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希望数学少年俱乐部精品课
学生用书
六年级
六年级
1目录
1. 计算专题
1-1 分数的计算………………………………………………………………………………3
1-2 数字谜和数阵……………………………………………………………………………7
1-3 计算综合…………………………………………………………………………………9
2. 应用题专题
2-1 比例和分数应用题………………………………………………………………………12
2-2 行程问题…………………………………………………………………………………15
2-3 列方程解应用题…………………………………………………………………………18
3. 几何专题
3-1 立体图形…………………………………………………………………………………20
3-2 图形中的比例……………………………………………………………………………23
3-3 方法和技巧………………………………………………………………………………26
3-4 其他几何问题……………………………………………………………………………29
4. 方法和原理专题
4-1 数学原理…………………………………………………………………………………32
4-2 排列组合…………………………………………………………………………………34
4-3 计数问题…………………………………………………………………………………36
5. 综合专题
5-1 探索规律…………………………………………………………………………………38
5-2 数论………………………………………………………………………………………41
5-3 最值、策略、推理………………………………………………………………………45
21-1 分数的计算
1. 基本概念和性质
（1）分数的分子相当于除法中的 ，分数的分数线相当于除法中的 ，分数的分母
相当于除法中的 ，分数的分数值相当于除法中的 .
（2）分数的基本性质：
.
（3）两个数A和B（A>B），A是B 的 ，B 是 A的 （填几分之几），A比B
多 （填几分之几），B 比A少 （填分数，表示几分之几）.
例 1
若一个分数的分子减少 20%，并且分母增加 28%，则新分数比原来分数减少了 %.
（2015 希望杯1试）
2.分数巧算方法
（1）乘法分配律：____________________
（2）简算巧算的常用思想： 等.
（3）同级运算中，括号前面是加号（乘号），添（去）括号 ；括号前面是减号（除
号），添（去）括号 .
（4）同级运算中，可以带符号搬家， .
（5）含有带分数的加减运算，通常把带分数 的形式；含有带分数的乘除运算，
通常 .
（6）繁分数的计算，要把繁分数中的分数线转化成 去做，先算 ，再
算 ，层层化简.
3例 2
计算：
4
1 2 1
1
2
3
5
+ 1 2
2
2
1
5
= ． （2016 希望杯1试）
（1）裂差型运算：
n ( n
1
+ 1 )
=
a
1
b
=
（2）裂和型运算：
a
a
+
b
b
=
a2 +b2
=
ab
例 3
计算：
1
1
+ 2
+
1 +
1
2 + 3
+ +
1 + 2 + 3 +
1
4 + + 1 0
3. 裂项相消
，得 .
（2015 希望杯2试）
4.比较和估算
分数的大小比较常用方法：
（1）通分母：____________________；通分子：____________________.
（2）比倒数：____________________.
（3）与1相减比较法：________________________________________________.
（4）放缩法：_______________________________________________________________．例 4
1
若a a+1，则整数 a= .
1 1 1 1 1
+ + + +
2011 2012 2013 2014 2015
（2015 希望杯1试）
5. 循环小数和分数
（1）一个最简分数化为小数有三种情况：
如果____________________________，那么这个分数一定能化成有限小数；
如果___________________________________，那么这个分数一定能化成纯循环小数；
如果_________________________________________________，那么这个分数一定能化成
混循环小数.
（2）无限循环小数化分数的方法 : 一般是用_______的方法，把无限循环小数
___________________________________，使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的
______________完全相同，然后这两个数______________.
（3）纯循环小数化分数：______________除以_____________________.
混循环小数化分数：____________________________减去_____________________的差，再除
以_______________________________________________________________.
例 5
4 3 2 • •
计算: 9 +9.75 +0.142857975% （2017 希望杯2试）
7 4 7
56. 数列的计算
（1）等差数列
末项公式：___________________________________
项数公式：___________________________________
求和公式：___________________________________
（2）等比数列
等比数列求和的方法：______________.
例 6
小明把一本书的页码从 1开始逐页相加，加到最后，得到的数是 4979，后来他发现这本书中缺
了一张（连续两个页码）.那么，这本书原来有 页.
（2015 希望杯2试）
61-2 数字谜和数阵
1. 数字谜
（1）解题的突破口多在于竖式或横式中的特殊之处，例如____________________________.
（2）要根据不同的情况逐步缩小范围，并进行恰当的________.
（3）当题目中涉及多个字母或汉字时，要注意利用________________________这一条件来排
除若干可能性.
（4）注意结合________________来考虑.
（5）有时可运用到数论中的________________等方法.
例 1
在下面的算式中, 字母a, b, c, d 和“□”代表十个数字 0 到9中的一个. 其中a, b, c, d 四个字母
代表不同的数字, 求a, b, c, d 代表的数字之和.
（2014 华杯赛决赛）
例 2
在算式“
7
希 望 杯 就 是 好 8 = 就 是 好 希 望 杯 5 ”中，不同的汉字代表不同的数字，则
“ 希 望 杯 就 是 好 ”所代表的六位偶数是 .
（2016 希望杯2 试）2. 数阵
（1）辐射型数阵图的特点:从一个中心出发，向外作了一些射线.填这类数阵图的关键是
____________________________________，然后通过对各数的分析，进行试验填数求解.
（2）封闭型数阵图的特点：各边之间相互连接，形成封闭图形.填这类数阵图，主要是
_______________，抓住________________，进行分析，用试验的方法确定____________以及
_________________，最后填出数阵图.
（3）有的数阵图既有辐射型数阵图的特点，又有封闭型数阵图的要求，叫做“复合型数
阵图”.我们在思考数阵图问题时，首先要确定______________________，再用试验的方法，找
到________________________.
综上，解数阵图的关键是______________.以_____________为突破口，一般选择______
__________________________为关键数，列出关系式，确定出关键数的具体数值，再对其他
位置上的数进行推断.
例 3
由四个相同的小正方形拼成右图. 能否将连续的24个自然数分别放在图中所示的24个黑点处
（每处放一个, 每个数只使用一次）, 使得图中所有正方形边上所放的数之和都相等? 若能,
请给出一个例子; 若不能, 请说明理由.
（2013华杯赛决赛）
例 4
下图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表 1~5 这五个不同的数字．将各线段两端点的数字相
加得到五个和，共有________种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．
（2017 华杯赛初赛）
81-3 计算综合
1. 定义新运算
（1）定义新运算是指__________________________________，从而解答某些算式的一种运算.
（2）解答定义新运算，关键是____________________________，然后严格按照新定义的计算程
序，将数值代入，转化为________________________________进行计算.
（3）遇到多重符号的时候，要逐步运算，如新定义的算式有括号，要先算________________.
例 1
定义运算“⊕”：
9
a b =
a
1
b
若 (
若 (
若 (
a
a
a
=
b
b
b
)
)
)
例如：3.5⊕2=3.5，1⊕1.2=1.2，7⊕7=1.
则
1 . 1
4
5
7
3
−
1
3
0 .
8
0 . 1
=
（2013 希望杯1试）
例 2
对大于 0的自然数n规定一种“G”运算：
① 当n是奇数时，G(n)=3n+1；
② 当n是偶数时，G(n)等于 n连续被2 除，直到商是奇数.
将 k 次“G”运算记作 Gk，如 G1(5)=3×5＋1=16，G2(5)= G1(16)=16÷2÷2÷2÷2=1，
G3(5)=3×1＋1=4，G4(5)=4÷2÷2=1. 请计算：
（1）G1(2016)的值.
（2）G5(19)的值.
（3）G2017(19)的值.
（2017 希望杯2试）2. 有关分子和分母运算的问题
（1）_____________________________的分数叫最简分数.最简分数的分数的分子与分母
__________________.最简分数又叫既约分数.
（2）当分数的分母分子同时减去一个数之后，分子和分母的差不变，这样的问题可以转化为
_____________来解决.
（3）已知一个分数，以及分子和分母的和，这样的问题可以转化为____________来解决.
（4）当分子和分母中只有一个发生变化时，可以以________为一份量（单位“1”）进行运算.
例 3
已知
10
x
9
， ， 都是最简真分数，并且它们的乘积是 ，则x+ y +z= .
（2015 希望杯1试）
3.取整和取小运算
（1）用[x]表示不大于 x的最大整数，叫做_____；用{x}=x-[x]表示 x 的小数部分，叫做____.
（2）对于任意的x，有：____________________________.
（3）对于任意的x，有：____________________________.
（4）x是大于0的数，n是不为 0的自然数，则在不超过x的自然数中，n的倍数共有____个.
例 4
用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.14]=3，则：
20173 20174 20175 20176 20177 20178
[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]的值为 .
11 11 11 11 11 11
（2017 华杯赛决赛）
1
y
5 1
z
4
1
6例 5
解方程：
11
[ x ] { x } + x = 2 { x } + 9 ，其中 [ x ] 表示 x 的整数部分， { x } 表示 x 的小数部分，如［3.14］＝
3，｛3.14｝＝0.14.
（2016 希望杯2试）2-1 比例和分数应用题
1. 分数应用题
在解分数应用题时，分析题中数量之间的关系，准确找出_____________________是解题
的关键.
基本公式：
（1）对应量=______________________________；
（2） 单位“1”的量=______________________________.
要点：_________________.常以_________作为单位“1”.
例 1
甲挖一条水渠，第一天挖了水渠总长度的
12
1
4
，第二天挖了剩下水渠长度的
5
2 1
，第三天挖了未
挖水渠长度的
1
2
，第四天挖完最后剩下的 100米水渠.则这条水渠长________米.
（2014 希望杯1试）
2. 比例应用题
（1）按比例分配
按照a:b的比例分配x个物品，分别是 个和 个.
（2）差分问题
A、B的数量比为a:b (a>b)，数量差为x个，那么 A的数量为 个，B的数量为
个，所以解题的关键是 ．例 2
两根粗细相同，材料相同的蜡烛，长度比是 21:16，它们同时开始燃烧，18分钟后，长蜡烛与
短蜡烛的长度比是 15:11，则较长的那根蜡烛还能燃烧 分钟.
（2016 希望杯2试）
3. 浓度问题
（1）浓度配比问题中的基本概念
溶液：一种物质_________到另一种物质里，形成的均一、稳定的混合物叫做溶液.
溶质：___________________________叫做溶质.
溶剂：___________________________叫做溶剂.
浓度：指溶液中__________________的比值，通常用_________表示.
（2）浓度配比问题中基本公式
浓度＝_____________________＝_____________________
溶液＝____________＝____________
溶质＝____________
溶剂＝____________
例 3
有三杯重量相等的溶液，它们的浓度依次是 10%，20%，45%，如果依次将三个杯子中溶液重
量的
13
1
2
，
1
4
，
1
5
倒入第四个空杯子中，则第四个杯子中溶液的浓度是_____%．
（2017 希望杯2试）4. 工程问题
工程问题是指用分数来解答有关_________、_________和_________之间相互关系的问题.
工作总量：一般抽象成_________
工作效率：__________________的工作量
三个基本公式：
工作总量=__________________
工作效率=__________________
工作时间=__________________
例 4
某水池有甲、乙两个进水阀. 只打开甲注水， 10小时可将空水池注满；只打开乙，15小时可
将空水池注满.现要求 7 个小时将空水池注满， 可以只打开甲注水若干小时， 接着只打开乙
注水若干小时， 最后同时打开甲乙注水.那么同时打开甲乙的时间是多少小时?
（2016 华杯赛决赛）
142-2 行程问题
1. 钟表问题
（1）时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上 2 人追及或相遇问题，这里的两个“人”分
别是时钟的分针和时针.
（2）钟面的一周分为60格，每格为6°，每个数字间隔有5个格，为30°. 分针每分钟走一
格，为6°. 时针每分钟走
15
1
1
2
格，为0.5°.分针速度是时针速度的 12倍，时针是分针速度的
1
1
2
.
（3）若在初始时刻分针落后时针 a格，则分针追上时针的时间间隔为 a÷(1－
1
1
2
)分.
（4）两针垂直，它们夹角是 90°；两针在一直线上，它们夹角是180°或0°.
例 1
小红在上午将近 11 点时出家门，这时挂钟的时针和分针重合，当天下午将近 5 点时，她回到
家，这时挂钟的时针与分针方向相反(在一条直线上).则小红共出去了______小时.
（2014 希望杯2试）
2. 比例行程
（1）在相同的时间内，甲乙走过的路程之比等于他们的__________.
（2）甲乙走过相同的路程时，所用的时间之比等于他们__________.
（3）当人或车的速度不变时，所走过的路程和所用的时间__________.例 2
清明节， 同学们乘车去烈士陵园扫墓. 如果汽车行驶 1个小时后， 将车速提高五分之一， 就
可以比预定时间提前20分钟赶到；如果该车先按原速行驶72千米， 再将速度提高三分之一，
就可以比预定时间提前 30 分钟赶到. 那么从学校到烈士陵园有多少千米？
（2014 华杯赛决赛）
3. 多次相遇
（1）甲乙两人从两地同时相向而行，往返运动
从出发到第1次相遇，两人合走了 1个全程；之后每次相遇到下一次相遇之间，两人合
走的路程都是_____全程.
从出发到第1次相遇经历的时间是 t；之后每次相遇到下一次相遇之间经历的时间都是
_____.
从出发到第1次相遇甲走了 s 的路程，之后每次相遇到下一次相遇之间，甲走的路程都
是_____.
（2）甲乙两人从同地同时同向出发，往返运动
从出发到第1次相遇，从某次相遇到下一次相遇，两人合走的路程都是____全程.
从出发到第1次相遇，从某次相遇到下一次相遇，经历的时间都是________.
从出发到第1次相遇，从某次相遇到下一次相遇，甲走的路程都是________.
例 3
甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度比是 5:3，两人相遇后继续
行进，甲到达B 地、乙到达 A 地后都立即沿原路返回.若两人第二次相遇的地点距第一次相遇
的地点 50 千米，则 A、B 两地相距_____千米. （2014 希望杯 1 试）
164. 环形跑道
（1）环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则____________相遇一次；如果是同
向而行，则____________相遇一次．
（2）同向而行的等量关系：从一次相遇到下一次相遇两人的____________=跑道长
背向而行的等量关系：从一次相遇到下一次相遇两人的____________=跑道长
例 4
圆形跑道上等距插着 2015 面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到
出发点时，甲跑了 23圈，乙跑了 13圈．不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多
少次？
（2015 华杯赛决赛）
172-3 列方程解应用题
1.应用题的方程解法
列方程解应用题一般分为五步：
（1）审题
理清题目的结构以及____________.
（2）合理设未知数.
设未知数的方法有两种：________________________；________________________.
（3）根据等量关系列出方程
寻找等量关系的常用方法是：根据题中____________找等量关系.
（4）解方程求出未知数的值
（5）验算并答题
例 1
某自行车前轮的周长是
18
1
1
3
米，后轮的周长是 1
1
2
米，则当前轮比后轮多转 25圈时，自行车行
走了 米．
（2016 希望杯1试）
例 2
一个 100升的容器，盛满了纯酒精，倒出一部分后注满水；第二次倒出与第一次等体积的混合
液，再注满水，此时容器内水的体积是纯酒精体积的 3 倍，则第一次倒出酒精混合液 升.
（2015 希望杯1试）2. 设而不求
有些应用题，可以通过________________“设而不求，铺路搭桥”来巧妙求解.
优点如下：
（1）利于________________________________，化难为易；
（2）利于________________________________，化隐为显.
例 3
A，B 两校的男、女生人数的比分别是 8∶7和30∶31，两校合并后，男、女 生人数的比是 27∶
26.则A，B 两校合并前人数的比是______.
（2013 希望杯1试）
3. 不定方程
（1）不定方程（组）是指未知数的个数___________方程的个数的方程（组），其特点是往
往有__________个解，不能唯一确定. 我们往往只求___________，甚至是只求_____________，
加上条件限制后，解就可确定.
（2）__________________________是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常
要转化为__________________________问题加以解决.
（3）一般解法：__________________________________等等.
例 4
有 3只老鼠发现一堆花生米，商量好第二天来平分.第二天，第一只老鼠最早来到，它发现花生
米无法平分，就吃了一粒，余下的恰好可以分成 3份，它拿了自己的一份走了.第二只、第三只
老鼠随后依次来到，遇到同样的问题，也采取了同样的方法，都是吃掉一粒后，把花生米分成
3份，拿走自己的一份.那么，这堆花生米至少有 粒.
（2015 希望杯1试）
193-1 立体图形
1. 表面积和体积
（1）长方体的表面积=___________________________ S =________________
长方体的体积 =________________ V =__________
（2）正方体的表面积=________________ S =_______
正方体的体积=_____________________ V=______
（3）圆柱的表面积=________________________________ S=________________
圆柱的体积=________________ V=_________
（4）圆锥的体积＝________________ V=_________
例 1
某日是台风天气，雨一直均匀地下着.在雨地里放一个如左图所示的长方形容器，此容器装满
雨水需要 1小时. 请问：雨水要下满如右图所示的三个不同的容器，各需要多少小时？
（2017 希望杯2试）
202. 浸没问题
当物体浸入水中时，水面上升（下降）的体积=_______________________ .
即： 容器底面积×水面上升（下降）的高度=_____________×________
例 2
如图，一个底面直径是10厘米的圆柱形容器装满水，先将一个底面直径是8 厘米的圆锥形铁
块放入容器中，铁块全部浸入水中，再将铁块取出，这时水面的高度下 降了3.2 厘米，则圆锥
形铁块高_________厘米.
（2014 希望杯1试）
3. 视图
正方体有11种展开图：
（1）“141 型”
（2）“231 型”
（3）“222”型
（4）“33”型
例 3
由四个完全相同的正方体堆积成如图所示的立体， 则立体的表面上（包括底面）所有黑点的
总数至少是________. （2013华杯赛决赛）
214. 立体图形的分割
（1）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于_________________.反之，把两个
立体图形粘合到一起，减少的表面积等于_________________.
（2）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把______________拼合起来.若把
几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把______________拼合起来.
例 4
如图，将一个棱长为 6 的正方体切割成若干个棱长为整数的相同的小正方体，若这些小正方体
的表面积之和是切割前的大正方体的表面积的 2倍，则切割成的小正方体的棱长是 .
（2015 希望杯1试）
223-2 图形中的比例
1. 长方形面积比例问题
（1）根据“长方形面积＝长×宽”可得
长方形面积一定时，____________________成反比例；
长方形的长一定时，____________________成正比例；
长方形的宽一定时，____________________成正比例.
（2）两个长方形的长的比例是 a:b，宽的比是c:d，则它们的面积的比是__________.
例 1
如图，将 1个大长方形分成了 9个小长方形，其中位于角上的 3个小长方形的面积分别为 9，
15 和12，则第4个角上的小长方形的面积等于 .
（2015 希望杯2试）
2. 三角形面积比例问题
（1）根据“三角形面积＝底×高÷2”可得
三角形面积一定时，____________________成反比例；
三角形的底一定时，____________________成正比例；
三角形的高一定时，____________________成正比例.
（2）两个三角形底边的比例是 a:b，高的比是c:d，则它们的面积的比是_________.
23例 2
如图，三角形 ABC 的面积为 1，DO:OB=1:3，EO:OA=4:5，则三角形DOE的面积为________．
（2015 华杯赛决赛）
3. 几何模型
（1）等积模型
如图，__________________________.
（2）鸟头定理
如图，__________________________.
（3）蝶形定理
如图，____________________________________________________________________.
推广到梯形中，______________________________________.
24
C
A
D
B
A
D
E
B C B
A
E
D
C
D a
A D
S
1
A S 1 S S 2 O S 4
S 4
2 O
S
3
S
3 B C
B C b（4）相似模型
如图，______________________________________________________________.
金字塔模型 沙漏模型
（5）共边定理（燕尾模型和风筝模型）
如图，____________________________________________.
例 3
如图，ABCD 是平行四边形，E 为 CD 的中点，AE 和 BD 的交点为 F，AC 和 BE 的交点为 H，
AC 和BD的交点为 G，四边形 EHGF的面积是 15，则 ABCD的面积是____．
（2017 华杯赛初赛）
25
B
D F
A
G
B
F
E
C
D
O
B
A
E
E
A
F
G
C
D
C3-3 方法和技巧
1. 分割法
求不规则图形的面积，可以通过______的方法，转化为______________________________.
例 1
在如图所示的10×12的网格图中，猴子 KING 的图片是由若干圆弧和线段组成，其中最大的
圆的半径是 4，图中阴影部分的面积是 ．（π取3）
（2016 希望杯1试）
2. 移补法
求组合图形的面积，常常需要_____________或对图形进行________________________，使
它变成可以计算出面积的规则图形.
26例 2
如图，在正六边形 ABCDEF 中，若△ACE 的面积为 18，则三个阴影部分的面积和为_______ .
（2014 希望杯2试）
3. 等量代换
__________________________________________________________________________；
__________________________________________________________________________.
前者是等量公理，后者是减法的差不变性质.这两个性质在解几何题时有很重要的作用，
它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个
图形的面积差.
例 3
如图，AB是圆O的直径，长6厘米，正方形BCDE的一个顶点E在圆周上，∠ABE=45°.那么圆O
中非阴影部分的面积与正方形BCDE中非阴影部分面积的差等于________平方厘米（取
π=3.14）
（2013华杯赛初赛）
D
E
C
A B
O
274. 巧添辅助线
添加辅助线的作用：
（1）把_______的几何元素转化为______________的几何元素；
（2）把_______的图形转化为______的图形，把______的图形转化为______的基本图形.
例 4
过正三角形ABC内一点P，向三边作垂线，垂足依次为D、E、F，连结AP、BP、CP.如果正三
角形ABC的面积是2028平方厘米，三角形PAD和三角形PBE的面积都是192平方厘米，则三角
形PCF的面积为______平方厘米.
（2015华杯赛初赛）
283-4 其他几何问题
1.折叠问题
（1）_______________________________________叫做图形的折叠.
（2）在折叠过程中，____________________________________保持不变.
例 1
如图，将长方形ABCD沿线段DE翻折，得到六边形EBCFGD.若∠GDF=20°，则∠AED=_______.
（2014 希望杯2试）
2.线段的旋转
（1）旋转两要素：________________________
（2）线动成面：________________________________________________
（3）线段绕点旋转：
中心在线段内→________________
中心在线段外→________________
29例 2
如图，直角△ABC 的斜边AB=10，BC=5，∠ABC=60°.以点B 为中心，将△ABC 顺时针旋转
120°，点A、C 分别到达点E、D.则AC 边扫过的面积(即图中阴影部分的面积)是________ . (π
取3)
（2014希望杯2试）
3. 圆的滚动
（1）一个圆滚动前进，它的圆心所经过路径（轨迹）的长度等于_____________________.
（2）__________________________________________，除以_____________________，等于
这个圆自身旋转的圈数.
（3）当圆滚到线段的尽头时它会转向，圆底部的点是静止不动的，转向时圆扫过的面积就是
__________________________________________.
例 3
如图，一个直径为 1厘米的圆绕边长为 2 厘米的正方形滚动一周后回到原来的位置，在这个过
程中，圆面覆盖过的区域(阴影部分)的面积是_______平方厘米.(π取3)
（2014 希望杯1试）
304. 勾股定理
（1）勾股定理：_________________________________________________，即：_________．
（2）常见的勾股数：______________________________________________________________
例 4
平面上的五个点A，B，C，D，E满足: AB = 8cm，BC = 4 cm，AD = 5 cm，DE = 1 cm，AC = 12
cm，AE = 6 cm. 如果三角形EAB的面积为24平方厘米，则点A到CD的距离等于 cm.
（2014华杯赛决赛）
5. 图形的分割与拼接
（1）在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合_________________来思考．
（2）如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找_______________，
把图形________________________________．
（3）分割图形如果有数量方面的要求，可以先从__________入手，找出平分后每块上所含数
量的多少，再结合数量来分割图形．
例 5
将边长是 7 的大正方形分割为边长分别是 1，或 2，或 3 的小正方形，其中至少有多少个边长
是 1的正方形?
（2014 希望杯2试）
314-1 数学原理
1. 抽屉原理
（1）抽屉原理1
将多于n件物品任意放到 n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于 2件.
（2）抽屉原理2
将多于m×n件物品任意放到到 n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于
（m+1）件.
（3）公式
总数÷抽屉＝商……余数
若余数＝1，结论：至少有（商＋1）个物品在同一个抽屉里；
若余数＝
32
x ，其中1x(n−1)， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里；
若余数＝0（整除），结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里.
例 1
参加体操、武术、钢琴、书法四个兴趣小组的学生中，每人最多可以参加两个兴趣小组. 为了
保证所选兴趣小组的情况完全相同的学生不少于 6人，则参加兴趣小组的学生至少有_____人.
（2014 希望杯2试）2. 最不利原则
（1）有一些求最大值或最小值的问题，需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原
则.
（2）题目特征是：“至少……才能保证”，“要保证……至少……”.
（3）解决问题的要点： 最不利的情况就是比成功少 1的情况；② 种类要找齐全，所有种
类都要达到最不利的情况；③保证成功数=所有最不利数+1.
例 2
从 1，2，3，4，…，15，16 这十六个自然数中，任取出 n 个数，其中必有这样的两个数：一
个是另一个的 3倍. 则n 最小是______.
（2012 希望杯1试）
3. 容斥原理
（1）在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，可以先不考虑重叠的情况，把包含于某内容
中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果
既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理.
（2）二元容斥原理：
33
| A B |= | A | + | B | − | A B |
三元容斥原理： | A B C |= | A | + | B | + | C | − | A B | − | A C | − | B C | + | A B C |
例 3
分子与分母的和是 2013的最简真分数有_______个.
（2013 希望杯1试）4-2 排列组合
1. 加法原理和乘法原理
⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所
以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和．
⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各
步方法数的乘积．
例 1
圣诞老人有36个同样的礼物， 分别装在8个袋子中. 已知8个袋子中礼物的个数至少为1且各不
相同. 现要从中选出一些袋子， 将选出的袋子中的所有礼物平均分给8个小朋友， 恰好分完
（每个小朋友至少分得一个礼物）. 那么， 共有________种不同的选择.
（2013 华杯赛初赛）
例 2
根据下图中的信息，求满足条件的五位数的个数.
（2014 希望杯2试）
342. 排列组合
（1）从n个不同的元素中取出 m (m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n个不同的元
素的排列中取出 m个元素的排列数，我们把它记做
35
A mn ．
A mn = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( n − m + 1 )
（2）从 n个不同元素中取出 m个元素(m≤n)的所有组合的个数，叫做从 n个不同元素中取
出
m个不同元素的组合数．记作Cm
．
n
C mn =
A
A
mnmm
=
n
m
（
（
n
m
− 1
−
） （
） 1
n
（
−
m
2
−
)
2
（
）
n −
m
3
+
2
） 1
1
例 3
从1～8这八个自然数中任取三个数， 其中没有连续自然数的取法有 种.
（2014华杯赛决赛）
例 4
将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数排成一行， 使得8的两边各数之和相等， 那么共有
（ ）种不同的排法．
A．1152 B．864 C．576 D．288
（2016 华杯赛初赛）4-3 计数问题
1. 分类枚举
在研究问题时，把所有可能发生的情况一一列举加以研究的方法叫做枚举法(也叫穷举
法). 用枚举法解题时，常常需要把讨论的对象进行恰当的分类.枚举时要注意不能有遗漏，也不
要重复.
2. 排列组合
应用排列组合公式的小技巧有：插空法、捆绑法等等.
“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整
体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排
列顺序.
“不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，
再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置.
3. 归纳与递推
通过引入数列建立递推关系来计数的方法称为递推计数法. 运用递推方法计数的一般步骤
是:①求初始值；②建立递推关系； ③利用递推关系求解.
例 1
《经典童话》一书共有 382页，则这本书的页码中共有 个数字0.
（2015 希望杯1试）
36例 2
如图，六边形的六个顶点分别标志为 A，B，C，D，E，F. 开始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉
字分别位于 A，B，C，D，E，F 顶点处.将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点
处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有 种．
（2017 华杯赛决赛）
例 3
由单位正方形拼成的 15×15网格，以网格的格点为顶点作边长为整数的正方形，则边长大于 5
的正方形有______个.
（2015 华杯赛初赛）
375-1 探索规律
1. 周期问题
（1）事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现，我们把__________________
____________________叫周期.
（2）解决有关周期性问题的关键是________________. 再用_______除以_______，得到的
商就是___________________，余数就是________________________________.
例 1
农谚‘逢冬数九’讲的是， 从冬至之日起， 每九天分为一段， 依次称之为一九，二九，
……，九九，冬至那天是一九的第一天. 2012年12月21日是冬至， 那么2013年的元旦是
________九的第________天.
（2013华杯赛决赛）
例 2
12013+22013+32013+42013+52013 除以 5，余数是________.(其中a2013 表示2013个a 相乘)
（2013 希望杯2试）
382. 找规律
这类题型给出几个具体的、特殊的数式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出
一般性的结论.
解题的思路是___________________，具体方法和步骤是：
（1）_________________________________________________________；
（2）_________________________________________________________；
（3）_________________________________________________________.
例 3
观察下面一列数的规律，这列数从左往右第 100个数是 .
39
1
2
,
3
5
,
5
8
,
7
1 1
,
1
9
4
,
（2016 希望杯1试）
例 4
如下图所示，图①由1个棱长为 1的小正方体堆成，图②由5个棱长为1的小正方体堆成，图
③由 14个棱长为1的小正方体堆成，按照此规律，求：
（1）图⑥由多少个棱长为 1的小正方体堆成？
（2）图⑩所示的立体图形的表面积.
（2016 希望杯2试）3. 递推法
（1）一般来说，如果一个与自然数有关的数列中任一项 a 可以由它前面的k(≤n-1)项经过运
n
算或其他方法表示出来，我们就称相邻之间有___________________，并称这种公式为递推公
式或递推关系式.通过寻求递归关系来解决问题的方法就称为递推方法.
（2）递推方法问题主要有两类：一是问题中有明显的递推关系，重点在于递推关系的应
用；二是问题中没有明显的递推关系，需要对已有条件进行变形或改变问题的有关形式而建
立递推关系，将问题转化为第一类问题.
例 5
一列数 a ，a ，…，a ，…，记 S(a)为a 的所有数字之和，如 S(22)=2+2=4.若a =2017， a =22，
1 2 n i i 1 2
a = S(a )+ S(a )，那么a 等于 .
n n-1 n-2 2017
（2017 华杯赛决赛）
405-2 数论
1. 位值原理
同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同.也就是说，每一个
数字除了有自身的一个值外，还有一个“__________”.例如“2”,写在个位上，就表示
________，写在百位上，就表示________，这种________________结合起来表示数的原则，
称为写数的位值原理.
数的分拆，如：
41
a b c d =________________________________
例 1
由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为 73326，则这些四位数中
最大的是________，最小的是________．
（2015 华杯赛决赛）
2. 数的进制
常用的进制为十进制，特点是“____________”.此外还有其他的大于 1 的自然数进位制.
比如二进制，八进制，十六进制等.
二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“__________”.因此，二进制中只用
两个数字____________.二进制的运算法则：“____________”、“____________.
二进制的计数单位分别是 20、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例
如 100110在二进制中表示为：(100110) =____________________________________.
2
注意：对于任意自然数 n ，我们有n0=1.
n进制：n进制的运算法则是“____________，____________”，n进制的四则混合运算和
十进制一样，先______，后______；同级运算，先_____后_____；有括号时先计算括号内的.例 2
十进制计数法，是逢 10进1，如
24 =2×10+4×1，
10
365 =3×102+6×10+5×1；
10
计算机使用的是二进制计数法，是逢 2进1，如
111 =1×22+1×2+1×1，
2
1100 =1×23+1×22+0×2+0×1.
2
如果一个自然数既可以写成 m 进制数 45 ，也可以写成 n 进制数 54 ，那么最小的
m n
m=______ ，n=__________ .(注：
42
a n = a a
个 n a
a )
（2011 希望杯2试）
3. 数的整除性
（1）末位系：2,5；4,25；8,125
能否被 2 和 5 整除是看______；能否被 4 和 25 整除是看______；能否被 8 和 125 整除是
看______.
（2）和系：3,9；99
能否被3,9整除是看______是不是3,9的倍数；除以 3,9的余数和这个数数字之和除以 3,9
的余数相同；能否被 99整除是把多位数从个位开始两位一段，看__________能否被 99整除.
（3）差系：11
能否被 11 整除：规律是从右开始数____________与____________的差是否为 11 的倍数，
__________________就代表这个数除以 11余几.
（4） 拆分系： 72=8×9 12=3×4 1001=7×11×13例 3
将 1234567891011的某两位数字交换能否得到一个完全平方数？请说明理由．
（2015 华杯赛决赛）
4. 余数和同余
（1）余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于________________________，或_____________________.
（2）余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数，等于_____________________，或者_____________________.
（3）同余定理
若两个整数 a、b 被自然数 m 除有相同的余数，那么称 a、b 对于模 m 同余，用式子表示
为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式. 同余式读作：a同余于b，模m.
若两个数a，b除以同一个数 m得到的余数相同，则____________________ .
例 4
若 2017，1029与725除以d 的余数均为 r，那么d-r 的最大值是________．
（2017 华杯赛初赛）
435. 质数与合数
（1）1不是质数，也不是合数；2是______的偶质数.
（2）若质数p│ab，则必有__________________.
（3）若正整数a,b的积是质数p，则必有__________________.
（4）任意一个大于1的整数N能分解成k个质因数的乘积，若不考虑质因数之间的顺序，则
这种分解是______的.
例5
设q是一个平方数，如果q-2和q+2都是质数，就称q为P型平方数.例如，9就是一个P型平方数.
那么小于1000的最大P型平方数是 .
（2016华杯赛初赛）
445-3 最值、策略、推理
1. 构造论证
各种探讨给定要求能否实现，设计最佳安排和选择方案的组合问题．这里的最佳通常指某
个量达到最大或最小．解题时，既要____________________，又要____________________
____________________．论证中的常用手段包括_______________________________________．
例 1
从连续自然数1，2，3， …，2014中取出n个数，使这n个数满足：任意取其中两个数，不会有
一个数是另一个数的5倍. 试求n的最大值，并说明理由.
（2014 华杯赛决赛）
例 2
将 1 至 9 填入右图的网格中， 要求每个格子填一个整数，不同格子填的数字不同，且每个格
子周围的格子（即与该格子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字的整数倍.已知
左右格子已经填有数字 4和 5，问：标有字母x的格子所填的数字最大是多少？
（2017 华杯赛决赛）
45例 3
两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得 11分且对方少于 10分者胜，10平后多
得 2 分者胜．两人的得分总和都是 31 分，一人赢了第一局并且赢得了比赛，那么第二局的比
分共有多少种可能？
（2015 华杯赛决赛）
2. 逻辑推理
解答逻辑问题常用的方法有:
（1）直推法：先从一个条件出发，逐步往下推理，直到推出结论为止；
（2） 假设法：先从一个假设，然后利用条件进行推理.若得出矛盾结论，说明作为假设的前
提不成立，而与假设相反的判断便是正确的.
例 4
现在从甲、乙、丙、丁四个人中选出两个人参加一项活动.规定：如果甲去，那么乙也去；如果
丙不去，那么乙也不去；如果丙去，那么丁不去.最后参加活动的两个人是（ ）.
（A）甲、乙（B）乙、丙（C）甲、丙（D）乙、丁
（2015年华杯赛初赛）
46例 5
阿春、阿天、阿真、阿美、阿丽五个小朋友按顺序取出盒子中的糖果，取完后，他们依次说了
下面的话：
阿春：“大家取的糖果个数都不同！”，
阿天：“我取了剩下的糖果的个数的一半.”
2
阿真：“我取了剩下的糖果的 .”
3
阿美：“我取了剩下的全部糖果.”
阿丽：“我取了剩下的糖果的个数的一半.”
请问：（1）阿真是第几个取糖果的？
（2）已知每人都取到糖果，则这盒糖果最少有多少颗？
（2016 希望杯2试）
47
