文档内容
希望数学少年俱乐部精品课
学生用书
七年级
七年级
1目录
1. 数与式专题
1-1 有理数的基础知识………………………………………………………………………3
1-2 有理数的计算……………………………………………………………………………5
1-3 化简求值…………………………………………………………………………………7
2. 方程与不等式专题
2-1 解一元一次方程…………………………………………………………………………9
2-2 解二元一次方程组………………………………………………………………………11
2-3 解一元一次不等式（组）………………………………………………………………13
2-4 应用题……………………………………………………………………………………15
3. 空间与图形专题
3-1 正方体的展开图…………………………………………………………………………17
3-2 面积问题…………………………………………………………………………………20
4. 几何专题
4-1 线段与角…………………………………………………………………………………23
4-2 相交线与平行线…………………………………………………………………………26
4-3 三角形的应用……………………………………………………………………………29
5. 数论专题
5-1 奇数与偶数………………………………………………………………………………32
5-2 质数与合数………………………………………………………………………………34
5-3 整除与约数、倍数………………………………………………………………………36
21-1 有理数的基础知识
基础知识
正整数 正整数
正数{
整数{ 零 正分数
1、有理数 负整数 有理数 零
正分数 负整数
分数{ 负数{
{ 负分数 { 负分数
2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴
3、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数
4、倒数：相乘为 1的两个数叫做互为倒数
5、绝对值：数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a的绝对值，记做|𝑎|
①绝对值的非负性：|𝑎| ≥ 0
②绝对值的几何意义：在数轴上，|𝑥| 的意义是数 x对应的点与原点的距离
例题精讲
例 1、下面有4个说法：
①互为相反数的两个数的绝对值相等；
②如果n的绝对值等于 n，则n一定为正数；
③点M在数轴上距原点 2个单位长度，且位于原点右侧.若将M向左移动 5个单位
长度，则此时M的值为-3；
④两个数相加，其和一定大于一个加数.
其中，正确的个数为( ).
（希望杯2015年初一第 1试）
(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个
3𝑎 𝑏
(−1)2015 12016
例 2、对任意的四个有理数a、b、c、d，定义新运算| | = 𝑎𝑑−𝑏𝑐，则| | 的
𝑐 𝑑 (−1)2014 2
相反数是____；倒数的绝对值是______
(希望杯2016年初一第 1 试)
例 3、在数轴上，点 A 和点 B 分别表示数 a 和数 b，且在原点 O 的两侧，若|𝑎−𝑏| = 2016，
AO=2BO，则a+b=（ C ）
(A) 6048 (B) -6048 (C) ±672 (D) 0
(华杯赛2015 年初一初赛)
1
例 4、已知x、y、m满足等式|𝑥|+ = 1−𝑚,|𝑦|+1 = 𝑚+1，且m是整数，
2
则𝑥2 +𝑦2 +𝑚的值是（ C ）
1 1
(A) 0 (B) (C) (D) 2
2 4
(华杯赛2017 年初一初赛)
例 5、若有理数 x，y，z 满足(|𝑥+1|+|𝑥−2|)(|𝑦−1|+|𝑦−3|)(|𝑧−1|+|𝑧+2|) = 18，则
x+2y+3z 的最小值是_______，最大值是_______
(希望杯2011 年初一培训题)
41-2 有理数的计算
基础知识
1、有理数的混合运算：
①先乘方，再乘除，最后加减.
②同级运算，从左到右进行.
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.
2、有理数乘方：求 n个相同因数的积的运算，叫做乘方
3、有理数巧算常用到的技巧有：凑整、裂项、利用运算定律和公式、整体换元等.
例题精讲
2
−33×(−5)+16÷(−2)3−|−4×5|+( 5 −3.625)
例 1、计算： 8 = ________
[0−(−27)]÷(−3)+12×[(−3)+(−8)÷6]
（华杯赛2013 年初一决赛）
例 2、乘积539 ×422的结果的位数是（ ）
(A) 41 (B) 61 (C) 51 (D) 47
(希望杯2014 年初一第 2试)
512−22+32−42+52−62+⋯+972−982+992−1002
例 3、 =（ ）
1+2+3+4+5+6+⋯+97+98+99+100
(A) -5050 (B) -1 (C) 1 (D) 5050
(希望杯2014 年初一第 1试)
999 1000 1001
例 4、若𝑎 = ，𝑏 = ，𝑐 = ，则（ ）
2011 2012 2013
(A) 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 (B) 𝑏 < 𝑐 < 𝑎 (C) 𝑐 < 𝑏 < 𝑎 (D) 𝑎 < 𝑐 < 𝑏
(希望杯2013 年初一第 1试)
例 5、计算：20123 +20112 −2013×2012×2011−2013×2011 = ____
(希望杯2012 年初一第 2试)
61-3 化简求值
基础知识
代数式化简求值的常用方法和技巧有：
1、化简代入法：把字母的取值表达式或所求的代数式进行化简，然后再代入求值
2、整体代入法：当单个字母的值不能或不用求出时，可把已知条件作为一个整体，代入到经过
变形的待求代数式中去求值
3、倒数法：将已知条件或待求的代数式做倒数变形，从而求出代数式的值
4、设元引参法：当题目的条件与结论看不出直接的联系时，为了沟通已知与未知的联系，我们
常常需要引进一个(或几个)新的量来代替原来的量，从而进行化简，然后求值
5、配方法：利用完全平方公式进行配方，把已知条件变形成几个非负数的和的形式，然后利用
平方的非负性进行化简求值
例题精讲
例 1、If x, y and z satisfy x+y= 5 and z2= xy+y-9, then the value of 2x+3y+4z is_____.
（希望杯2014年初一第 2试）
例 2、已知，当x=1时，3𝑎𝑥3 +𝑏𝑥2 −2𝑐𝑥 +4 = 8，并且𝑎𝑥3 +2𝑏𝑥2 −𝑐𝑥−15 = −14，那么，
当 x=-1时，5𝑎𝑥3 −5𝑏𝑥2 −4𝑐𝑥 +2019的值是______
(希望杯2013 年初一第1试)
7𝑎𝑏 1 𝑏𝑐 1 𝑎𝑐 1 𝑎𝑏𝑐
例 3、已知a，b，c是有理数，且 = , = , = ，则 = ______
𝑎+𝑏 3 𝑏+𝑐 7 𝑎+𝑐 12 𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑎𝑐
(希望杯2014 年初一第2试)
例 4、已知x=-1时，3𝑎𝑥5 −2𝑏𝑥3 +𝑐𝑥2 −2 = 10，其中 a:b:c=2:3:6，那么
𝑎3𝑐
= ______
𝑏2
(希望杯2011 年初一第2试)
例 5、代数式 5a2 +5b2 -4ab-32a-4b+10 的最小值是__________ .
(希望杯2012 年初一第2试)
82-1 解一元一次方程
基础知识
1、一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 1的整式方程
2、绝对值方程：绝对值符号内含有未知数的方程称为绝对值方程
3、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值称为方程的解
4、解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1
5、一元一次方程 ax=b 的解由 a，b的值确定：
𝑏
(1)当a≠0时，方程有唯一的解𝑥 =
𝑎
(2)当a=b=0时，方程的解为任意有理数
(3)当a=0且b≠0时，方程无解
例题精讲
例 1、若(𝑦2 −1)𝑥2 +(𝑦+1)𝑥+9 = 0是关于x的一元一次方程，则代数式(4𝑥 +𝑦)(2𝑥−
𝑦)+𝑦的值是（ ）
(A) 54 (B) 56 (C) 169 (D) 171
（希望杯2015年初一第 1试）
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 503
例 2、方程 + + +⋯+ = 的根 x=_______
2×4 4×6 6×8 2012×2014 1007
（希望杯2014年初一第 1试）
91 1 1 𝑥+𝑎
例 3、已知x=2是方程 { [ ( +4)−7]+10} = 1的解，那么 a=____
9 6 3 2
（希望杯2006年初一第 1试）
例 4、如果方程(𝑎2 −1)𝑥+5|𝑏|−10 = 0有无数个解，则满足条件的实数对(a, b)的个数
是_____
（希望杯2008年初一第 2试）
例 5、若以x为未知数的方程 3x-2a=0与2x+3a-13=0的根相同，则 a=___
（希望杯2010年初一第 1试）
例 6、方程|𝑥+1|+|2𝑥 −1| = 1的整数解的个数为（ ）
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
（希望杯2013年初一第 2试）
102-2 解二元一次方程组
基础知识
1、“消元”是解一次方程组的基本思想，即通过消元把一次方程组转化为一元一次方程来解，而
代入法、加减法是消元的两种基本方法.
2、解一些复杂的方程组（如未知数系数较大、方程个数较多等），需要观察方程组的系数特点，
着眼于整体上解决问题，同时结合整数分析、奇偶分析以及绝对值分析等知识点，来达到消元
与降次的目的.
例题精讲
例 1、已知y=ax+b，当x=1时，y=3；当x=2时，y=7，则当 x=3 时，y=_____
（希望杯2014年初一第 1试）
例 2、若4x+3y=60和7x+8y=61，则𝑥2 −𝑦2的值是____
（希望杯2016年初一第 2试）
11𝑥𝑦+𝑧 = 94
例 3、若整数x、y、z 满足方程组{ ，则xyz=____或_____
𝑥 +𝑦𝑧 = 95
（希望杯2013年初一第 1试）
例 4、若a、b、c都是质数，其中 a最小，且a+b+c=44，ab+3=c，则ab+c=____
（希望杯2013年初一第 2试）
例 5、已知2𝑥 −|𝑦| = −7，3|𝑥|+2𝑦 = 0，则xy=_____
（希望杯2013年初一第 1试）
122-3 解一元一次不等式(组)
基础知识
1、解不等式的过程与解方程的过程类似：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，
但是在不等式两边同乘以(或除以)一个不等于0的数时，则要分两种情形：
(1)当不等式两边同乘以(或除以)一个正数时，不等号方向不变；
(2)当不等式两边同乘以(或除以)一个负数时，不等号方向改变.
2、解含绝对值符号的不等式，常用到绝对值的概念与性质：
(1)若|𝑥| < 𝑎(𝑎 ≥ 0)，则−𝑎 < 𝑥 < 𝑎；(2)若|𝑥| > 𝑎，则𝑥 > 𝑎或𝑥 < −𝑎；
(3)若|𝑎| > 𝑎，则𝑎 < 0；(4)若|𝑎| > |𝑏|，则𝑎2 > 𝑏2.
3、不等式(组)的应用主要表现在：作差或作商比较数的大小；求代数式的取值范围；与方程的
综和应用；列不等式(组)解应用题等
例题精讲
例 1、不等式(x-7)(x+2)<0 的整数解的个数是（ ）
(A) 0 (B) 6 (C) 8 (D) 10
（希望杯2014年初一第 1试）
例 2、不等式(|𝑥|+𝑥)(3−𝑥) > 0的所有整数解之和是_____
（希望杯2017年初一第 1试）
132𝑥 −𝑎 ≥ 1
例 3、已知关于x的不等式组{ ，有100个整数解，那么 a的最大值为（ ）
7−3𝑥 > 2
(A) -199 (B) -198 (C) -197 (D) -196
（华杯赛2017 年初一初赛）
2𝑥−𝑎 𝑎−1 1
例 4、已知关于x的两个方程 x+1=a 和 = − ，若前者的根大于后者，则 a的取值范
3 6 2
围是_____
（希望杯2017年初一第 1试）
3 𝑎 4
例 5、若正整数a，b满足 < < ，且 a+b最小，则 a=____，b=____
4 𝑏 5
（希望杯2014年初一第 1试）
142-4 应用题
基础知识
1、解应用题的一般步骤：审、设、列、解、答
2、列方程解应用题中的设未知数是很重要的一步，设什么为未知数，需要根据具体问题的条
件来确定，通常设未知数有两种方法：直接设元(将要求的量设为未知数，即问什么设什么)，
间接设元(将要求的量以外的其他量设为未知数，即所设的不是所求的，这样可以更容易找出
符合题意的数量关系)
3、列方程解应用题的另一关键是：找寻能够表示应用题全部意义的相等关系
例题精讲
例 1、王明在早晨六点至七点之间外出晨练，出门和回家的时候，时针与分针的夹角都是
110°，则王明晨练的时间为____分钟
（希望杯2015年初一第 1试）
例 2、小欣每天跳绳8次，共跳 168个，若她每次跳绳的个数是 18、20或24中的一个，且每
个数都至少出现一次. 问：她跳绳的个数是 20的有多少次？
（希望杯2016年初一第 2试）
15例 3、在一家水果店，小明买了 1斤苹果，4斤西瓜，2斤橙子，1斤葡萄，共付 27.6元；小
惠买了 2斤苹果，6斤西瓜，2斤橙子，2斤葡萄，共付 32.2元，则买1斤西瓜和 1斤橙子需
付( )
(A) 16元 (B) 14.8 元 (C) 11.5 元 (D) 10.7元
（希望杯2016年初一第 2试）
例 4、小明有10分、15分和 20分三种面值的邮票共 30张，面值的总和为5元，其中 20分
邮票比 10分邮票多____张
（希望杯2016年初一第 1试）
例 5、如图，乙地是甲、丙两地的中点，A从甲地，B从丙地，C、D从乙地分别沿图示的方向
同时出发，若A出发后70分钟时遇到C，84分钟时遇到B，140分钟时追上D，求B出发后
____分钟时遇到D？____分钟时追上C？
（希望杯2014年初一第 2试）
163-1 正方体的展开图
基础知识
正方体的平面展开图共有 11种：
三视图：观测者从上面、左面、正面三个不同角度观察同一个空间几何体而画的图形，
三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称.
例题精讲
例 1、小聪学习玩魔方，向小明拜师学艺. 小明首先出了一道题考小聪. 将下图中 4个图形中
的每个小正方形都标上了颜色. 若要求一个正方形两个相对面上的颜色都一样，那么下列 4
个展开图中有______个是正确的. （希望杯2012年初一培训题）
17例 2、如图是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对的两个面上的代数式的值相等，则
20x+17y+28z的值是______
（希望杯2017年初一第 1试）
例 3、有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图 1所示：如果把一个骰子点数是
4的一面放在桌子上，那么其它五个可以看得到的面上的数字的和是 17.现在把这三个骰子放
在桌子上(如图2)，凡是能看得到的点数之和最大是 ，最小是 .
（希望杯2016年初一第1试）
例 4、有一个正方体，在它的各个面上分别标上字母𝐴，𝐵，𝐶，𝐷，𝐸，𝐹，
甲、乙、丙三位同学从不同方向去观察这个正方体，观察结果如图所示. 则𝐹的对面是______
（希望杯2012年初一培训题）
18例 5、用 8 个相同的小正方体搭成一个几何体，其俯视图如图 1，那么这个几何体的左视图一
定不是（ ）
（希望杯2013年初一培训题）
例 6、图1是用若干个同样的小正方体拼成的立体的俯视图，若此立体最高有 3 层，则此立体
最少有______个小正方体，最多有_______个小正方体.
（希望杯2012年初一第 2试）
例 7、一个几何体是由许多相同的小正方体堆积而成的，其主视图、左视图如图所示，要摆成
这样的图形，至少需用______个小正方体.
（希望杯2011年初一培训题）
193-2 面积问题
基础知识
计算组合图形面积的常用方法：
1. 和差法：不改变图形的位置，而将它的面积用规则图形的面积的和或差表示，经过计
算后即得所求图形面积.
2. 等积法：在组合图形中寻找、构造面积相等的图形，探求原组合图形的面积.
3. 割补法：将组合图形的某一部分（或几部分）割下来，补到另一部分，使组合图形转
化为可用公式计算面积的图形.
例题精讲
例 1、边长分别为8厘米和6 厘米的正方形ABCD与BEFG并排放在一起，AF交BG于P，则△
APE的面积是( )平方厘米
（A）18 （B）20 （C）22 （D）24 （希望杯2017年初一第 1试）
例 2、如图，两张48×40的长方形纸片有一个顶点重合，重叠放置的尺寸如图所标示，则图
中阴影部分的面积=____ （希望杯 2016年初一第1试）
48
40
40
26
48
20例 3、如图，∆𝐴𝐵𝐶中，∠ACB=90°，AC=1厘米，AB=2 厘米. 以点B为中心，将∆𝐴𝐵𝐶顺时针旋
转，使得点A落在边CB延长线上的𝐴 点，此时点C落到点𝐶 处. 则在旋转中，边AC变到𝐴 𝐶
1 1 1 1
所扫过的面积为_______平方厘米.(结果保留𝜋)
（希望杯2012年初一第 1试）
例 4、如图，在△ABC中，D、F、F、G分别是AC、AB、ED、BF的五等分点、四等分点、三等分
点、二等分点，若△ABC的面积是 25，则△FGD的面积是_____
（希望杯2012年初一第 1试）
21𝐷𝐵 𝐶𝐸 1
例 5、如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，CD与BE相交于点F，若 = 2， = ，
𝐷𝐴 𝐶𝐴 3
四边形ADFE的面积是6，则△ABC的面积是____
（希望杯2017年初一第 2试）
例 6、如图，长方形OAPB内接于一个面积为 6.25π平方厘米且圆心角为 90°的扇形中，以
AB为边作正方形ABCD，连接CP、DP，若三角形PCD的面积为 6.5平方厘米，则五边形OBCDA
的周长为( )厘米
(A) 12 (B) 17 (C) 22 (D) 27
（华杯赛2017 年初一初赛）
224-1 线段与角
基础知识
1.线段
（1）线段：直线上的两个点和两点之间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点，两
点之间的线段的长度称为这两点之间的距离.
（2）线段中点：线段上一点，到线段两端点距离相等的点.
（3）公理：两点的所有连线中，线段最短，即“两点之间，线段最短”
2.角
（1）角：有公共端点的两条射线所形成的图形称为角.
（2）从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角
的角平分线.
（3）特殊角：平角是 180°，周角是 360°，直角是 90°，锐角是小于 90°的角，钝角
是大于90°且小于 180°的角.
（4）补角：和是180°的两个角叫做互为补角；如果两个角互为补角，则这两个角的和是
180°.
（5）余角：和是90°的两个角叫做互为余角；如果两个角互为余角，则这两个角的和是
90°.
（6）同角(或等角)的补角相等；同角(或等角)的余角相等.
例题精讲
例 1、如图所示，数轴上O、A、B、C、D、E分别对应数轴上相应的坐标，其中以 O、A、
B、C、D、E中任意两点为端点的所有线段的长度的和为______.
（希望杯2015年初一第 1试）
231 1
例 2、如图，已知C，D是线段 AB上的两点，且𝐴𝐶 = 𝐴𝐵，𝐵𝐷 = 𝐵𝐶，图中一共有______
3 3
条线段；若所有线段的长度的总和为 31，则AD=_________.
𝐴 𝐶 𝐷 𝐵
（希望杯2013年初一第 1试）
例 3、如图分别表示甲、乙、丙三人由 A地到B地的路线图. 甲的路线： A→C→D→B；乙
的路线：A→E→B；丙的路线：A→F→G→H→B. 若三人行进的路线总长度分别用𝑙 、𝑙 、
甲 乙
𝑙 表示，则其大小关系是( )
丙
A、𝑙 < 𝑙 < 𝑙 B、𝑙 <𝑙 =𝑙 C、𝑙 <𝑙 <𝑙 D、𝑙 =𝑙 <𝑙
甲 乙 丙 甲 乙 丙 乙 丙 甲 丙 乙 甲
（希望杯2014年初一第 2试）
24例 4、如图，射线OC，OD，OE，OF分别平分∠AOB，∠COB，∠AOC，∠EOC，若∠FOD
=24°，则∠AOB=_____.
（希望杯2013年初一第1试）
例 5、如图，∠C=45°，∠B=45°+2𝛼，∠BAC=45°+3𝛼，AE平分∠BAD，则∠
CAE=______.
D
A
E
B C
（希望杯2011年初一第 1试）
例 6、如图，在锐角△ABC 中，高线 CD，BE相交于点 F，若∠A=55°，则∠BFC 的度数是
（ ）
A、110° B、125° C、135° D、145°
（希望杯2015年初一第 1试）
254-2 相交线与平行线
基础知识
1.相交线
（1）两条直线相交，得四个角，其中不相邻的两个角叫作对顶角，对顶角必相等，
相邻的两个角叫作邻补角.
（2）当两条直线垂直时，两条直线相交所成的四个角都是直角.
（3）垂线的性质：
(1)过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
(2)直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短.
（4）如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和这两条平行线中的
另一条直线垂直.
2.平行线
（1）在同一平面内不相交的两条直线叫作平行线.
①在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有两种：相交和平行.
②平行公理：经过直线外一点，有且仅有一条直线和这条直线平行.
③推理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
（2）平行线的判定：
①两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则两直线平行.
②两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，则两直线平行.
③两条直线被第三条直线所截，若同旁内角互补，则两直线平行.
（3）平行线的性质：
①两条直线被第三条直线所截，若两直线平行，则同位角相等.
②两条直线被第三条直线所截，若两直线平行，则内错角相等.
③两条直线被第三条直线所截，若两直线平行，则同旁内角互补.
（4）在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行.
26例题精讲
例 1、下列说法中正确的是（ ）
(A)在同一平面内如果两条线段不相交，那么这两条线段就平行
(B)在同一平面内的两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么同旁内角互补
(C)等腰△ABC 中，如果连结点 A和BC 边中点D，那么 AD⊥BC
(D)如果等腰直角三角形的高为 10，那么它的面积等于 50
（希望杯2015年初一第 1试）
例 2、如图，𝑀𝐴 ∥ 𝐵𝑁 ∥ 𝐶𝑃，若 BA=BC，∠MAC=50°，∠NBC=150°，则∠ABC=( )
A、160° B、150° C、140° D、130°
（希望杯2015年初一第2试）
例 3、如图，𝐴𝐵 ∥ 𝐹𝐸，𝐵𝐶 ⊥ 𝐸𝐷，∠ABC 与∠DEF的角平分线交于点 G，则∠BGE的度数是
_____.
（希望杯2017年初一第 1试）
27例 4、如图，若AB=BC，∠BAC=70°，AD=BD，𝐶𝑀 ∥ 𝐴𝐵交AD的延长线于点 M，则∠M的
大小是（ ）
A、60° B、70° C、30° D、40°
（希望杯2016年初一第2试）
例 5、如图，梯形ABCD中，𝐴𝐷 ∥ 𝐵𝐶，BA=AD=DC，BC=2AD，若平行于底边的一条直线
𝐴𝐸
EF 把梯形分成周长相等的两部分，则 = ______.
𝐸𝐹
（希望杯2013年初一第2试）
284-3 三角形的应用
基础知识
1. 三角形的分类
（1）按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
（2）按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形
2. 面积公式
1
𝑆 = 𝑎ℎ
2
（1）同底等高的三角形面积相等.
（2）底边相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底
边之比.
.
3. 重要线段
（1）中线、角平分线、高.
（2）三角形的三条角平分线交于一点，三条高线所在的直线交于一点，三条中线交于一点
4. 边和角的关系
（1）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
（2）三角形的内角和等于 180°，三角形的外角和等于 360°
（3）三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和
推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
（4）勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方
29例题精讲
例 1、如图，四边形ABCD中，∠DAB的平分线与∠ABC 的平分线交于点E；∠BCD的平分
线与∠CDA的平分线交于点 F，则∠AEB+∠CFD=_____度.
（希望杯2017年初一第 2试）
例 2、如图所示，其中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（ ）
(A) 180° (B) 225° (C) 360° (D) 120°
（希望杯2012年初一培训题）
例 3、已知△ABC 中，AB=AC，AD=AE，D、E分别在 BC 和AC 上，∠BAD=30°，那么∠
EDC=( )
(A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60°
（华杯赛2017 年初一初赛）
30例 4、如图，在等腰梯形ABCD 中，𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷，AB=6，CD=14，∠AEC=90°，CE=CB，则
𝐴𝐸2 = ______.
（华杯赛2016 年初一初赛）
例 5、如图，点A和点B在直线 MN 的同侧，点A到 MN 的距离AC=6，点B到 MN 的距离
BD=9，CD=4，当点P 在直线 MN 上运动时，|𝑃𝐵−𝑃𝐴|的最大值等于 ( )
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
（希望杯2017年初一第2试）
315-1 奇数与偶数
基础知识
1、整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫作偶数，不能被 2整除的数叫作奇数.
2、偶数通常可以用 2k(k为整数)表示，奇数则可以用 2k+1(k为整数).
特别注意，0是偶数.
3、加法：奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数 奇数+偶数=奇数
奇数+⋯+奇数（共有偶数个）=偶数 奇数+⋯+奇数（共有奇数个）=奇数
乘法：奇数×奇数=奇数 偶数×偶数=偶数 奇数×偶数=偶数
例题精讲
例1、五个连续的奇数第三个数是n，则它们的乘积是（ ）
𝐴、𝑛5 −20𝑛3 −64𝑛 𝐵、𝑛5 −20𝑛3 +64𝑛
𝐶、𝑛5 +20𝑛3 +64𝑛 𝐷、𝑛5 +20𝑛3 −64𝑛
（希望杯2016年初一第2试）
例 2、若x，y都是正整数，x是6的倍数，且𝑥2 −𝑦2 = 2016，这样的(x，y)共有____组
（希望杯2016年初一第 1试）
32例 3、若一个四位数与4的乘积是这个四位数的反序数(如1234的反序数为4321)，则这个四位
数是___
（希望杯2015年初一第 2试）
例 4、若a，b，c都是质数，其中 a最小，且𝑎 +𝑏+𝑐 = 44，𝑎𝑏+3 = 𝑐，则𝑎𝑏+𝑐 =_____
（希望杯2013年初一第 2试）
例 5、如果质数p和q使得𝑝2 = 2𝑞2 +1，那么p=____，q=____
（希望杯2016年初一第 1试）
335-2 质数与合数
基础知识
1、只有1和它本身两个因数的自然数叫质数，质数又称为素数. 比1大但不是质数的数称
为合数. 其中，1和0既不是质数也不是合数.
2、100以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，
47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97
注： （1）2和3是所有质数中唯一两个连着的数.
（2）2是唯一的偶质数.
例题精讲
例 1、若两位自然数𝑎̅̅𝑏̅是质数，且交换数字后的两位数𝑏̅̅𝑎̅也是质数，则称𝑎̅̅𝑏̅为绝对质数. 于是
两位数中的所有绝对质数的乘积的个位数字是（ ）
A、1 B、3 C、7 D、9
（希望杯2012年初一第 2试）
34例 2、自然数n是两个质数的乘积，它的小于 n的所有正因数的和等于 1000，
则n+22= ( )
A、1994 B、2005 C、2016 D、2027
（希望杯2016年初一第 2试）
例 3、如果四个不同的质数的和为 37，那么这样的四个质数乘积的最大值是_____，最小值是
_____
（希望杯2013 年初一1试）
例 4、三个内角的度数都是质数的三角形的种数(三个内角的度数对应相等的两个三角形视为
一种)是( )
A、7 B、8 C、9 D、10
（希望杯2016 年初一2试）
355-3 整除与约数、倍数
基础知识
1、整除特征：
整除的数 特征
2 末尾是 0, 2, 4, 6, 8
3 各数数字的和是 3的倍数
5 末尾是 0或5
9 各数数字的和是 9的倍数
11 奇数位数字之和与偶数位数字之和的差的绝对值是 11 的倍数
4（或25） 末两位数是 4（或25）的倍数
8（或125） 末两位数是 8（或25）的倍数
2、整除性质：
（1）如果𝑐/𝑎，𝑐/𝑏，那么𝑐/(𝑎±𝑏)
（2）如果𝑏𝑐/𝑎，那么𝑏/𝑎，𝑐/𝑎
（3）如果𝑏/𝑎，𝑐/𝑎，且(𝑏，𝑐) = 1，那么𝑏𝑐/𝑎
（4）如果𝑐/𝑏，𝑏/𝑎，那么𝑐/𝑎
3、约数与倍数：
（1）整数a和b公有的约数，叫做 a和b的公约数.
公约数中最大的一个叫做最大公约数，用(a，b)来表示.
注：公约数只有1 的两个整数，叫做互质整数
（2）整数a和b公有的倍数，叫做 a和b的公倍数.
公倍数中最小的一个叫做最小公倍数，用[a，b]来表示.
（3）ab= (a，b)×[a，b].
36例题精讲
49
例 1、若正整数a，b，c满足𝑎 +2𝑏𝑐 = ，则a+b+c的最大值是_____
𝑎
（希望杯2014年初一第 2试）
𝑎2−𝑏2
例 2、已知正整数a，b的最大公约数是 3，最小公倍数是 60，若a>b，则 = _____
2𝑎𝑏
（希望杯2012年初一第 1试）
例 3、若三位数𝑎̅̅𝑏̅̅𝑐̅能被5整除，但不能被 6、7整除；三位数𝑐̅̅𝑏̅̅𝑎̅能被6整除，但不能被 5、7
整除；三位数𝑐̅̅𝑎̅̅𝑏̅能被7整除，但不能被 5、6整除，则𝑎̅̅𝑏̅̅𝑐̅ = ______
（希望杯2014年初一第 1试）
例 4、求证：若整数a不能被 2和3整除，则𝑎2 +23必能被 24整除.
（希望杯2015年初一第 2试）
37
