专题06一次函数及其应用（5年汇编）（浙江专用）（解析版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2027新好题汇编_2027新好题汇编2022-2026年中考数学真题分类汇编（浙江专用）

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专题06 一次函数及其应用
5 年真题1 年模拟
考点分类
浙江考情（2022-2026）
命题规律
考点01 一次函数的
图象、性质与解析式
2023·浙江杭州·中考
2023·浙江温州·中考
2022·浙江杭州·中考
2022·浙江绍兴·中考
2022·浙江杭州·中考
2022·浙江绍兴·中考
2022-2023 年浙江中考在本考点共收录6 道真题，
2024-2026 年当前文档未收录相关真题。命题主要考查
待定系数法求一次函数解析式、一次函数的增减性、函
数图象交点与方程组解的关系，以及根据数据选择函数
模型。题目常与坐标旋转、函数最值、实际测量数据等
内容结合，不再局限于直接求斜率和截距。2023 年温州
题通过两个函数值之差考查一次函数在给定区间内的
最值，综合性较强。复习时应重点掌握斜率与增减性的
关系、两点确定直线、交点的方程意义以及自变量取值
范围对最值的影响。
考点02 函数图象的
信息获取与实际情
境判断
2023·浙江嘉兴·中考
2022·浙江温州·中考
2022·浙江台州·中考
2022·浙江嘉兴·中考
2022-2023 年浙江中考在本考点共收录4 道真题，主要
以选择题和综合解答题考查实际情境与函数图象之间
的对应关系。题目根据变化速度、停留时间、起点终点
及增减区间选择或补全图象，并从图象读取最值和满足
条件的时间段。部分图象并非一次函数，因此本考点的
核心不是计算解析式，而是理解图象所表达的实际意
义。复习时应训练“横轴、纵轴、起点、转折点、斜率
和水平线段”六个要素，避免仅凭图形外观作答。
考点03 一次函数的
实际应用与分段函
数
2023·浙江宁波·中考
2023·浙江金华·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2023·浙江台州·中考
2022·浙江丽水·中考
2022-2023 年浙江中考在本考点共收录5 道真题，题目
均具有较强的现实背景和综合性。命题素材丰富，主要
考查根据图象或数据建立一次函数解析式、求交点、比
较方案、处理分段运动以及解释函数结果的实际意义。
2023 年题目进一步引入误差平方和和模型优化，体现出
数据建模、实践探究与二次函数最值的跨模块综合，具
有明显创新性。复习时应重点训练分段函数的建模、函
数交点的实际意义、方案选择的区间判断，以及由数据
近似建立模型的能力。
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考点01
一次函数的图象、性质与解析式
1．（2023·浙江杭州·中考真题）在“ “探索一次函数ݕ⊸ࢲ坐Ň ꂀ的系数ࢲ系ꂀ与图像的关系”活动中，
老师给出了直角坐标系中的三个点：ܣͲ系䁠系ܤ䁠系h 系ܥh系h ．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函
数的图像，并得到对应的函数表达式ݕh ⊸ࢲh坐Ň ꂀh系ݕ䁠⊸ࢲ䁠坐Ň ꂀ䁠系ݕh ⊸ࢲh坐Ň ꂀh．分别计算ࢲh Ň ꂀh，ࢲ䁠Ň
ꂀ䁠系ࢲh Ň ꂀh的值，其中最大的值等于_________．
【答案】5
【分析】分别求出三个函数解析式，然后求出ࢲh Ň ꂀh，ࢲ䁠Ň ꂀ䁠系ࢲh Ň ꂀh进行比较即可解答．
【详解】解：设ݕh ⊸ࢲh坐Ň ꂀh过ܣͲ系䁠系ܤ䁠系h ，则有：
䁠⊸ꂀh
h ⊸䁠ࢲh Ň ꂀh ，解得：ࢲh ⊸
h
䁠
ꂀh ⊸䁠
，则ࢲh Ň ꂀh ⊸
h
䁠Ň 䁠⊸
ͷ
䁠；
同理：ࢲ䁠Ň ꂀ䁠⊸െ䁠Ň ͹ ⊸ͷ，ࢲh Ň ꂀh ⊸െ
h
h Ň 䁠⊸
ͷ
h
则分别计算ࢲh Ň ꂀh，ࢲ䁠Ň ꂀ䁠系ࢲh Ň ꂀh的最大值为值ࢲ䁠Ň ꂀ䁠⊸െ䁠Ň ͹ ⊸ͷ．
故答案为5．
2．（2023·浙江温州·中考真题）如图，在直角坐标系中，点ܣ䁠系䁠在直线ݕ⊸䁠坐െ
ͷ
䁠上，过点A 的直线
交y 轴于点ܤͲ系h ．
(1)求m 的值和直线ܣܤ的函数表达式．
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(2)若点ܲ
ݐ系ݕh 在线段ܣܤ上，点ܳ
ݐെh系ݕ䁠在直线ݕ⊸䁠坐െ
ͷ
䁠上，求ݕh െݕ䁠的最大值．
【答案】(1)䁠⊸
h
䁠，ݕ⊸െ
h
Ͷ 坐Ň h
(2)
hͷ
䁠
【分析】（1）把点A 的坐标代入直线解析式可求解m，然后设直线ܣܤ的函数解析式为ݕ⊸ࢲ坐Ň ꂀ，
进而根据待定系数法可进行求解函数解析式；
（2）由（1）及题意易得ݕh ⊸െ
h
Ͷ ݐŇ h Ͳ ൑ݐ൑䁠，ݕ䁠⊸䁠ݐെh െ
ͷ
䁠⊸䁠ݐെ
ͻ
䁠，则有ݕh െݕ䁠⊸െ
h
Ͷ ݐŇ h െ
䁠ݐെ
ͻ
䁠⊸െ
hh
Ͷ ݐŇ
hͷ
䁠，然后根据一次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：把点ܣ䁠系䁠代入ݕ⊸䁠坐െ
ͷ
䁠，得䁠⊸
h
䁠．
设直线ܣܤ的函数表达式为ݕ⊸ࢲ坐Ň ꂀ，把点ܣ䁠系
h
䁠，ܤͲ系h 代入得
䁠ࢲŇ ꂀ⊸
h
䁠
ꂀ⊸hǤ
，解得⊸ࢲെ
h
Ͷ
ꂀ⊸hǤ
，
∴直线ܣܤ的函数表达式为ݕ⊸െ
h
Ͷ 坐Ň h．
（2）解：∵点ܲ
ݐ系ݕh 在线段ܣܤ上，点ܳ
ݐെh系ݕ䁠在直线ݕ⊸䁠坐െ
ͷ
䁠上，
∴ݕh ⊸െ
h
Ͷ ݐŇ h Ͳ ൑ݐ൑䁠，ݕ䁠⊸䁠ݐെh െ
ͷ
䁠⊸䁠ݐെ
ͻ
䁠，
∴ݕh െݕ䁠⊸െ
h
Ͷ ݐŇ h െ䁠ݐെ
ͻ
䁠⊸െ
hh
Ͷ ݐŇ
hͷ
䁠．
∵⊸ࢲെ
hh
Ͷ ൏Ͳ，
∴ݕh െݕ䁠的值随坐的增大而减小，
∴当ݐ⊸Ͳ 时，ݕh െݕ䁠的最大值为
hͷ
䁠．
3．（2022·浙江杭州·中考真题）已知一次函数y=3x-1 与y=kx（k 是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），
则方程组ሼh坐െݕ⊸h
ࢲ坐െݕ⊸Ͳ的解是_________．
【答案】坐⊸h
ݕ⊸䁠
【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．
【详解】解：∵一次函数y=3x-1 与y=kx（k 是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），
∴联立y=3x-1 与y=kx 的方程组ݕ⊸h坐െh
ݕ⊸ࢲ坐
的解为：坐⊸h
ݕ⊸䁠，
即h坐െݕ⊸h
ࢲ坐െݕ⊸Ͳ 的解为：坐⊸h
ݕ⊸䁠，
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故答案为：坐⊸h
ݕ⊸䁠．
4．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知ሺ坐h，ݕhሻ，ሺ坐䁠，ݕ䁠ሻ，ሺ坐h，ݕhሻ为直线ݕ⊸െ䁠坐Ň h 上的三个点，且坐h ൏
坐䁠൏坐h，则以下判断正确的是（
）
A．若坐h坐䁠൐Ͳ，则ݕhݕh ൐Ͳ
B．若坐h坐h ൏Ͳ，则ݕhݕ䁠൐Ͳ
C．若坐䁠坐h ൐Ͳ，则ݕhݕh ൐Ͳ
D．若坐䁠坐h ൏Ͳ，则ݕhݕ䁠൐Ͳ
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的条件，可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵直线y=−2x+3
∴y 随x 增大而减小，当y=0 时，x=1.5
∵(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)为直线y=−2x+3 上的三个点，且x1<x2<x3
∴若x1x2>0，则x1，x2 同号，但不能确定y1y3 的正负，故选项A 不符合题意；
若x1x3<0，则x1，x3 异号，但不能确定y1y2 的正负，故选项B 不符合题意；
若x2x3>0，则x2，x3 同号，但不能确定y1y3 的正负，故选项C 不符合题意；
若x2x3<0，则x2，x3 异号，则x1，x2 同时为负，故y1，y2 同时为正，故y1y2>0，故选项D 符合题意．
故选：D．
5．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，2)，点A(4，2)．以点P 为旋转
中心，把点A 按逆时针方向旋转60°，得点B．在ܯh െ
h
h 系Ͳ ，ܯ䁠െ
h系െh ，ܯh h系Ͷ ，ܯͶ 䁠系
hh
䁠四个点
中，直线PB 经过的点是（
）
A．ܯh
B．ܯ䁠
C．ܯh
D．ܯͶ
【答案】B
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得B（2，2+2 h），利用待定系数法可得直线PB 的解析
式，依次将M1，M2，M3，M4 四个点的一个坐标代入y= hx+2 中可解答．
【详解】解：∵点A（4，2），点P（0，2），
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∴PA⊥y 轴，PA=4，
由旋转得：∠APB=60°，AP=PB=4，
如图，过点B 作BC⊥y 轴于C，
∴∠BPC=30°，
∴BC=2，PC=2 h，
∴B（2，2+2 h），
设直线PB 的解析式为：y=kx+b，
则䁠ࢲŇ ꂀ⊸䁠Ň 䁠h
ꂀ⊸䁠
，
∴⊸ࢲh
ꂀ⊸䁠，
∴直线PB 的解析式为：y= hx+2，
当y=0 时，hx+2=0，x=-
䁠h
h ，
∴点M1（-
h
h ，0）不在直线PB 上，
当x=- h时，y=-3+2=1，
∴M2（- h，-1）在直线PB 上，
当x=1 时，y= h+2，
∴M3（1，4）不在直线PB 上，
当x=2 时，y=2 h+2，
∴M4（2，
hh
䁠）不在直线PB 上．
故选：B．
6．（2022·浙江绍兴·中考真题）一个深为6 米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2 小
时内5 个时刻的水位高度，其中x 表示进水用时（单位：小时），y 表示水位高度（单位：米）．
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x
0
0.5
1
1.5
2
y
1
1.5
2
2.5
3
为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：ݕ⊸ࢲ坐Ň ꂀ（ࢲ്
Ͳ），y=ax2+bx+c
（്ܽ
Ͳ），ݕ⊸
ࢲ
坐（ࢲ്
Ͳ）．
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，
并画出这个函数的图像．
(2)当水位高度达到5 米时，求进水用时x．
【答案】(1)y＝x＋1（0≤x≤5），
.
(2)4 小时
【分析】（1）观察表格数据，ݕ的增长量是固定的，故符合一次函数模型，建立模型待定系数法求解
析式，画出函数图像即可求解；
（2）根据ݕ⊸ͷ，代入解析式求得坐的值即可求解．
【详解】（1）（1）选择y＝kx＋b，将（0，1），（1，2）代入，
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得
ꂀ⊸h， 
ࢲŇ ꂀ⊸䁠， 
解得⊸ࢲh， 
ꂀ⊸hǤ
∴y＝x＋1（0≤x≤5）．
（2）当y＝5 时，x＋1＝5，
∴x＝4．
答：当水位高度达到5 米时，进水用时x 为4 小时．
考点02
函数图象的信息获取与实际情境判断
1．（2023·浙江·中考真题）下图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注
水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据蓄水池的横断面示意图，可知水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不
变，进而求解即可．
【详解】解：由蓄水池的横断面示意图可得，
水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，
故选：D．
2．（2022·浙江温州·中考真题）小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s 米，所
经过的时间为t 分钟，下列选项中的图像，能近似刻画s 与t 之间关系的是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分别对每段时间的路程与时间的变化情况进行分析，画出路程与时间图像，再与选项对比判
断即可．
【详解】解：对各段时间与路程的关系进行分析如下：
从家到凉亭，用时10 分钟，路程600 米，s 从0 增加到600 米，t 从0 到10 分，对应图像为
在凉亭休息10 分钟，t 从10 分到20 分，s 保持600 米不变，对应图像为
从凉亭到公园，用时间10 分钟，路程600 米，t 从20 分到30 分，s 从600 米增加到1200 米，对应图
像为
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故选：A．
3．（2022·浙江台州·中考真题）吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距
离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min 到公园后，停留4min，然后匀速步行6min 到学校，设
吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y 与x 之间函数关系的图
象中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据吴老师离公园的距离以及所用时间可判断．
【详解】解：吴老师家出发匀速步行8min 到公园，表示从(0，400)运动到(8，0)；
在公园，停留4min，然后匀速步行6min 到学校，表示从(12，0)运动到(18，600)；
故选：C．
4．（2022·浙江嘉兴·中考真题）6 月13 日，某港口的潮水高度y（cm）和时间x（h）的部分数据及函数图
像如下：
x（h）
…
11
12
13
14
15
16
17
18
…
y（cm）
…
189
137
103
80
101
133
202
260
…
（数据来自某海洋研究所）
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(1)数学活动：
①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图像．
②观察函数图像，当坐⊸Ͷ 时，y 的值为多少？当y 的值最大时，x 的值为多少？
(2)数学思考：
请结合函数图像，写出该函数的两条性质或结论．
(3)数学应用：
根据研究，当潮水高度超过260cm 时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港
口？
【答案】(1)①如图：
②ݕ⊸䁠ͲͲ，坐⊸䁠h
(2)①当䁠൑坐൑͹ 时，y 随x 的增大而增大；②当坐⊸hͶ 时，y 有最小值80
(3)ͷ ൏坐൏hͲ 和hͺ ൏坐൏䁠h
【分析】（1）①根据表格数据在函数图像上描点连线即可；
②根据函数图像估计即可；
（2）从增减性、最值等方面说明即可；
（3）根据图像找到y=260 时所有的x 值，再结合图像判断即可．
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【详解】（1）①略
②观察函数图像：
当坐⊸Ͷ 时，ݕ⊸䁠ͲͲ；
当y 的值最大时，坐⊸䁠h；坐⊸䁠h．
（2）答案不唯一．
①当䁠൑坐൑͹ 时，y 随x 的增大而增大；
②当坐⊸hͶ 时，y 有最小值80．
（3）根据图像可得：当潮水高度超过260cm 时ͷ ൏坐൏hͲ 和hͺ ൏坐൏䁠h，
考点03
一次函数的实际应用与分段函数
1．（2023·浙江宁波·中考真题）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军
车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午
8：00，军车在离营地͸Ͳkm 的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后
乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的
函数关系如图2 所示．
(1)求大巴离营地的路程s 与所用时间t 的函数表达式及a 的值，
(2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．
【答案】(1)ݏ⊸ͶͲݐŇ 䁠Ͳ，ܽ
⊸䁠
(2)
h
h h
【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式，将ݏ⊸hͲͲ，代入解析式求出ܽ
的
值即可；
（2）先求出军车的速度，然后分别求出军车到达仓库，和从仓库出发到达基地的时间，用总时间减去
两段时间即可得解．
【详解】（1）解：设大巴离营地的路程s 与所用时间t 的函数表达式为ݏ⊸ݐࢲŇ ꂀ，由图象可知，直线
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过点Ͳ系䁠Ͳ ，h系͸Ͳ ，
∴
ꂀ⊸䁠Ͳ
ࢲŇ ꂀ⊸͸Ͳ ，解得：ꂀ⊸䁠Ͳ
ͲͶ⊸ࢲ，
∴ݏ⊸ͶͲݐŇ 䁠Ͳ；
当ݏ⊸hͲͲ 时：hͲͲ ⊸ͶͲݐŇ 䁠Ͳ，解得：ݐ⊸䁠，
∴ܽ
⊸䁠；
（2）由图象可知，军车的速度为：͸Ͳ ൊh ⊸͸ͲkmȀh，
∴军车到达仓库所用时间为：ͺͲ ൊ͸Ͳ ⊸
Ͷ
h h，
从仓库到达基地所用时间为：hͲͲ െͺͲ ൊ͸Ͳ ⊸
h
h h，
∴部队官兵在仓库领取物资所用的时间为䁠െ
Ͷ
h െ
h
h ⊸
h
h h．
2．（2023·浙江金华·中考真题）兄妹俩放学后沿图1 中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行
先出发，途中速度保持不变；妹妹骑车，到书吧前的速度为200 米/分．图2 中的图象分别表示两人离学校
的路程ݏ（米）与哥哥离开学校的时间ݐ（分）的函数关系．
(1)求哥哥步行的速度．
(2)已知妹妹比哥哥迟2 分钟到书吧．
①求图中ܽ
的值；
②妹妹在书吧待了10 分钟后回家，速度是哥哥的hǤ͸ 倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄
妹俩离家还有多远；若不能，说明理由．
【答案】(1)ݒ⊸hͲͲ
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(2)①ܽ
⊸͸；
②能追上．
如图，根据哥哥的速度没变，可得ܤܥ系ǡܣ的解析式的k 值相同，妹妹的速度减小但仍大于哥哥的速度，
将妹妹的行程图象补充完整，
设ܤܥ所在直线为ݏ⊸hͲͲݐŇ ꂀh，
将ܤh͹系ͺͲͲ 代入，得ͺͲͲ ⊸hͲͲ ൈh͹ Ň ꂀh，解得ꂀh ⊸െͻͲͲ，
∴ݏ⊸hͲͲݐെͻͲͲ．
∵妹妹的速度是160 米/分．
设ܨܩ所在直线为ݏ⊸h͸ͲݐŇ ꂀ䁠，
将ܨ䁠Ͳ系ͺͲͲ 代入，得ͺͲͲ ⊸h͸Ͳ ൈ䁠Ͳ Ň ꂀ䁠，解得ꂀ䁠⊸െ䁠ͶͲͲ，
∴ݏ⊸h͸Ͳݐെ䁠ͶͲͲ．
联立方程ݏ⊸hͲͲݐെͻͲͲ
ݏ⊸h͸Ͳݐെ䁠ͶͲͲ ，解得
ݐ⊸䁠ͷ
ݏ⊸h͸ͲͲ ，
∴hͻͲͲ െh͸ͲͲ ⊸hͲͲ 米，
即追上时兄妹俩离家300 米远．
【分析】（1）结合图表可得ܣͺ系ͺͲͲ ，根据速度等于路程除以时间，即可解答；
（2）①根据时间=路程÷速度可知妹妹到书吧所用的时间，再根据题意确定a 得值即可；
②如图，将妹妹走完全程的图象画出，将ܤܥ和ܨܩ的解析式求出，求两个函数的交点即可．
【详解】（1）解：由图可得ܣͺ系ͺͲͲ ，
׵ ݒ⊸
ͺͲͲ
ͺ ⊸hͲͲ（米/分），
∴哥哥步行速度为100 米/分．
（2）①根据妹妹到书吧前的速度为200 米/分，
∴妹妹所用时间t 为：ͺͲͲ ൊ䁠ͲͲ ⊸Ͷ（min）．
∵妹妹比哥哥迟2 分钟到书吧，
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∴ܽ
⊸ͺ Ň 䁠െͶ ⊸͸．
②略
3．（2023·浙江·中考真题）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公
司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列
问题：
(1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
(2)求方案二y 关于x 的函数表达式；
(3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案．
【答案】(1)30 件
(2)ݕ⊸䁠Ͳ坐Ň ͸ͲͲ
(3)若每月生产产品件数不足30 件，则选择方案二；若每月生产产品件数就是30 件，两种方案报酬相
同，可以任选一种；若每月生产产品件数超过30 件，则选择方案一
【分析】（1）由图象的交点坐标即可得到解答；
（2）由图象可得点Ͳ系͸ͲͲ 系hͲ系h䁠ͲͲ ，设方案二的函数表达式为ݕ⊸ࢲ坐Ň ꂀ，利用待定系数法即可得
到方案二y 关于x 的函数表达式；
（3）利用图象的位置关系，结合交点的横坐标即可得到结论．
【详解】（1）解：由图象可知交点坐标为hͲ系h䁠ͲͲ ，即员工生产30 件产品时，两种方案付给的报酬
一样多；
（2）由图象可得点Ͳ系͸ͲͲ 系hͲ系h䁠ͲͲ ，设方案二的函数表达式为ݕ⊸ࢲ坐Ň ꂀ，
把Ͳ系͸ͲͲ 系hͲ系h䁠ͲͲ 代入上式，得
ꂀ⊸͸ͲͲ系
hͲࢲŇ ꂀ⊸h䁠ͲͲǤ 解得⊸ࢲ䁠Ͳ系
ꂀ⊸͸ͲͲǤ
∴方案二的函数表达式为ݕ⊸䁠Ͳ坐Ň ͸ͲͲ．
（3）若每月生产产品件数不足30 件，则选择方案二；
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若每月生产产品件数就是30 件，两种方案报酬相同，可以任选一种；
若每月生产产品件数超过30 件，则选择方案一．
4．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一
根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min 观
察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水时间t/min
0
10
20
30
40
水面高度h/cm（观察值）
30
29
28.1
27
25.8
任务1 分别计算表中每隔10min 水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现：“ݐ⊸Ͳ，݄
⊸hͲ”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数
近似地刻画水面高度h 与流水时间t 的关系．
任务2 利用ݐ⊸Ͳ 时，݄
⊸hͲ；ݐ⊸hͲ 时，݄
⊸䁠ͻ 这两组数据求水面高度h 与流水时间t 的函数解析式．
【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2 中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，
减少偏差．通过查阅资料后知道：t 为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对
应h 的观察值之差的平方和
．．．．．．，记为w；w 越小，偏差越小．
任务3 （1）计算任务2 得到的函数解析式的w 值．
（2）请确定经过Ͳ系hͲ 的一次函数解析式，使得w 的值最小．
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【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．
【答案】任务1：变化量分别为，െhcm；െͲǤͻcm；െhǤhcm；െhǤ䁠cm；
任务2：݄
⊸െͲǤhݐŇ hͲ；
任务3：（1）ͲǤͲͷ，
（2）݄
⊸െͲǤhͲ䁠ݐŇ hͲ；
任务4：时间刻度方案要点：
①时间刻度的0 刻度在水位最高处；
②刻度从上向下均匀变大；
③每0.102cm 表示1min（1cm 表示时间约为9.8min）．
【分析】任务1：根据表格每隔10min 水面高度数据计算即可；
任务2：根据每隔10min 水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h 与流水时间t 的是一次函
数关系，由待定系数法求解；
任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w 值；
（2）设݄
⊸ݐࢲŇ hͲ，然后根据表格中数据求出此时w 的值是关于k 的二次函数解析式；由此求出w
的值最小时k 值即可；
任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方
向与单位长度．最大量程约为294min 可以代替单位长度要素．
【详解】解：任务1：变化量分别为，䁠ͻ െhͲ ⊸െh cm ；䁠ͺǤh െ䁠ͻ ⊸െͲǤͻ cm ；
䁠͹ െ䁠ͺǤh ⊸െhǤh cm ；䁠ͷǤͺ െ䁠͹ ⊸െhǤ䁠cm ；
任务2：设݄
⊸ݐࢲŇ ꂀ，
∵ݐ⊸Ͳ 时，݄
⊸hͲ，ݐ⊸hͲ 时，݄
⊸䁠ͻ；
∴
ꂀ⊸hͲ，
hͲࢲŇ ꂀ⊸䁠ͻ．
∴水面高度h 与流水时间t 的函数解析式为݄
⊸െͲǤhݐŇ hͲ．
任务3：（1）当ݐ⊸Ͳ 时，݄
⊸െͲǤhݐŇ hͲ ⊸hͲ，
当ݐ⊸hͲ 时，݄
⊸െͲǤhݐŇ hͲ ⊸䁠ͻ，
当ݐ⊸䁠Ͳ 时，݄
⊸െͲǤhݐŇ hͲ ⊸䁠ͺ，
当ݐ⊸hͲ 时，݄
⊸െͲǤhݐŇ hͲ ⊸䁠͹，
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当ݐ⊸ͶͲ 时，݄
⊸െͲǤhݐŇ hͲ ⊸䁠͸，
∴ݓ⊸hͲ െhͲ 䁠Ň 䁠ͻ െ䁠ͻ 䁠Ň 䁠ͺ െ䁠ͺǤh 䁠Ň 䁠͹ െ䁠͹ 䁠Ň 䁠͸ െ䁠ͷǤͺ 䁠
⊸ͲǤͲͷ．
（2）设݄
⊸ݐࢲŇ hͲ，则
ݓ⊸hͲ െhͲ 䁠Ň hͲࢲŇ hͲ െ䁠ͻ 䁠Ň 䁠ͲࢲŇ hͲ െ䁠ͺǤh 䁠Ň hͲࢲŇ hͲ െ䁠͹ 䁠Ň ͶͲࢲŇ hͲ െ䁠ͷǤͺ 䁠
⊸hͲࢲŇ h 䁠Ň 䁠ͲࢲŇ hǤͻ 䁠Ň hͲࢲŇ h 䁠Ň ͶͲࢲŇ ͶǤ䁠䁠
⊸hͲͲͲࢲ䁠Ň ͸h䁠ࢲŇ h䁠Ň hǤͻ䁠Ň h䁠Ň ͶǤ䁠䁠．
当⊸ࢲെ
͸h䁠
䁠ൈhͲͲͲ ⊸െͲǤhͲ䁠时，w 最小．
∴优化后的函数解析式为݄
⊸െͲǤhͲ䁠ݐŇ hͲ．
任务4：略
5．（2022·浙江丽水·中考真题）因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆
轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是hhͲkm，货车行驶时的速度是͸ͲkmȀh．两车
离甲地的路程ݏሺkmሻ与时间ݐሺhሻ的函数图象如图．
(1)求出a 的值；
(2)求轿车离甲地的路程ݏሺkmሻ与时间ݐሺhሻ的函数表达式；
(3)问轿车比货车早多少时间到达乙地？
【答案】(1)1.5
(2)s=100t-150
(3)1.2h
【分析】（1）根据货车行驶的路程和速度求出a 的值；
（2）将（a，0）和（3，150）代入s=kt+b 中，待定系数法解出k 和b 的值即可；
（3）求出汽车和货车到达乙地的时间，作差即可求得答案．
【详解】（1）由图中可知，货车a 小时走了90km，
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∴a=ͻͲ ൊ͸Ͳ ⊸hǤͷ；
（2）设轿车离甲地的路程ݏሺkmሻ与时间ݐሺhሻ的函数表达式为s=kt+b，
将（1.5，0）和（3，150）代入得，
hǤͷࢲŇ ꂀ⊸Ͳ
hࢲŇ ꂀ⊸hͷͲ ，
解得，⊸ࢲhͲͲ
ꂀ⊸െhͷͲ ，
∴轿车离甲地的路程ݏሺkmሻ与时间ݐሺhሻ的函数表达式为s=100t-150；
（3）将s=330 代入s=100t-150，
解得t=4.8，
两车相遇后，货车还需继续行驶：hhͲ െhͷͲ ൊ͸Ͳ ⊸h(h)，
到达乙地一共：3+3=6（h），
6-4.8=1.2(h)，
∴轿车比货车早1.2h 时间到达乙地．
1．（2026·浙江金华·二模）一次函数ݕh ⊸
h
䁠坐Ň
ͷ
䁠与ݕ䁠⊸ࢲ坐െ䁠的图象交于点ܲ
，点ܲ
的纵坐标为Ͷ，则满
足ݕh ൐ݕ䁠൐Ͳ 的坐的取值范围是（
）．
A．െͷ ൏坐൏Ͷ
B．h ൏坐൏h
C．Ͳ ൏坐൏h
D．h ൏坐൏Ͷ
【答案】B
【分析】先根据ݕh ⊸
h
䁠坐Ň
ͷ
䁠与ݕ䁠⊸ࢲ坐െ䁠交点坐标ܲ
的纵坐标，求出点ܲ
的坐标，代入ݕ䁠⊸ࢲ坐െ䁠
中，求出ݕ䁠的解析式，再根据ݕh ൐ݕ䁠൐Ͳ，列不等式方程组
h
䁠坐Ň
ͷ
䁠൐䁠坐െ䁠
䁠坐െ䁠൐Ͳ
，即可求解．
【详解】∵ݕh ⊸
h
䁠坐Ň
ͷ
䁠与ݕ䁠⊸ࢲ坐െ䁠的图象交于点ܲ
，点ܲ
的纵坐标为Ͷ，
∴将点ܲ
的纵坐标为Ͷ 代入ݕh ⊸
h
䁠坐Ň
ͷ
䁠，解得：坐ܲ⊸h，
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∴ܲ
h系Ͷ ，
将ܲ
h系Ͷ 代入ݕ䁠⊸ࢲ坐െ䁠，解得：⊸ࢲ䁠，
∴ݕ䁠⊸䁠坐െ䁠，
∵ݕh ൐ݕ䁠൐Ͳ，
∴ݕh ൐ݕ䁠
ݕ䁠൐Ͳ ，即
h
䁠坐Ň
ͷ
䁠൐䁠坐െ䁠
䁠坐െ䁠൐Ͳ
解得：坐൏h
坐൐h ，
∴当ݕh ൐ݕ䁠൐Ͳ 时，坐的取值范围是h ൏坐൏h．
2．（2026·浙江杭州·二模）如图是某条公共汽车线路收支差额ݕ与乘客人数坐的函数图象（收支差额⊸车
票收入െ固定支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：建议（1）是不改变固定
支出费用，提高车票价格；建议（2）是不改变车票价格，减少固定支出费用．如图，给出四个图象，则（
）
A．①反映了建议（1），③反映了建议（2）
B．②反映了建议（1），④反映了建议（2）
C．③反映了建议（1），①反映了建议（2）
D．④反映了建议（1），②反映了建议（2）
【答案】A
【分析】设车票价格为ࢲ，固定支出费用为ꂀ，列出函数关系式ݕ⊸ࢲ坐െꂀ，根据ࢲ和ꂀ的变化判断图
像斜率与截距的变化情况．
【详解】解：设车票价格为ࢲ，固定支出费用为ꂀ，则收支差额ݕ与乘客人数坐的函数关系式为ݕ⊸ࢲ坐െꂀ，
建议（1），不改变固定支出费用，提高车票价格，即ꂀ不变，ࢲ增大，
׵图像与ݕ轴的交点不变，直线的倾斜程度变大（更陡），故图①反映了建议（1）；
建议（2），不改变车票价格，减少固定支出费用，即ࢲ不变，ꂀ减小，െꂀ增大，
׵图像与ݕ轴的交点向上移动，且两直线平行，故图③反映了建议（2）；
׵本题选A．
3．（2026·浙江台州·二模）如图1，ܤܦ是正方形ܣܤܥܦ的对角线，E 为边ܤܥ上的动点（不与端点重合），
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点F 在ܤܥ的延长线上，且ܥܨ⊸ܤܧ，过点F 作ܨܩ٣ ܤܦ于点G，连结ܣܧ，ܧܩ．则下列哪个选项中的两
个变量x，y 的关系可以用图2 的函数图象表示（
）
A．设ܤܧ的长为x，ᇞܣܤܧ的面积为y
B．设ܤܧ的长为x，ܣܧ的长为y
C．设ܤܧ的长为x，ᇞܩܧܨ的面积为y
D．设ܤܧ的长为x，ܩܧ的长为y
【答案】C
【分析】设正方形边长为ܽ
，分别列出各选项中ݕ与坐的函数关系式，结合图象特征（不过原点的上
升线段，即一次函数ݕ⊸ࢲ坐Ň ꂀ且Ͳ൐ࢲ系ꂀ൐Ͳ）进行判断．
【详解】解：设正方形ܣܤܥܦ的边长为ܽ
，则ܣܤ⊸ܤܥ⊸ܽ
，∠ܦܤܥ⊸Ͷͷι．
对于A，ݕ⊸ܵ
ᇞܣܤܧ⊸
h
䁠ܣܤڄ ܤܧ⊸
h
䁠ܽ坐，
是正比例函数，图象过原点，不符合题意；
对于B，在Rtᇞܣܤܧ中，ݕ⊸ܣܧ⊸
ܣܤ䁠Ň ܤܧ䁠⊸ܽ
䁠Ň 坐䁠，
不是一次函数，不符合题意；
对于C，׶ ܥܨ⊸ܤܧ⊸坐，
׵ ܤܨ⊸ܤܥŇ ܥܨ⊸ܽ
Ň 坐，ܧܨ⊸ܧܥŇ ܥܨ⊸ሺܽെ坐ሻŇ 坐⊸ܽ
．
׶ ܨܩ٣ ܤܦ，∠ܩܤܨ⊸Ͷͷι，
׵ᇞܤܩܨ是等腰直角三角形．
∴ܤܩ⊸ܨܩ，
过点ܩ作ܩܪ٣ ܤܥ于ܪ，
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∴ܤܪ⊸ܨܪ⊸
h
䁠ܤܨ，
又∠ܤܩܨ⊸ͻͲι，
∴点ܩ到ܤܨ的距离为ܩܪ⊸
h
䁠ܤܨ⊸ܽ
Ň坐
䁠．
׵ ݕ⊸ܵ
ᇞܩܧܨ⊸
h
䁠ܧܨڄ݄
⊸
h
䁠ܽ
ڄܽ
Ň坐
䁠⊸ܽͶ 坐Ňܽ
䁠
Ͷ ．
׶ܽ
൐Ͳ，
׵ ݕ是坐的一次函数，且ܽͶ ൐Ͳ，ܽ
䁠
Ͷ ൐Ͳ，
∴其图象为不过原点的上升线段，符合题意；
对于D，∵ܩܪ⊸ܤܪ⊸
h
䁠ܤܨ⊸ܽ
Ň坐
䁠，ܧܪ⊸ȁܤܪെܤܧȁ ⊸ȁܽ
Ň坐
䁠െ坐ȁ ⊸ܽ
െ坐
䁠．
在Rtᇞܩܪܧ中，ݕ⊸ܩܧ⊸
ܩܪ䁠Ň ܧܪ䁠⊸
ሺܽ
Ň坐
䁠ሻ䁠Ň ሺܽ
െ坐
䁠ሻ䁠⊸ܽ
䁠Ň坐䁠
䁠
，
不是一次函数，不符合题意．
4．（2026·浙江·模拟预测）如图1，在一个圆柱体容器中，用绳子悬挂长方体铁块P（绳子体积忽略不计）．现
往容器内匀速注水，注满为止．水面高度ݕcm 与注水时间坐min 的关系如图2．
(1)求图2 中a 的值．
(2)求注水时间hͲmin 时的水面高度．
【答案】(1)40；
(2)͸Ͳcm．
【分析】（1）先由图象可知铁块全部进入水中后的水面上涨速度，即ܤܥ段水面上涨的速度，再求出
ͺmin 水面上涨的高度即可；
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（2）先根据待定系数法求出直线ܣܤ的关系式，再将坐⊸hͲ 代入求出答案．
【详解】（1）解：ܤܥ段水面上涨的速度：ͻͲ െͺͲ ൊhͶ െh䁠⊸ͷ cm min ，ܽ
⊸ͷ ൈͺ ⊸ͶͲ；
（2）解：设直线ܣܤ函数表达式，过点ܣͺ系ͶͲ ，ܤh䁠系ͺͲ ，根据题意，得
∴ͺࢲŇ ꂀ⊸ͶͲ
h䁠ࢲŇ ꂀ⊸ͺͲ ，
解得⊸ࢲhͲ
ꂀ⊸െͶͲ ，
∴直线ܣܤ的函数表达式ݕ⊸hͲ坐െͶͲ，
当坐⊸hͲ 时，水面高度ݕ⊸͸Ͳcm．
5．（2026·浙江丽水·一模）【阅读理解】
对于两个函数，当自变量坐任取一个值时，它们所对应的函数值之和为2，我们称这两个函数互为“关联函
数”．例如：ݕ⊸坐与ݕ⊸䁠െ坐互为“关联函数”．
【初步探究】
(1)如图，函数ݕ⊸ࢲ坐经过点h系䁠，求该函数的“关联函数”表达式；
【深入思考】
(2)在（1）条件下，函数图象的一段ݕ⊸ࢲ坐െ䁠൑坐൑Ͳ 向上平移䁠个单位长度后，与它的“关联函数”的
图象有交点．求䁠的最小值．
【答案】(1)ݕ⊸䁠െ䁠坐
(2)䁠的最小值为䁠．
【分析】（1）利用待定系数法求得原函数为ݕ⊸䁠坐，根据“关联函数”的定义：两个函数的函数值之和
为2，列式求解即可；
（2）根据题意两个函数有交点，即方程䁠坐Ň 䁠⊸䁠െ䁠坐在െ䁠൑坐൑Ͳ 范围内有解，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵函数ݕ⊸ࢲ坐经过点h系䁠，
∴将点代入函数：䁠⊸ࢲ，即⊸ࢲ䁠，
∴原函数为ݕ⊸䁠坐，
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根据“关联函数”的定义：两个函数的函数值之和为2，设关联函数为ݕԢ，
则：䁠坐Ň ݕԢ ⊸䁠，
∴ݕԢ ⊸䁠െ䁠坐，
∴函数的“关联函数”表达式为ݕ⊸䁠െ䁠坐；
（2）解：函数ݕ⊸䁠坐在െ䁠൑坐൑Ͳ 上向上平移m 个单位后，
解析式为：ݕ⊸䁠坐Ň 䁠െ䁠൑坐൑Ͳ ，
它的“关联函数”为ݕ⊸䁠െ䁠坐，
∵两个函数有交点，即方程䁠坐Ň 䁠⊸䁠െ䁠坐在െ䁠൑坐൑Ͳ 范围内有解，
解方程：䁠坐Ň 䁠⊸䁠െ䁠坐，得坐⊸
䁠െ䁠
Ͷ ，
∴െ䁠൑
䁠െ䁠
Ͷ
൑Ͳ，
解不等式：
䁠െ䁠
Ͷ
൒െ䁠，得䁠൑hͲ，
解不等式：
䁠െ䁠
Ͷ
൑Ͳ，得䁠൒䁠，
∴䁠的取值范围是䁠൑䁠൑hͲ，则䁠的最小值为䁠．
6．（2026·浙江温州·三模）中国基建巨人逢山开路、遇海掘隧，筑就超级工程．甲、乙两工程队计划在30
个月内，分别从A，B 两地为起点，采用盾构机同时相向匀速对掘一条海底高铁隧道．开工后，因工况发生
变化，甲队调慢了施工速度，乙队调快了施工速度．设施工时间为x（单位：月）时，工程队沿设计隧道到
A 地的路程为y（单位：米），甲、乙两队y 关于x 的函数关系分别如图所示．
(1)这条海底高铁隧道的施工长度多少米？
(2)求乙队调快速度后，y 关于x 的函数关系式．
(3)开工21 个月后，甲、乙两队继续按调整后的速度施工，问：这条海底高铁隧道能如期完工吗？
【答案】(1)11200 米
(2)ݕ⊸െ䁠ͶͲ坐Ň hh͸ͺͲ
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(3)这条海底高铁隧道能如期完工
【分析】（1）根据坐标系中纵轴的数据可得答案；
（2）先判断折线ܦെܧെܨ段表示的是乙队y 关于x 的函数图象，再利用待定系数法求解；
（3）先求出甲队调整后的掘进速度，求出开工21 个月后剩余的工作量，求得剩余工程所需要时间，
与21 个月相加，再与计划时间比较即可．
【详解】（1）解：由图象可得：这条海底高铁隧道的施工长度是11200 米；
（2）解：图象中ܦܧ段的掘进速度是
hh䁠ͲͲെͺͺͲͲ
h䁠
⊸䁠ͲͲ 米/月，ܧܨ段的掘进速度是
ͺͺͲͲെ͸͸ͶͲ
䁠hെh䁠
⊸䁠ͶͲ 米/
月，
∴折线ܦെܧെܨ段表示的是乙队y 关于x 的函数图象，
设乙队调快速度后，ܧܨ段的函数关系式为ݕ⊸ࢲ坐Ň ꂀ，
则h䁠ࢲŇ ꂀ⊸ͺͺͲͲ
䁠hࢲŇ ꂀ⊸͸͸ͶͲ ，
解得⊸ࢲെ䁠ͶͲ
ꂀ⊸hh͸ͺͲ ，
∴ݕ⊸െ䁠ͶͲ坐Ň hh͸ͺͲ；
（3）解：对于甲：ܯܰ
段的掘进速度是
h͹͸Ͳെh䁠ͲͲ
䁠hെͷ
⊸h͸Ͳ 米/月，
若甲、乙两队继续按调整后的速度施工，
21 个月后，整个工程还剩余͸͸ͶͲ െh͹͸Ͳ ⊸䁠ͺͺͲ 米，
还需䁠ͺͺͲ ൊh͸Ͳ Ň 䁠ͶͲ ⊸͹Ǥ䁠个月，
䁠h Ň ͹Ǥ䁠⊸䁠ͺǤ䁠൏hͲ，
∴这条海底高铁隧道能如期完工．
7．（2026·浙江温州·三模）某快递公司每天上午͹上ͲͲ 至ͺ上ͲͲ 为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快
件，乙仓库用来派发快件．该时段内甲、乙两仓库的快件数量ݕ（件）与时间坐（分）之间的函数图象如图
所示．
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(1)求图中ܽ
的值及甲仓库的快件数量ݕ（件）与时间坐（分）的关系式．
(2)何时甲、乙两仓库的快件数量相差hͷͲ 件？
【答案】(1)ܽ
⊸䁠ͶͲ，甲仓库的快件数量ݕ（件）与时间坐（分）的关系式为ݕ⊸͸坐Ň ͶͲ
(2)当͹上Ͳͷ 和͹上hͷ 时甲、乙两仓库的快件数量相差hͷͲ 件
【分析】（1）用待定系数法求出乙仓库的快件数量ݕ（件）与时间坐（分）的关系式，利用函数关系
式求出ܽ
的值；用待定系数法求出甲仓库的快件数量ݕ（件）与时间坐（分）的关系式；
（2）当甲、乙两仓库的快件数量相差hͷͲ 件时，可得方程െͶ坐Ň 䁠ͶͲ െ͸坐Ň ͶͲ
⊸hͷͲ，解方程
求出坐的值，再求出甲、乙两仓库的快件数量相差hͷͲ 件时的时刻．
【详解】（1）解：设乙仓库的快件数量ݕ（件）与时间坐（分）的关系式是ݕ⊸ࢲ坐Ň ꂀࢲ്
Ͳ ，
由函数图象可知，当坐⊸hͷ 时，ݕ⊸hͺͲ，当坐⊸͸Ͳ 时，ݕ⊸Ͳ，
可得：hͷࢲŇ ꂀ⊸hͺͲ
͸ͲࢲŇ ꂀ⊸Ͳ
，
解得：⊸ࢲെͶ
ꂀ⊸䁠ͶͲ ，
׵乙仓库的快件数量ݕ（件）与时间坐（分）的关系式是ݕ⊸െͶ坐Ň 䁠ͶͲ，
当坐⊸Ͳ 时，
可得：ݕ⊸െͶ坐Ň 䁠ͶͲ ⊸䁠ͶͲ，
׵ܽ
⊸䁠ͶͲ；
设甲仓库的快件数量ݕ（件）与时间坐（分）的关系式是ݕ⊸䁠坐Ň ʹ 䁠്
Ͳ ，
由函数图象可知，当坐⊸Ͳ 时，ݕ⊸ͶͲ，当坐⊸hͷ 时，ݕ⊸hhͲ，
可得：hͷ䁠Ň ʹ ⊸hhͲ
ʹ ⊸ͶͲ
，
解得：䁠⊸͸
ʹ ⊸ͶͲ ，
׵甲仓库的快件数量ݕ（件）与时间坐（分）的关系式是ݕ⊸͸坐Ň ͶͲ；
（2）解：当甲、乙两仓库的快件数量相差hͷͲ 件时，
可得：െͶ坐Ň 䁠ͶͲ െ͸坐Ň ͶͲ
⊸hͷͲ，
׵ െͶ坐Ň 䁠ͶͲ െ͸坐Ň ͶͲ ⊸hͷͲ 或െͶ坐Ň 䁠ͶͲ െ͸坐Ň ͶͲ ⊸െhͷͲ，
当െͶ坐Ň 䁠ͶͲ െ͸坐Ň ͶͲ ⊸hͷͲ 时，
整理得：െhͲ坐Ň 䁠ͲͲ ⊸hͷͲ，
解得：坐⊸ͷ，
׵当͹上Ͳͷ 时，甲、乙两仓库的快件数量相差hͷͲ 件；
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当െͶ坐Ň 䁠ͶͲ െ͸坐Ň ͶͲ ⊸െhͷͲ 时，
整理得：െhͲ坐Ň 䁠ͲͲ ⊸െhͷͲ，
解得：坐⊸hͷ，
׵当͹上hͷ 时，甲、乙两仓库的快件数量相差hͷͲ 件；
综上所述，当͹上Ͳͷ 和͹上hͷ 时甲、乙两仓库的快件数量相差hͷͲ 件．
8．（2026·浙江金华·三模）某生产商打算生产上市一款新产品，上市前做了一系列调查研究．新产品上市
的第一个月，商品的需求量ܳ
h与供货量ܳ
䁠关于产品上市的天数坐（Ͳ ൏坐൑hͲ，且坐为整数）的函数图象如
图所示，ܳ
h关于坐的函数关系式为：ܳ
h ⊸
h
䁠坐Ň hͲሺͲ ൏坐൑䁠Ͷሻ
䁠䁠ሺ䁠Ͷ ൏坐൑hͲሻ
．
(1)求ܳ
䁠关于坐的函数关系式；
(2)当供货量超过需求量的ͷͲ%时，生产销售该产品面临亏本的风险，则哪几天该产品面临亏本风险？
【答案】(1)ܳ
䁠⊸
h
䁠坐Ň 䁠Ͳ ൏坐൑䁠Ͳ
h䁠䁠Ͳ ൏坐൑hͲ
(2)第hͺ 到第䁠䁠天面临亏本风险
【分析】（1）由函数图象可知，ܳ
䁠关于坐的函数图象由两段组成，当Ͳ ൏坐൑䁠Ͳ 时，ܳ
䁠关于坐的函
数图象为一次函数，利用待定系数法求出此时的ܳ
䁠关于坐的函数关系式，再求出当䁠Ͳ ൑坐൑hͲ 时，ܳ
䁠恒
为32；
（2）根据题意得，当ܳ
䁠൐hǤͷܳ
h时，会面临亏本的风险，分情况讨论：当Ͳ ൏坐൑䁠Ͳ 或䁠Ͳ ൏坐൑䁠Ͷ
或䁠Ͷ ൏坐൑hͲ 时列出不等式，结合坐为整数求解即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知，
当Ͳ ൏坐൑䁠Ͳ 时，设ܳ
䁠关于坐的函数关系式为ܳ
䁠⊸ࢲ坐Ň ꂀ，
将Ͳ系䁠、䁠Ͳ系h䁠代入ܳ
䁠⊸ࢲ坐Ň ꂀ得：
ꂀ⊸䁠
䁠ͲࢲŇ ꂀ⊸h䁠，
解得：⊸ࢲ
h
䁠
ꂀ⊸䁠
，
׵此时ܳ
䁠关于坐的函数关系式为ܳ
䁠⊸
h
䁠坐Ň 䁠，
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当䁠Ͳ ൑坐൑hͲ 时，ܳ
䁠⊸h䁠，
综上所述，ܳ
䁠关于坐的函数关系式为：ܳ
䁠⊸
h
䁠坐Ň 䁠Ͳ ൏坐൑䁠Ͳ
h䁠䁠Ͳ ൏坐൑hͲ
；
（2）解：根据题意得，当ܳ
䁠൐h Ň ͷͲ%ܳ
h，即ܳ
䁠൐hǤͷܳ
h时，会面临亏本的风险，
当Ͳ ൏坐൑䁠Ͳ 时，ܳ
h ⊸
h
䁠坐Ň hͲ，ܳ
䁠⊸
h
䁠坐Ň 䁠，
׵
h
䁠坐Ň 䁠൐hǤͷ
h
䁠坐Ň hͲ ，
解得：坐൐
ͷ䁠
h ，
׵
ͷ䁠
h ൏坐൑䁠Ͳ，
׶ 坐为整数，
׵ 坐可以取18，19，20；
当䁠Ͳ ൏坐൑䁠Ͷ 时，ܳ
h ⊸
h
䁠坐Ň hͲ，ܳ
䁠⊸h䁠，
׵ h䁠൐hǤͷ
h
䁠坐Ň hͲ ，
解得：坐൏
͸ͺ
h ，
׵ 䁠Ͳ ൏坐൏
͸ͺ
h ，
׶ 坐为整数，
׵ 坐可以取21，22；
当䁠Ͷ ൏坐൑hͲ 时，ܳ
h ⊸䁠䁠，ܳ
䁠⊸h䁠，
׵ hǤͷܳ
h ⊸hǤͷ ൈ䁠䁠⊸hh，
׵ hǤͷܳ
h ൐ܳ
䁠，
׵当䁠Ͷ ൏坐൑hͲ 时，不会面临亏本的风险，
综上所述，第hͺ 到第䁠䁠天该产品面临亏本风险．
9．（2026·浙江宁波·二模）2026 年3 月，宁波国际马拉松赛事圆满落幕．某补给车队从赛道起点出发，前
往位于赛道半程的补给站运送物资．在补给车队出发hͲ min 后，志愿者小宁发现遗漏了一批物资，立即开
车补送物资．小宁追上车队放下物资后按原速度返回，补给车队则保持原速前往补给站．补给车队和小宁
离起点的路程ݕ（km）和补给车队出发后的时间坐（min）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
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(1)补给车队的速度为____km min，ꂀ的值为____；
(2)求线段ܤܥ所在直线的函数表达式；
(3)补给车队出发多少时间后，与小宁的距离为͹ km．
【答案】(1)ͲǤ͹；䁠ͷ；
(2)ݕ⊸ͲǤ͹坐െhǤͷ；
(3)补给车队出发hͲ 或
ͺͷ
h  min 后，与小宁的距离为͹ km．
【分析】此题为一次函数的应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实
际问题有意义．
（1）根据小宁追上车队时，车队出发了坐⊸䁠Ͳ 分钟，离起点的路程ݕ⊸hͶkm，即小宁用时10 分钟
赶上车，由此即可得出返回时间为10 分钟，得出ꂀ⊸hͷ െhͲ ⊸䁠ͷ 分钟；
（2）由（1）求得补给车队的速度为ͲǤ͹ km min，再结合ܤ䁠ͷ系hͶ ，利用待定系数法即可得线段ܤܥ
所在直线的函数表达式；
（3）分两种情况：小宁出发时，补给车队与小宁的距离刚好为͹ km．再求出小宁返回时，线段ܤܦ的
解析式为ݕܤܦ⊸െhǤͶ坐Ň Ͷͻ，根据补给车队与小宁的距离为͹ km，求出坐即可．
【详解】（1）解：由图可知：小宁追上车队时，车队出发了坐⊸䁠Ͳ 分钟，离起点的路程ݕ⊸hͶkm，
∴补给车队的速度为hͶ ൊ䁠Ͳ ⊸ͲǤ͹
km min ，
∵ܽ
⊸hͲ 分钟，小宁第20 分钟追上车队，用时hͲ 分钟，按原速度返回，第hͷ 分钟返回到起点，故ꂀ⊸
hͷ െhͲ ⊸䁠ͷ 分钟，
（2）解：设ݕ⊸ࢲ坐Ň 䁠
由题意得͹ǤͲ⊸ࢲ，
׵ ݕ⊸ͲǤ͹坐Ň 䁠
由图象过点ܤ䁠ͷ系hͶ ，代入得，h͹Ǥͷ Ň 䁠⊸hͶ
解得，䁠⊸െhǤͷ
所以函数表达式为ݕ⊸ͲǤ͹坐െhǤͷ
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（3）解：①ݐ⊸hͲ 时，车队离小宁的距离为͹ km；
②设线段ܤܦ的解析式为ݕܤܦ⊸݀
坐Ňܿ，由图象过点ܤ䁠ͷ系hͶ ，ܦhͷ系Ͳ ，
∴䁠ͷ݀Ňܿ
⊸hͶ
hͷ݀Ňܿ
⊸Ͳ ，解得݀
⊸െhǤͶܿ
⊸Ͷͻ
即ݕܤܦ⊸െhǤͶ坐Ň Ͷͻ
由（2）得ݕܤܥ⊸ͲǤ͹坐െhǤͷ，所以ͲǤ͹坐െhǤͷ െെhǤͶ坐Ň Ͷͻ ⊸͹
解得，坐⊸
ͺͷ
h
答：补给车队出发hͲ 或
ͺͷ
h  min．后，与小宁的距离为͹ km．
10．（2026·浙江舟山·二模）为缓解新能源汽车长途续航焦虑，某服务区推出快慢组合充电方案：车辆低电
量时先慢充，再切换成快充，既保护电池寿命，又缓解充电桩使用压力．小明驾车进入服务区时，车辆剩
余电量为䁠Ͳ%，采用该组合方案充电．已知充电时电池电量百分比ݕ与充电时间坐（小时）的函数图象如
图所示：线段ܣܤ为慢充图象，折线ܣܥܦ为快充图象．两种充电模式可切换，切换充电模式后，将按新模
式的速度继续充电．根据相关信息，请回答下列问题．
(1)两种充电模式分别从䁠Ͳ%电量充到hͲͲ%电量，求快充模式比慢充模式节省多少时间？
(2)求快充时ݕ与坐的函数关系式及自变量取值范围．
(3)已知该车每h%电量可行驶ͷkm，若距目的地还需行驶hͲͲkm，到达终点时电车至少留有䁠Ͳ%的电量．先
慢充ͲǤͷ 小时后立刻转快充，至少需要快充多长时间才能满足出行续航要求？
【答案】(1)6 小时
(2) ݕ⊸hͲͲ坐Ň 䁠Ͳ Ͳ ൑坐൑ͲǤͷ
ݕ⊸䁠Ͳ坐Ň ͸Ͳ ͲǤͷ ൏坐൑䁠
(3)0.95 小时
【分析】（1）分别求出两种充电模式从䁠Ͳ%电量充到hͲͲ%电量耗时，即可求解；
（2）利用待定系数法分别求出对应ܣܥ、ܥܦ段的函数表达式即可；
（3）先求出总需电量，再利用待定系数法求出慢充模式的函数表达式，得出坐⊸ͲǤͷ 时，ݕ⊸䁠ͷ%，
切换快充后，分段求出从䁠ͷ%充到͹Ͳ%以及͹Ͳ%充到ͺͲ%所需要的时间，由此求解即可．
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【详解】（1）解：由题意得：慢充模式从䁠Ͳ%电量充到hͲͲ%电量耗时8 小时，
快充模式从䁠Ͳ%电量充到hͲͲ%电量耗时2 小时，
׵节省时间为：ͺ െ䁠⊸͸（小时），
则快充模式比慢充模式节省6 小时；
（2）解：快充分为2 段：
ܣܥ段时：线段ܣܥ经过点ܣͲ系䁠Ͳ 、ܥͲǤͷ系͹Ͳ ，
设其函数表达式为：ݕ⊸ࢲh坐Ň ꂀhࢲh്
Ͳ ，
将点ܣ、ܥ坐标代入得：
ꂀh ⊸䁠Ͳ
ͲǤͷࢲh Ň ꂀh ⊸͹Ͳ ，
解得：ࢲh ⊸hͲͲ
ꂀh ⊸䁠Ͳ ，
׵线段ܣܥ的函数表达式为ݕ⊸hͲͲ坐Ň 䁠Ͳ Ͳ ൑坐൑ͲǤͷ ，
ܥܦ段时：线段ܥܦ经过点ܥͲǤͷ系͹Ͳ 、ܦ䁠系hͲͲ ，
设其函数表达式为：ݕ⊸ࢲ䁠坐Ň ꂀ䁠ࢲ䁠്
Ͳ ，
将点ܥ、ܦ坐标代入得：
ͲǤͷࢲ䁠Ň ꂀ䁠⊸͹Ͳ
䁠ࢲ䁠Ň ꂀ䁠⊸hͲͲ ，
解得：ࢲ䁠⊸䁠Ͳ
ꂀ䁠⊸͸Ͳ ，
׵线段ܥܦ的函数表达式为ݕ⊸䁠Ͳ坐Ň ͸Ͳ ͲǤͷ ൏坐൑䁠，
则快充时ݕ与坐的函数关系式为ݕ⊸hͲͲ坐Ň 䁠Ͳ Ͳ ൑坐൑ͲǤͷ
ݕ⊸䁠Ͳ坐Ň ͸Ͳ ͲǤͷ ൏坐൑䁠
；
（3）解：行驶hͲͲkm 需电量：hͲͲ ൊͷ ⊸͸Ͳ%，
到达终点至少保留䁠Ͳ%，故总需电量：͸Ͳ% Ň 䁠Ͳ% ⊸ͺͲ%，
设慢充时函数表达式为ݕ⊸ࢲh坐Ň ꂀhࢲh്
Ͳ ，
把点ܣͲ系䁠Ͳ 、ܤͺ系hͲͲ 代入得：
ꂀh ⊸䁠Ͳ
ͺࢲh Ň ꂀh ⊸hͲͲ ，
解得：ࢲh ⊸hͲ
ꂀh ⊸䁠Ͳ ，
׵慢充时函数表达式为ݕ⊸hͲ坐Ň 䁠Ͳ Ͳ ൑坐൑ͺ ，
׵当坐⊸ͲǤͷ 时，ݕ⊸䁠ͷ%，
则快充至少需要充电电量为：ͺͲ% െ䁠ͷ% ⊸ͷͷ%，
从䁠ͷ%充到͹Ͳ%需要：
͹Ͳെ䁠ͷ
hͲͲ ⊸ͲǤͶͷ（小时），
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从͹Ͳ%充到ͺͲ%需要：
ͺͲെ͹Ͳ
䁠Ͳ
⊸ͲǤͷ（小时）
ͲǤͶͷ Ň ͲǤͷ ⊸ͲǤͻͷ（小时）
因此，至少需要快充0.95 小时．
11．（2026·浙江丽水·模拟预测）在某次举办的机器人长跑比赛中，有甲、乙两款机器人需要从相同起点同
向跑步䁠䁠km．机器人甲在跑步过程中速度保持不变，为ͺkmȀh，但每跑1 小时需要更换电池原地休息12
分钟；甲出发12 分钟后机器人乙才出发，速度保持不变，为ݒ（kmȀh），乙跑一段时间后，因为故障，原
地修理了一段时间才继续按原速奔跑．已知机器人甲、乙跑步的路程y（km）与甲跑步的时间x（h）之间
的函数关系图象如图所示．
(1)ݐ⊸______，ݒ⊸______．
(2)求线段ܣܤ所在直线的函数表达式．
(3)直接写出机器人甲、乙相遇时乙跑步的时间．
【答案】(1)
͸h
䁠Ͳ；12
(2)ݕ⊸
hͶͲ
hh 坐െ
hͷͷ
hh ；
(3)ͲǤͶh，hǤͺ͹ͷh，䁠Ǥ͹ͷh
【分析】（1）先求出当甲跑步时间坐⊸ͲǤ͸h 时甲的路程，用路程除以甲的速度再加上两次休息的时间
可求出t 的值；由题意可知此时乙跑步时间为ͲǤͶh，即可求出ݒ的值；
（2）设ݕ⊸ࢲ坐Ň ꂀ，将ܣ䁠Ǥͷ系hͷ ，ܤ
͸h
䁠Ͳ 系䁠䁠代入计算即可；
（3）分三种情况作答即可．
【详解】（1）解：12 分钟⊸ͲǤ䁠小时，乙比甲晚出发ͲǤ䁠小时，
ݐ⊸
䁠䁠
ͺ Ň ͲǤ䁠Ň ͲǤ䁠⊸
͸h
䁠Ͳ，
当甲跑步时间坐⊸ͲǤ͸h 时：甲的路程：ݕ⊸ͺ ൈͲǤ͸ ⊸ͶǤͺ km ，
乙跑步时间为ͲǤ͸ െͲǤ䁠⊸ͲǤͶ h ，此时两者路程相等，
小学
初中
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故ݒ⊸
ͶǤͺ
ͲǤͶ ⊸h䁠km h ．
（2）解：由（1）知ܣ䁠Ǥͷ系hͷ ，ܤ
͸h
䁠Ͳ系䁠䁠，
设ݕ⊸ࢲ坐Ň ꂀ，
代入得
䁠ǤͷࢲŇ ꂀ⊸hͷ
͸h
䁠ͲࢲŇ ꂀ⊸䁠䁠，
解得：
⊸ࢲ
hͶͲ
hh
ꂀ⊸െ
hͷͷ
hh
，
∴线段ܣܤ所在直线的函数表达式为ݕ⊸
hͶͲ
hh 坐െ
hͷͷ
hh ；
（3）解：第一次相遇：坐⊸ͲǤ͸h，乙跑步时间⊸ͲǤ͸ െͲǤ䁠⊸ͲǤͶh；
第二次相遇：乙维修停在ݕ⊸hͷ 处，
∵hͷ ൊͺ ⊸hǥǥ͹，
∴甲跑到ݕ⊸hͷ 时，坐⊸h Ň ͲǤ䁠Ň
͹
ͺ ⊸䁠ǤͲ͹ͷ h ，
此时乙总跑步时间为䁠ǤͲ͹ͷ െͲǤ䁠⊸hǤͺ͹ͷ h ；
第三次相遇：坐൐䁠Ǥͷ 时，则h䁠坐െhͷ ⊸ͺ坐െͲǤ䁠ൈ䁠ൈͺ，
解得坐⊸䁠Ǥͻͷh，
此时乙总跑步时间为䁠Ǥͻͷ െͲǤ䁠⊸䁠Ǥ͹ͷ h ；
综上所述，甲、乙相遇时乙跑步的时间为ͲǤͶh，hǤͺ͹ͷh，䁠Ǥ͹ͷh．
12．（2026·浙江宁波·一模）2026 宁波半程马拉松的赛程全长为21 千米．小聪和小明两名选手同时从起点
出发，小聪在整个比赛过程中保持匀速跑步，小明跑了60 分钟后到达食品补给站，在补给站中休息10 分
钟后继续以原速跑到终点．小聪和小明离出发点的路程ݕkm 与出发时间坐min 之间的函数关系如图1 所
示，两人相距的路程ܵ
km 与出发时间坐min 之间的函数关系如图2 所示．
(1)求小明跑步的速度（单位：千米/分）．
(2)求图中ܽ
的值．
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(3)两人出发多少分钟后，他们相距的路程最大，并求出该最大值．
【答案】(1)
h
Ͷ千米/分
(2)126
(3)出发ͻͶmin 时，两人相距最远为
h͸
h km
【分析】（1）根据速度的定义求解即可；
（2）设ǡܦ对应的函数表达式ݕ⊸ࢲ坐，待定系数法求解即可；
（3）根据题意，分Ͳ ൑坐൑͸Ͳ，͸Ͳ൏坐൑͹Ͳ，͹Ͳ൏坐൑ͻͶ，ͻͶ൏坐൑h䁠͸，求解即可；
【详解】（1）解：小明跑步的速度为
hͷ
͸Ͳ ⊸
h
Ͷ千米/分．
（2）解：小明跑了60 分钟，路程为15 千米，根据图2，得此时二人相距5 千米，
故此时小聪跑的路程为hͷ െͷ ⊸hͲ（千米），
故图象经过点͸Ͳ系hͲ ，
设ǡܦ对应的函数表达式ݕ⊸ࢲ坐，
由题意得图象过点͸Ͳ系hͲ ，
׵ hͲ ⊸͸Ͳࢲ，解得⊸ࢲ
h
͸．
׵ ǡܦ对应的函数表达式ݕ⊸
h
͸ 坐．
令ݕ⊸䁠h，
解得坐⊸h䁠͸．
׵ܽ
的值为126．
（3）解：当Ͳ ൑坐൑͸Ͳ 时，根据题意，得ݏ⊸
h
Ͷ 坐െ
h
͸ 坐⊸
h
h䁠坐，
且s 随x 的增大而增大，
故坐⊸͸Ͳ 时，s 取得最大值，且最大值为ݏ⊸
h
h䁠ൈ͸Ͳ ⊸ͷ（千米）；
当͸Ͳ൏坐൑͹Ͳ 时，根据题意，得小明此时休息，路程保持15 千米，小聪跑的路程表达式为ݕ⊸
h
͸ 坐，
故ݏ⊸hͷ െ
h
͸ 坐，
且s 随x 的增大而减小，
故坐⊸͸Ͳ 时，s 取得最大值，且最大值为ݏ⊸
h
h䁠ൈ͸Ͳ ⊸ͷ（千米）；
此时取不到60，故最大值小于5 千米即ݏ൏ͷ；
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小明跑完最后͸km 所需的时间为͸ ൊ
h
Ͷ ⊸䁠Ͷmin．
当͹Ͳ൏坐൑ͻͶ 时，根据题意，得小明跑的路程表达式为ݕ⊸
h
Ͷ 坐െ͹Ͳ Ň hͷ ⊸
h
Ͷ 坐െ䁠Ǥͷ，
小聪跑的路程表达式为ݕ⊸
h
͸ 坐，
故ݏ⊸
h
Ͷ 坐െ䁠Ǥͷ െ
h
͸ 坐⊸
h
h䁠坐െ䁠Ǥͷ，
且s 随x 的增大而增大，
故坐⊸ͻͶ 时，s 取得最大值，且最大值为ݏ⊸
h
h䁠ൈͻͶ െ䁠Ǥͷ ⊸
h͸
h （千米）；
当ͻͶ൏坐൑h䁠͸ 时，根据题意，得小明跑到了终点，路程为21 千米，不变；
小聪跑的路程表达式为ݕ⊸
h
͸ 坐，
故ݏ⊸䁠h െ
h
͸ 坐，
且s 随x 的增大而减小，
故坐⊸ͻͶ 时，s 取得最大值，且最大值为ݏ⊸䁠h െ
h
͸ ൈͻͶ ⊸
h͸
h （千米）；
此时取不到94，故最大值小于
h͸
h 千米即ݏ൏
h͸
h ；
׶
h͸
h ൐ͷ，
׵当坐⊸ͻͶ 时，他们之间相距最远，且为
h͸
h 千米．
13．（2026·浙江舟山·一模）甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A 地出发前往B 地，甲车匀速行驶Ͷh 至
距离A 地h͸Ͳkm 的ܥ地时发生故障原地维修，䁠ǤͶh 后维修完毕，于是甲车匀速行驶hǤ͸h 到达B 地．乙车
匀速行驶Ͷh 到达距离A 地䁠ͶͲkm 的ܤ地，接着花费
Ͷ
h h 卸载水果，然后立即原路匀速返回A 地，结果乙车
回到A 地时恰好甲车到达B 地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A 地的距离ݕ（单位：km）与它们
离开A 地的时间坐（单位：h）之间的函数图象如图所示．
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请结合图象信息，解答下列问题：
(1)填表：
甲车离开A 地的时间（单位：h）
1
4
6.4
8
甲车离A 地的距离（单位：km）
______
160
______
______
(2)请直接写出乙车行驶的全过程中ݕ与坐的函数关系式；
(3)①图中ꂀ的值为___________；
②在整个行驶过程中，求出当甲、乙两车相距ͷͲkm 时坐的值．
【答案】(1)40；160；240
(2)ݕ⊸
͸Ͳ坐Ͳ ൑坐൑Ͷ
䁠ͶͲ Ͷ ൏坐൑
h͸
h
െͻͲ坐Ň ͹䁠Ͳ
h͸
h ൏坐൑ͺ
(3)①144；②坐⊸
ͷ
䁠h 或
h͹
h h 或
ͻh
hͶ h
【分析】（1）根据题意，结合图象先计算当Ͳ ൑坐൑Ͷ 时，甲车的速度，即可得到hh 对应的路程，其
余两空可直接由图象获取数据；
（2）利用待定系数法，分Ͳ ൑坐൑Ͷ，Ͷ ൏坐൑
h͸
h ，
h͸
h ൏坐൑ͺ 时，分别求解即可；
（3）先求得乙车的ݕ⊸h͸Ͳ 时，坐⊸
ͷ͸
ͻ ，然后分Ͳ ൑坐൑Ͷ，Ͷ ൏坐൑
h͸
h ，
h͸
h ൏坐൑
ͷ͸
ͻ ，
ͷh
ͻ ൏坐൑ͺ 时，
根据两车的距离列出方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，当Ͳ ൑坐൑Ͷ 时，甲车的速度为h͸Ͳ ൊͶ ⊸ͶͲ km h ，
∴甲车离开A 地hh 时，离A 地的距离为h ൈͶͲ ⊸ͶͲ km ，
由图象可知，甲车离开A 地͸ǤͶh 和ͺh 时，离A 地的距离分别为h͸Ͳkm 和䁠ͶͲkm；
∴填表如下：
甲车离开A 地的时间（单位：h）
1
4
6.4
8
甲车离A 地的距离（单位：km）
40
160
160
240
（2）解：当Ͳ ൑坐൑Ͷ 时，设乙车的ݕ与坐的函数关系式为ݕ⊸ࢲh坐ࢲh്
Ͳ ，
代入Ͷ系䁠ͶͲ ，得Ͷࢲh ⊸䁠ͶͲ，则ࢲh ⊸͸Ͳ；
∵ܽ
⊸Ͷ Ň
Ͷ
h ⊸
h͸
h ，
则当Ͷ ൏坐൑
h͸
h 时，此时ݕ⊸䁠ͶͲ；
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当
h͸
h ൏坐൑ͺ，设乙车的ݕ与坐的函数关系式为ݕ⊸ࢲ䁠坐Ň 䁠ࢲ䁠്
Ͳ ，
代入
h͸
h 系䁠ͶͲ 和ͺ系Ͳ ，得
h͸
hࢲ䁠Ň 䁠⊸䁠ͶͲ
ͺࢲ䁠Ň 䁠⊸Ͳ
，
解得ࢲ䁠⊸െͻͲ
䁠⊸͹䁠Ͳ ，
综上，乙车行驶的全过程中ݕ与坐的函数关系式为ݕ⊸
͸Ͳ坐Ͳ ൑坐൑Ͷ
䁠ͶͲ Ͷ ൏坐൑
h͸
h
െͻͲ坐Ň ͹䁠Ͳ
h͸
h ൏坐൑ͺ
；
（3）解：①由（2）可知，ꂀ⊸െͻͲ ൈ͸ǤͶ Ň ͹䁠Ͳ ⊸hͶͶ；
②令െͻͲ坐Ň ͹䁠Ͳ ⊸h͸Ͳ，
解得坐⊸
ͷ͸
ͻ ，
׵当坐⊸
ͷ͸
ͻ 时，两车相遇，
当Ͳ ൑坐൑Ͷ 时，甲车的速度为h͸Ͳ ൊͶ ⊸ͶͲ km h ，
根据题意得：͸Ͳ坐െͶͲ坐⊸ͷͲ，
解得坐⊸
ͷ
䁠：
当Ͷ ൏坐൑
h͸
h 时，甲、乙两车相距䁠ͶͲ െh͸Ͳ ⊸ͺͲ km ；
当
h͸
h ൏坐൑
ͷ͸
ͻ 时，
根据题意得：െͻͲ坐Ň ͹䁠Ͳ െh͸Ͳ ⊸ͷͲ，
解得坐⊸
h͹
h ；
当
ͷh
ͻ ൏坐൑ͺ 时，
根据题意得：h͸Ͳ െhͶͶ Ň ͻͲ 坐െ͸ǤͶ Ň ͷͲ 坐െ͸ǤͶ ⊸ͷͲ，
解得坐⊸
ͻh
hͶ
综上所述，当坐⊸
ͷ
䁠h 或
h͹
h h 或
ͻh
hͶh 时，两车相距ͷͲkm．
14．（2026·浙江杭州·二模）一次趣味运动会的“背夹球竞走”项目中，甲，乙两组同学参加比赛．规则是：
每组选出的男女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若
途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行，用时少者胜．结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完路程．两
组同学距离出发点的距离ݏm 与比赛时间ݐs 的函数关系如图所示．根据题意解答下列问题：
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(1)写出比赛总路程．
(2)求比赛途中两组同学第二次相遇的时间．
(3)试探究，在甲组同学保持原有运动状况，乙组同学到距离出发点最远处后，返回的速度超过多少才能取
胜？
【答案】(1)ݏ总⊸ͺͲm
(2)第二次相遇时间为
hͶͷ
h s
(3)乙组同学到距离出发点最远处后，返回的速度超过
Ͷ
h mȀs 才能取胜
【分析】（1）最远距离的2 倍即为比赛总路程；
（2）第二次相遇是在䁠ͷs 到͸Ͳs 之间的两直线的交点处，利用待定系数法求出甲和乙的函数解析式，
求出交点的横坐标即可；
（3）乙组获胜需满足时间少于ͷͷ െ䁠ͷ s，用路程除以时间即可得到获胜的速度．
【详解】（1）解：比赛总路程为ͶͲ ൈ䁠⊸ͺͲ m ．
（2）解：由图可知，第二次相遇是在hͷs 到͸Ͳs 之间的两直线的交点处．
设ݕ乙⊸ࢲh坐Ň ꂀh，
把䁠ͷ系ͶͲ 和͸Ͳ系Ͳ 代入ݕ乙⊸ࢲh坐Ň ꂀh中，得
ͶͲ ⊸䁠ͷࢲh Ň ꂀh
Ͳ ⊸͸Ͳࢲh Ň ꂀh ，
解得
ࢲh ⊸െ
ͺ
͹
ꂀh ⊸
ͶͺͲ
͹
，
∴ݕ乙⊸െ
ͺ
͹ 坐Ň
ͶͺͲ
͹ ；
设ݕ甲⊸ࢲ䁠坐Ň ꂀ䁠，
把hͷ系ͶͲ 和ͷͷ系Ͳ 代入ݕ甲⊸ࢲ䁠坐Ň ꂀ䁠中，得
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ͶͲ ⊸hͷࢲ䁠Ň ꂀ䁠
Ͳ ⊸ͷͷࢲ䁠Ň ꂀ䁠，
解得ࢲ䁠⊸െ䁠
ꂀ䁠⊸hhͲ
ݕ甲⊸െ䁠坐Ň hhͲ，
令െ
ͺ
͹ 坐Ň
ͶͺͲ
͹ ⊸െ䁠坐Ň hhͲ，解得坐⊸
hͶͷ
h ．
∴第二次相遇时间为
hͶͷ
h s．
（3）解：从函数关系图可知，乙比甲晚到：͸Ͳ െͷͷ ⊸ͷ s ，
当乙组同学的速度为：
ͶͲ
ͷͷെ䁠ͷ ⊸
Ͷ
h m s 时，两组同学同时到达．
∴乙组同学到距离出发点最远处后，返回的速度超过
Ͷ
h mȀs 才能取胜．
15．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在正方形ܣܤܥܦ中，ܲ为ܤܥ边上一点（不与点ܤ，ܥ重合），连接ܣܲ，
以ܣܲ
为直径作圆，交对角线ܤܦ于点ܧ，连接ܣܧ并延长交ܥܦ于点ܨ，连接ܲ
ܨ．已知ܣܤ⊸Ͷ．
(1)若ܤܲ
⊸h，求线段ܣܧ的长．
(2)求证：∠ܣܲܨ⊸∠ܣܧܤ．
(3)设ܤܲ
⊸坐，记ᇞܣܤܧ与ᇞܣܦܧ的面积差为ݕ，试确定ݕ与坐的函数关系式．
【答案】(1)ܣܧ⊸
ͷ 䁠
䁠
(2)证明：如图，延长ܨܦ至点ܳ
，使得ܦܳ
⊸ܤܲ，连接ܣܳ，ܧܲ，
∵正方形ܣܤܥܦ，
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∴ܣܤ⊸ܣܦ，∠ܣܤܲ
⊸∠ܣܦܨ⊸ͻͲι，
∴∠ܣܤܲ
⊸∠ܣܦܳ
⊸ͻͲι，
∵ܤܲ
⊸ܦܳ，
∴ᇞܣܤܲ، ᇞܣܦܳ
SAS ，
∴∠h ⊸∠h，∠ܣܲܤ⊸∠ܣܳܨ，ܣܲ
⊸ܣܳ，
∵∠ܣܧܲ
⊸ͻͲι，∠ܣܲܧ⊸Ͷͷι，
∴∠ܲܣܧ⊸Ͷͷι，
∴∠h Ň ∠䁠⊸Ͷͷι，
∴∠h Ň ∠䁠⊸Ͷͷι，即∠ܳܣܨ⊸Ͷͷι，
∴∠ܲܣܨ⊸∠ܳܣܨ，
∵ܣܲ
⊸ܣܳ，ܣܨ⊸ܣܨ，
∴ᇞܣܲܨ، ᇞܣܳܨSAS ，
∴∠ܣܲܨ⊸∠ܣܳܨ，
∴∠ܣܲܤ⊸∠ܣܲܨ，
又∵∠ܣܲܤ⊸∠ܣܧܤ，
∴∠ܣܲܨ⊸∠ܣܧܤ；
(3)ݕ⊸䁠坐
【分析】（h）连接ܧܲ，由圆周角定理得∠ܣܤܲ
⊸∠ܣܧܲ
⊸ͻͲι，即得ܣܲ
⊸
h䁠Ň Ͷ䁠⊸ͷ，再根据等腰
直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解；
（䁠）延长ܨܦ至点ܳ
，使得ܦܳ
⊸ܤܲ，连接ܣܳ，ܧܲ，可证ᇞܣܤܲ، ᇞܣܦܳ
SAS ，得到∠h ⊸∠h，∠ܣܲܤ⊸
∠ܣܳܨ，ܣܲ
⊸ܣܳ，再证明ᇞܣܲܨ، ᇞܣܳܨSAS ，得到∠ܣܲܨ⊸∠ܣܳܨ，进而由∠ܣܲܤ⊸∠ܣܧܤ即可求证；
（h）连接ܧܲ、ܧܥ，过点ܧ分别作ܤܥ、ܥܦ的垂线，交ܤܥ、ܥܦ于点ܩ、ܪ，过点ܣ作ܤܦ的垂线，
交ܤܦ于点ܫ，可得ܣܫ⊸
䁠
䁠ܣܤ⊸䁠䁠，由四边形ܧܩܥܪ是矩形得ܧܪ⊸ܩܥ，又由正方形的轴对称性可知ܣܧ⊸
ܥܧ，由（h）已知ܣܧ⊸ܧܲ，进而得到ܧܲ
⊸ܧܥ，即得到ܲ
ܩ⊸ܥܩ⊸ܧܪ，由根据等腰直角三角形的性质
和勾股定理得ܤܧ⊸
䁠ܤܩ，ܦܧ⊸
䁠ܧܪ，得到ܤܧെܦܧ⊸
䁠ܤܩെܧܪ⊸
䁠ܤܩെܲ
ܩ⊸
䁠ܤܲ
⊸
䁠坐，
最后根据ݕ⊸ܵ
ᇞܣܤܧെܵ
ᇞܣܦܧ列出函数关系式即可．
【详解】（1）解：如图，连接ܧܲ，
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∵ܣܲ
为直径，
∴∠ܣܤܲ
⊸∠ܣܧܲ
⊸ͻͲι，
∵ܤܲ
⊸h，ܣܤ⊸Ͷ，
∴ܣܲ
⊸
h䁠Ň Ͷ䁠⊸ͷ，
∵ܤܦ是正方形ܣܤܥܦ的对角线，
∴∠ܣܤܦ⊸Ͷͷι，
∴∠ܣܲܧ⊸∠ܣܤܦ⊸Ͷͷι
∴ᇞܣܧܲ
是等腰直角三角形，
∴ܣܧ⊸
䁠
䁠ܣܲ
⊸
ͷ 䁠
䁠；
（2）略
（3）解：如图，连接ܧܲ、ܧܥ，过点ܧ分别作ܤܥ、ܥܦ的垂线，交ܤܥ、ܥܦ于点ܩ、ܪ，过点ܣ作ܤܦ
的垂线，交ܤܦ于点ܫ，
∵ܣܤ⊸Ͷ，∠ܣܤܦ⊸Ͷͷι，
∴ܣܫ⊸
䁠
䁠ܣܤ⊸䁠䁠，
ܧܩ٣ ܤܥ，ܧܪ٣ ܥܦ，
∴∠ܧܩܥ⊸∠ܧܪܥ⊸∠ܤܥܦ⊸ͻͲι，
∴四边形ܧܩܥܪ是矩形，
∴ܧܪ⊸ܩܥ，
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由正方形的轴对称性可知ܣܧ⊸ܥܧ，由（h）已知ܣܧ⊸ܧܲ，
∴ܧܲ
⊸ܧܥ，
∵ܧܩ٣ ܤܥ，
∴ܲܩ⊸ܥܩ⊸ܧܪ，
∵∠ܦܤܥ⊸Ͷͷι，ܧܩ٣ ܤܥ，
∴ܤܧ⊸
䁠ܤܩ，
同理可得，ܦܧ⊸
䁠ܧܪ，
∴ܤܧെܦܧ⊸
䁠ܤܩെ
䁠ܧܪ⊸
䁠ܤܩെܧܪ⊸
䁠ܤܩെܲ
ܩ⊸
䁠ܤܲ
⊸
䁠坐，
∴ݕ⊸ܵ
ᇞܣܤܧെܵ
ᇞܣܦܧ⊸
h
䁠ܣܫܤܧെܦܧ⊸
h
䁠ൈܣܫൈ
䁠ܤܲ
⊸
h
䁠ൈ䁠䁠ൈ
䁠坐⊸䁠坐，
即ݕ⊸䁠坐．