文档内容
四年级
1目录
1. 计算专题
1-1 简算巧算……………………………………………………………………………3
1-2 等差数列……………………………………………………………………………6
1-3 数谜…………………………………………………………………………………9
2. 应用题专题
2-1 时间相关问题………………………………………………………………………11
2-2 行程问题初步………………………………………………………………………14
2-3 典型应用题综合……………………………………………………………………18
3. 几何专题
3-1 简单图形……………………………………………………………………………21
3-2 几何计算……………………………………………………………………………23
3-3 立体图形初步………………………………………………………………………26
4. 计数与数论专题
4-1 加乘原理……………………………………………………………………………28
4-2 简单数论……………………………………………………………………………31
4-3 整除与余数…………………………………………………………………………33
5. 方法专题
5-1 找规律………………………………………………………………………………35
5-2 数学方法……………………………………………………………………………37
5-3 逻辑与操作…………………………………………………………………………40
21-1 简算巧算
四则运算的运算律
（1）交换律：
加法交换律用字母表示可以写成_________________________________.
乘法交换律用字母表示可以写成_________________________________.
（2）结合律：
加法结合律用字母表示可以写成_________________________________.
乘法结合律用字母表示可以写成_________________________________.
（3）分配律：
填空完成乘法分配律：
3
( a + b ) c = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
( a − b ) c = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
填空完成除法分配律：(a+b)c=______________________
( a − b ) c = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
（4）括号：
按照去括号规律完成这些去括号练习：
3 5 + ( 2 5 − 3 7 ) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3 5 − ( 2 5 − 3 7 ) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
25(45)=______________________ 125(54)=______________________
（5）带符号搬家：
同级运算时，可以带符号搬家。加、减法为第一级运算，乘、除法为第二级运算。
按照带符号搬家的原则改写下面的算式：
5 4 3 9 2 7 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 5 8 + 6 9 − 2 8 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
（6）平方差公式
a2 −b2 =______________________ (x+ y)(x−y)=______________________例 1
19+199+1999+19999+199999=_______. （2008希望杯四年级二试）
例 2
计算:4×37×25=________ . （2013希望杯四年级一试）
例 3
计算：2468×629÷(1234×37)＝ . (2015希望杯四年级一试)
4例 4
(7777+8888)÷5-(888-777)×3 =______ . （2011希望杯四年级一试）
例 5
计算:28×7×25＋12×7×25＋7×11×3＋44＝____. （2012华杯赛决赛小中组）
例 6
计算[(55×45 – 37×43) – (3×221+1)]÷22=_____. (2015希望杯四年级二试)
51-2 等差数列
1.字母表示数
（1）用字母表示数能够简明表示出事物的规律和特征，如：
正方形的边长为a，周长可表示为___________，面积可表示为____________.
（2）同一个问题中，不同的数要用不同的字母表示，如：
长方形的长为 m，宽为 n，长方形的周长可表示为___________，面积可表示为
___________.
含有字母的乘法中， 乘号“×”写作“·”，或省略不写， 一般要把数值写在字母的前
面。
用正确的写法改写下面的算式：
a×b×c = ________________=_________________
p×q = ________________=_________________
m×12×n = ________________=_________________
a×3×5= ________________=_________________
2. 定义新运算
定义新运算是一种特别设计的计算形式，它使用一些特殊的符号，并给这些符号一个新的
运算含义。
使用特殊符号是为了避免和熟悉的运算符号产生混淆。
例 1
定义ab=a+b+ab，则
6
( 2 3 ) 4 的值为________. （2015希望杯四年级一试）3. 简单方程
方程是含有未知数的等式。等式又分为恒等式和非恒等式。可用任意数值代替式子中的字
母，等式永远成立的等式是恒等式。
按照方程的概念填空：
a+b=b+a，2x－1=7，m×n=n×m，m＋5=m－5，6÷p =1，3×a+3
其中，属于方程的有：_______________________________________________________.
解方程的关键是等号两边要同时做相同的计算，等号左边＋3，右边也要同时＋3，左边×
5，右边也要×5.
尝试解下列方程：
x+5=8 x-5=8 x÷5=8 5x=80
(x+5)÷8=8 5x+8=33 x÷7 – 2=3 (x – 3)×6=36
例 2
如果 8×(2＋1÷x)＝18，则x＝_______. （2017希望杯四年级一试）
4. 等差数列
（1）等差数列的概念：
一列数，如果从第二项开始， 后一项与前一项的差是同一个常数，我们就称这个数列为
等差数列。这个常数被称之为公差。这个数列的第一个数也就是第一项被称之为首项，最后一
个数被称之为末项。
7判断下面这些数列是否为等差数列：
1,2,3,4,5，……，99,100,101 （ ）
1,3,5,7，……，97,99,101 （ ）
1,4,8,13,19,26,34,43,53,64,76， （ ）
（2）等差数列求和公式：
等差数列的和 =（首项+末项）×项数÷2 ①
等差数列的和 = 项数×首项 + 项数×（项数－1）×公差÷2 ②
用这个等差数列尝试自己推导等差数列求和公式①：
1+3+5+7+9+…+99+101+103=
例 3
计算:1 – 3+5 – 7+ – 11+13 –…– 39+41=__________. (2009希望杯四年级二试)
81-3 数谜
1. 数字谜
数字谜解题方法归纳：
（1）末位分析法；
（2）进位分析法；
（3）借位分析法；
（4）余数分析和位数分析；
（5）综合分析法.
例 1
如图所示，5 个相同的两位数 AB 相加得两位数MB，其中相同的字母表示相同的数字，不同
的字母表示不同的数字，则 AB = _______.
（2012希望杯1试）
例 2
“熊大”ד熊二”=“熊兄弟”. 若相同的汉字代表0至 9中的相同数字，不同的汉字代表不同的数
字，且“大”＞“二”，则所有满足条件的“熊兄弟”代表的三位数之和是________.
（2013华杯赛小中组B 卷）
92. 数阵图
（1）数阵图分类：辐射型，封闭型，复合型
（2）数阵图问题本质：在数阵中填入可保证特定线上（特定区域内）的数的之间的关系。
（3）解题关键：
区分普通位和关键位
→确定特定线（区域）计算线和及数和
→判断关键位可填入的数
→运用已有信息进行尝试
例 3
将 1到16这16个自然数排成如图的形状，使每条斜线上的 4 个数的和相等，则 a-b-c+d+e+f-
g=______________.
（2013希望杯1试）
例 4
将六个数 1，3，5，7，9，11分别填入下图中的圆圈内（每个圆圈内仅填一个数），使每边
上三个数的和都等于 19，则三角形三个顶点处的圆圈内所填三数之和为________.
（2012华杯赛小中组B 卷）
102-1 时间相关问题
1. 日历问题
（1）能被4整除同时不能被 100整除或者能被 400整除的年份为闰年。四年一闰，百年不
闰，四百年再闰。闰年有 366 天，非闰年有365天。
（2）1、3、5、7、8、10、12月有31 天，4、6、9、11有30天，闰年 2月29天，非闰年
2月 28天。
（3）一周7天，7天为一个周期。
很多时候日历问题都可以用周期问题或余数问题来思考。
例 1
如果今天是星期五，那么从今天算起，57 天后的第一天是星期________.
（2012希望杯1试）
2. 时间问题
钟面上的时针、分针所在的某一特定位置时的那一瞬间是时刻（ 时刻是从钟面看出来的）；
从一个时刻到另一个时刻之间经过的间隔是时间（时间是计算出来的），终止时刻-起始时刻=
经过的时间。
时间单位：时、分、秒（年、月、日等）。
计时法有两种：12时计时法和 24时计时法。
1天=24小时，1小时=60 分钟=3600秒，1分钟=60秒 。
11例 2
如图所示的电子钟可显示从 00:00:00 到 23:59:59 的时间，在一昼夜内(24小时)钟表上显示
的时间恰好由数字 1，2，3，4，5，6 组成的共有_______秒.
（2012希望杯1试）
例 3
12:00 的时候时针和分针的夹角是 0°，此后时针和分针第 6 次成90°夹角的时刻是_____ :
______.（12小时制）
（2013希望杯1试）
123. 年龄问题
年龄问题通常以和倍、差倍或者和差等问题的形式出现。有些年龄问题往往是和、差、倍
数等问题的综合，需要灵活的加以解决。
解答年龄问题，要灵活运用以下三条规律：
（1）无论是哪一年，两人的年龄差总是不变的；
（2）随着时间的向前或向后推移，几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量。（你长我
也长）
（3）随着时间的变化，两人的年龄之间的倍数关系也会发生变化。（倍数随年龄的增加而
变小）
例 4
今年，李林和他爸爸的年龄的和是 50 岁，4 年后，他爸爸的年龄比他的年龄的 3 倍小2
岁，则李林的爸爸比他大_______岁.
（2011希望杯1试）
例 5
今年丹丹 4岁，丹丹的爸爸 28岁，a年后，爸爸年龄是丹丹年龄的 3倍，则 a的值是______ .
（2016希望杯2试）
132-2 行程问题初步
行程问题的常用公式
（1）基本公式：速度×时间=路程
（2）相遇问题 ：速度和×相遇时间=相遇路程
（3） 追及问题 ：速度差×追及时间=相差路程
（4）火车过桥 ：桥长＋车长=路程 速度×过桥时间=路程
（5） 流水行船 ：顺水船速=船速＋水速=逆水船速＋水速×2
例 1
小东和小荣同时从甲地出发到乙地. 小东每分钟行 50米，小荣每分钟行60 米. 小荣到达乙地
后立即返回. 若两人从出发到相遇用了 10分钟，则甲、乙两地相距______米.
（2014希望杯1试）
14例 2
甲、乙两个机器人分别从A、B两点同时、同向出发，甲到达 B点时，乙走了 288米，甲追
上乙时，乙走了 336米，则 A、B两点间的距离是 米．
（2016希望杯1试）
例 3
一个车队以 4米/秒的速度缓慢通过一座长 298米的大桥，共用115秒，已知每辆车长 6米，
相临两车间隔 20米，则这个车队一共有___________辆车.
（2012华杯赛小中组A卷）
15例 4
一条河上有A，B 两个码头，A在上游，B 在下游.甲、乙两人分别从 A，B 同时出发，划船相
向而行，4 小时后相遇.如果甲、乙两人分别从 A，B 同时出发，划船同向而行，乙 16 小时后
追上甲.已知甲在静水中划船的速度为每小时 6 千米，则乙在静水中划船每小时行驶________
千米.
（2015 华杯赛小中组）
例 5
有一座高楼，小红每登上一层需 1.5分钟，每走下一层需半分钟，她从上午 8:45 开始不停地
从底层往上走，到了最高层后立即往下走，中途也不停留，上午9:17 第一次返回底层，则这
座楼共有_________层.
（2008希望杯2试）
16例 6
如图，一个边长为50 米的正方形围墙，甲、乙两人分别从 A，C 沿围墙按顺时针方向同时出
发，已知甲每秒走5米，乙每秒走 3米，至少经过_________秒甲、乙在同一条边上．
（2010希望杯2试）
例 7
甲、乙两人在一条长 120 米的直路上来回跑， 甲的速度是 5 米/秒， 乙的速度是 3 米/秒.
若他们同时从同一端出发跑了 15 分钟， 则他们在这段时间内共迎面相遇________次（端点
除外）.
（2016华杯赛小中组A卷）
172-3 典型应用题综合
1. 基本应用题
一般复合应用题往往是有两组或两组以上的数量关系交织在一起，有的已知条件是间接的，
数量关系比较复杂，叙述的方式和顺序也比较多样。因此，一般应用题没有明显的结构特征和
解题规律可循。
解答一般应用题时，可以借助线段图、示意图、直观演示手段帮助分析。在分析应用题的
数量关系时，我们可以从条件出发，逐步推出所求问题（综合法）；也可以从问题出发，找出
必须的两个条件（分析法）。在实际解时，可以根据题中的已知条件，灵活运用这两种方法。
例 1
甲、乙、丙 3人一起购买学习用品．已知甲和乙共支付了 67元，乙和丙共支付了 64元，甲
和丙共支付了 63元，那么，甲支付了 元．
（2016希望杯四年级1试）
2. 和差倍应用题
和差问题 和倍问题 差倍问题
已知条件 几个数的和与差 几个数的和与倍数 几个数的差与倍数
(和－差)÷2=较小数
公式 和÷(倍数＋1)=较小数 差÷(倍数-1)=较小数
(和＋差)÷2=较大数
18例 2
甲、乙两个油桶中共有 100 千克油，将乙桶中的 15 千克油注入甲桶，此时甲桶中的油是乙
桶中的油的 4 倍. 那么，原来甲桶中的油比乙桶中的油多_____千克．
（2014希望杯四年级1试）
3. 盈亏问题
一定数量的物品分给一定数量的人，每人多一些，物品就不够；每人少一些，物品就有余。
盈亏问题就是在已知的情况下确定物品总数和参加分配的人数。解答盈亏问题的关键是弄清盈、
亏与两次分得的关系。
盈亏问题的数量关系是：
（1）（盈+亏）÷两次分配差=份数
（大盈—小盈）÷两次分配差=份数
（大亏—小亏）÷两次分配差=份数
（2）每次分的数量×份数+盈=总数量
每次分的数量×份数—亏=总数量
例 3
某地希望杯组委会给当地参加希望杯考试的考生安排考场，每个考场 30名考生，则会余下 26
名考生独用一个考场；每个考场 26名考生，则会余下 20名考生独用一个考场，并且要比前
一种方案多用 9个考场。则该地区参加考试的考生有 名。
（2015希望杯四年级1试）
194. 鸡兔同笼问题
解鸡兔同笼问题的基本关系式是：
（1） 如果假设全是兔，则有：
鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）
兔数=鸡兔总数-鸡数
（2） 如果假设全是鸡，那么就有：
兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）
鸡数=鸡兔总数-兔数
例 4
鸡兔同笼，共有40个头，兔脚的数目比鸡脚的数目的 10倍少8只，那么兔有________只.
（2013华杯赛小中组B 卷）
5. 牛吃草问题
基本公式:
（1） 设定一头牛一天吃草量为“1” ；
（2）草的生长速度＝草量差÷时间差；
（3）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；
（4）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
（5）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
例 5
一个大型的污水池存有一定量的污水，并有污水不断流入，若安排 4台污水处理设备，36天
可将池中的污水处理完；若安排 5台污水处理设备，27天可将池中的污水处理完；若安排 7
台污水处理设备， 天可将池中的污水处理完。
（2016希望杯四年级1试）
203-1 简单图形
常见问题
（1） 图形分割
（2）线段问题
（3）图形计数
（4）轴对称问题
例 1
长方形 MNPQ 中，MN= 3，MQ= 4，过它的中心 O(对角线 MP 和 NQ 的交点)画一条直线，
长方形 MNPQ 被分成两个相同的图形，它们的形状分别是________.
（2012希望杯四年级1试）
例 2
A，B，C，D 四个点从左向右依次排在一条直线上，以这四个点为端点，可以组成 6条线段.
已知这 6 条线段的长度分别是 12，18，30，32， 44，62(单位：厘米)，那么线段 BC 的长度
是___________厘米.
（2013希望杯四年级1试）
21例 3
下图由 20个方格组成，其中含有 A的正方形有______个.
（2017希望杯四年级1试）
例 4
如图，在 5×5 的方格纸的 20 个格点处各钉有 1 枚钉子，以这些钉子中的某四个为顶点用橡皮
筋围成正方形，一共可以围成__________个正方形. （2013希望杯四年级 1试）
例 5
如图是 4×4 的方格图，有 3 个小正方形有阴影，若再将一个小正方形涂阴影，使方格图成为
轴对称图形，则不同的涂法有_______种.
（2014希望杯四年级1试）
223-2 几何计算
1. 角度问题
（1）角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角。
（2）特殊三角形的分类：等腰三角形、等边三角形那、直角三角形。
（3）直角等于90°，平角等于180°，周角等于 360°，三角形的内角和为 180°，四边
形的内角和为 360°。
例 1
如图，已知直线 AB 和 CD 交于点 O，若∠AOC = 20°，∠EOD =60°，则∠AOE
=_________°，∠BOC =__________°.
（2011希望杯四年级1试）
2.巧求长方形周长
（1）基本公式：
①长方形的周长=2×(长+宽)，面积=长×宽．
②正方形的周长=4×边长，正方形的面积=边长×边长．
（2）对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的周长和面积，对于一些
不规则的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法割补成基本图形，利用
长方形、正方形周长及面积计算的公式求解．
23例 2
把一个边长是 5cm 的正方形纸片沿虚线分成 5 个长方形，然后按照箭头标记的方向和长度移
动其中的 4个长方形，则所得图形的周长是_________ cm. （2017希望杯四年级1试）
3. 面积、周长转化问题
常用转化方法：
（1）平移；（2）割补；（3）对称；（4）代换。
例 3
一个长方形的长和宽都增加 3厘米后，面积增加了 90平方厘米，则原长方形的周长是
厘米。
（2015希望杯四年级1试）
244. 格点面积问题
利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过
计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。当然还可以
将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。
例 4
下图由 5×4个边长为1的小正方形组成，其中阴影部分的面积是 ．
（2016希望杯四年级1试）
5. 正方形面积问题
正方形的面积=边长×边长=对角线×对角线÷2
例 5
如图，阴影小正方形的边长是 2，最外面的大正方形的边长是 6，则 正方形 ABCD 的面积是
________ . （2014希望杯四年级1试）
253-3 立体图形初步
1. 正方体展开图
正方体的平面展开图中相对的两个面的特点是： 相对的两个面中间一定隔着一个小正方
形，且没有公共的顶点，且相距最近。
通过正方体展开图形找相对面，首先在同层中隔一面寻找，再在不同层中隔两面寻找，
剩下的两面是相对的面。
2. 立方体
正方体的特征 ：
正方体有6个面，8个顶点，12条棱。
正方体6个面是大小相同的正方形，12条棱长度相等。
正方体是特殊的长方体。
例 1
如图，将数字4，5，6填入正方体的展开图中，使正方体相对的两个面上数字的和都相等，
则 A处应该填______，B处应该填______ ，C 处应该填_______.
（2013希望杯四年级1试）
26例 2
将棱长为 1米的正方体木块分割成棱长为 1厘米的小正方体积木，设想孙悟空施展神力将所
有的小积木一个接一个地叠放起来，成为一根长方体“神棒”，直指蓝天.已知珠穆朗玛峰的海
拔高度为 8844米，则“神棒”的高度超过珠穆朗玛峰的海拔高度_________米.
（2012华杯赛小中组）
例 3
如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点 A出发，沿正方体的棱爬到顶点 B，要求行走的路线最
短，那么蚂蚁有_________种不同的走法.
（2012华杯赛小中组 A卷）
274-1 加乘原理
1. 加法原理
一般地，如果完成一件事有 k 类方法，第一类方法中有 m 种不同的做法，第二类方法中
1
有 m 种不同的做法，……，第 k 类方法中有m 种不同的做法，则完成这件事共有 m + m +…
2 k 1 2
+m 种不同的方法。
k
加法原理解题三部曲
1. 完成一件事分类情况
2. 类类独立（每类都能单独完成该件事）
3. 类类相加
例 1
阳光小学四年级有 3个班，各班分别有男生 18人、20人、16人. 从中任意选一人当升旗手，
有多少种选法？
2. 乘法原理
一般地，如果完成一件事可以分成 n 个必要步骤，第一步有 m 种不同的做法，第二步有
1
m 种不同的做法，……，第 n步有m 种不同的做法，则完成这件事共有 m ×m ×…×m 种不同
2 n 1 2 n
的方法。
乘法原理解题三部曲
1. 完成一件事分n个必要步骤
2. 步步相关（每步都不能单独完成该件事）
3. 步步相乘
28例 2
按照下表给出的词造句，每句必须包括一个人，一个交通工具，以及一个目的地，请问可以
造出多少个不同的句子？
爸爸 飞机 北京
妈妈 乘 火车 去 拉萨
我 汽车 台北
例 3
希希去花店买花来装饰客厅，花店里有 5盆黄色的花，7盆红色的花，以及 6盆粉色的花，希
希想从中选择2盆不同颜色的话，那么她有多少种不同的选法？
29例 4
用 0 – 6这七个数字可组成多少个无重复数字的四位偶数？
例 5
甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本，求满足下列条件
的拿法各有多少种：
（1）甲拿到自己的作业本；
（2）恰有一人拿到自己的作业本；
（3）至少有一人没拿到自己的作业本；
（4）谁也没有拿到自己的作业本.
304-2 简单数论
什么是数论
数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质，简单说其实就是“有关数的理论”。 小
学阶段的课本里可能并没有把数论这个概念提出来，但是相关的知识却无处不在。尤其是四年
级，同学们还没有系统学习小数和分数之前，主要学习的就是整数的性质。对于整数的一些基
本性质，同学们要熟练掌握并灵活运用。如奇数、偶数、连续数、平均数，反序数，位值原理
等等。
例 1
10 个连续的自然数从小到大排列，若最后 6 个数的和比前 4个数的和的2倍大 15，则这10个
数中最小的数是____。
（2017四年级希望杯 1试——第12题）
例 2
有 15个数，它们的平均数是 17，加入1个数后，平均数变成 20，则加入的数是____。
（2017四年级希望杯2试——第2题）
31例 3
三位数
32
a b c
与
c b a
是一个三位反序数对（如 123与321，778与877）。如果三位反序数对中两
个数的和是 1069，这样的反序数对一共有______对。
（2015四年级希望杯 1试——第18题）
例 4
某个两位数的个位数字和十位数字的和是 12, 个位数字和十位数字交换后所得两位数比原数
小 36, 则原数是___________ . （2011四年级希望杯1 试——第15题）
例 5
如果 a表示一个三位数, b表示一个两位数, 那么a+b 最小是_______, a+b最大是______, a – b
最小是_____, a – b 最大是______ . （2012四年级希望杯1 试——第3题）4-3 整除与余数
知识精讲
33
a b = c ......d 在这个除法算式中，整数a除以非零整数 b，商为整数c，余数为d。余数d
= 0 时，我们称a能被b整除，或 b整除a，记为b|a，“|”是整除符号，同学们不妨先记起来。
在整除的情况下，称 a为b 的倍数，b为a的约数（或因数）。
能被整除的数的特征：
（1）被2整除的数：所有偶数都可以被 2整除，即末 位是0,2,4,6,8.
（2）被3整除的数：一个整数的数字和能被 3 整除，这个整数可以被 3整除。
（3）被4整除的数：末两位可以被 4整除的整数即可被 4整除。
（4）被5整除的数：末位是 0或5的整数可以被 5整除。
（5）被8整除的数：末三位可以被 8整除的整数可以被 8整除。
（6）被9整除的数：数字和能被 9整除的整数可以被 9整除。
（7）被7,11,13整除的数：因为 7×11×13=1001，所以用三位截断法可判断一个数是否
可以被这三个数整除。
在不能整除的除法中，就会产生余数。
同余定理：给定一个正整数 m，如果两个整数 a 和 b 满足 a－b 能够被 m 整除，那么就称
a和 b对模m同余，标记方式为 a b （mod m）。
例 1
有一个除法算式，被除数和除数的和是 136，商是 7，则除数是 .
（2015四年级希望杯 1试——第2题）例 2
为使下面算式中五个数的乘积的末尾有六个 0,□里的数最小是_________.
8×10×15×25×□
（2007四年级希望杯 2试——第3题）
例 3
有一筐桃子, 4个4个地数, 多2个; 6个6个地数, 多4个; 8个8个地数, 少 2个. 已知这筐
桃子的个数不少于 120, 也不多于 150, 则这筐桃子共有_______个.
（2012四年级希望杯 1试——第14题）
例 4
在 1到100这100个数中，被2，3，5除都有非零的余数，且余数彼此不等的数有
个。
（2016四年级希望杯 1试——第15题）
345-1 找规律
知识精讲
找规律是小学数学和中学数学教学的基本技能，是为了让学生发现、经历、探究图形或
数字简单的排列规律，通过比较从而理解并掌握找规律的方法，培养学生初步的观察、操
作、推理能力。
这类题型给出几个具体的、特殊的数式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出
一般性的结论.
解题的思路是特殊向一般的简化，具体方法和步骤是：
（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；
（2）猜想符合规律的一般性结论；
（3）验证或证明结论是否正确。
例 1
算式1×1+11×11+111×111+···+111…111（2010个1）×111…111（2010个1）的结果的末三位数
字是________.
（2010四年级希望杯2试——第10题）
35例 2
按照图 1 中前 4 个图中数的规律,在第 5 个图中填上适当的数. A=___, B=___, C=___,
D=___, E=___, F=___. （2011四年级希望杯1试——第7题）
例 3
用 An表示乘积
36
7 7 7
个 n
7
7 的结果的个位数字,如: A =7, A =9, A =3, …, 则
1 2 3
A +A +A +…+A =___________. （2013 四年级希望杯1试——第 21题）
1 2 3 2013
例 4
如图, 当n=1时, 有2个小星星; 当n=2时, 有6个小星星; 当n=3时, 有12 个小星星; 当
n=4 时, 有20个小星星······ 则当n=10时, 有__________个小星星.
（2013四年级希望杯 2试——第3题）5-2 数学方法
1. 最不利原则
有一类题目，会出现一些变化的量，需要我们求最值。这类题目属于非常规问题，没有统
一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法。就具体的题目而言，大致可以从以下几个方
面思考：
（1）寻找极端情形；
（2）分析推理——确定最值；
（3）枚举比较——确定最值；
（4）估计并构造模型。
用这些分析方法时往往需要从最差的情况出发来分析问题，这就是最不利原则。
例 1
布袋中有 60个彩球, 每种颜色的球都有 6个. 蒙眼取球, 要保证取出的球中有三个同色的球,
至少要取出________个球.
（2013华杯赛小中组B 卷）
例 2
在 1 到 200 这 200 个自然数中任意选数,至少要选出多少个才能确保其中必有 2 个数的乘积等
于 238？
（2016华杯赛小中组 A卷）
372. 抽屉原理
抽屉原则，又称为鸽巢原理，最早由德国数学家狄利克雷提出，并在有关数论问题中得到
成功应用。 最简单的抽屉原则是这样：有 3 个物品放到两个抽屉里时，肯定有一个抽屉里的
物品至少是 2 个。因为 3 个物品的分配只能是这两种情形：0 和 3, 1 和 2. 也就是说当一个抽
屉里有一个物品的时候，另一个抽屉里有两个物品；当一个抽屉里没有物品的时候，另一个抽
屉里有三个物品。抽屉原则的另一个应用是这样：有 1个物品放到两个抽屉里的时候，肯定有
一个抽屉里没有物品。
拓展到一般的情形，将 n+1个物品放进n个抽屉里时，必定有一个抽屉里有两个以上的物
品。将 n个物品放进n+1个抽屉里，必定至少有一个抽屉里没有物品。
利用抽屉原则的关键在于构造抽屉，从而把讨论的范围缩小，是问题变得简单明确。而运
用抽屉原则解题的难点也在于抽屉的构造。要从问题出发分析，弄清要进行分类的元素特征及
规律，得到抽屉构造思路。
利用抽屉原则解题的一般步骤是：
（1）分析特征规律，构造抽屉；
（2）把元素放入所构造的抽屉中；
（3）运用抽屉原则，对问题进行分析讨论。
例 3
将 11 个球分别放在三个盒子里,使盒子里球的个数彼此不同,那么,放球最多的盒子里最多可放
______个球,至少要放________个球.
（2012四年级希望杯 2试——第9题）
383. 容斥原理
在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出
一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所
有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果即无
遗漏又无重复。这种计数的方法称为容斥原理。
在容斥问题中经常会用到韦恩图来快速解决问题。
例 4
在1~500 中不能被2 整除，也不能被3 整除，又不能被5整除的数有多少个?
（2018四年级希望杯培训题）
395-3 逻辑与操作
1. 逻辑问题
逻辑规律包括同一律、矛盾律、排中律和充足理由律四种。
（1）同一律即在同一思维过程中，每个思想必须保持其同一性。如：数
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a 是质数，那么在
整个推理过程中， a 都自始至终是质数，保持同一性。
（2）矛盾律是指在同一思维过程中，对同一思想不能自相矛盾。不能既真又假，即是又
非。如：在推理过程中若推出数a既是奇数又不是奇数就自相矛盾了。
（3）排中律指在同一思维过程中，两个相互矛盾的思想，一个是真，另一个必假，不能同
时都真（或假）。如：自然数 a ，它不可能既不是奇数，又不是偶数。假若做出了这样的判断，
就违反了排中律。
（4）充足理由律是指在论证过程中，判断某个事实为真时，必须有充足的理由。如：由条
件“自然数a不是合数”出发就做出了“ a 一定是质数”这一结论，就违反了充足理由律。因
为其间忽略了“ a 还可能是 1”的这种情况。
例 1
甲、乙、丙、丁、戊 5 人猜测全班个人学科总成绩的前 5 名:
甲:“第 1 名是 D,第 5 名是 E. ”
乙:“第 2 名是 A,第 4 名是 C. ”
丙:“第 3 名是 D,第 4 名是 A. ”
丁:“第 1 名是 C,第 3 名是 B. ”
戊:“第 2 名是 C,第 4 名是 B. ”
若每个人都是只猜对 1 个人的名次,且每个名次只有 1 个人猜对,则第 1,2,3,4,5 名分别
是________.（2011四年级一试）
（2011四年级希望杯 1试——第20题）2. 操作问题
所谓操作问题，实际上是对某个事物按一定要求进行的一种变换，这种变换可以具体执行。
操作问题往往是求连续进行这种操作后可能得到的结果。常见的操作问题有以下几类：
（1）与数字相关的操作问题；
（2）染色相关的操作问题；
（3）计数方面的操作问题。
例 2
A, B, C, D, 4 个盒子中依次放有 8, 6, 3, 1个球. 第 1个小朋友找到放球最少的盒子, 然后从其
他盒子中各取一个球放入这个盒子; 第2个小朋友也找到放球最少的盒子, 然后也从其他盒子
中各取一个球放入这个盒子, ……当第50位小朋友放完后, A盒中球的个数是______.
（2012四年级希望杯 1试——第16题）
例 3
黑板上写着一个九位数 222222222, 对它做如下操作:擦掉末位数后又乘4, 再加上刚擦去的数
字, 然后在黑板上写下得到的数; ……如此操作下去, 直到在黑板上写下的是一个一位数, 那
么, 它是__________.
（2014四年级希望杯 1试——第20题）
41例 4
3堆桃子的个数分别是 93，70，63，一只猴子在3 堆桃子间搬运，已知猴子每次最多可搬 5
个桃子，并且在从一堆搬到另一堆的途中会吃掉 1 个，当3堆桃子个数相等时，猴子至少吃
掉了 个桃子．
（2016四年级希望杯 1试——第14题）
例 5
亚瑟王在王宫中召见 6 名骑士, 这些骑士中每个骑士恰好有 2 名朋友. 他们围着一张圆
桌坐下（骑士姓名与座位如图）, 结果发现这种坐法, 任意相邻的两名骑士恰好都是朋友. 亚瑟
王想重新安排座位, 那么亚瑟王有________种不同方法安排座位, 使得每一个骑士都不与他的
朋友相邻 (旋转以后相同的, 算同一种方法).
（2017华杯赛小中组）
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