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专题 1-1 二次根式（考题猜想，利用二次根式的相关概念求字
母或代数式的值）
类型1：利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围
【例题1】（23-24八年级下·湖北恩施·期中）若二次根式 在实数范围内有意义，则m取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）已知关于 的代数式 有意义，满足条件的所
有整数 的和是10，则 的取值范围为 ．
【变式2】（21-22八年级下·全国·课后作业）无论x取何实数，代数式 都有意义，化简式子
．
【变式3】（2024八年级·全国·竞赛）若m满足关系式
，求m的值．
【变式4】．（23-24八年级下·湖南益阳·开学考试）阅读下列内容：
我们在学习二次根式时，式子 有意义，则 ；式子 有意义，则 ；若式子 有意义，
求 的取值范围，这个问题可以转化为不等式组来解决，即求关于 的不等式组 的解集，解这个不
等式组，得 ．(1)式子 有意义，求 的取值范围；
(2)已知 ，求 的值．
【变式5】．（23-24八年级下·河南信阳·期中）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个
二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似 的形式，我们把形如 的式子称为根分式，
例如 ， 都是根分式，
(1)写出根分式 中 的取值范围__________（直接写出答案）
(2)已知两个根分式 与 ．
①是否存在 的值使得 ，若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由；
②当 是一个整数时，求无理数 的值．
(3)小明在解方程 时，采用了下面的方法：
去分母，得 ①
可得 ②
①+②，可得
将 两边平方可解得 ，经检验： 是原方程的解．
∴原方程的解为：
请你学习小明的方法，解下面的方程：
方程 的解是_____________；（直接写出答案）
【变式6】．（2024八年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，解答后面的问题：
在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一
些运算．如：①要使二次根式 有意义，则需 ，解得： ；
②化简： ，则需计算 ，
而
，
所以
．
(1)根据二次根式的性质，要使 成立，求a的取值范围；
(2)利用①中的提示，请解答：如果 ，求 的值；
(3)利用②中的结论，
计算： ．
【变式7】．（2024八年级下·浙江·专题练习）计算
(1)已知实数 ， 满足 ，求 的值．
(2)若 ， 满足 ，化简：
【变式8】．（23-24八年级下·江西赣州·期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答后
面的问题：
化简： ．解：隐含条件 ，解得： ，
．
原式 ．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简： ．
【类比迁移】
（2）实数 在数轴上的位置如图所示，化简： ．
（3）已知 为 的三边长．化简： ．
【变式9】．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知实数 满足 ，则
的值为多少？
【变式10】．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题，
若 和 在实数范围内都有意义，求 的值．
解： 和 在实数范围内都有意义，
且 ．
由 得：
，
．
问题，若实数 满足 ，求 的值．类型2：利用被开方数相同的最简二次根式的条件求字母的值
【例题2】（23-24八年级下·山西大同·阶段练习）若 与最简二次根式 能合并，则 的值为
（ ）
A．3 B．1 C．2 D．
【变式1】．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知两个最简二次根式 与 是同类二次
根式，求a的值．
【变式2】．（21-22八年级下·江西赣州·期中）若 与 是被开方数相同的最简二次根式，求
的值．
【变式3】．（21-22八年级·全国·假期作业）已知最简二次根式 与 是同类二次根式，求
的值．
【变式4】．（20-21八年级上·全国·课后作业）已知a、b是整数，如果 是最简二次根式，求
的值，并求 的平方根．类型3：利用二次根式的加减求字母的值
【例题3】（23-24八年级下·全国·课后作业）已知 ，则a等于（ ）．
A．2 B． C．4 D．
【变式1】（22-23八年级下·甘肃庆阳·期中）如果 与 的和等于 ，那么 的值是 ．
【变式2】．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）定义：若两个二次根式a、b满足 ，且c是有理数，
则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与 是关于10的共轭二次根式，则 ；
(2)若 与 是关于12的共轭二次根式，求m的值．
【变式3】．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）阅读材料：
小灰学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ，善于思
考的小灰并开始以下探索：如果设 （其中 、 、 均为正整数），则有
，小灰也认识到完全符合完全平方和公式；
， ，这样小明就找到了一种把部分 的式子化为平方式的方法．请你仿照小明
的方法探索并解决下列问题：
(1)当 、 、 均为正整数时，若 用含 、 的式子分别表示 ，得： ＝
________， ＝________；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数 、 、 填空： ＋ （ ＋ ）2；
(3)若 ，且 、 、 均为正整数，求 的值．【变式4】．（2024八年级下·浙江·专题练习）先阅读下面材料，再解答问题：
材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而
零与无理数的积为零．由此可得：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ， ．
证明：∵ ， 为有理数，
∴ 是有理数，
∵ 为有理数， 是无理数，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
(1)若 ，其中 、 为有理数，则 ， ；
(2)已知 的整数部分为 ，小数部分为 ，求 与 的值；
(3)在（2）的条件下， ， 为有理数， ， ， ， 满足 ，求 ，
的值．
【变式5】（22-23八年级下·河北张家口·期中）已知 、 、 满足
(1)求 、 、 的值．
(2)以 、 、 为三边能否构成三角形？若能，求出它的周长；若不能，请说明理由．
【变式6】（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）阅读下面的材料，并回答问题．
像 ， 这样的两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次
根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如： 与 ， 与 都互为有理化因式．在进行
含有二次根式的分式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
(1)填空： 的有理化因式为 ；(2)已知 ， ，求 的值；
(3)已知正整数 ， 满足 ，求 ， 的值．
【变式7】．（21-22八年级下·山西临汾·期中）综合与实践：在学习二次根式时，发现一些含有根号的式
子可以结合完全平方式化成另一个式子的平方，如：
，
．
由此，可将一些被开方数为无理数的式子进行化简 ，
．
(1)请你依上述方法将 化成一个式子的平方，并直接写出 的值．
(2)化简： ．
(3)若 且 、 、 均为正整数，则 ________．
【变式8】．（22-23八年级上·四川内江·期中）（1）一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬1个单位长度到达点
B，点A表示 ，设点B所表示的数为p．
①则p的值= ；
②若p的小数部分为k，求 的值．
（2）已知 与 互为相反数，
①则 的平方根 ；②解关于x的方程 ．
（3）已知正实数x的平方根是m和 ．
①当 时，则m ；②若 ，求x的值．【变式9】．（22-23八年级下·江苏·周测）【阅读材料】
像， ， ，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，
我们称这两个代数式互为有理化因式．
例如， 与 ， 与 ， 与 ⋯，等都是互为有理化因式．进行二次根式计算
时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
(1) 的有理化因式为 ；
(2)化简： ；
(3)①如图， 中， 与 的角平分线相交于点P，若 的周长为 ，面积为3，则
点P到 边的距离为 ．
②已知有理数a、b满足 ，求a、b的值．
