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希望数学少年俱乐部精品课
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八年级
八年级
1目录
1. 计算专题
1-1 整式乘除与因式分解……………………………………………………………………3
1-2 分式性质与运算…………………………………………………………………………5
1-3 二次根式综合……………………………………………………………………………7
2. 方程专题
2-1 分式方程…………………………………………………………………………………9
2-2 一元二次方程……………………………………………………………………………11
3. 几何专题
3-1 三角形的全等……………………………………………………………………………14
3-2 三角形的相似……………………………………………………………………………17
3-3 特殊四边形的性质及判定………………………………………………………………21
3-4 图形的对称与旋转变换…………………………………………………………………24
4. 函数专题
4-1 一次函数…………………………………………………………………………………27
4-2 反比例函数………………………………………………………………………………29
5. 综合专题
5-1 数论综合…………………………………………………………………………………32
5-2 重二次根式………………………………………………………………………………34
5-3 方法和原理………………………………………………………………………………36
5-4 最值问题…………………………………………………………………………………38
21-1 整式乘除与因式分解
基础知识
1. 整式的乘除
（1）整式乘法：单项式乘法、多项式乘法
乘法公式：
平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2
完全平方公式：(a+b) 2=a2+2ab+b2
(a-b) 2=a2-2ab+b2
(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
立方和公式： (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3
立方差公式： (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3
完全立方公式：(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a-b) 3=a3-3a2b+3ab2-b3
（2）整式除法：多项式的带余除法
2. 因式分解
把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解 (也叫作分解因式).
分解因式与整式乘法为相反变形. 是中学数学中最重要的恒等变形之一，在多项式除法、分式
的化简求值、方程及不等式的求解等方面都有广泛应用.
（1）因式分解基本方法：提取公因式，公式法，十字相乘法.
（2）因式分解特殊方法
①分组分解法
分组分解法是因式分解的一种复杂方法，要求我们通过细致的观察，分析多项式的
特点，预见下一步的继续分解，恰当的分组是关键.
②双十字相乘法
对于某些二元二次六项式 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f 用两次十字相乘法分解因式，
这种分解因式的方法叫做双十字相乘法.
3例题精讲
例 1、求多项式 3x3-x+4 除以 x+1的商和余式 .
例 2、分解因式 x2-5x+6
例 3、将 x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1 因式分解.
例 4、分解因式 x2+2xy-15y2+x-19y-6
41-2 分式性质与运算
1. 分式的运算规律
（1）加减法：
5
a
c
b
c
=
a
c
b
同( 分 母 )
a
b
d
c
=
a c
b c
b d
( 异 分 母 )
（2）乘法：
a
b
•
c
d
=
a
b
c
d
（3）除法：
a
b
c
d
=
a
b
d
c
（4）乘方： (
a
b
) n =
a
b
n
n
2.分式的基本性质
a
b
=
a
b
m
m
,
a
b
=
a
b
m
m
( m 0 )
3.比例的重要性质
（1）如果
a
b
=
d
c
,
d
c
=
f
e
那 么
a
b
=
f
e
（传递性）
（2）如果
a
b
=
d
c
， 那 么 a c = b d （内项积等于外项积）
（3）如果
a
b
=
c
d
， 那 么
a
b
b
=
c
c
d
( 合 比 性 质 )
a c a+c b+d
（4）如果 = ,(b−d 0)，那么 = (合分比性质)
b d a−c b−d
（5）如果
a
b
=
c
d
=
m
n
， 且 b + d + + n 0 , 那么
a
b
+
+
c
d
+
+
+
+
m
n
=
a
b
( 等 比 性 质 )
基础知识
4.分式问题的常见处理办法
（1） 通分，去分母转化为整式
（2） 裂项
（3） 配对
（4） 取倒
（5） 整体代入，消元，降次
（6） 换元
（7） 连等式引入参数 k
（8） 迭代1. 分式基本概念、性质
例 1：（2014希望杯一试）
b2 −1
若分式 的值是0, 则 b的值是( ) .
b2 −2b−3
(A) 1 (B) -1 (C) ±1 (D)2
2. 分式运算常用方法
例 2：（2009希望杯一试）
若
6
b
a
+ c
=
c
b
+ a
=
a
c
+ b
, 则
2 a
a
+
+
a
b
b
−
+
3 c
c
= ______或_________.
例 3：（2011初中联赛）
已知
1
x
+
y
1
+ z
=
1
2
，
1
y
+
z
1
+ x
=
1
3
，
1
z
+
x
1
+ y
=
1
4
2 3 4
，则 + + 的值为（ ）
x y z
A．1. B．
3
2
. C．2. D．
5
2
.
例 4：（2009希望杯一试）
当 x 依次取 1,2,3,…,2009,
1
2
，
1
3
，
1
4
， ，
2
1
0 0 9
例题精讲
x2
时,代数式 的值的和等于___________.
1+x21-3 二次根式综合
1. 根式的基本性质
（1）
7
a 的双重非负性： a ≥0, a ≥0
（2） 公式： ( a ) 2 = a ； a2 = a
2. 根式的常见处理技巧
（1）非负性
（2）有理化
（3）换元
（4）配对：共轭根式；有理化根式
（5）配方
（6）引入中间参数
1. 非负性
例 1：（2015希望杯一试）
已知 2 − x + 1 − y = 0 ,且 x − y = y − x
基础知识
例题精讲
，则x+y的值等于 或 .
2. 化简求值
例 2：（2015希望杯二试）
1
若x= ，则x6 −2 2x5−x4+x3−2 3x2+2x− 2的值是 ．
3− 23. 分母有理化
例 3：（2016希望杯二试）
计算：
8
3 +
1
3
+
5 3
1
+ 3 5
+
7 5
1
+ 5 7
+ +
1 2 1 1 1 9
1
+ 1 1 9 1 2 1
＝ .
4.多重根式的运算
例 4：（2016华杯决赛）
化简 4 7 + 4 3 + 4 7 − 4 3
5共轭根式
例 5：（2016希望杯一试）
若实数 x , y 满足 ( x + x 2 + 2 0 1 6 ) ( y + y 2 + 2 0 1 6 ) = 2 0 1 6 ，则 x + y = .2-1 分式方程
基础知识
1. 分母中含有未知数的方程叫分式方程．
2. 解分式方程的基本思想是化为整式方程．通常有两种做法：一是去分母；二是换元．
3. 在对方程进行变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根．
4. 解分式方程组时整体代换的思想体现得很充分．常见的思路有：取倒数法，方程迭加法，
换元法等．
5. 列分式方程解应用题，要注意求出的未知数的解要双重检验，①检验是否是增根，②检验
解是否符合实际意义.
例题精讲
1. 分式方程根的讨论
例 1：（2013年希望杯初二一试）
2 mx 3
若关于 x 的方程 + = 有增根，则m=________或_______.
x−2 x2 −4 x+2
2. 含字母系数的分式方程
例 2：（2009年希望杯初二一试）
1 a 2(a+1)
若以 x 为未知数的方程 − = 无解，则 a=________或_______或
x−1 2−x x2 −3x+2
__________.
93. 形如 的分式方程
例 3：（2010年希望杯初二二试）
解方程:
10
2 x
4
+ 3
+
2 x
4
+ 3
=
4 −
3
x
+
4
3
− x
4.其他转化技巧
例 4：解方程
x
x
−
−
4
5
＋
x
x
−
−
8
9
＝
x
x
−
−
7
8
＋
x
x
−
−
5
6
．
例 5：解方程组
1
1
1
4
+
4
+
4
+
x
4
y
4
z
4
2
x
2
y
2
z
2
2
2
=
=
=
y
z
x
5.列分式方程解应用题
例 6：（2015年希望杯初二二试）
有若干盒卡片，每盒中的卡片数相同，把这些卡片分给小朋友．如果只分一盒，若每人分 8
张，则缺少 5张．现将所有盒中的卡片都拿出来分，每人分得 56张，还剩8张．问：有多少
小朋友？每盒中有卡片多少张？
x +
1
x
= a +
1
a2-2 一元二次方程
1. 一元二次方程：ax2+bx+c=0（a≠0）
（1） 判别式:
11
= b 2 − 4 a c
（2） 求根公式: x
1 ,2
=
− b b
2
2
a
− 4 a c
(0)
（3） 根与系数的关系： x
1
+ x
2
= −
b
a
， x
1
x
2
=
c
a
基础知识
（4） 一元二次方程的四种解法：开方；配方；公式法；因式分解.
2. 解一元二次方程问题经常使用乘法公式、因式分解、分式变形以及不等式等.
例题精讲
1. 一元二次方程的解法
例 1：（2016希望杯初三一试）
方程 x2﹣|2x﹣1|﹣4=0 的所有根之和是 ．2.一元二次方程的构造和转化
绝对值方程，分式方程，根式方程常常转化为一元二次方程来处理.
某些非一元二次方程的问题,如果能抓住特征,那么可以通过构造一元二次方程,利用根与系数的
关系,判别式来解题.
例 2：（2015希望杯初三一试）
已知
12
4 x 4 + 3 x 3 − 2 x 2 + 3 x + 4 = 0 ，则 x +
1
x
的值为( ).
5 5 3
A. B. −2或 C. −2 D.
4 4 4
3. 判别式的应用
多个参数的二次方程可以将其中一个字母当做未知数，利用判别式的非负性得到不等式，往
往可以得到出其不意的结果.
例 3：（2018年初中联赛第一试）
若实数 x,y满足 x 3 + y 3 +
1
4
( x + y ) =
1 5
2
，则 x+y的最大值为_______.
4. 根与系数的关系
例 4：（2016希望杯初三一试）
已知ab1，且 4 a 2 − 2 0 1 6 a + 7 = 0 , 7 b 2 − 2 0 1 6 b + 4 = 0
a2 a
，则 + = .
b b25.公共根
例 5：（2007初中联赛）
已知三个关于 x的一元二次方程 ， ， 恰有一个
公共实数根，则 的值为（ ）．
A . 0 B. 1 C. 2 D. 3
6. 整数根、有理根
对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，主要方法有：
（1）求出根的有理表达式，利用整除求解；或者直接用“十字相乘”进行分解因式；
（2）用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(如方程有有理根时设△=
13
k 2 ，进行平方
差等进行分解因式)，通过穷举，逼近求解；
（3）从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解
求解（特别适用非整系数的）；
（4）当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．
例 6：（2009年初中联赛）
关于 x，y的方程 x 2 + x y + 2 y 2 = 2 9 的整数解（x，y）的组数为（ ）．
A. 2组 B. 3组 C. 4组 D. 无穷多组
a x 2 + b x + c = 0 b x 2 + c x + a = 0 c x 2 + a x + b = 0
a2 b2 c2
+ +
bc ca ab3-1 三角形的全等
基础知识
1. 全等三角形的定义
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
2. 全等三角形的性质
对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线
相等，面积相等．
3.全等三角形的判定方法：
(1)边角边定理( SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．
(2)角边角定理( ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
(3)边边边定理( SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．
(4)角角边定理( AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
(5)斜边、直角边定理( HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
4. 全等三角形的应用
运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意
有时会添加辅助线．
拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而
证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．
14例题精讲
1.全等三角形的性质与判定
例 1：（2016年希望杯一试）
已知△ABC 和△A B C ，D和 D 分别是BC和B C 的中点，下列条件中能判定△ABC≌△
1 1 1 1 1 1
A B C 的是（ ）
1 1 1
A．∠C＝∠C ，AC＝A C ，AD＝A D
1 1 1 1 1
B．∠B＝∠B ，AB＝A B ，AC＝A C
1 1 1 1 1
C．AD＝A D ，BD＝B D ，CD＝C D
1 1 1 1 1 1
D．∠BAD＝∠B A D ，AB＝A B ，AD＝A D
1 1 1 1 1 1 1
2.全等三角形的应用
例 2：（2016年希望杯二试）
如图，l ∥l ∥l ，且l 和l 间的距离是 5，l 和l 间的距离是 7，若正方形有三个顶点分别在
1 2 3 1 2 2 3
三条直线上，则此正方形的面积最小是 .
15例 3：（2017年初中联赛）
如图，△ABC 中，D为BC 的中点，
16
D E 平分 A D B ， D F 平分ADC， B E ⊥ D E ，CF ⊥DF，
P为 AD与EF的交点.证明： E F = 2 P D .
3.构造全等三角形
例 4：（2015年希望杯一试）
如图所示，四边形 ABCD中，对角线 AC 平分∠BAD，且 AB=21 ，AD=9，BC=DC=10，则
AC= .
B
E
A
D
P F
C3-2 三角形的相似
1. 平行线分线段成比例定理
①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
如图：l ∥l ∥l ，
1 2 3
17
则
A
B
B
C
=
D
E
E
F
，
A
A
B
C
=
D
D
E
F
，
B
A
C
C
=
E
D
F
F
， …
基础知识
A D l
1
B E l
2
C F
l
3
②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么
这条直线平行于三角形的第三边.
2. 相似三角形的判定
①两角对应相等，两个三角形相似.
②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.
③三边对应成比例，两三角形相似.
④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应
成比例，那么这两个直角形相似.
⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三
角形相似.
⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.3. 相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等.
②相似三角形的对应边成比例.
③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
④相似三角形周长的比等于相似比.
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方.
1. 平行线分线段成比例
例 1：（2015年希望杯初三一试）
AE 1
如图，在△ABC 中，EF∥BC， = ，S =64，则S = .
四边形BCFE △BCE
BE 2
2.“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”）
A
D E
C
B
(1)
“斜交型”的相似三角形（有“反 A共角型”、 “反 A共角共边型”、 “蝶型”）
18
B
E
( 3 )
A
C
D
例题精讲
A D
A
1
E E
4
E
1 A
D
B 2 C B 2 1 D C B 2 C例 2：（2015年希望杯初三一试）
已知
19
A C = A B ， A D = 5 ， D B = 4 ， A = 2 E ，则CDDE＝ .
3.“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型”（也称“射影定理型”）、“三垂直
型”）
例 3：（2016年希望杯初三一试）
如图 3，在△ABC 中，∠ABC=90°，过AB的中点D作 DE⊥AC 于点E，ED与 CB的延长线交
于点 F，则
D
A
E
B
2
D F
A
E
D
B C
的值是 .
B
E
A
C (D )
B
A C
E
D4. “旋转型”的相似三角形
例 4：（2018年初中联赛）
如图，点 E在四边形 ABCD 的边AB上，△ABC 和△CDE都是等腰直角三角形，AB=AC，
DE=DC.
（1）证明：AD//BC；
（2）设AC 与DE交于点P，如果∠ACE=30°，求
20
D
P
P
E
A
D 2
1
E
B C
.3-3 特殊四边形的性质和判定
基础知识
1.平行四边形
（1）性质
对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分；是中心对称图形；S=ab（a、b分别表示
底和这一底上的高）.
（2）判定
1) 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. （定义）
2) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
3) 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
4) 一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形.
2. 矩形
（1）性质
矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还有以下性质：四个角都是直角；对角线相等；
既是中心对称图形，又是轴对称图形；S= ab（a、b分别表示长和宽）.
（2）判定
1) 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2) 对角线相等的平行四边形是矩形.
3) 有三个角是直角的四边形是矩形.
3. 菱形
（1）性质
菱形除了具有平行四边形的所有性质外，还有以下性质：四条边都相等；两条对角线互相
21垂直，并且每一条对角线平分一组对角；既是中心对称图形，又是轴对称图形；S=
22
1
2
ab
（a、b分别表示两条对角线长）.
（2）判定
1) 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. （定义）
2) 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3) 边相等到的四边形是菱形.
4. 正方形
（1）性质
除了具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质外，还有以下性质：对角线和边的夹角是 45º；
S= a²，a表示边长.
（2）判定
1) 一组邻边相等的矩形是正方形.
2) 有一个是直角的菱形是正方形.
3) 对角线相垂直的矩形是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
例题精讲
例 1：（2018年全国初中联赛第一试）
如图，在平行四边形 ABCD 中，BC=2AB，CE⊥AB于 E，F为AD的中点，若∠AEF=48°，
则∠B=_______°.例 2：（2018年全国初中联赛第一试）
如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BD于点E，AB=1，∠CAE=15°，则BE=( )
A.
23
3
3
B.
2
2
C. 2 -1 D. 3 -1
例 3：（2016年希望杯初二一试）
已知梯形的两条对角线互相垂直，若上底和下底的和是 12，两条对角线的和是 16，这个梯形
的面积为 .
例 4：（2017年全国初中联赛第一试）
如图梯形 ABCD 中，AD//BC，∠A=90°，点E在AB上，若 AE=42，BE=28，BC=70，
∠DCE=45°，则DE的值为（ ）
A. 56 B. 58 C. 60 D. 62
A D
E
B C3-4 图形的对称与旋转变换
几何变换是指把一个几何图形 F 变换成另一个几何图形 F 的方法，若仅改变图形的位
1 2
置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、对称、旋转是常见的合同
变换.
1.平移变换
如图，如果把图形F 上的各点都按一定方向移动一定距离后得到图形 F ，则由 F 到F
1 2 1 2
的变换叫平移变换.
平移变换前后的对应线段相等且平行，对应角的两边分别平行且方向一致.
2.对称变换
如图，将平面图形F 变换到与它成轴对称的图形 F ，这样的几何变换就叫做关于直线 l
1 2
（对称轴）的对称变换.
对称变换前后的对应线段相等，对应角相等，其对称轴是连结各对应点线段的垂直平分
线.
24
F
图
1
1
F 2
F
F
图
1
1
1
图
l
2
F 2
F 2 F 1
F 1
α
图
F
图
2
3
l
2
F 2 F 1
α
图
F 2
3
基础知识3.旋转变换
如图，将平面图形F 绕这一平面内一定点 M 旋转一个定角 α，得到图形 F ，这样的几
1 2
何变换就叫做旋转变换，M 叫旋转中心，α 叫旋转角.
旋转变换前后的图形是全等的，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的夹角等于旋
转角.
1.平移变换
例 1：（全俄数学奥林匹克竞赛试题）
如图，六边形 ABCDEF中，AB//DE，BC//FE，CD//AF，对边之差 BC-FE = ED-AB = AF-
CD>0，求证：该六边形的各角都相等.
2.对称变换
例 2：（2011年全国初中联赛第一试）
在△ABC 中，已知∠B=2∠A，
25
B C = 2 , A B = 2 + 2 3
例题精讲
，则∠A= ．例 3：（2015希望杯培训题初二）
如图，AD是△ABC 的高，∠BAC=45°，BD=3，CD=2．则AD的长是 ．
例 4：（2013年全国初中联赛第一试）
在△ABC 中，∠A=60°，∠C=75°，AB=10，D、E、F 分别在AB、BC、CA上，则△DEF的
周长最小值为________.
A
D
F
C
B
E
3.旋转变换
例 5：（2015希望杯培训题初二）
如图，已知 AD是△ABC 的中线，且 AE∶EF∶FD＝5∶3∶2，求AG∶GH∶HC．
264-1 一次函数
1. 变量和常量的概念
2. 函数的概念
3. 自变量取值范围的确定
4. 函数的图像
5. 一次函数的图像
6. 一次函数的性质
例 1：（2017初二1试）
若 abc<0 ，直线
27
y =
a
b
x −
c
a
不经过第四象限，则直线 y = ( a + b ) x + c 一定不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
例 2：（2017初二2试）
在平面直角坐标系 xOy中，线段 y = k x + b ( 1 x a )
基础知识
例题精讲
，当 b 的值由 – 1增加到 2 时，该线段
运动所经过的平面区域的面积为 9，则 a 的值为( ).
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7例 3：（2016初二1试）
在平面直角坐标系中，横，纵坐标都是整数的点称为整点. 若
28
y = x − 3 与 y = k x − k （k为整
数）的图象的交点是整点，则 k 的不同取值有（ ）
A. 3个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6个
例 4：（2016初三1试）
在 xOy 坐标系中，一次函数 y = k
1
x − 5 与正比例函数 y = k
2
x 的图象都经过点（2，– 3），
则 k k =________，这两个函数的图象与 y轴围成的区域的面积是________.
1 2
例 5：（2016初二2试）
在平面直角坐标系中，已知两点 A(– 2，0) ，B(4，0) ，点 (m，n) 在一次函数 y =
1
2
x + 2
的图象上，若∠APB＝90°，则 |m| = __________ .4-2 反比例函数
基础知识
1. 反比例函数的定义
2. 反比例函数的图像
3. 反比例函数的性质
（1）单调性
当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随 x的增大而减
小；
当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随 x的增大而增
大.
（2）对称性
反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图象也是轴对称图
形，其对称轴为 y=x 或 y= – x；反比例函数图象上的点关于坐标原点对称.
（3）面积
在一个反比例函数图像上任取两点，过点分别作 x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成
的矩形面积为 |k|，反比例函数上一点 向x 、y 轴分别作垂线，分别交于 y 轴和 x 轴，
得到的矩形面积为 |k|.
29例 1：（2017初三1试）
k
函数 y = （k 是非零常数）图象的对称轴是（ ）
x
k
A. y = x B.
k
30
y = k x C. y = – kx D. y = kx
例 2：如图，矩形ABCD的面积是 12，顶点A和B在 x轴上，点C 和D分别在双曲线
y =
3
x
和 y =
k
x
上，则k = __________.
例 3：（2017 初二1试）
如图，已知反比例函数 y =
k
x
( k 0 )
例题精讲
的图象经过Rt△OAB 直角边AB的中点C，且与斜边 OB
交于点 D. 若△OCD的面积为 2，则 k＝________.例 4：一次函数 y = kx（k是参数）与反比例函数
31
y =
4
x
的图象交于点 A ( x
1
, y
1
) 和
点 B ( x
2
, y
2
) ，则 3 x
1
y
2
− 5 x
2
y
1
＝__________.
例 5：（2016初三2试）
如图，正比例函数 y＝3x和 y =
1
3
x 的图象与反比例函数 y =
k
x
( k 0 ) 的图象分别交于点 A和
C，若 Rt△AOB 和 Rt△COD 的面积分别是S 和S ，则（ ）
1 2
A. S
1
=
1
3
S
2
B. S =S C.
1 2
S
1
=
3
2
S
2
D. S
1
= 3 S
25-1 数论综合
基础知识
1. 数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质
2. 奇数、偶数、质数、合数、因数、倍数
3. 整除，余数，完全平方数
4. 因数个数定理等
例题精讲
例 1：（2017 希望杯初二一试）
有甲、乙两个工程队，若从乙队调入甲队 2人，则甲队的人数是乙队的 n倍，若从甲队调入
乙队 n人，则乙队的人数是甲队的 2倍. 则n可能的取值有（ ）.
A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4个
例 2：（2017初二2试）
已知自然数 n小于50，且4n+5和7n+6 有大于 1的公约数，则所有 n的可能值之和为（ ）
A. 124 B. 114 C. 104 D. 94
32例 3：（2017初二2试）
已知 p，p2+4和p2+16都是质数，则 p =________.
例 4：（2016初二1试）
设a=22 +32 + +20162，则 a 除以7所得的余数是______.
例 5：（2016初三1试）
若四位数
33
a b c d 是一个完全平方数，五位数 1 a b c d 也是一个完全平方数，则 a b c d = ( )5-2 重二次根式
1. 重二次根式的概念：
如果二次根式的被开方数（式）中含有二次根式，这样的式子就被称为重二次根式
2. 化简重二次根式的方法：
（1）平方法
（2）配方法
（3）构造法
（4）待定系数法
例 1：(2001初二2试）
已知
34
a + b = 1 9 9 2 + 1 9 9 1 ，a−b= 1992− 1991 ，那么 ab=______.
例 2：化简代数式
3+2 2 + 3−2 2
，所得结果是________.
A. 3 B. 1+ 2 C. 2 + 2 D. 2 2
基础知识
例题精讲例 3：
35
3 5 − 8
1 3
7 + 4 3
例 4：(1999初二2试)
如果 x =
1
2
−
4
3 x 1−x2
，那么 + =_______.
1−x2 x
例 5： (2000初二培训题)
设 m = a + 2 a − 1 + a − 2 a − 1 (1≤a≤2)，求 m10+m9+m8+…+m+47的值.5-3 方法与原理
1. 概率的计算
2. 加乘原理与排列组合
3. 抽屉原则
例 1：（2017初二1试）
甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为 a，再由乙猜一个数字，记为
b，若 a，b满足
36
| a − b | 1 ，则称甲、乙两人“心有灵犀”. 若a，b可以从0，1，2，3中任
意取值，则两人“心有灵犀”的概率为________.
例 2：(2017初二2试)
随机抛掷甲、乙两颗质地均匀的正方体骰子(正方体骰子的六个面上的点数分别为 1，2，3，
4，5，6，则甲、乙向上一面两个数字的和不是 3的倍数的概率是( )
2
A. B.
3
1
3
基础知识
例题精讲
4 25
C. D.
9 36例 3： (2017初三2试)
如图，有 16个三角形的房间， 甲、乙两人随机入住两个不同的房间， 那么他们住在不相邻
(指没有公共边) 房间的概率是 _____．
例 4：（2016初二1试）
从长度分别是 1，2，3，…，14的14条线段中任取出 n 条，其中必有3条线段能够成一个
三角形，则 n 的最小值是（ ）.
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
例 5：(2014初二1试)
将 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8这8个数排成一行，使 8的两边各数的和相等，则不同的排列方法有( )
A. 1152种 B. 576 种 C. 288 种 D. 144种
例 6：（2017初二1试）
3 5 7 4033
在黑板上写上 , , , , 这2016个数字，每次从中任取两个数 并且擦掉，然后写上一
2 3 4 2017
个数 ab + 2 – a – b ，记为一次操作，则经过 2015次操作后，黑板上剩下的数字是_______.
375-4 最值问题
例 1：（2017初三1试）
x−1+ x+2 + x−3 + x+4 + + x−2017 的最小值是 ______．
例 2：(2017初三1试)
在四个数
38
2 ， 3 3 ，4 4， 5 5 中，最大的是 ( )
A. 2 B. 3 3 C. 4 4 D. 5 5
例 3：（2017初二2试）
已知关于 x 的方程 a x − x = 1 无解，关于 x 的方程bx+2x=c+3有无穷多组解，则关于 t 的
二次式 t 2 − a t − b t − c t + a 2 + b 2 + c 2
例题精讲
的最小值为（ ）
A. 10 B. 12 C. 15 D. 18
例 4：(2016初三1试)
x2 +1+ x2 −8x+20的最小值是________.
