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专题02 数与式二
（代数式、因式分解、分式，二次根式）
5 年真题1 年模拟·答案版
考点01 代数式
1.
B
2.
A
3.
C
【详解】（1）解：
2
2
1
3
2 2
5
2 2
2
，
①5 ；
2
2 2
2
12
8 2
23
8 2
11
，
②8 2
11
；
0
2
1
a
b
，
2
0
2
1
a
b
，
2
2
4
2
1
m
a
b
，即③
2
2
4
2
1
a
b
2
1
2
n
a
b
，即④
2
1
2a
b
；
（2）略
（3）由（1）知，
2
2
2
4
2
2
a
b
a
b
m
n
，
2
1
k
a
b
k
，其中k 为整数，且
2
k
，
2
2
1
k
a
b
k
，
2
1
2
n
k
a
b
，
2
2
2
4
2
2
m
n
a
b
a
b
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2
2
2
4
2
1
1
2
m
n
a
b
k
k
a
b
2
2
4
2
1
m
n
a
b
k
n
，
2
2
4
2
1
m
a
b
k
，
当k 为偶数，且
2
k
时，
1
k 为奇数，
2
2
4
2
a
b
为偶数，
2
2
4
2
1
a
b
k
为奇数，即m 为奇数；
当k 为奇数，且
2
k
时，
1
k 为偶数，
2
2
4
2
a
b
为偶数，
2
2
4
2
1
a
b
k
为偶数，即m 为偶数，
综上，当k 为偶数，且
2
k
时，m 为奇数；当k 为奇数，且
2
k
时，m 为偶数．
5 【答案】(1)小明的猜想不正确，反例：3 4
12
(2)
证明：①
1,
1,
a
c
b
c
，所以
1,
10,
ab
b
c
ab
a
c
，所以1
10
ab
c
，与（*）矛盾，不合题意；
②
1
a
c ，所以
1
ab
b
c
，又
100
ab
ab
c
，所以1
100
ab
c
，
由（*）知
10
ab
c
，所以p
m
n
．
(3)当A 的数字大于或等于B 的数字时，A
B 的位数是
1
m
n
；当A 的数字小于B 的数字时，A
B 的位数是m
n
考点02 因式分解
1.
x
y
x
y
2.
1
x x
3.
④
(1)
解：因为3
,
b
c
m
n
mn
a
a
，
所以
3
,
b
a
m
n
c
amn
．
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则
2
2
2
12
[
3
]
12
b
ac
a
m
n
a mn
2
2
2
2
9
6
12
a
m
mn
n
a mn
2
2
2
9
6
a
m
mn
n
2
2
(3
)
a
m
n
．
因为,
,
a m n 是实数，所以
2
2
(3
)
0
a
m
n
，
所以
2
12
b
ac
为非负数．
(2)
,
m n 不可能都为整数．
理由如下：若
,
m n 都为整数，其可能情况有：①
,
m n 都为奇数；②
,
m n 为整数，且其中至少有一个为偶数．
①当
,
m n 都为奇数时，则3m
n
必为偶数．
又3
b
m
n
a
，所以
3
b
a
m
n
．
因为a 为奇数，所以
3
a
m
n
必为偶数，这与b 为奇数矛盾．
②当
,
m n 为整数，且其中至少有一个为偶数时，则mn 必为偶数．
又因为
c
mn
a
，所以c
amn
．
因为a 为奇数，所以amn 必为偶数，这与c 为奇数矛盾．
综上所述，
,
m n 不可能都为整数．
考点03 分式的运算
1.
1
2.
1
3.
1
1
a ，
5
5
4.
1
1
x
，
2
2
5.
1
a
a ，2
2
2
1.
B
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2.
D
3.
A
4.
B
5.
A
6.
A
7.
A
8.
C
9.
D
10. B
11. A
12. C
13. D
14. 5
15. 6
16. 120
x
17. 2026
18.
4
2
y x
y
19.
1
a a
20. 111213
21. 2
3
22. 4（答案不唯一）
23. 0
24. 0
25. 5
26. 1
27. 13
62
（答案不唯一）
28. -1
29. 4
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30. 1
31. 8
32. 10
3a
33. 2
3
34. 2
3
x
，2
35.
2
4
3
4
a
a
36.
1
1
x
x
，3
2 3
3
37.
1
1
a ，
2
2
38.
1
2
x
；
2
2
39.
x
x
y ，2
40. 9
41.
4
x
；
42.(1)当a
b
时，等号成立；
证明：∵
2
a
b
k
，
2
(
)
0
a
b
，
∴
2
2
2
(
)
(
)
4
4
4
0
a
b
a
b
ab
k
ab
，
∴
2
ab
k
，
∵
2
0
a
b
，当且仅当a
b
时等号成立，
∴当且仅当a
b
时，不等式
2
ab
k
中等号成立．
（2）解：∵
2
a
b
k
，
∴
2
2
2
2
(
)
2
4
2
a
b
a
b
ab
k
ab
，
∴由（1）得，当a
b
时，
2
ab
k
，
∴
2
2
2
ab
k
，
∴
2
2
2
4
2
4
2
k
ab
k
k
，
∴
2
2
2
2
a
b
k
．
43．
【详解】（1）解：∵
1
a
b
a
b
，
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
，
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3
3
2
2
3
3
3
a
b
a
a b
ab
b
，
4
4
3
2
2
3
4
4
6
4
a
b
a
a b
a b
ab
b
，
∴
5
a
b
5
4
3
2
2
3
4
5
5
10
10
5
a
a b
a b
a b
ab
b
；
（2）解：∵
1
a
b
a
b
，展开式中共有2
1 1
项，系数和为
1
1 1
2
2
，
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
，展开式中共有3
2 1
项，系数和为
2
1
2
1
4
2
，
3
3
2
2
3
3
3
a
b
a
a b
ab
b
，展开式中共有4
3 1
项，系数和为
3
1
3
3
1
8
2
，
4
4
3
2
2
3
4
4
6
4
a
b
a
a b
a b
ab
b
，展开式中共有5
4
1
项，系数和为
4
1
4
6
4
1
16
2
，
∴
n
a
b
的展开式共有
1
n
项，系数和为2n ；
（3）解：根据规律可知：
5
4
3
2
2
5
2
10
2
10
2
5
2
1
2
3
4
5
5
4
3
2
2
5 2
1
10 2
1
10 2
1
5 2
1
1
5
2
1
5
2 1
1
．
44．
【详解】（1）解：由题意知，若充电时间为2t 的轿车先充电，则第一辆车完成充电的等候时间为2t ，
第二辆车完成充电的时刻为
1
2
t
t
分钟，两辆车等候的总时间为
2
2
2
1
2
1
2
T
t
t
t
t
t
分钟，
∴
1
2
1
2
2
1
1
2
2
2
T
T
t
t
t
t
t
t
，
∵1
2
t
t
，
∴1
2
0
t
t
，则
1
2
0
T
T
，即
1
2
T
T
，
要使两辆轿车等候的总时间最短，则充满电量所需时间短的轿车先充电，
可猜想出问题1 的解决方案为：按充满电所需时间从小到大的顺序安排充电即可．
（2）略
（3）解：先将10 辆车的充电时间从小到大排列为：30
40
45
50
60
65
70
80
90
100
，
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∴10 辆轿车的充电时间总和为：
30
40
45
50
60
65
70
80
90 100
630 min
，
∵充电桩的充电效率均相同，总时间为各充电桩时间之和，
∴同时完成则各桩时间相等，
要使3 台充电桩同时完成充电，则每台充电桩的总充电的理想时间为：
630
3
210 min
，
由问题1 的结论可知，每台桩内的轿车需按充电时间的从短到长的顺序充电，
∴P，Q，R 桩存在以下情况（先后顺序不计）：
①P 桩的顺序为：
30
80
100
A
B
C
，Q 桩的顺序为：
50
70
90
G
D
F
，
R 桩的顺序为：
40
45
60
65
I
E
H
J
；
②P 桩的顺序为：
30
50
60
70
A
G
H
D
，Q 桩的顺序为：
45
65
100
E
J
C
，R 桩的
顺序为：
40
80
90
I
B
F
；
③P 桩的顺序为：
30
45
65
70
A
E
J
D
，Q 桩的顺序为：
40
80
90
I
B
F
，R 桩的顺
序为：
50
60
100
G
H
C
，
对于①：P 桩等待时间为：
30 3 80 2 100 1
350 min
，Q 桩等待时间为：
50 3
70 2
90 1
380 min
，
R 桩等待时间为：
40 4
45 3
60 2
65 1
480 min
，
总等待时间为：
350
380
480
1210 min
；
对于②：P 桩等待时间为：
30 4
50 3
60 2
70 1
460 min
，Q 桩等待时间为：
45 3
65 2 100 1
365 min
，R 桩等待时间为：
40 3 80 2
90 1
370 min
，
总等待时间为：
460
365
370
1195 min
；
对于③：P 桩等待时间为：
30 4
45 3
65 2
70 1
455 min
，Q 桩等待时间为：
40 3 80 2
90 1
370 min
，R 桩等待时间为：
50 3
60 2 100 1
370 min
，
总等待时间为：
455
370
370
1195 min
，
∵1195
1210
，
∴可选择方案为：P 桩：A
G
H
D
，Q 桩：E
J
C
，R 桩：I
B
F
或P 桩：A
E
J
D
，
Q 桩：I
B
F
，R 桩：G
H
C
．
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45．
【详解】（1）解：根据题意得：①
2
2
7
4
3
；②
2
2
20
6
4
；
（2）解：若正整数N 为奇数时，
2
2
2 1 1
1
1 1
2
2
2
2 1
2
2 1
2
2
2 3 1
3
3 1
2
2
2
4 1
4
4 1
由此得出规律：
2
2
2
1
1
n
n
n
；
若正整数N 为4 的倍数时，
2
2
4 1
1 1
1 1
2
2
4
2
2
1
2 1
2
2
4 3
3 1
3 1
2
2
4
4
4
1
4 1
由此得出规律：
2
2
4
1
1
n
n
n
；
（3）略．
46．
【答案】(1)
26,10 是平方匹配数对
(2)
,
m n 是平方匹配数对，
2
m
n
a
，
2
m
n
b
，a ，b 为正整数，
∵m，n 为正整数，
∴
²
0
m
mn
m m
n
，
²
0
n
mn
n n
m
，
2
2
,
)
m
mn n
mn
是正整数对，
2
2
2
2
2
2
m
mn
n
mn
m
mn
n
m
n
，
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2
2
2
2
2
2
2
m
mn
n
mn
m
n
m
n
m
n
a b
ab
，
又
m，n ，a ，b 为正整数，
m
n
，ab 为正整数，
2
2
,
)
m
mn n
mn
是平方匹配数对．
47．
【详解】（1）如图：
所以①的内容为6；
观察表格数据规律可知：
②的内容为
1
m
n
．
（2）略
（3）满足条件的所有数对为：
(6,1) ，(5,2) ，(4,3) ，(6,2) ，(6,3)，(6,6) ，
理由如下：
当m，n 互质时，m
n
矩形的一条对角线穿过的单位正方形的个数为
1
m
n
．
当m，n 不互质时，设其最大公因数为p，则正整数m
p ，
n
p 互质，故m
n
p
p
矩形的一条对角线穿过的单位正
方形的个数为
1
m
n
p
p
，从而
1
m n
m
n
k
p
m
n
p
p
p
．
依题意，分成四类：
第一类，m，n 互质，此时
1
6
m
n
，即
7
m
n
，共有
6
1
m
n
，
5
2
m
n
，
4
3
m
n
三种情形；
第二类，m，n 的最大公约数为2，此时
2
6
m
n
，则
6
2
m
n
；
第三类，m，n 的最大公约数为3，此时
3
6
m
n
，则
6
3
m
n
；
第四类，m，n 的最大公约数为6，此时
6
m
n
．
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48．
【答案】(1)
解：小明的猜想不正确，理由如下：
反例：15
5
54
18
，15
54 “非法约分”后为1
4 ，而5
1
18
4
，
∴小明的猜想不正确；
(2)
解：①
20
3
2
a
c
a
，
由c 是整数知，
1
a 或2 ，
所以
1
4
a
c
或
2
5
a
c
，
故
, ,
a b c 为
1,6,4 或
2,6,5 ；
②
10
10
10
1
1
a
c
a
a
，
由c 是整数知，
1 1
a ，2 ，5 ，10，
因为1
9
a
c
，1
9
b
，
所以
1
a 或4 ，
所以
1
5
a
c
或
4
8
a
c
，
故
, ,
a b c 为
1,9,5 或
4,9,8 ；
(3)
解：正确，证明如下：
ͳͻڄڄڄͻ
ฑ݊
个
ͻڄڄڄͻ
ถ݊
个
ͷ ൌ
ͳͲ݊ͳͲ݊െͳ
ͳͲൈͳͲ݊െͳ ͷ ൌ
ʹൈͳͲ݊െͳ
ͳͲ݊ͳെͷ ൌ
ʹൈͳͲ݊െͳ
ͷൈʹൈͳͲ݊െͳ ൌ
ͳ
ͷ，
而按“非法约分”规则，19
9
9
95
1 9
9
n
n
个
个
9
9
n
个
1
5
5
n
个
，
故19
9
9
95
n
n
个
个
的“非法约分”正确．
【分析】（1）举反例即可判断求解；
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（2 ）仿照前面的推论补充证明过程即可；
（3 ）求出ͳͻڄڄڄͻ
ฎ݊
个
ͻڄڄڄͻ
ณ݊
个
ͷ化简后的结果，再求出“非法约分”的结果即可求证；
49．
【详解】（1）解：①根据题意可知，三位数226，割掉末位数字6 得22，
22
6
2
22 12
10
，
10 不是7 的整数倍，
226
不是7 的整数倍；
②略
（2）解：根据题意可得，四位数226
n
，割掉末位数字6 得22
n
，
四位自然数
226
N
n
能被7 整除，
三位自然数100
2 10
2
2 6
n
能被7 整除，
即100
10
n
能被7 整除，
100
10
7 14
1
2
3
n
n
n
，
2
3
n
能被7 整除，
1
9
n
，且n 为整数，
则可得
2
n
或9 ．
50．
【答案】(1)
证明：因为a
b
mn
，
所以a
b
mn
，
所以
2
2
2
a
b
mnb
=
2
2
(
)
2
b
mn
b
mnb
=
2
2
2
2
2
2
2
2
b
mnb
m n
b
mnb
m n
2
(
)
mn
，
因为
2
(
)
0
mn
，
所以
2
2
2
0
a
b
mnb
，
所以
2
2
2
a
b
mnb
为非负数．
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(2)
证明：因为a
b
mn
，
且m，n 为两个连续的正整数，且m
n
，
所以
1
n
m
，
1
m
n
，
所以c
a
m
b
a
n
b
=
mn
m
mn
n
=
1
1
m n
n m
=
2
2
m
n
m
n
，
因为m，n 为两个连续的正整数，
所以m
n
是奇数，
所以c 一定是奇数．
51．
【答案】(1)是，
理由如下：
8
4
2
，
8
可以被4 整除，
2
2
8
3
1
，
8
是特色数；
（2）解：依题意，得m，n 为整数，且1
9
m
，0
9
n
．
4
m
n
，
m
的值为1，2，3，4，n 的相应值为3，2，1，0．
这个两位数是13 或22 或31 或40，
13，22 ，31不能被4 整除，
13
，22 ，31不是特色数，
40
mn
．
52．
解：“和倍数”是3 的倍数，证明如下：
设“和倍数”为
100
10
abc
a
b
c
，
13 / 13
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由题意得，
2
a
c
b
，
2
c
b
a
，
100
10
100
10
2
99
12
3 33
4
a
b
c
a
b
b
a
a
b
a
b
，
,a b 是整数，
33
4
a
b
是整数，
3 33
4
a
b
是3 的倍数，
“和倍数”是3 的倍数．
