答】解：由A、B、C、D在数轴上的位置可知，a＝b﹣3，又2a﹣3b＝﹣2，
所以b＝﹣4，
即点B所表示的数是﹣4，
又d﹣b＝4，而b＝﹣4，
所以d＝0，
即原点是点D．
故答案为：D．
【点评】本题考查数轴，额有一次方程组，掌握额有一次方程组的解法以及数轴表示数的意义是正确解答的关键．
{ax+4 y=21) {x=4)
14．在解方程组 时，由于粗心，甲同学看错了方程组中的 a，而得到解为 ，乙同学
3x−by=6 y=3
{x=1)
看错了方程组中的b，而得到解为 ，求原方程组的解．
y=4
{x=4) {x=1)
【分析】把 代入方程3x﹣by＝6中即可求出b的值，把 代入方程ax+4y＝21中即可求出
y=3 y=4
a的值，然后根据加减消元法解二元一次方程组即可．
{x=4)
【解答】解：把 代入方程3x﹣by＝6中，得3×4﹣3b＝6，
y=3
解得b＝2，
{x=1)
把 代入方程ax+4y＝21中，得a+4×4＝21，
y=4
解得a＝5，
{5x+4 y=21①)
所以原方程组为 ，
3x−2y=6②
②×2，得6x﹣4y＝12③，
①+③，得11x＝33，
解得x＝3，
把x＝3代入②，得y＝1.5，
{ x=3 )
所以原方程组的解是 ．
y=1.5
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键．
拔高拓展
{y=2x−1)
15．若关于x，y的二元一次方程组 无解，则a的值是 2 ．
y=ax+2
【分析】方程组中的两个方程直接相减得到一元一次方程，根据方程组无解得到 2﹣a＝0，即可求出a
的值．
{y=2x−1①)
【解答】解： ，
y=ax+2②
①﹣②，得（2﹣a）x﹣3＝0，
∴（2﹣a）x＝3，{y=2x−1)
∵关于x，y的二元一次方程组 无解，
y=ax+2
∴2﹣a＝0，
∴a＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，根据方程组无解得出a的值是解题的关键．
16．（2020•扬州）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下
问题：
已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规
思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整
体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就
是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
{2x+ y=7，)
（1）已知二元一次方程组 则x﹣y＝ ﹣ 1 ，x+y＝ 5 ；
x+2y=8，
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5
块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘
法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝ ﹣ 1 1 ．
1
【分析】（1）利用①﹣②可得出x﹣y的值，利用 （①+②）可得出x+y的值；
3
（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据“买20支铅笔、3块橡
皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于m，n，p
的三元一次方程组，由2×①﹣②可得m+n+p的值，再乘5即可求出结论；
（3）根据新运算的定义可得出关于a，b，c的三元一次方程组，由3×①﹣2×②可得出a+b+c的值，
即1*1的值．
{2x+ y=7①)
【解答】解：（1） ．
x+2y=8②
由①﹣②可得：x﹣y＝﹣1，
1
由 （①+②）可得：x+y＝5．
3故答案为：﹣1；5．
（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，
{20m+3n+2p=32①)
依题意，得： ，
39m+5n+3p=58②
由2×①﹣②可得m+n+p＝6，
∴5m+5n+5p＝5×6＝30．
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
{3a+5b+c=15①)
（3）依题意，得： ，
4a+7b+c=28②
由3×①﹣2×②可得：a+b+c＝﹣11，
即1*1＝﹣11．
故答案为：﹣11．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）运用“整体思想”求出x﹣y，x+y
的值；（2）（3）找准等量关系．
