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三年级
三年级
1目录
1. 计算专题
1-1 四则混合运算……………………………………………………………3
1-2 等差数列…………………………………………………………………6
1-3 数谜和数阵图……………………………………………………………9
2. 应用题专题
2-1 归一与等量代换…………………………………………………………13
2-2 年龄问题与带余除法……………………………………………………16
2-3 页码问题与行程问题……………………………………………………19
2-4 和倍与差倍问题…………………………………………………………22
3. 几何专题
3-1 长方形、正方形的周长和面积…………………………………………25
3-2 几何认知与操作…………………………………………………………29
4. 计数专题
4-1 图形计数…………………………………………………………………35
4-2 其他计数问题……………………………………………………………38
5. 组合专题
5-1 逻辑推理…………………………………………………………………41
5-2 填数游戏…………………………………………………………………44
5-3 操作与策略………………………………………………………………47
5-4 智巧趣题…………………………………………………………………50
21-1 四则混合运算
1.运算定律
加法交换律：
3
a + b = b + a
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律： a b = b a
乘法结合律：(ab)c=a(bc)
乘法分配律： a ( b + c ) = a b + a c （反过来就是提取公因数）
减法的性质： a − b − c = a − ( b + c )
除法的性质： a ( b c ) = a b c
( a + b ) c = a c + b c
( a − b ) c = a c − b c
上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，又可以从右到左逆着用．
2.添括号和去括号
在“+”号后面添括号或者去括号，括号内的“ + ”、“ − ”号都不变；
在“−”号后面添括号或者去括号，括号内的“+”、“ − ”号都改变，其中“+”
号变成“−”号，“ − ”号变成“ +
基础知识
”号；
在“”号后面添括号或者去括号，括号内的“”、“”号都不变，但此时括
号内不能有加减运算，只能有乘除运算；
在“”号后面添括号或者去括号，括号内的“”、“”号都改变，其中“”
号变成“”号，“”号变成“”号，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除
运算．例题精讲
1. 四则混合运算的顺序
例 1：（2015 数学花园探秘三年级初赛）
算式 201×5＋1220－2×3×5×7的计算结果是__________．
例 2：（2014 走美杯三年级初赛）
计算：2×(99981＋19×38)= _________．
2. 简算方法
（1）凑整
例 3：（2014 数学解题能力展示三年级）
下列算式结果为 500的是（ ）．
A．5×99＋1 B．100＋25×4
C．88×4＋37×4 D．100×0×5
（2）添括号和去括号
例 4：（2011 数学解题能力展示三年级）
计算：82－38＋49－51=__________．
（3）乘法分配律
例 5：（2012 走美杯三年级初赛）
计算：2012×9＋2012×8－2012×7＝_______．
4（4）分组计算
例 6：（2010 走美杯三年级初赛）
计算：
5
1 9 + 2 8 + 3 7 + 4 6 + 5 5 + 6 4 + 7 3 + 8 2 + 9 1 + _ _ _ _ = 5 5 0
3. 多位数的计算
例 7：（2013 走美杯三年级初赛）
将10000000000减去101011后所得的答案中，数字9共出现______次．
例 8：（2013 走美杯三年级初赛）
200 位数M由200 个1组成，M×2013，积的数字和是______．
4. 定义新运算
例 9：（2012 走美杯三年级初赛）
已知 a@b＝2×a＋b，那么99@1＝________。1-2 等差数列
1. 等差数列的基本概念
从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样
的数列我们称它为等差数列．
如：2、5、8、11、14、17、20、
从第二项起，每一项比前一项大 3 ，递增数列
首项：一个数列的第一项。
末项：一个数列的最后一项。
项数：一个数列全部项的个数。
公差：等差数列每两项之间固定不变的差。
2. 等差数列的基本公式
① 通项公式：
递增数列：末项=首项＋ (项数－1)×公差
递减数列：末项
6
= 首项－ (项数－1) ×公差
② 项数公式：
项数 =
基础知识
(末项－首项)÷公差＋1
③ 求和公式：
和=(首项＋末项)×项数÷2
例题精讲
1. 等差数列的计算
例 1：（2013 走美杯三年级初赛）
计算：1＋3＋5＋7＋…＋197＋199=_________．例 2：（2011 走美杯三年级初赛）
5个人依次领取 55个苹果，从第二个人起，每人比前一人多两个，第一
人得 ________个．
例 3：（2013 走美杯三年级初赛）
五个连续偶数的和是 7的倍数，这五个数之和最小等于________．
2. 等差数列的应用
例 4：（2014 数学解题能力展示三年级复赛）
2014 年 2 月 6 日是星期四，小胖决定从这天起（含 2 月 6 日）练习计
算，一直练习到 2 月 17 日，（含 2 月 17 日）开学为止．但是中间如果遇到
周六和周日，小胖还是决定休息一下，不做练习．已知他第一天做 1 道题，
第二天做3道题，第三天做 5道题，依此变化做下去，那么小胖这段时间一
共做了（ ）道计算练习题．
A．144 B．100 C．81 D．64
例 5：（2016迎春杯三年级初赛）
时钟在整点 1 点钟敲一下，2 点钟敲两下，3 点钟敲三下，……，照这
样敲下去，从 1 点到 12点，再从 13 点钟开始敲一下，14 点钟敲两下，……，
这样一天到 24 点，时钟共敲了______下。
73. 等差数列的拓展
例 6：（2016迎春杯三年级初赛）
有一棵神奇的树上长了 63 个果子，第一天会有 1 个果子从树上掉落，从
第二天起，每天掉落的果子数量比前一天多 1 个. 但如果某天树上的果子数量
少于这一天本应该掉落的数量时，那么这一天它又重新掉落 1 个果子开始，按
原规律进行新的一轮. 如此继续，那么第__________天树上的果子会都掉光.
例 7：（2014 数学解题能力展示三年级初赛）
老师在黑板上将从 1 开始的计数连续地写下去：1，3，5，7，9，11……
写好后，擦去了其中的两个数，将这些奇数隔成了 3 段，如果前两段的和分别
是961 和1001，那么，老师擦去的两个奇数之和是（ ）．
A．154 B．156 C．158 D．160
例 8：（2012 数学解题能力展示三年级初赛）
30 名同学按照身高由低到高排成一队，相邻两个同学的身高差都相同，
前10名同学的身高和是 1450厘米，前20名同学的身高和是 3030厘米，那
么这30 名同学的身高和是______________厘米．
81-3 数谜和数阵图
基础知识
1.数谜分析方法
（1）解题的突破口多在于竖式或横式中的特殊之处，例如首位、个位以及位
数的差异；
（2）要根据不同的情况逐步缩小范围，并进行适当的估算；
（3）题目中涉及多个字母或汉字时，要注意用不同符号表示不同数字这一条
件来排除若干可能性；
（4）注意结合进位及退位来考虑；
（5）灵活运用数的性质（和差积商的位数，数的整除性，奇偶性，尾数规律
等）进行推理判断．
2.数阵图分析方法
解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。
待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算
来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。
试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。把分
析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。
91. 数谜
（1）横式谜
例 1：（2012解题能力展示三年级初赛）
从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中选出 6个数字，填在下面方框中，
使算式成立，每个方框填一个数字，各个方框中的数字各不相同，□＋□□
＝□□□，那么算式中三位数最大是______________．
例 2：（2011解题能力展示三年级初赛）
在算式
10
A B C D + E F G = 2 0 1 0 中，不同的字母代表不同的数字．那么，
A + B + C + D + E + F + G = __________．
例 3：（2016 迎春杯三年级初赛）
在下面两个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同
的数字：
数 学 花 园 + 探 秘 = 2 0 1 5 ，探秘+1+2+3+…+10=花园，
那么四位数 数 学 花 园
例题精讲
=__________．例 4：（2008迎春杯三年级初赛）
将 1～9 这 9 个数字分别填入右图的方框中，每个数字恰好用一次，使
等式成立；现已将8 填入，请你将其它数字填入．
（2）竖式谜
例 5：（2012 走美杯三年级初赛）
如图，一个四位数加上一个三位数和为 2012，这两个数的数字和等于
______。
例 6：（2010 走美杯三年级初赛）
把
11
0 ~ 9 这 1 0
÷ ＝ － ＝ 8
个数字填入下图（已填两个数字），使得等式成立。减数为
_____。
9 5
1 2 3 4 52. 数阵图
例 7：（2014 走美杯三年级初赛）
在下面的 6个圆圈中分别填入 0，1，2，3，4，5每个数字只能用一
次，使各边上的三个数字的和相等．
例 8：（2010 走美杯三年级初赛）
2010 年是虎年，请把 1~11 这 11 个数不重复的填入虎额上的“王”字中，
使三行，一行的和都等于 18。
122-1 归一与等量代换
基础知识
1. 归一应用题
归一应用题是已知总数和份数，需要先求出一份数(单一量)是多少，再
通过一份数求几个一份数是多少，或求总数里包含几个一份数的一类应用题．
关键：先“归一”——先求出一份数即一个单位的量是多少.
基本关系式：
每份的工作量（单一量）=总工作量÷份数
总工作量=每份的工作量（单一量）×份数
份数=总工作量÷每份的工作量（单一量）
2.等量代换
等量代换是指用一种量来代替和它相等的另一种量，它是数学中一种基
本的思想方法，也是代数思想法的基础．等量代换思想用等式的性质来体现
就是：
（1）等式的传递性：如果 a=b，b=c，那么 a=c．
（2）等式的性质：
等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立．
等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不能是 0），等式仍成立．
例题精讲
1. 归一问题
例 1： 4 辆汽车行驶 30 千米需要汽油 240 升．现有 5 辆汽车同时运货
到相距80千米的地方，需要用汽油多少升？
13例 2：马路的一侧要铺地砖，全长为 192 米，如果 12 个工人同时工作，那
么8天就可以完成，如果要求 6天完成，那么需要增加多少个工人？
例 3：4 名男生和 3 名女生 5 小时能搬砖 1200 块．现在有 3840 块砖，如果
8名男生和6名女生搬，需要多长时间？
例 4：一个工人在森林中锯木头，他用 30 分钟把一根树干锯成了 6 段，如
果保持工作速度不变，
（1）把这根木头锯成 10段，还需要多少分钟？
（2）用 2个小时的时间，能把一根木头锯成几段？
例 5：一个长方体的水槽可容水 480 吨．水槽装有一个进水管和一个排水
管．单开进水管8小时可以把空池注满；单开排水管 6小时可把满池水排空．两
管齐开需多少小时把满池水排空？
142. 等量代换
例 6：小芳在文具店买了 5 支彩色铅笔和 6 个练习本，共用去 17 元．小花
买了同样的铅笔 8 支和 6 个练习本，共用去 20 元．一支彩色铅笔和一个练习本
的价格各是多少？
例 7：学校要买足球和排球．买 3 个足球和 4 个排球共需 500 元，如果买 6
个足球和2个排球需要 520元．一个足球和一个排球各需要多少元？
例 8：1 个西瓜的重量等于 2 个哈密瓜的重量，1 个哈密瓜的重量等于 8 个
苹果的重量，2个苹果的重量等于 3个柿子的重量，那么 1个西瓜的重量等于几
个柿子的重量？
例 9：已知 1 个排球的价钱等于 2 个篮球的价钱，2 个排球的价格等于 3 个
足球和2个篮球的价钱，1个橄榄球的价钱等于 2个排球的价钱．求1个橄榄球
的价格与几个足球的价钱一样？
152-2 年龄问题与带余除法
基础知识
1. 年龄问题
（1）一个原则——年龄差不变
“差”在年龄问题里最重要，我们就是根据年龄差不变原则，将其转化为
基本的和差倍问题．
（2）一个特点——年龄倍数在变
随着时间推移，大年龄与小年龄之间的倍数不断的变化．
（3）两项注意：
注意年龄差不变是有条件的——即“人不变”．
注意搞清楚已知条件和问题所问的时间差异——主要涉及几年前、今年、 几
年后三个时间段，因此在求解的时候必须搞清楚时间的对应．
（4） 两个重要工具——线段图、年龄轴．
2.带余除法
（1）余数的定义：
一般的，如果 a，b是整数(b≠0)，若有a÷b=q……r，0≤r
