专题02整式、因式分解与分式（5年汇编）（浙江专用）（答案版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2027新好题汇编_2027新好题汇编2022-2026年中考数学真题分类汇编（浙江专用）

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专题02 整式、因式分解与分式
5 年真题1 年模拟
考点01 幂的运算与整式运算
1．D
2．D
3．D
4．D．
5．D
6．C
7．C
8．A
9．D
10．D
11．D
12．D
13．A
14．A
15．D
16．C
考点02 乘法公式、整式化简求值与规律探究
1．ͺ
2．ͷㄷ⸹〲，13
3．
【详解】（1）解：∵〲ʹ െͳʹ ൌͺ ൈͳ，ͷʹ െ〲ʹ ൌͺ ൈʹ，͹ʹ െͷʹ ൌͺ ൈ〲，ͻʹ െ͹ʹ ൌͺ ൈͶ，
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∴ͳͳʹ െͻʹ ൌͺ ൈͷ，ͳ〲ʹ െͳͳʹ ൌͺ ൈ͸，
故答案为：6；
（2）由题意得：ʹ݊⸹ͳ ʹ െʹ݊
െͳ ʹ ൌͺ݊，故答案为：n；
（3）证明：ʹ݊⸹ͳ ʹ െʹ݊
െͳ ʹ
ൌʹ݊⸹ͳ ⸹ʹ݊
െͳ
ʹ݊⸹ͳ െʹ݊⸹ͳ
ൌͶ݊
ൈʹ
ൌͺ݊．
4．ܽʹ െͳ/െͳ ⸹ܽ
ʹ
5．Ͳ
6．（1）解：ͳ ⸹
〲ͺ
Ͳ ⸹ȁ െʹȁ െ
ͻ
ൌͳ ⸹ʹ െ〲
ൌͲ；
（2）解：ሺܽ⸹〲ሻሺܽെ〲ሻ⸹ܽሺͳ െܽ
ሻ
ൌܽ
ʹ െͻ ⸹ܽ
െܽ
ʹ
ൌܽ
െͻ．
7．C
8．
【详解】（1）解：①当a＝1 时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2 时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3 时，352＝1225＝〲ൈͶ ൈͳͲͲ⸹ʹͷ；
（2）相等，理由如下：
׶ܽ
ͷ
തതതʹ ൌሺͳͲܽ⸹ͷሻʹ ൌͳͲͲܽʹ ⸹ͳͲͲܽ⸹ʹͷǡ
100a(a＋1)＋25=ͳͲͲܽʹ ⸹ͳͲͲܽ⸹ʹͷǡ
׵ܽ
ͷ
തതതʹ ൌͳͲͲܽሺܽ⸹ͳሻ⸹ʹͷ
（3）׶ܽ
ͷ
തതതʹ与100a 的差为2525，
׵ ͳͲͲܽʹ ⸹ͳͲͲܽ⸹ʹͷ െͳͲͲܽ
ൌʹͷʹͷǡ
整理得：ͳͲͲܽʹ ൌʹͷͲͲǡ 即ܽʹ ൌʹͷǡ
解得：ܽ
ൌേͷǡ
׶ 1≤a≤9，
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׵ܽ
ൌͷ㘶
9．
【详解】（1）解：∵直角三角形较短的直角边ൌ
ͳ
ʹ ൈʹܽ
ൌܽ
，
较长的直角边ൌʹܽ⸹〲，
∴小正方形的边长ൌʹܽ⸹〲െܽ
ൌܽ
⸹〲；
（2）解：ܵ小正方形ൌሺܽ⸹〲ሻʹ ൌܽ
ʹ ⸹͸ܽ⸹ͻ，
当ܽ
ൌ〲时，ܵ小正方形ൌሺ〲⸹〲ሻʹ ൌ〲͸．
10．
【详解】ሺͳ ⸹ㄷሻሺͳ െㄷሻ⸹ㄷሺㄷ⸹ʹሻ
ൌͳ െㄷʹ ⸹ㄷʹ ⸹ʹㄷ
ൌͳ ⸹ʹㄷ
当ㄷൌ
ͳ
ʹ时，
原式ൌͳ ⸹ʹㄷൌͳ ⸹ʹ ൈ
ͳ
ʹ ൌʹ．
11．ܽ
െܾ
〲⸹ʹ ʹ
考点03 因式分解及其应用
1．ܽ
ൌͳ，ܾ
ൌെͳ（答案不唯一）
2．ܽܽ
െ͹
3．A
4．ሺㄷ⸹൅ሻሺㄷെ൅ሻ
5．ʹܽሺܽെͳሻ
6．x（x﹣3）
7．ㄷㄷ⸹ͳ
8．(x＋3)(x－3)
9．（x-1）2
10．ሺܽ⸹ܾ
ሻሺܽെܾሻ
11．ܽ
⸹ͳܽ
െͳ ．
12．x x െʹ
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13．݉
ሺ݉
⸹ͳሻ
考点04 分式的概念与基本性质
1．ㄷ്
ʹ
2．A
考点05 分式的运算、化简求值与规律探究
1．
【详解】（1）െͳ ⸹
〲െͺ ⸹
ͳ
〲
െʹ
െെͶ
ൌͳ െʹ ⸹ͻ ⸹Ͷ
ൌͳʹ．
（2）ܽ
ʹ⸹ʹܽ
⸹ͳ െ
〲
ͳ⸹ܽ
ൌܽ
ʹ ⸹ʹ െ〲ܽ
⸹ͳ
ൌܽ
ʹ െͳܽ
⸹ͳ
ൌሺܽ⸹ͳሻሺܽെͳሻܽ
⸹ͳ
ൌܽ
െͳ．
2．
【详解】解：（1）ܽ
⸹ʹܽ
െʹ
ൌܽ
ʹ െͶ；
（2）ܽ
ʹെͶܽ
⸹ʹ ⸹ʹ
ൌܽ
⸹ʹܽ
െʹܽ
⸹ʹ
⸹ʹ
ൌܽ
െʹ ⸹ʹ
ൌܽ
．
3．C
4．2
5．
【详解】解：（1）ܽʹ െͳ ൌሺܽ⸹ͳሻሺܽെͳሻ；
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（2）ܽ
െͳܽ
ʹെͳ ⸹
ͳܽ
⸹ͳ
=ܽ
െͳ
ሺܽ⸹ͳሻሺܽെͳሻ⸹
ͳܽ
⸹ͳ，
=
ͳܽ
⸹ͳ ⸹
ͳܽ
⸹ͳ，
=
ʹܽ
⸹ͳ．
6．
【详解】（1）解：∵第一个式子
ͳ
ʹ ൌ
ͳ
〲⸹
ͳ
͸ ൌ
ͳ
ʹ⸹ͳ ⸹
ͳ
ʹ ʹ⸹ͳ ，
第二个式子
ͳ
〲ൌ
ͳ
Ͷ ⸹
ͳ
ͳʹ ൌ
ͳ
〲⸹ͳ ⸹
ͳ
〲〲⸹ͳ ，
第三个式子
ͳ
Ͷ ൌ
ͳ
ͷ ⸹
ͳ
ʹͲ ൌ
ͳ
Ͷ⸹ͳ ⸹
ͳ
Ͷ Ͷ⸹ͳ ，
……
∴第（n+1）个式子
ͳ݊ൌ
ͳ݊
⸹ͳ ⸹
ͳ݊
ሺ݊⸹ͳሻ；
（2）证明：∵右边=
ͳ݊
⸹ͳ ⸹
ͳ݊
ሺ݊⸹ͳሻൌ݊݊
ሺ݊⸹ͳሻ⸹
ͳ݊
ሺ݊⸹ͳሻൌ݊
⸹ͳ݊
ሺ݊⸹ͳሻൌ
ͳ݊=左边，
∴
ͳ݊ൌ
ͳ݊
⸹ͳ ⸹
ͳ݊
ሺ݊⸹ͳሻ．
1．
ͺ݉
⸹ͻ݊
ͳͲ݉⸹ͳͲ݊
2．
ͻ
ͺ
3．【详解】（1）解：根据题意得，当ܽ
ൌʹ，ܾൌ〲时，算术平均数为
ʹ⸹〲
ʹ ൌ
ͷ
ʹ，调和平均数为
ʹ
ʹെͳ⸹〲െͳ ൌ
ͳʹ
ͷ ；
（2）解：ܽ
⸹ܾ
ʹ െ
ʹܽ
െͳ⸹ܾെͳ ൌܽ
⸹ܾ
ʹ െ
ʹܾܽܽ
⸹ܾൌܽ
⸹ܾ
ʹെͶܾܽ
ʹܽ
⸹ܾ
ൌܽ
െܾ
ʹ
ʹܽ
⸹ܾ，
׶ܽ
െܾ
ʹ ൒Ͳ，
׵ܽ
⸹ܾ
ʹ െ
ʹܽ
െͳ⸹ܾെͳ ൒Ͳ，
即ܽ
⸹ܾ
ʹ ൒
ʹܽ
െͳ⸹ܾെͳ，当且仅当ܽ
ൌܾ
时等号成立．
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4．【答案】(1)解：选择小亮的方法探究，过程如下：
ㄷ〲⸹൅〲െㄷʹ൅⸹ㄷ൅ʹ
ൌㄷ〲െㄷʹ൅⸹൅〲െㄷ൅ʹ
ൌㄷʹ ㄷെ൅⸹൅ʹ ൅െㄷ
ൌㄷെ൅
ㄷʹ െ൅ʹ
ൌㄷെ൅
ㄷെ൅
ㄷ⸹൅
ൌㄷെ൅ʹ ㄷ⸹൅
∵x、y 为正实数，
∴ㄷ⸹൅Ͳݕ，且ሺㄷെ൅ሻʹ ൒Ͳ，
∴ㄷെ൅ʹ ㄷ⸹൅൒Ͳ，
即ㄷ〲⸹൅〲െㄷʹ൅⸹ㄷ൅ʹ ൒Ͳ，
∴ㄷ〲⸹൅〲൒ㄷʹ൅⸹ㄷ൅ʹ，小聪的猜想正确．
选择小敏的方法探究，过程如下：
ㄷ〲⸹൅〲െㄷʹ൅⸹ㄷ൅ʹ
ൌㄷ〲െㄷ൅ʹ ⸹൅〲െㄷʹ൅
ൌㄷㄷʹ െ൅ʹ ⸹൅൅ʹ െㄷʹ
ൌㄷㄷʹ െ൅ʹ െ൅ㄷʹ െ൅ʹ
ൌㄷെ൅
ㄷʹ െ൅ʹ
ൌㄷെ൅
ㄷെ൅
ㄷ⸹൅
ൌㄷെ൅ʹ ㄷ⸹൅，
∵x、y 为正实数，
∴ㄷ⸹൅Ͳݕ，且ሺㄷെ൅ሻʹ ൒Ͳ，
∴ㄷെ൅ʹ ㄷ⸹൅൒Ͳ，
即ㄷ〲⸹൅〲െㄷʹ൅⸹ㄷ൅ʹ ൒Ͳ，
∴ㄷ〲⸹൅〲൒ㄷʹ൅⸹ㄷ൅ʹ，小聪的猜想正确．
(2)证明：由（1）可知，任意正实数x、y 都满足ㄷ〲⸹൅〲൒ㄷʹ൅⸹ㄷ൅ʹ，
不等式两边同时除以正实数ㄷʹ൅ʹ，不等号方向不变，可得：
ㄷ〲⸹൅〲
ㄷʹ൅ʹ
൒ㄷʹ൅⸹ㄷ൅ʹ
ㄷʹ൅ʹ
化简左边得
ㄷ
൅ʹ ⸹
൅
ㄷʹ，
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化简右边得
ㄷ⸹൅
ㄷ൅，
即
൅
ㄷʹ ⸹
ㄷ
൅ʹ ൒
ㄷ⸹൅
ㄷ൅，
∵正实数x、y 满足ㄷ⸹൅ൌʹㄷ൅，
∴
ㄷ⸹൅
ㄷ൅ൌ
ʹㄷ൅
ㄷ൅ൌʹ，
∴
൅
ㄷʹ ⸹
ㄷ
൅ʹ ൒ʹ．
5．【详解】（1）解：∵任意正数与它倒数的和一定大于等于2，
∴݊⸹
ͳ݊൒ʹ ݊Ͳݕ．
（2）证明：݊⸹
ͳ݊െʹ ൌ݊
ʹ݊
⸹ 
ͳ݊െ
ʹ݊݊ൌ݊
ʹെʹ݊⸹ͳ݊ൌ݊
െͳ ʹ݊
，
∵݊
െͳ ʹ ൒Ͳ，݊Ͳݕ
∴݊⸹
ͳ݊െʹ ൌ݊
െͳ ʹ݊
൒Ͳ，
∴݊⸹
ͳ݊൒ʹ ݊Ͳݕ．
6．【详解】解：݉
⸹
ͳ݉
⸹ʹ ൊ݉
ʹെͳ݉
⸹ʹ
ൌ݉
ʹ ⸹ʹ݉
⸹ͳ݉
⸹ʹ
ൊ݉
ʹ െͳ݉
⸹ʹ
ൌ݉
⸹ͳ ʹ݉
⸹ʹ
ൊ݉
⸹ͳ݉
െͳ݉
⸹ʹ
ൌ݉
⸹ͳ ʹ݉
⸹ʹ
ڄ݉
⸹ʹ݉
⸹ͳ݉
െͳ
ൌ݉
⸹ͳ݉
െͳ，
当݉
ൌ
ʹ ⸹ͳ 时，
原式ൌ
ʹ⸹ͳ⸹ͳ
ʹ⸹ͳെͳ ൌ
ʹ⸹ʹ
ʹ ൌͳ ⸹
ʹ．
7．【详解】（1）解：小武设产品原价为100 元，݉
ൌͳͲ%，݊
ൌʹͲ%，
方案1：提价后的价格为ͳͲͲ ͳ ⸹ͳͲ%
ͳ ⸹ʹͲ% ൌͳ〲ʹ（元），
方案2：提价后的价格为ͳͲͲ ͳ ⸹ʹͲ%
ͳ ⸹ͳͲ% ൌͳ〲ʹ（元），
方案3：提价后的价格为ͳͲͲ ͳ ⸹
ͳͲ⸹ʹͲ
ʹ
%
ʹ
ൌͳ〲ʹ㘶ʹͷ（元）.
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由此猜想，方案③提价最多.
（2）解：方案③提价最多，理由如下：
设产品的原价为ܽ
元，
当݉
ǡ݊
是不相等的正数时，
方案1：提价后的价格为ܽ
ͳ ⸹݉
%
ͳ ⸹݊
% ，
方案2：提价后的价格为ܽ
ͳ ⸹݊
%
ͳ ⸹݉
% ，
方案3：提价后的价格为ܽ
ͳ ⸹݉
⸹݊
ʹ %
ʹ
，
其中：方案1 与方案2 的价格相等；
∵ܽ
ͳ ⸹݉
⸹݊
ʹ %
ʹ
െܽ
ͳ ⸹݉
%
ͳ ⸹݊
%
ൌܽͳͲͲͲͲ
ͳͲͲ ⸹݉
⸹݊
ʹ
ʹ
െͳͲͲ ⸹݉
ͳͲͲ ⸹݊
ൌܽͳͲͲͲͲ ͳͲͲͲͲ ⸹ͳͲͲ݉
⸹ͳͲͲ݊⸹݉
⸹݊
ʹ
Ͷ
െͳͲͲͲͲ െͳͲͲ݉
െͳͲͲ݊െ݉݊
ൌܽͳͲͲͲͲ ڄ݉
ʹ ⸹ʹ݉݊
⸹݊
ʹ െͶ݉݊
Ͷ
ൌܽ݉
െ݊
ʹ
ͶͲͲͲͲͲݕ，
∴ܽ
ͳ ⸹݉
⸹݊
ʹ %
ʹ
ݕܽͳ ⸹݉
%
ͳ ⸹݊
% ，
∴方案3 提价最多.
8．【详解】（1）理由：题目要求方程的正整数解，该组解中൅ൌെ〲不是正整数，不符合要求，因此舍去；
（2）解：对于方程ㄷ൅െ〲ㄷെ〲൅ൌ〲，两边同时加9，得ㄷ൅െ〲ㄷെ〲൅⸹ͻ ൌͳʹ，
对左边分组分解因式，得ሺㄷെ〲ሻሺ൅െ〲ሻൌͳʹ
∵ㄷǡ൅是整数，所以ㄷെ〲和൅െ〲都是12 的整数因数，所有情况如下：
当ሼㄷെ〲ൌͳ
൅െ〲ൌͳʹ，解得ሼㄷൌͶ
൅ൌͳͷ；
当ሼㄷെ〲ൌʹ
൅െ〲ൌ͸，解得ሼㄷൌͷ
൅ൌͻ；
当ሼㄷെ〲ൌ〲
൅െ〲ൌͶ，解得ሼㄷൌ͸
൅ൌ͹；
当ሼㄷെ〲ൌͶ
൅െ〲ൌ〲，解得ሼㄷൌ͹
൅ൌ͸；
当ሼㄷെ〲ൌ͸
൅െ〲ൌʹ，解得ሼㄷൌͻ
൅ൌͷ；
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当ሼㄷെ〲ൌͳʹ
൅െ〲ൌͳ ，解得ሼㄷൌͳͷ
൅ൌͶ ；
当ሼㄷെ〲ൌെͳ
൅െ〲ൌെͳʹ，解得ሼㄷൌʹ
൅ൌെͻ；
当ሼㄷെ〲ൌെʹ
൅െ〲ൌെ͸，解得ሼㄷൌͳ
൅ൌെ〲；
当ሼㄷെ〲ൌെ〲
൅െ〲ൌെͶ，解得ሼㄷൌͲ
൅ൌെͳ；
当ሼㄷെ〲ൌെͶ
൅െ〲ൌെ〲，解得ሼㄷൌെͳ
൅ൌͲ ；
当ሼㄷെ〲ൌെ͸
൅െ〲ൌെʹ，解得ሼㄷൌെ〲
൅ൌͳ ；
当ሼㄷെ〲ൌെͳʹ
൅െ〲ൌെͳ ，解得ሼㄷൌെͻ
൅ൌʹ ；
以上即为方程所有的整数解.
9．【详解】（1）解：∵ʹ ⸹Ͳ്
ʹ ⸹͸，
∴2026 不是对等四位数；
（2）解：设这个对等四位数的千位数字为ܽ
，十位数字为ܿ，
∵一个对等四位数的百位数字为9，个位数字为2，
∴ܽ⸹ͻ ൌܿ
⸹ʹ，
∴ܿൌܽ
⸹͹，
∵ͳ ൑ܽ
൑ͻ，Ͳ ൑ܿ
൑ͻ，且ܽ
、ܿ均为整数，
∴当ܽ
ൌͳ 时，ܿൌͳ ⸹͹ ൌͺ，此时这个对等四位数为ͳͻͺʹ，
当ܽ
ൌʹ 时，ܿൌʹ ⸹͹ ൌͻ，此时这个对等四位数为ʹͻͻʹ，
因此，这个对等四位数为1982 或2992；
（3）由题意可得ܯൌͳͲͲͲܽ⸹ͳͲͲܾ⸹ͳͲܿ⸹Ͳ，ܰ
ൌͳͲͲͲܾ⸹ͳͲͲܽ⸹ͳͲͲ ⸹ܿ，
所以ܯ⸹ܰ
ൌͳͲͲͲܽ⸹ͳͲͲܾ⸹ͳͲܿ⸹Ͳ ⸹ͳͲͲͲܾ⸹ͳͲͲܽ⸹ͳͲͲ ⸹ܿ
ൌͳͳͲͲܽ
⸹ܾ
⸹ͳͳܿ
⸹Ͳ
因为ܽ
⸹ܾ
ൌܿ
⸹Ͳ，
所以ܯ⸹ܰ
ൌͳͳͳͳܽ
⸹ܾ
ൌͳͲͳ ൈͳͳܽ
⸹ܾ
所以ܯ与ܰ
的和一定能被101 整除
10．【详解】（1）解：由题意，根据等式规律可知，⑤
͹
͸ ൈ͹ ൌ
Ͷͻ
͸ ， 
͹
͸ ⸹͹ ൌ
Ͷͻ
͸
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（2）解：第݊
个等式݊
⸹ʹ ʹ݊
⸹ͳ ൌ݊
⸹ʹ݊
⸹ͳ ⸹݊
⸹ʹ
证明：݊
⸹ʹ݊
⸹ͳ ⸹݊
⸹ʹ
ൌ݊
⸹ʹ݊
⸹ͳ ⸹݊
⸹ͳ݊
⸹ʹ݊
⸹ͳ
ൌ݊
⸹ʹ ⸹݊
⸹ͳ݊
⸹ʹ݊
⸹ͳ
ൌ݊
⸹ʹ ʹ݊
⸹ͳ
=左边