文档内容
希望数学少年俱乐部精品课
学生用书
五年级
五年级
1目录
1. 计算专题
1-1 如何来巧算……………………………………………………………………………3
1-2 定义新运算……………………………………………………………………………5
1-3 计算综合………………………………………………………………………………7
2. 应用题专题
2-1 常见应用题……………………………………………………………………………9
2-2 行程综合………………………………………………………………………………11
2-3 方程、比例法解应用题………………………………………………………………14
3. 几何专题
3-1 组合图形问题…………………………………………………………………………16
3-2 几何模型………………………………………………………………………………18
3-3 立体几何………………………………………………………………………………22
4. 方法和原理专题
4-1 计数问题………………………………………………………………………………24
4-2 最值问题………………………………………………………………………………26
4-3 抽屉原理与最不利原则………………………………………………………………28
5. 综合专题
5-1 数论……………………………………………………………………………………30
5-2 归纳与规律……………………………………………………………………………32
5-3 数学思想………………………………………………………………………………34
21-1 如何来巧算
一些常用的计算技巧：
(1) 凑整技巧——乘法凑整
(2) 等差数列求和
(3) 裂项
(4) 通项归纳
(5) 换元法
(6) 找规律
(7) 公式法
例 1： 计算：
3
1 . 2 5 6 . 2 1 1 6 + 5 . 8 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
基础知识
例题精讲
（2017年五年级希望杯 1试第1题）
例 2：
计算：20.1632+2.016680=_________.
（2016年五年级希望杯 1试第1题）例 3：
计算：
4
( 2 .0 1 6 + 2 0 1 ) 2 0 1 .7 − 2 0 .1 6 ( 2 0 .1 7 + 2 0 1 0 ) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2017年五年级希望杯 2试第1题）
例 4：
若
1 +
1
5
2
A
4
−
5
9
2
3
5
7
3
2
3
4
+ 2 . 2 5 = 4 ，那么 A 的值是________．
（2017华杯初赛小高组第 7题）
例 5：
计算：
1
1
−
1
2
1
3
1
3
+
1
3
1
3
−
1
4
1
5
1
5
+ +
2
1
0 1
2
5
1
0
1 5
2
−
1
0 1
2
6
1
0
1 7
2
1
0 1 7
= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
1 1 1 1 1
1− − −
3 3 5 2015 2017
+ +…+ = __________.
1 1 1 1 1 1 1 1
1
2 3 3 4 5 2015 2016 2017
（2017华杯决赛B 卷小高组第 1题）1-2 定义新运算
1.基本概念：
定义新运算是指用一个新定义的运算符号和已知运算表达式表示一种新的运算．
2.基本思路：
新定义的运算符号，如△、◎、※等等所表示的含义是人为设定的．解答这类题目的
关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉
的四则运算．
例 1：
定义
5
a b = a b + a − 2 b ，若 3 m = 1 7 ，则m= _____ ．
（2017年五年级希望杯 2试第2题）
例 2：定义： m n = m m − n n
基础知识
例题精讲
，则
2 24−44−46−66−68−88−8101−0−…−9−89810100=0_=________________._ .
（2016年五年级希望杯 2试第4题）例 3：用[x]表示不超过 x 的最大整数，例如[3.14]=3， 求
6
2 0 1
1
7
1
3
+
2 0 1
1
7
1
4
+
2 0 1
1
7
1
5
+
2 0 1
1
7
1
6
+
2 0 1
1
7
1
7
+
2 0 1
1
7
1
8
.
（2017 华杯决赛A卷小高组——第1题）
例 4：
一列数 记 的所有数字之和, 如：S(22) =2+2=4.
若 那么 等于_______．
（2017华杯决赛A卷小高组第 7题）1-3 计算综合
1. 等差数列通项公式：
7
a
n
= a
1
+ ( n − 1 ) d （其中d表示公差，a 表示第n项）
n
2. 等差数列求项数公式： n = ( a
n
− a
1
) d + 1
基础知识
(a +a )n
3. 等差数列求和公式：S = 1 n
2
4. 在长方形数表中，不同位置的两块形状完全相同的区域，对应位置上的数之差相
等，则两块区域总和之差为单项之差与项数之积.
例题精讲
例 1：
将 100按“加15，减12，加 3，加15，减12，加3，……”的顺序不断重复运算，运算 26步
后，得到的结果是 ______ ．( 1步指每“加”或“减”一个数)
（2016年五年级希望杯 1试第6题）
例 2：
根据下图所示的规律，推知 M =___________．
（2016年五年级希望杯2 试第10题）例 3：
下表中，8位于第3行第2 列，2017位于第a行第b 列，则
8
a − b = _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
1 4 5
2 3 6
9 8 7
10 13 14
11 12 15
18 17 16
19 22 23
20 21 …
（2017年五年级希望杯 2试第3题）
例 4：
如图是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对的两个面上的数值相等，则 a − b c 的值
是 __________．
（2017年五年级希望杯 1试第8题）2-1 常见应用题
基础知识
1. 二量应用题
在解含有两个量的应用题时，题中一般也会含有两个等量关系，我们可以采用列方程
的方法，将这两个未知量设为字母是解题的关键。
2. 工程问题
工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问
题。
工作总量：一般抽象成单位“1”
工作效率：单位时间内完成的工作量
三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间
工作效率=工作总量÷工作时间
工作时间=工作总量÷工作效率
3. 等量代换问题
用比较法和倍数关系进行等量代换。
4. 最值原理
和一定，差小积大；积一定，差小和小。
例题精讲
例 1：
张超和王海在同一家文具店买同样的练习本和铅笔，张超买了 5个练习本和4 支铅笔，付
了 20元，找回3.5元；王海买了 2个练习本和2支铅笔，正好 7元整. 则练习本每个 2.5
元.
（2017五年级希望杯2试——第5题）
9例 2：
1
某项工程需要 100 天完成，开始由 10 个人用 30 天完成了全部工程的 ，随后再增加 10 个
5
人来完成这项工程，那么能提前 10天完成任务.
（2015 华杯决赛小高组A卷——第3题）
例 3：
小磊买 3块橡皮，5支铅笔需付 10.6元. 若他买同品种的 4块橡皮，4支铅笔需付 12元，
则一块橡皮的价格是 2.2元.
（2016希望杯五年级2试——第2题）
例 4：
现有甲、乙、丙三个容量相同的水池.一台A型水泵单独向甲水池注水,一台B 型水泵单独向
乙水池注水,一台 A 型和一台 B 型水泵一起向丙水池注水.已知注满乙水池比注满丙水池所
需时间多 4 个小时,注满甲水池比注满乙水池所需时间多 5 个小时,则注满丙水池的三分之二
需要 4个小时.
（2014 华杯决赛小高组C 卷——第6题）
例 5：
酒店有 100个标准间,房价为 400元/天,但入住率只有 50%.若每降低20元的房价,则能增加5
间入住.求合适的房价,使酒店收到的房费最高.
（2015 华杯决赛小高组A卷——第10题）
102-2 行程综合
基础知识
1. 行程问题的基本公式：
路程=速度×时间
平均速度=总路程÷总时间
2. 比例法：
设甲乙两个人所走的路程分别为 s ，s ，速度分别为 v ，v ，所用时间分别为
甲 乙 甲 乙
t ，t ，由于s =v ×t ，s = v ×t ，有如下关系：
甲 乙 甲 甲 甲 乙 乙 乙
（1）当时间相同即t = t 时，有s ：s =v ：v ；
甲 乙 甲 乙 甲 乙
（2）当速度相同即v = v 时，有s ：s = t ：t ；
甲 乙 甲 乙 甲 乙
（3）当路程相同即s = s 时，有v ：v = t ：t .
甲 乙 甲 乙 乙 甲
例题精讲
例 1：
某天爸爸开车送小红到距学校 1000 米的地方后，让她步行去学校，结果小红这天从家到学
校用了 22.5分钟. 若小红骑自行车从家去学校需 40分钟，她平均每分钟步行 80 米，骑自行
车比爸爸开车平均每分钟慢 800米，求小红家到学校的距离是多少米？
（2017五年级希望杯2试——第16题）
11例 2：
王教授早上 8点到达车站候车,登上列车时,站台上时钟的时针和分针恰好左右对称．列车 8
点 35分出发,下午2点15分到达终点站．当王教授走下列车时,站台上时钟的时针和分针恰
好上下对称,走出车站时恰好 3点整．那么王教授在列车上的时间共计_________分钟．
（2015华杯决赛小高组A卷——第4题）
例 3：
已知 C 地为A,B 两地的中点.上午7点整，甲车从 A出发向B 行进，乙车和丙车分别从 B
和 C 出发向A行进.甲车和丙车相遇时，乙车恰好走完全程的
12
3
8
，上午10点丙车到达 A
地，10点30分当乙车走到 A地时，甲车距离B 地还有 84千米，那么A和B 两地距离是
多少千米？
（2015华杯决赛小高组C卷——第9题）例 4：
张强骑车从公交车的 A站出发，沿着公交路线骑行，每分钟行 250米.一段时间后，一辆公
交车也从 A站出发，每分钟行 450米，并且每行驶6 分钟需靠站停1分钟. 若这辆公交车
出发 15分钟的时候追上张强，则该公交车出发的时候，张强已经骑过的距离是多少米？
（2016五年级希望杯2试——第13题）
例 5：
李双骑车以 320米/分钟的速度从 A地驶向B 地，途中因自行车故障推车继续向前步行 5
分钟到距 B 地1800米的某地修车，15分钟后以原车速的 1.5倍继续前行驶向 B 地，到达
B 地时，比预计时间多用17 分钟，则李双推车步行的速度是_________米/分钟.
（2016五年级希望杯1试——第18题）
132-3 方程、比例法解应用题
基础知识
列方程（组）解应用题的基本步骤：
（1）审：认真审题，弄清问题中的已知量是什么，未知量是什么，它们之间有什么等量
关系；
（2）设：合理选择未知数是解题的关键步骤之一．可直接设未知数，也可间接设未知
数；
（3）列：根据题目中的已知条件，利用等量关系列出方程（组）；
（4）解：求出未知数的值；
（5）答：对方程（组）的解进行检查验算，看是否符合题意，针对问题做出答案．
例题精讲
例 1：
数 a，b，c，d的平均数是 7.1，且2.5×a=b-1.2=c+4.8=0.25×d，则a×b×c×d=_____ .
（2017五年级希望杯2试——第6题）
例 2：
李老师带领学生参观科技馆，学生的人数是 5 的倍数.根据规定，教师、学生按原票价的一
半收费，且恰好每人所付的钱数为整数元，共付了 1599 元.问：这个班共有多少名学生？原
票价每人多少元？
（2017五年级希望杯2试——第14题）
14例 3：
有一杯子装满了浓度为 16%的盐水.有大、中、小铁球各一个,它们的体积比为 10:4:3.首先
将小球沉入盐水杯中,结果盐水溢出 10%,取出小球;其次把中球沉入盐水杯中,又将它取出;接
着将大球沉入盐水杯中后取出;最后在杯中倒入纯水至杯满为止.此时杯中盐水的浓度是多
少？（保留一位小数）
（2014华杯决赛小高组A卷——第10题）
例 4：
清明节,同学们乘车去烈士陵园扫墓.如果汽车行驶1个小时后,将车速提高五分之一,就可以
比预定时间提前 20分钟赶到;如果该车先按原速行驶 72千米,再将速度提高三分之一,就可
以比预定时间提前 30分钟赶到.那么从学校到烈士陵园有多少千米？
（2014 华杯决赛小高组A卷——第11题）
例 5：
甲、乙两船顺流每小时行8 千米，逆流每小时行4千米，若甲船顺流而下，然后返回；乙船
逆流而上. 两船同时出发，经过3小时同时回到各自的出发点，在这3小时中有多长时间甲、
乙两船同向航行？
（2015五年级希望杯2试——第13题）
153-1 组合图形问题
基础知识
1. 三角形的面积
三角形的面积=底×高÷2
2. 勾股定理
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．数学公式中，经常写成
a2 +b2 =c2．
例题精讲
例 1：
如图，小正方形的面积是 1，则图中阴影部分的面积是_____．
（2017五年级希望杯2试——第7题）
例 2：
如图，3×3 的正方形网格．如果小正方形边长是 1，那么阴影部分的面积是( )．
A：5 B：4 C：3 D：2
（2018 华杯初赛A卷小高组——第2题）
16例 3：
在如图的三角形 ABC 中，EB=ED，FC=FD，∠EDF=72°，则∠AED+∠AFD=__________°.
（2018 华杯初赛A卷小高组——第4题）
例 4：
相同的 3个直角梯形的位置如下图所示，则∠1=_____．
（2017五年级希望杯2试——第4题）
例 5：
下图中，四边形ABCD是边长为 11厘米的正方形，G在CD上，四边形CEFG是边长为9
厘米的正方形，H在AB上，∠EDH是直角，三角形 EDH的面积是（ ）平方厘米．
（2015 华杯决赛小高组C 卷——第4题）
173-2 几何模型
1. 鸟头模型
当两个三角形有一个内角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于分别夹这两角的两
组边乘积之比.
18
S
S
A
A
D
B
E
C
A
A
D
B
A
A
E
C
2. 蝴蝶模型
如图，梯形ABCD中， AB:CD a:b，则
（1） S
A O D
S
B O C
（2） S
A O B
: S
A O D
: S
B O C
: S
C O D
: S
A B C D
a 2 : a b : a b : b 2 : ( a b ) 2
B
D
A
E
C B
A
D
E
C B
D
A
2
1
E
C
D
B
A
2
1
E
C
基础知识
A B
O
D C3. 燕尾模型
如图，三角形ABC中，有
19
S
S
A
A
B
C
D
D
B
C
E
E
4. 风筝模型
S BE
ABD
如图，有 ，
S CE
ACD
S
S
C
C
B
B
D
A
D
A
E
E
例 1：
如图，ABCD是长方形，AEFG 是正方形． 若AB=6，AD=4，S =2，求
ADE
S
A B G
A
D
B E C
A
B E C
D
例题精讲
．
（2017五年级希望杯2试——第15题）例 2：
如图，在三角形 ABC 中，D 为BC 的中点，AF=2BF，CE=3AE．连接 CF交DE 于P点，
求
20
E
D
P
P
的值．
（2014 华杯决赛小高组A卷——第12题）
例 3：
如图，长方形 ABCD的面积是 60，若EB=2AE，AF=FD，则四边形AEOF的面积是
_____．
（2017五年级希望杯1试——第16题）例 4：
下图中，ABCD是平行四边形，F在AD上，
21
S
A E F
= 8 c m 2 ， S
D E F
= 1 2 c m 2 ，四边形 BCDF
的面积=72cm²，求△CDE的面积.
（2015 华杯决赛小高组C 卷——第13题）
例 5：
在下图中，ABCD是平行四边形，AM=MB，DN=CN，BE=EF=FC，四边形EFGH 的面积
是 1，求平行四边形ABCD 的面积．
（2015 华杯决赛小高组A卷——第13题）3-3 立体几何
基础知识
1.三视图还原立体图形
（1）此类问题的突破口在于俯视图，俯视图相当于堆叠体的“底座”，先画出“底座”，
再根据正视图和左视图在其上标出“高度”，是解决此类问题的好方法．
（2）让每一小块的每一个面都尽量能被看到，可得到体积的最小解；让每一小块的每
一个面都尽量不能被看到、被藏在里面，可得到体积的最大解．
（3）在求体积的最小解时要注意：俯视图出现十字形时，中间的一格可以是空的．
2.三视图法求表面积：
由小立方体堆砌而成的立体图形，其表面积可用三视图法求解
例题精讲
例 1：
如图所示，从长、宽、高分别为 15cm，5cm，4cm 的长方体中切割走一块长、宽、高分别
为 ycm，5cm，xcm 的长方体（x，y为整数），余下部分的体积为 120cm³，那么 x为
______cm，y为_________cm．
（2015 华杯决赛小高组A卷——第6题）
例 2：
一个长方体，棱长都是整数厘米，所有棱长之和是 88 厘米，则这个长方体总的侧面积最大
是( )平方厘米．
（2015 华杯决赛小高组C 卷——第6题）
22例 3：
如图，是某几何体从正面和左面看到的图形，若该几何体是由若干个棱长为 1 的正方体垒
成的，则这个几何体的体积最小是_________．
（2016希望杯五年级2试——第8题）
例 4：
用 64个体积为1立方米的小正方体拼成一个大正方体，如果将大正方体 8个顶点处的小正
方体都去掉，则此时的几何体的表面积是_________平方米．
（2015希望杯五年级1试——第7题）
例 5：
如图，用若干个相同的小正方体摆成一个几何体，从上面、前面、左面看分别是图形①、
②、③，则至少需要_______个小正方体．
（2015希望杯五年级1试——第10题）
234-1 计数问题
基础知识
常用方法：
（1）枚举法
（2）树形图
（3）加乘原理
（4）分类讨论
例题精讲
例 1：
将 2015，2016，2017，2018，2019这五个数分别填入图中写有“D，O，G，C，W”的五个
方格内，使得 D+O+G=C+O+W，则共有_____种不同的填法.
（2017五年级希望杯2试——第8题）
例 2：
平面上有 5 条不同的直线，这 5 条直线共形成 n 个交点，则 n 有多少个不同的数值？
（2017 华杯决赛小高组A卷——第9题）
24例 3：
从 1～8这八个自然数中任取三个数，其中没有连续自然数的取法有________种.
（2014 华杯决赛小高组A卷——第3题）
例 4：
在 1~100的自然数中数字和是 5的倍数的数有__________个.
（2014五年级希望杯2试——第2题）
例 5：
11 11 11 11 11 11
将 2015个分数 ，，，，，，…，， ，， ，， 化成小数，共有多少个有限小数？
22 33 44 22001144 22001155 22001166
（2015 华杯决赛小高组C 卷——第10题）
254-2 最值问题
常用知识点：
“最大最小、最多最少、最长最短等问题”称之为“最值问题”，最值问题是普遍的应
用类问题，主要解决有“最”字的描述的问题，这类问题通常与其他各个种类的问题都可以
有所结合，主要考察同学们构造论证、极端分析的能力！
（1）枚举法：将所有可能情况全部列举出来，再从中找到最大或最小的情况
（2）极端分析法：从最极端的情况出发考虑
（3）最值原理：和一定，差小积大，差大积小
例 1：
有 16盒饼干，其中15盒的质量(含盒子)相同，另有 1盒少了几块，如果用天平称， 那么
至少称________次就一定能找出这盒饼干.
（2013五年级希望杯1试——第15题）
例 2：
下边是一个算式，9个汉字代表数字 1至9，不同的汉字代表不同的数字，则该算式可能的
最大值是( ).
26
盼 望 + 树 翠 绿 + 天 空 湛 蓝
基础知识
例题精讲
（2015 华杯决赛小高组C 卷——第8题）例 3：
已知算式
27
a b c d = a a d e ，式中不同字母代表不同的数码，问四位数 a b c d 最大值是多少？
（2015 华杯决赛小高组C 卷——第12题）
例 4：
如图，边长为 12米的正方形池塘的周围是草地，池塘边 A，B，C，D处各有一根木桩，
且 AB=BC=CD=3 米.现用长 4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上.为了使羊在草地上
活动区域的面积最大，应将绳子拴在_______处的木桩上.
（2014 华杯决赛小高组A卷——第1题）
例 5：
某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果， 用作课间加餐。每名学生至少选 择一种， 也
可以多选. 统计结果显示： 70% 的学生选择苹果， 40% 的学生选了香蕉， 30% 的学生
选了梨. 那么三种水果都选的学生数占学生总数至多是百分之几.
（2017 华杯决赛小高组A卷——第10题）4-3 抽屉原理与最不利原则
基础知识
常用知识点：
苹果÷抽屉＝商……余数
（1）余数＝1，结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里
（2）余数＝𝑥，结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里
（3）余数＝0，结论：至少有 “商” 个苹果在同一个抽屉里
例题精讲
例 1：
在一副扑克牌中(去掉大、小王)，最少取__________张牌就可以保证其中有3 张牌的点数
相同.
（2007五年级希望杯1试——第14题）
例 2：
一个口袋里分别有红、黄、黑球各 4，7，8个，为使取出的球中有 6个同色，则至少要取
小球_______个.
（2008五年级希望杯1试——第14题）
28例 3：
将 530本书分给48名学生，至少有几名学生分到的书的数量相同？
（2015 华杯决赛小高组C 卷——第14题）
例 4：
从连续自然数 1，2，3，…，2014中取出n个数，使这 n个数满足:任意取其中两个数，不
会有一个数是另一个数的 5 倍.试求n的最大值，并说明理由.
（2014 华杯决赛小高组A卷——第13题）
295-1 数论
常用知识点：
（1）整除问题
（2）余数问题
（3）质数与合数
（4）因数与倍数
例 1：
如果三位数3□2是4的倍数,那么□里能填的最小的数是______,最大的数是_________.
（2013希望杯1试）
例 2：
若十位数
30
a 2 0 1 6 b 2 0 1 7
基础知识
例题精讲
能被 33整除，那么，这样的十位数有_____个
（2013希望杯 1试）例 3：
用 1, 5, 7组成各位数字不同的三位数,其中最小的质数是___________.
（2014希望杯 1试）
例 4：
10 个2014相乘,积的末位数是_________.
（2014希望杯 1试）
例 5：
220177的余数是_______． （注：xn示n个x相乘）
（2017希望杯 1试）
例 6：
两个自然数之和为 667，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于 120．求这两个数
_____，______或_______，_______．
（2015华杯决赛小高 A卷）
315-2 归纳与规律
基础知识
容斥原理
图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示 B的元素的个数，大圆表示 C 的元素的个
数．
𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 − 𝐴 ∩ 𝐵 − 𝐵 ∩ 𝐶 − 𝐴 ∩ 𝐶 + 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶
例题精讲
例 1：
如图,将黑、白两种小球从上到下逐层排列,每层都是从左到右逐个地排.当白球第 一次比黑
球多 2013个时,恰好排完第________层的第________个.
（2016希望杯 2试）
32例 2：
自然数 a，b，c分别是某个长方体长、宽、高的值，若两位数ab，
33
b c 满足 a b + b c =79，求这
个长方体体积的最大值．
（2017希望杯 2试）
例 3：
有编号为 1，2，3，…，2015 的2015盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制．若将编号为
2 的倍数，3的倍数，5的倍数的灯线都各拉一下，这时，亮着的灯有________盏．
（2015希望杯 1试）
例 4：
有 158个小朋友排成一排，从左边第一个人起（第一个人发一个苹果），每隔 1人发一个苹
果，又从右边第一个人起（第一个人发一个香蕉），每隔 2人发一个香蕉，求没有得到水果
的小朋友的人数．
（2015希望杯 2试）5-3 数学思想
基础知识
基本知识点：
（1）整体思想
（2）等量代换思想
（3）不定方程与分类讨论思想
（4）称重问题
例题精讲
例 1：
有三个自然数，它们的和是 2015，两两相加的和分别是 m＋1，m＋2011和m＋2012，则
m=_________.
（2015年希望杯 2试）
例 2：
从 1~100 这100 个自然数中去掉两个相邻的偶数，剩下的数的平均数是 50，则所去掉的两
个数的乘积是__________．
（2016年希望杯 2试）
34例 3：
已知三位数abc，并且a(b+c)=33，
35
b ( a + c ) = 4 0 ，则这个三位数是__________．
（2015年希望杯 1试）
例 4：
□、○、△分别表示三个小木块,它们的质量各不相同,可能是1克、2克、3克、4克或5
克.根据图2可判断,□的质量是_______克,○的质量是_______克,△的质量是_______克.
（2010希望杯 1试）
