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第十章 二元一次方程组
01 思维导图
目录
【易错题型】.................................................................................................................................................................1
易错题型一 利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值................................................................................1
易错题型二 已知二元一次方程的解求参数或代数式的值....................................................................................3
易错题型三 已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值................................................................................4
易错题型四 已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值....................................................................7
易错题型五 已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值............................................................8
【压轴题型】...............................................................................................................................................................12
压轴题型一 换元法解二元一次方程组..................................................................................................................12
压轴题型二 新定义型二元一次方程组..................................................................................................................19
压轴题型三 二元一次方程(组)中的整数解问题....................................................................................................25
压轴题型四 应用二元一次方程组之销售、利润问题..........................................................................................33
压轴题型五 应用二元一次方程组之方案问题......................................................................................................37
02 易错题型
【易错题型】
易错题型一 利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值
例题：（23-24七年级下·四川南充·期中）若 是二元一次方程，则 ，
巩固训练
1．（2024七年级下·浙江·专题练习）当方程 是二元一次方程时，则 ， ．
2．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）若 是关于x，y的二元一次方程，
．
3．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）已知 是关于x、y的二元一次方程，则
．
易错题型二 已知二元一次方程的解求参数或代数式的值
1
学科网（北京）股份有限公司例题：（23-24七年级下·吉林·期末）若 是关于 和 的二元一次方程 的一个解，则 的值
为 ．
巩固训练
1．（23-24七年级下·广东珠海·期末）已知 是方程 的一个解，则 的值为 ．
2．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期末）已知 是方程 的解，则代数式 的值为
3．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知 是二元一次方程 的一个解，则代数式
的值是 ．
易错题型三 已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值
例题：（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）已知方程组 的解是 ，则m，n的值是 ．
巩固训练
1．（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知 是二元一次方程组 的解，则 的值是
．
2．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知 ，是二元一次方程组 的解，则 的值为
．
3．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）若 是关于x，y的二元一次方程组 的解，则
的值为 ．
易错题型四 已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值
例题：（23-24七年级下·山西临汾·期末）若方程组 的解满足 ，则 等于 ．
2
学科网（北京）股份有限公司巩固训练
1．（23-24七年级上·全国·单元测试）当 时，方程组 的解互为相反数．
2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知关于x，y的方程组 的解的和是k，则
．
3．（23-24七年级下·四川广安·期末）若关于 的方程组 的解满足 ，则
的值为 ．
易错题型五 已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值
例题：（23-24七年级下·广东汕头·期末）若关于 的二元一次方程组 的解为整数，则满足
条件的所有 的值的和为 .
巩固训练
1．（22-23七年级下·江苏南通·期中）a为正整数，已知二元一次方程组 有整数解，则
．
2．（22-23七年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x、y的二元一次方程组 （p为实数）．
（1） （用含p的式子表示）；
（2）若方程组的解也是方程 （q为整数，且q不等于0或 ）的解，p也是整数，则q的最小
值为 ．
3．（23-24七年级下·河北邢台·期中）已知关于 的方程组
（1）若方程组的解满足 ，则 ．
（2）若方程组的解中 恰为整数， 也为整数， ．
3
学科网（北京）股份有限公司03 压轴题型
【压轴题型】
压轴题型一 换元法解二元一次方程组
例题：（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）数学方法：解方程组 ，若设
， ，则原方程组可变形为 ，解方程组得 ，所以 ，解方程组
得 ．我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)请用这种方法解方程组 ；
(2)已知关于x、y的二元一次方程组 的解为 ，则关于m、n的二元一次方程组
的解为______．
巩固训练
1．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组
时，采用了一种“整体换元”的解法．把 看成一个整体，设 ,原方程组可变为
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学科网（北京）股份有限公司，解得 ，即 ，解得
(1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组：
(2)已知关于x,y的方程组 的解为 ，求关于m，n的方程组
的解．
2．（22-23七年级下·重庆铜梁·期中）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组 ．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易
出错．如果把方程组中的 看成一个整体，把 看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
以下是他的解题过程：
令 ， ．原方程组化为 ，解得 ，
把 代入 ， ，得 ，解得 ，
原方程组的解为 ．
(1)学以致用：
运用上述方法解方程组：
(2)拓展提升：
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学科网（北京）股份有限公司已知关于x，y的方程组 的解为 ，请直接写出关于m、n的方程组
的解是______．
3．（23-24七年级下·山西晋城·期中）阅读与思考
阅读下列材料，完成后面的任务．
善于思考的李同学在解方程组 时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把 看成一个整体，设 ， ．
原方程组可化为 ，解得 原方程组的解为 ．
任务：
(1)方程组 的解是 ，则方程组 的解是______；
(2)仿照上述解题方法，用“整体换元”法解方程组 ．
压轴题型二 新定义型二元一次方程组
例题：（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）对于非零的两个有理数m、n，定义一种新运算，规定
．若 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
巩固训练
1．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）对 、 定义一种运算 ，规定 （其中 、 为
非零常数），如 ，若 ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．0 C．4 D．6
2．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）对 、 定义一种新运算 ，规定： （其中 、
均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如： ，若 ，
，则下列结论正确的有 ．
（1） ， ；
（2）若 ， ，则 ；
（3）若 ，则 、 有且仅有2组正整数解；
（4）若 ， ， 对任意有理数 、 都成立，则 ．
3．（2023七年级下·江苏·专题练习）对于有理数x，y，定义新运算： ，其
中a，b是常数．已知 ．
(1)求a，b的值；
(2)若关于x，y的方程组 的解也满足方程 ，求m的值；
(3)若关于x，y的方程组 的解为 ，求关于x，y的方程组
的解．
4．（22-23七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：关于 的方程 与方程 （a、b均为不等
于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程 与方程 互为“反对方程”．
(1)若关于 的方程 与方程 互为“反对方程”，则 ______；
(2)若关于 的方程 与方程 互为“反对方程”，求 、 的值；
(3)若关于 的方程 与其“反对方程”的解都是整数，求整数 的值 ．
5．（23-24七年级下·北京海淀·期中）定义：形如关于 的方程 与 的两个方程互为共
轭二元一次方程，其中 ；由这两个方程组成的方程组 ，叫做共轭方程组．
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学科网（北京）股份有限公司(1)请写出方程 的共轭二元一次方程： ；
(2)若方程 中 的值满足表格：
﹣
x 2
1
y 2 1
求这个方程的共轭二元一次方程；
(3)若共轭方程组 的解是 ，请你求出 的数量关系．
压轴题型三 二元一次方程(组)中的整数解问题
例题：（23-24七年级下·重庆·期中）阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程 有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由 ，得
（x，y为正整数）．要使 为正整数，则 为正整数，可知：x为3的倍数，
从而 ，代入 ．所以 的正整数解为 ．
问题：
(1)请你直接写出方程 的正整数解 ；
(2)若 为负整数，直接写出满足条件的整数x的值为 ；
(3)若关于x，y的二元一次方程组 的解是正整数，求出整数k的值，并求出此时方程组的解．
巩固训练
1．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于 的方程组 ，其中 ， 为整数．
(1)若方程组有无穷多组解，求实数 与 的值；
(2)当 时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司2．（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）已知关于 的方程组
(1)请直接写出方程 的所有正整数解 ；
(2)无论数 取何值，方程 总有一个固定的解，请求出这个解；
(3)若方程组的解中 恰为整数， 也为整数，求 的值．
3．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知关于x，y的方程组 ．
(1)请直接写出方程 的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足 ，求m的值；
(3)如果方程组有整数解，求整数m的值．
4．（22-23七年级下·吉林长春·期末）阅读下列材料，解答下面的问题．
我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如 ， ， ……都是方程 的解，
但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可．
我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法：
例：求 这个二元一次方程的正整数解．
解： ，得： ，
根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道
方程 的正整数解为 或 ．
问题：
(1)若 为非负整数，则满足条件的整数x的值有______个．
(2)直接写出满足方程 的正整数解______．
(3)若要把一根长为 的绳子截成长为 和 两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费
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学科网（北京）股份有限公司材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法．
压轴题型四 应用二元一次方程组之销售、利润问题
例题：（24-25八年级上·全国·期末）某校为落实西宁市教育局“教育信息化 行动计划”，搭建数字化
校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买 台电子白板和 台平板电脑共需 万元；购买3台
电子白板和4 台平板电脑共需 万元．
(1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？
(2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共 台，其中电子白板不超过 台，某商家给出了
两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买 台电子白板，送 台平板电脑．若购
买电子白板 台和平板电脑所需的费用为 （万元），请根据两种优惠方案分别写出 关于 的函数表达
式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱．
巩固训练
1.（22-23八年级下·辽宁本溪·开学考试）某商场购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融
两种毛绒玩具共100个，共花去10000元，这两种吉祥物毛绒玩具的进价、标价如下表：
冰墩墩 雪容融
进价（元/个） 120 70
标价（元/个） 160 100
(1)求该商场冰墩墩和雪容融这两种毛绒玩具分别购进了多少个?
(2)如果商场将冰墩墩毛绒玩具按标价的9折出售，雪容融毛绒玩具按标价的8折出售，那么商场将这两种
毛绒玩具全部售出后会获利多少元?
2.（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某学年计划从商场批发帽子和手套奖励给部分同学，商场标
价，帽子单价是50元，手套单价为 元，并且学年用于购进帽子和手套的总金额相等．（一顶帽子为一
件，一副手套为一件）．
(1)第一次购进的帽子和手套共 件，求第一学年购买帽子和手套各多少件？
(2)第二次购买时从商场得知，帽子 件起售，超过 件的部分每件打八折，不超过 件的部分不予以
优惠；手套50件起售，超过50件的部分，每件优惠2元，不超过50件的部分不予以优惠，经过学年统计，
此次需购买帽子超过 件，购买手套也超过50件，且第二次购买帽子和手套共 件，则该学年第二次
需准备多少资金用来购买手套和帽子．
3.（24-25八年级上·福建福州·开学考试）古田水蜜桃有果大质优、色泽艳丽、汁多味甜三大特点．当季是
水蜜桃成熟的季节，市场上水蜜桃的销量也与日俱增，某水蜜桃种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的
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学科网（北京）股份有限公司水蜜桃，对总计1000斤的水蜜桃进行打包优惠出售，打包方式及售价如下：礼盒装每箱8斤，售价100元；
简易装每箱18斤，售价180元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤水蜜桃（箱数为整数且两
种方式至少各有一箱）．
(1)若这批水蜜桃全部售完，销售总收入10700元，请问礼盒装共包装了多少箱，简易装共包装了多少箱？
(2)若水蜜桃种植大户留下 箱礼盒装水蜜桃送人，其余水蜜桃全部售出，应该如何分配两种打包方
式才能使销售总收入达到11420元，求此时a的值．
压轴题型五 应用二元一次方程组之方案问题
例题：（24-25八年级上·全国·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人
们喜爱的交通工具．某4S店用120万元购进A，B两种新能源汽车进行销售，这两种汽车的进价和售价如
下表所示，全部销售后可获毛利润16万元．[毛利润 （售价 进价） 销售量]
A B
进价/（万元/辆） 15 12
售价/（万元/辆） 16.5 14
(1)该4S店购进A，B两种新能源汽车各多少辆？
(2)由于销售状况特别好，该4S店决定再用240万元同时购进A，B两种新能源汽车（240万元资金刚好用
完且两种汽车均购买），有哪几种购买方案？
巩固训练
1.（24-25八年级上·山东德州·开学考试）某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解
1辆 型新能源汽车和3辆 型新能源汽车的进价共计55万元；4辆 型新能源汽车和2辆 型新能源汽
车的进价共计120万元．
(1)求 ， 两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元；
(2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你
通过计算帮该公司求出全部的购买方案．
2.（23-24八年级上·全国·单元测试）“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质
脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载
满脐橙一次可运走 ；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走 ，现有脐橙 ，计划同时租
用 A 型车a 辆，B 型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1 辆A 型车和1辆B 型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨?
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学科网（北京）股份有限公司(2)请你帮该物流公司设计租车方案；
(3)若1辆A 型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少
租车费．
3.（22-23七年级下·江苏南通·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人
们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够
的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．
生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新
工人每月可以安装22辆新能源汽车．
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？
(2)如果工厂招聘n（ ）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，
那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
(3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月
发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资
总额W（元）尽可能少？
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学科网（北京）股份有限公司
