1 / 19
学科网（北京）股份有限公司
专题05 二次函数
5 年真题1 年模拟
考点分类
福建考情（2022-2026）
命题规律
考点01 二次函数
的性质
2026 福建卷、
2025 福建卷、
2024 福建卷、
2023 福建卷、
2022 福建卷
高频压轴选择题、填空题；核心考查对称轴、开
口方向、点到对称轴距离与函数值大小比较、含
参数取值范围；偶尔结合增长率实际应用；侧重
数形结合，易错点：分类讨论点在对称轴左右两
侧、距离比较不等式建立。
考点02 二次函数
压轴
2026 福建卷、
2025 福建卷、
2024 福建卷、
2023 福建卷、
2022 福建卷
试卷最后一道几何代数综合大题，多小问梯度设
问；常综合顶点、判别式、坐标交点、直线相交、
距离相等（外心）、面积倍数、定点定值、几何
等量探究；核心思想：数形结合、坐标法、分类
讨论；难度大，区分整张试卷水平，第(1)(2) 问
基础易得分，第(3) 问综合性强。
考点01 二次函数的性质
1．（2026·福建·中考真题）已知抛物线
2
2
y
x
nx
经过点
3,
A
a ，
5,
B
b ．若a
b
，且
0
ab
，则n 的
取值可以是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
2．（2025·福建·中考真题）已知点
1
2
2,
,
1,
A
y
B
y
在抛物线
2
3
1
y
x
bx
上，若3
b
，则下列判断
正确的是（
）
A．
1
2
1
y
y
B．
1
2
1
y
y
C．
2
1
1
y
y
D．
2
1
1
y
y
3．（2024·福建·中考真题）已知二次函数
2
2
0
y
x
ax
a a
的图象经过
1
,
2
a
A
y
，
2
3 ,
B
a y
两点，则
下列判断正确的是（
）
2 / 19
学科网（北京）股份有限公司
A．可以找到一个实数a ，使得
1y
a
B．无论实数a 取什么值，都有
1y
a
C．可以找到一个实数a ，使得
2
0
y
D．无论实数a 取什么值，都有
2
0
y
4．（2023·福建·中考真题）根据福建省统计局数据，福建省2020 年的地区生产总值为43903.89 亿元，2022
年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程
（
）
A．
43903.89 1
53109.85
x
B．
2
43903.89(1
)
53109.85
x
C．
2
43903.89
53109.85
x
D．
2
43903.89 1
53109.85
x
5．（2023·福建·中考真题）已知抛物线
2
2
(
0)
y
ax
ax
b a
经过
1
2
2
3,
,
1,
A
n
y
B n
y
两点，若,
A B 分
别位于抛物线对称轴的两侧，且
1
2
y
y
，则n 的取值范围是___________．
6．（2022·福建·中考真题）已知抛物线
2
2
y
x
x
n
与x 轴交于A，B 两点，抛物线
2
2
y
x
x
n
与x 轴
交于C，D 两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n 的值为______．
考点02 二次函数压轴
1．（2026·福建·中考真题）已知抛物线
2
y
x
bx
c
．
(1)若
1
b ，
2
c
，求抛物线的顶点坐标；
(2)若抛物线上存在一点
0
0
,
P x
y
在x 轴上方，求证：抛物线与x 轴有两个交点；
(3)抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点
0,2
C
，直线
2
y
bx
与
1
y
bx
相交于点D ，E 是y 轴
上不与点C 重合的点．若坐标平面内存在点M 满足MA
MB
MC
ME
，试探究CD 和DE 的数量关系，
并证明．
2．（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数
2
2
y
ax
bx
的图象过点
(1, ), (2, )
A
t B
t ．
(1)求b
a 的值；
(2)已知二次函数
2
2
y
ax
bx
的最大值为
2
3
1
4 a
．
①求该二次函数的表达式；
②若
1
2
,
,
,
M x m
N x m 为该二次函数图象上的不同两点，且
0
m
，求证：
2
1
2
1
1
2
2
x
x
m
x
．
3．（2024·福建·中考真题）如图，已知二次函数
2
y
x
bx
c
的图象与x 轴交于,
A B 两点，与y 轴交于点C ，
3 / 19
学科网（北京）股份有限公司
其中
2,0 ,
0, 2
A
C
．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若P 是二次函数图象上的一点，且点P 在第二象限，线段PC 交x 轴于点
,
D
PDB
△
的面积是CDB 的面
积的2 倍，求点P 的坐标．
4．
（2023·福建·中考真题）已知抛物线
2
3
y
ax
bx
交x 轴于
1,0 ,
3,0
A
B
两点，M 为抛物线的顶点，,
C D
为抛物线上不与
,
A B 重合的相异两点，记AB 中点为E ，直线
,
AD BC 的交点为P ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若
3
4,3 ,
,
4
C
D m
，且
2
m
，求证：
,
,
C D E 三点共线；
(3)小明研究发现：无论
,
C D 在抛物线上如何运动，只要
,
,
C D E 三点共线，
,
,
AMP
MEP
ABP 中必存在面
积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
5．（2022·福建·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线
2
y
ax
bx
经过A（4，0），B（1，4）
两点．P 是抛物线上一点，且在直线AB 的上方．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB 面积是△PAB 面积的2 倍，求点P 的坐标；
(3)如图，OP 交AB 于点C，PD
BO
∥
交AB 于点D．记△CDP，△CPB，△CBO 的面积分别为
1S ，2S ，3S ．判
4 / 19
学科网（北京）股份有限公司
断
1
2
2
3
S
S
S
S
是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
1．（2026·福建福州·模拟预测）若函数
2
y
x
ax
b
在0
1
x
的最大值是M ，最小值是m，则M
m
（
）
A．与a 有关，且与b 有关
B．与a 有关，但与b 无关
C．与a 无关，且与b 无关
D．与a 无关，但与b 有关
2．（2026·福建三明·三模）将抛物线
:
C
2
(
3)
6
y
x
进行平移得抛物线
:
C
2
2
y
x
，点
,5
P m
在抛
物线C 上，对应点P在抛物线C上，则点P的横坐标可以是（
）．
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（2026·江苏南通·一模）二次函数
2
4
2
0
y
ax
ax
a
的图象过点
1
1,
A
y
，
2
2,
B
y
，
3
6,
C
y
，若
1
2
3
0
y y y
，则a 的取值范围是（
）
A．
2
1
5
4
a
B．
2
1
5
6
a
C．
3
2
4
5
a
D．
1
1
3
6
a
4．（2026·福建南平·二模）二次函数
2
2
y
mx
mx
m
（m 是常数且
0
m
）
图象经过点
1
1
,
P x y
，一次
函数y
mx
m
的图象经过点
2
2
,
Q x
y
，当
0
m
时，下列结论不一定
．．．正确的是（
）
A．当
1
2
0
x
x
时，
1
2
y
y
B．当
1
2
1
x
x
时，
1
2
y
y
C．当
1
2
y
y
m
时，
1
2
x
x
D．当
1
2
y
y
m
时，
1
2
x
x
由图可知，当
1
2
0
x
x
时，
1
2
y
y
，故A 正确，不符合题意；
当
1
2
1
x
x
时，
1
2
y
y
，故B 正确，不符合题意；
当
1
2
y
y
m
时，
1
2
x
x
，故C 正确，不符合题意；
5 / 19
学科网（北京）股份有限公司
当
1
2
y
y
m
时，若
1
1
x ，则
1
2
x
x
，若
1
1
x ，则
1
2
x
x
，故选项D 不一定正确，符合题意．
5．（2026·福建三明·二模）小亮在学习了利用二次函数的图象估计一元二次方程的根一课后，尝试利用图
象求方程
2
2
3
x
x
n
的根，他发现方程有四个不等实数根，则n 的值可能是（
）
A．0
B．1
C．4
D．5
6．（2026·福建泉州·二模）作二次函数
2
y
ax
bx
c
（
0
a
）的图象关于原点的中心对称图形，所得图
象的解析式为
2
1
4
y
a x
a ，当3
2
x
时，二次函数
2
y
ax
bx
c
最大值与最小值的差是（
）
A．a
B．3a
C．6a
D．9a
7．（2026·福建泉州·模拟预测）已知二次函数
2
y
ax
bx
c
的图象过点
1,0
A
和
0,1
C
．若此抛物线的
顶点在第一象限，设t
a
b
c
，则t 的取值范围是（
）
A．
0
t
B．0
2
t
C．
2
t
D．1
2
t
8．（2026·福建漳州·模拟预测）已知抛物线
2
y
ax
c
经过不同的两点
9
3,
3
M
m
，
,
2
N d
m
，当
1
x
时，
1
y
m
，若
0
m
，则d 的值可能为（
）
A．3
B．2
C．1
D．4
9．
（2026·福建泉州·模拟预测）已知点
1
1
,
M x y
和
2
2
,
N x
y
在抛物线
2
2
2
0
y
ax
a x a
上，若对于
1
2
x
a
，
2
4
5
x
，都有
1
2
y
y
，则a 的取值范围为（
）
A．
3
0
2
a
B．0
2
a
C．
3
0
2
a
D．0
2
a
10．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，点P 是抛物线
2
y
x
bx
c
的顶点，点B 、点D 在抛物线上，PA
BC
x
∥
∥
轴，AB
PA
，BC
CD
，若PA
BC
m
，则AB
CD 的值为（
）
A．1
2
B．2
5
C．1
3
D．1
4
11．
（2026·福建泉州·二模）设抛物线
2
2
2
1
y
x
mx
m
的顶点为P ，与x 轴分别交于A
B
、两点，判定
PAB
6 / 19
学科网（北京）股份有限公司
的形状是（
）
A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．钝角三角形
D．锐角三角形
12．
（2026·福建泉州·模拟预测）抛物线
2
0
y
ax
bx
c a
经过四点：
1,
m
t
，
0, k
，
1,t ，
2
,
m
t
，
其中
0
t
，则下列选项中，值不变的是（
）
A．t
k
B．
2
k
t
C．t
k
D．tk
13．（2026·福建厦门·三模）已知抛物线
2
0
y
ax
bx
c a
过点
1
1
,
A x y
，
2
2,
B
y
，当
1
2
1
x
时，
若存在
1x 使
1
2
y
y
，则下列结论一定成立的是（
）
A．
1y
c
B．
1y
c
C．
2y
c
D．
2y
c
14．（2026·福建厦门·三模）如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上的动点，连接DE ，过点E 作EF
DE
交AB 于点F ，在点E 从点B 运动到点C 的过程中，线段BF 长度的变化情况是（
）
A．逐渐变小
B．逐渐变大
C．先变小再变大
D．先变大再变小
15．（2026·福建莆田·二模）已知抛物线
2
y
x
bx
经过
1
2
,
,
1,
A m y
B
y
，当1
3
m
≤
≤时，总有
1
2
y
y
，
则b 的值不可能为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
16．（2026·福建宁德·一模）对于二次函数
2
1
y
ax
bx
，则下列结论中正确的是（
）
A．当
0
a
时，该二次函数的图象与x 轴没有交点
B．当
0
b
时，该二次函数的图象与x 轴必有交点
C．当
0
a
b
时，在第一象限内，y 的值随x 值的增大而增大
D．当
0
a
b
时，在第二象限内，y 的值随x 值的增大而减小
17．（2026·福建漳州·模拟预测）方程
2
3
1
x
x
的根可视为函数
3
y
x
的图象与函数
1
y
x
的图象交点的
横坐标，那么用此方法可推断出方程
3
2
1
x
x
的实数根x 所在的范围是（
）
A．
1
0
4
x
B．1
1
4
3
x
C．1
1
3
2
x
D．1
1
2
x
7 / 19
学科网（北京）股份有限公司
18．（2026·福建厦门·模拟预测）经研究发现某型号火箭高度
m
h
与时间s
t
的关系近似满足二次函数，
科研人员在测试该型号火箭向上竖直升空时，获得的部分数据如下表，则下列判断正确的是（
）
时间/ s
t
1
10
18
20
火箭高度
/ m
h
155
1010
1090
1010
A．火箭在前18s 持续上升
B．火箭在18s 后才开始下降
C．火箭在10s 前可以达到1090m
D．火箭在30s 时的高度低于155m
19．（2026·福建漳州·模拟预测）已知抛物线
2
y
x
bx
与x 轴交于A，B 两点，抛物线
2
1
1
y
x
b x
与x 轴交于C，D 两点，其中
1
b ．若
3
AD
BC
，则b 的值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
20．
（2026·福建漳州·模拟预测）已知二次函数
2
6
9
5
0
y
ax
ax
a
a
，当
2
x
时，y 随x 的增大而增大．当
0
x
k
时，函数的最大值是5，最小值是9
5
a
，则k 的值可能是（
）
A．10
B．9
C．7
D．5
21．（2026·福建南平·一模）抛物线
1
C 过点
0
P a，，
3 ,0
Q
a
，将抛物线
1
C 向上平移2 个单位后，得到抛物
线
2
²
C
y
ax
bx
c
：
，若抛物线
2
C 上有两点
1
2
2,
A
a
y
，
2
3
1,
B
a
y
，使得
1
2
y
y
一定成立，则a 的取值
范围为（
）
A．3
0
a
或
1
a
B．3
0
a
C．
1
a
D．3
1
a
22．（2026·福建漳州·模拟预测）已知点
1
,
2
a
A
y
，
2
,
0
2
a
B
t y
t
，在抛物线
2
2
0
y
x
ax
a a
上，
则下列结论中，错误的是（
）
A．当
0
t
a
时，
1
2
y
y
B．存在实数a，使得
1
0
y
C．a 取任意非零实数时，都有
1y
a
D．a 取任意非零实数时，都存在t，使得
1
2
y
y
23．（2026·福建泉州·二模）已知二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的图象经过点
4,
,
2,
A
k
B
k
两点，若关
于x 的方程
2
3
3
1
a x
b x
c
k
有两个不相等的实数根m ，
n m
n
，则下列结论正确的是（
）
8 / 19
学科网（北京）股份有限公司
A．
4
n
m
B．
4
n
m
C．
6
n
m
D．
6
n
m
24．（2026·福建南平·二模）已知抛物线
2
0
y
ax
bx
c a
与x 轴交于
1,0
A
，
1
,0
B
a
两点，且点
1
2,
C
y
，
2
,
2
a
D
y
都在抛物线上，则下列说法正确的是（
）
A．当
4
a
时，
1
2
y
y
B．当
4
a 时，
1
2
y
y
C．无论a 为何值，
1
2
y
y
D．无论a 为何值，
1
2
y
y
25．（2026·福建三明·一模）已知二次函数
2
4
y
x
m
x
（m 为常数）．若1
2
m
，点
2
5,
P
m
p
，
4
7,
Q
m
q
在该函数图象上，则p 与q 的大小关系是（
）
A．p
q
B．p
q
C．p
q
D．无法确定
26．（2026·福建泉州·一模）已知抛物线
2
2
0
y
ax
bx
a ab
与x 轴交于A，B 两点，O 为原点，点M
在抛物线上且不与A，B 重合，过点M 作MN
OM
交抛物线的对称轴于点N，若MN
AN
，则OM 的长
度为（
）
A．1
B．
2
C．2
D．4
27．（2026·福建漳州·一模）已知
1
2
3
2,
,
5,
,
,
A
y
B
y
C t y
是抛物线
2
2
y
x
mx
上不同的三个点．若对于
0
1
t
，都有
1
3
2
y
y
y
，则m 的取值范围是（
）
A．3
2
2
m
B．3
5
2
2
m
C．
5
2
2
m
D．2
3
m
28．（2026·福建厦门·一模）从地面竖直向上抛出的小球离地面的高度h（单位；m ）与小球的运动时间t
（单位：s ）之间满足
2
2
3
6
12
3
0
2
h
t
at
a
t
a
．则下列选项中正确的是（
）
A．
0.5s
t
和
3s
t
时，小球离地面的高度相同
B．
2.5s
t
时，小球到达最高点
C．
3.5s
t
时，小球回到地面
D．2
3
t
时，小球处于下降阶段
29．（2025·福建龙岩·一模）已知二次函数
2
2
y
x
bx
c
的图象经过
3,
,
3,
A t
m
B t
n
两点，则下列结
论一定正确的是（
）
A．
0
t
b
m
n
B．
0
t
b
m
n
C．
0
t
b
m
n
D．
0
t
b
m
n
30．
（2026·福建泉州·模拟预测）等边ABC 中，
4 3
BC
，点P、点Q 分别是AB 、AC 上的动点，且AP
CQ
，
9 / 19
学科网（北京）股份有限公司
过A 、P、Q 三点作
O ，则
O 半径的最小值为________．
31．（2026·福建福州·模拟预测）已知某商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值．商家先将该
物品涨价8 元，月利润增多；又涨价4 元，发现月利润更多了，于是商家想知道涨价多少元时利润最大．记
涨价t 元时，利润最大，则t 的取值范围是_____．
32．（2026·福建宁德·二模）已知m ，n 是一元二次方程
2
3
0
x
x
t
的两个实数根．下列说法：①t 的取
值范围是
9
4
t
；②若
1
8
mn
m
n
mn
，则t 的值为1
或5；③二次函数
2
3
y
x
x
t
的最小值总不
大于0；④代数式
2
3
2
n
m
mn
的最大值是27
8 ．其中正确的是________．（填写序号）
33．（2026 年5 月福建省漳州市龙海区浮宫中学九年级练习试卷），为方程
2
2
0
kx
x
k
的两个实
数根，则k 的取值范围为_____．
34．（2026·福建厦门·三模）已知点
1
2
3
4
1,
,
2,
,
5,
,
6,
A
y
B
y
C
y
D
y 是抛物线
2
y
x
bx
c
上的点，其中
点A，C 在抛物线对称轴的两侧．若
1
2
y
y
，则c，
2y ，
4y 的大小关系是________．
35．（2026·福建漳州·模拟预测）随着电动汽车充电基础设施日趋完善，便捷的出行方式让越来越多的人青
睐电动汽车．已知某品牌电动汽车从电量0% 开始快充时，累计充电时间
min
y
与汽车仪表盘显示的电量
%
x
的关系可用二次函数
2
1
1
300
6
y
x
x
近似刻画，而电动汽车行驶过程中汽车仪表盘显示的可行驶里程
s km 与电量
%
x
的关系如下表所示．
汽车仪表盘显示的电
量
%
x
0
10
20
30
40
…
汽车仪表盘显示的可
行驶里程
s km
0
70
140
210
280
…
若王老师驾驶电动汽车前往某地，途经某一充电站，到达该充电站时汽车仪表盘显示的电量为30%，此时
到目的地的路程还有490km ．若王老师计划在该充电站一次性充电一段时间，在其他地方不再充电，且他
10 / 19
学科网（北京）股份有限公司
到达目的地时汽车仪表盘显示的电量恰好为10% ，则充电时间为________ min ．
36．（2026·福建三明·一模）在平面直角坐标系xOy 中，点
1
2
3
,
1,
2,
A m y
B m
y
C m
y
，
，
是抛物线
2
4
3
0
y
ax
ax
a
图象上的三点，若
1
n
m
n
时，满足
3
1
2
y
y
y
恒成立，则n 的整数部分数值为
_____．
37．（2026·福建福州·三模）在平面直角坐标系中，点M 的坐标为
2
,
m m
bm
，其中b 为常数且
4
b
．若
2
3
3
m
bm
b
，且
2
m
b
，则m 的取值范围是________．
38．（2026·福建厦门·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，直线y
x
m
与双曲线
5
y
x
交于
,5
A a
a ，
B 两点，在线段AB 上取一点M （M 不与A ，B 重合），点M 的横坐标为t ，作MH
x
轴于H ，交双曲
线
5
y
x
于N ，记d
MN OH
．若d 随t 的增大而减小，则t 的取值范围是______．
39．（2026·福建厦门·一模）抛物线
2
2
1
y
x
的顶点为A，将其沿水平方向向右平移m 个单位长度，
得到的抛物线的顶点为B，平移前后的两条抛物线相交于点C，若ACB 为等边三角形，则m的值为________．
40．（2026·福建泉州·模拟预测）若对于实数r ，s，满足r
s
，且当r
x
s
时，对应的函数值y 的取值范
围也为r
y
s
，则称区间
,r s 为该函数的一个“保值区间”．
(1)若二次函数
2
y
x
存在“保值区间”，且当
0
x
时的一个“保值区间”为
0,t ，求t 的值；
(2)已知
,a b 为二次函数
2
4
5
y
x
x
的“保值区间”，且a
b
，求
5
1
a a
b
b
的值．
41．（2026·福建漳州·模拟预测）抛物线
2
y
x
bx
c
经过点
,0
A
b
．
(1)求c 的值；
(2)已知B 是x 轴上方的抛物线上一点，BH
x
轴，垂足为H，且
OBH
BAO
．
①求证：
·
OH AH 为定值；
②若抛物线上有且仅有两个点C，D（异于点B），使得AOB
AOC
AOD
，
，
的面积相等，求该抛物线的函
数表达式．
42．（2026·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线
2
3
y
ax
bx
交y 轴于点A ，且过点
1,2
B
，
3,0
C
．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)将抛物线向右平移
0
m m
个单位，当平移后抛物线经过点C 时，求m 的值．
11 / 19
学科网（北京）股份有限公司
43．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
与y 轴交于点
0,3
C
，顶点为D，对称轴为
直线
1
x ，点P 在抛物线上，点P 的纵坐标为2，过点P 作x 轴的平行线交抛物线于另一点M，交y 轴
于点E．若
DMP
△
的面积是
CMP
△
的面积的3 倍，求抛物线的解析式．
44．（2026·福建福州·三模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
2
0
y
ax
bx
a
交x 轴于
1,0
A
，
4,0
B
两点，交y 轴于点C ，直线BC 交抛物线的对称轴于点D ．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若点P 在x 轴下方的抛物线上运动，直线AP ，BP 分别交抛物线的对称轴于点M ，N ，当点M ，N 均
在点D 的下方时，试判断DM
DN
是否为定值？若是，求这个定值；若不是，请说明理由．
45．（2026·福建南平·二模）如图，二次函数
2
(
1)
y
x
m
x
m
（其中
1
m ）的图象与x 轴交于A、B 两
点，与y 轴交于点C．
(1)点B 的坐标为______，点C 的坐标为_______；
(2)若点D 为ABC 的外心，判断BCD 的形状并说明理由；
(3)若点D 为ABC 的外心，BCD 与ACO 的面积之比为5:8，求二次函数的表达式．
46．（2026·福建泉州·二模）问题探究
12 / 19
学科网（北京）股份有限公司
定义：对于一个函数，若存在自变量
0x ，对应的函数值也等于
0x ，则称点
0
0
,
x x
为该函数图象上的一个“不
动点”．例如：对于一次函数
3
2
y
x
，当
1
2
x
时，
1
2
y
，则点1 1
,
2 2
为该函数图象上的一个“不动点”．请
你尝试探究下面问题．
(1)对于反比例函数
0
k
y
k
x
，求当k 满足什么条件时，该函数图象上存在“不动点”？
(2)已知二次函数
2
2
2
1
y
x
mx
m
m
（m 为常数）．
①求证：无论m 取何实数，该二次函数的图象上总有两个“不动点”；
②若点
1
1
,
P x x 和点
2
2
,
Q x
x
是该二次函数图象上的两个“不动点”．问线段PQ 的长是否与m 的取值有关？
47．（2026·福建三明·二模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），
用20 米长的栅栏围成一个矩形花园ABCD（栅栏只围AB ，BC 两边）．
(1)若BC 比AB 长6 米，求AB 、BC 的长；
(2)若在墙角P 处有一棵树与墙CD 、AD 的距离分别是12米和6 米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考
虑树的粗细），花园可以围出的最大面积是多少？
48．（2026·福建三明·二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线
2
(
0)
y
ax
bx a
．
(1)当
2
x
时，y 随x 的增大而减小，当
2
x
时，y 随x 的增大而增大，用等式表示a 与b 关系，并说明理
由；
(2)若抛物线经过点
1,3
A
，
2,0
B
，且与直线y
x
在第一象限内交于点C ；D 为抛物线在第四象限的图
象上一点，是否存在这样的点D ，使得
2
ADC
OAC
S
S
△
△
？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理
由．
49．（2026·福建泉州·二模）如图，已知二次函数
2
3
y
x
x
c
的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交
于点C ，其中B 点坐标为
1,0 ．
13 / 19
学科网（北京）股份有限公司
(1)求c 的值；
(2)点P 是抛物线上第四象限的一动点，当
PAB
CAB
时，求线段AP 的长．
50．（2026·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
0
y
ax
bx
c a
经过点O 和点
3,3
A
a ．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)点M 是抛物线上的一点，且在直线OA 下方．过点M 作x 轴的垂线，垂足为P ，直线MP 交直线OA 于点
N ，设点P 为
,0
P t
．若MN 的长随OP 的长的增大而增大，求t 的取值范围．
51．（2026·福建福州·模拟预测）如图，二次函数
2
y
ax
bx
c
的图象交x 轴于点A，点B，交y 轴于点
3
0, 2
C
．且a，b，c 满足
0
a
b
c
和9
3
0
a
b
c
，连接BC ．点P 是抛物线上一动点，且在直线BC 的
上方（不与B，C 重合）：
(1)求二次函数解析式；
(2)连接BP ，CP ，若
OCB
，
PBC
，求
cos
的取值范围．
52．（2026·福建泉州·模拟预测）综合与实践
为了落实阳光体育运动，学校计划开展跳绳比赛，某数学项目组决定协助跳绳比赛筹备组对多人跳绳的站
队方式进行了相关研究．
14 / 19
学科网（北京）股份有限公司
【数学模型】
如图1 是甲，乙两人甩绳子的示意图，当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作一条抛物线（如图2 所示）．
【实践操作】
第一步：选两名身高基本相同的男同学为持绳手，量得两人拿绳子的手离地面的高度都为1米，并且两人相
距6 米；
第二步：当绳子甩到最高点时，最高点距地面的垂直距离为2 米；
第三步：现以两人的站立点所在的直线为x 轴，过甲拿绳子的手作x 轴的垂线为y 轴，建立如图2 所示的平
面直角坐标系．
【问题解决】：
(1)求绳子甩到最高处时所对应的抛物线的函数表达式；
(2)当绳子甩到最高处时，试通过计算说明身高1.50米的小明，从乙的左侧距离乙1.5米处进入跳绳游戏，能
否顺利通过？
(3)现有5 位同学身高如下（单位：米）：1.78，1.68，1.59 ，1.76 ，1.80，并按如图1将这5 位同学与两位摇
绳人并排一列方式同时起跳，为了确保安全，要求相邻两人的间距至少为0.5米．当这5 位同学同时落地时，
绳子能否顺利甩过所有队员的头顶？若能，请写出一种队列方案；若不能，请说明理由．
53．（2026·福建三明·三模）已知二次函数
2
5
3
0
y
ax
a
x
a
．
(1)求证：该二次函数的图象与x 轴总有两个交点；
(2)若该二次函数图象的对称轴是直线
2
x
，且此对称轴与该二次函数图象交于点A ．
①求该二次函数的解析式；
②直线
2
3
y
kx
k
与该二次函数图象交于点M 、N ，当AMN 的面积为10时，求此直线的解析式．
54．（2026·福建莆田·模拟预测）某数学兴趣小组进行数学活动，如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标
是
0,2 ．在x 轴上任取一点M，完成下列作图步骤：
步骤一：连接AM ，作线段AM 的垂直平分线1l ，过M 作x 轴的垂线2l ，记1
2
,
l l 的交点为P．
步骤二：在x 轴上多次取点
1
2
,
,
M M M
的位置，按步骤一操作得到相应的点
1
2
,
,
P P P
，把点
1
2
,
,
P P
用
15 / 19
学科网（北京）股份有限公司
平滑的曲线连接起来，得到曲线L．
(1)小组成员小明取点
1
2
3
4
,
,
,
,
M
M
O M
M ，且利用网格作出点
1
M 所对应的点
1P ，请你作出点
2
3
4
,
,
,
M
O M
M 分
别所对应的点
2
5
3
4
,
,
,
P P P P ，并把这些点用平滑的曲线连接起来，猜想：曲线L 是一条____________________；
(2)设
,
P x y ，求y 关于x 的函数解析式；
(3)该兴趣小组进一步研究发现：
,
2
C c kc
，
,
2
D d kd
是曲线L 上不同的两点
0,
k
c
d
，直线
2
3
,
P C P D
相交于点Q，无论C，D 在曲线L 上如何运动，
5
3
5
2
3
,
,
AQP
PQP
P PQ 中必存在面积为定值的三角形．请指
出面积为定值的三角形，并求该定值．
55．（2026·福建三明·模拟预测）已知二次函数
2
y
ax
bx
c
（
0
a
）的图象与x 轴交于
1,0
A
、B 两
点，与y 轴交于点C ，其对称轴为直线
1
x ．
(1)当
1
a 时，求该二次函数的表达式；
(2)求证：5
<0
a
c
；
(3)若点C 的坐标为
0,3 ，且点P 为直线BC 上方的抛物线上的一点，过点P 作PD
y 轴，交直线BC 于点D ．
①若以C ，P ，D 为顶点的三角形与BOC 相似，请求出所有满足条件的点P 的坐标；
②是否存在点P ，使得
45
PBC
ACO
？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
56．（2026·福建漳州·模拟预测）阅读、综合与应用．
【阅读材料】在初中数学的学习中，我们已经知道一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
的根与系数的关系（韦
达定理）：若一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
的两根为
1x ，
2x ，则
1
2
b
x
x
a
，
1
2
c
x
x
a
．这一结论可
以帮助我们在不解方程的情况下，快速得到根与系数的关系，为解决复杂的数学问题提供了有力的工具．当
我们将研究范围从二次方程拓展到更高次的方程时，会发现类似的规律依然存在．下面，我们就来进一步
16 / 19
学科网（北京）股份有限公司
探究，感受数学知识的连贯性与拓展性．对于一般的一元三次函数
3
2
0
ax
bx
d a
f x
cx
，当
0
f x
时，我们得到一个一元三次方程
3
2
0
0
ax
bx
cx
d
a
．这个方程总有三个根（重根按重数计
算），记为
1x ，
2x ，
3x ，这三个根与系数a，b，c，d 之间存在着必然的联系．
推广1：若一元三次方程
3
2
0
0
ax
bx
cx
d
a
的三个根分别为
1x ，2x ，3x ，则三次多项式
3
2
ax
bx
cx
d
可以因式分解为
1
2
3
a x
x
x
x
x
x
，即
3
2
1
2
3
ax
bx
cx
d
a x
x
x
x
x
x
．
推广2：一般地，对于一元三次方程
3
2
0
0
ax
bx
cx
d
a
，如果它的三个根分别为
1x ，
2x ，
3x ，那么
1
2
3
1
2
1
3
2
3
1
2
3
,
,
b
c
d
x
x
x
x x
x x
x x
x x x
a
a
a
．
拓展1：图象的对称性我们知道，二次函数的图象是一条抛物线，具有轴对称性．三次函数的图象是一条连
续的曲线，它具有中心对称性．也就是说，在平面直角坐标系中，总能找到一个点，使得整个三次函数的
图象关于这个点对称，这个点叫做三次函数的对称中心．经过数学研究发现，对于一个三次函数
3
2
0
ax
bx
d a
f x
cx
，其对称中心的坐标为
,
3
3
b
b
f
a
a
．
拓展2：超级韦达定理对于任意实数p，我们可以构造一个表达式
1
2
3
p
x
p
x
p
x
，通过展开和代换，
可以发现它与原三次函数
f
p 有着直接的联系，即
1
2
3
f
p
p
x
p
x
p
x
a
，这个公式在处理与根
的差相关的乘积问题时，能起到化繁为简的神奇作用．
【问题解决】请根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)已知方程
3
2
6
11
6
0
x
x
x
的三个根分别为
1x ，
2x ，
3x ．
①求三次函数
3
2
6
11
6
f x
x
x
x
的图象的对称中心的坐标；
②不解方程，求
1
2
3
2
2
2
x
x
x
的值．
(2)已知三次函数
3
2
0
ax
bx
d a
f x
cx
的图象关于点
2,3 中心对称，且
0
1
f
，求d 的值，并分
别用含a 的式子表示b，c．
(3)证明推广2 的结论．
57．（2026·福建泉州·三模）【提出问题】
全民参与文体活动日渐流行，某小区开发商打算在售楼处原址新建一栋多层文体活动中心．为了保障居民
的生活质量，开发商与居民达成一致：规划建筑时，保证全部居民全年采光．
17 / 19
学科网（北京）股份有限公司
【分析问题】
工作人员通过查阅资料、实地测量，获得如下的信息：
材料一：根据《建筑设计防火规范GB50016 — 2014（2018）》规定，小区围栏与活动中心之间还要留出至
少9 m 的距离作为消防疏散通道；
材料二：小区围栏与住宅楼之间的距离
45m
AB
，小区围栏
40m
BC
，活动中心就建在这个矩形ABCD区
域内，其中建筑面积长宽层数，如图1所示；
材料三：为了保证后排建筑物在冬季能获得足够的光照，楼间距的设计需要以当地冬至日正午太阳高度角
（太阳高度角是指太阳光线与地平面的夹角）为依据，冬至日是北半球太阳高度角最小的时候，如果此时
前排建筑物的阴影不会遮挡后排建筑物的底层窗户（距离地面0.9 m ），那么在其他季节就更能保证采光，
每个地区的冬至日正午太阳高度受到所在纬度的影响，若该地冬至日正午太阳高度角为，如图2 所示．
【解决问题】
(1)经实地测量，在冬至日正午测得该小区一棵高度为1.8 m 的小树影长为3 m，则tan________；（请以
该太阳高度角为依据解决以下问题）
(2)若给定文体活动中心建筑方案如下，请填表并判断该方案是否合理．
层数
单层楼高/m
楼长/m
楼宽/m
建筑面积
2
/m
楼间距/m
2
4
40
28
(3)在文体活动中心建筑单层楼高为4 m 且保证居民全年采光的前提下，将该建筑面积尽可能建大一点，请
给出方案（结果精确到0.1m ）．
(4)在保证居民全年采光，建筑面积尽可能建大一点的前提下，若记文体活动中心的建筑面积为S ，单层楼
高为h ，层数为n ，直接写出等式表示S ，h ，n 之间的数量关系．
58．（2026·福建漳州·模拟预测）【数学文化阅读】
我国南宋时期著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，其实质是根据三角形的三边长来求三
18 / 19
学科网（北京）股份有限公司
角形的面积．古希腊数学家海伦也有类似的公式，因此这个公式常被称为海伦— 秦九韶公式．它是解决“已
知三角形三边长求面积”问题的经典公式，具体形式为：若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记
2
a
b
c
p
（p 为三角形周长的一半，即半周长），则三角形的面积
S
p p
a
p
b
p
c
．
(1)【数学理解】已知一个三角形的三边长分别为5 ，6 ，7 ，请求出该三角形的面积．
(2)【数学应用】小明在研究该公式时发现，当三角形三边长为连续整数时，面积公式可简化．设三角形三
边长分别为
1
n ，n ，
1
n （
2
n
且n 为整数）．
①试用含n 的代数式表示该三角形的面积S ，并化简；
②若该三角形的面积为整数，求n 的最小值．
(3)【拓展探究】某公园计划借助一面围墙，用一段长20 米的篱笆围一个三角形花圃．测得所用围墙的长度
8
c
米，用篱笆围成的两边长分别为a ，b ，且
20
a
b
米．设该三角形花圃的面积为S ，请求出S 的最大
值，并判断此时围成的三角形花圃是否为特殊三角形．
59．（2026·福建厦门·一模）已知二次函数：
2
y
ax
bx
c
部分自变量x 的值与y 的值如下表．
x
1
2
3
y
0
m
0
(1)直接写出该二次函数的对称轴；
(2)若
3
d ，当x
d
时，
1
y
，求a 的取值范围；
(3)点A ，B 是该二次函数与x 轴的交点，点M 在该二次函数的对称轴上，当
3
c
时，试问该二次函数上
是否存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 四点为顶点的四边形为菱形，若存在求出所有N 的坐标，若不存在，
请说明理由．
60．（2026·福建三明·二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
y
ax
bx
c
与x 轴交于点A，B，与y 轴
正半轴交于点C，且ABC 是等腰直角三角形．
(1)求证：
0
b
；
(2)已知
2,0
A
，
O 过抛物线位于第一象限的点
0
0
,
P x
y
，且抛物线上的点均不在
O 内．
①求抛物线的函数表达式及点P 的坐标；
②若直线l ：y
kx
m
过点P，且抛物线在0
2
x
的部分与l 有公共点，求实数m 的取值范围．
61．（2026·福建泉州·三模）已知二次函数
2
0
y
a x
h
a
过点
0,1
A
，
1,1
B
．
19 / 19
学科网（北京）股份有限公司
(1)求二次函数解析式；
(2)已知
1,
M x m ，
2,
N x m 是二次函数图象上不同的两个点．
（ⅰ）若
1
m ，求证：
1
2
1
x
x
；
（ⅱ）存在实数
0
t
，使得
1
2
2
1
2
1
x
x
tm
x
x
，求t 的取值范围．
62．（2026·福建泉州·模拟预测）规定：如果某函数的图象关于直线
1
x
m
（
1
m 为常数）对称，则称该函数
为“长榆函数”，直线
1
x
m
叫做“振万直线”．
(1)下列函数，是否为“长榆函数”？若是，请在横线上填写“是”，若不是，请在横线上填写“否”．
①y
x
______；②
2026
x
y
______；③
2
2026
2026
y
x
x
______．
(2)函数
2
1
1
1
y
x
b x
c
和
2
2
2
2
y
x
b x
c
（其中
1b 、
2b 、1c 、
2c 为常数，1
2
c
c
）均为“长榆函数”，且其“振
万直线”为同一直线．若直线y
kx
m
与
2
1
1
1
y
x
b x
c
、
2
2
2
2
y
x
b x
c
的图象相交于
1
1
,
E x y
、
2
2
,
F x
y
、
3
3
,
G x y
、
4
4
,
H x
y
，其中
1
2
3
4
x
x
x
x
．求证：EF
GH
．
(3)若关于x 的“长榆函数”
2
1
3
0
y
ax
bx
a a
的“振万直线”为
2
x
，其函数图象与x 轴交于点A 、B（点
A 在点B 的右边），其顶点为M ；函数
2
2
3
y
ax
bx
a
的图象与x 轴交于点C 、D（点C 在点D 的右边），
其顶点为N ，以A 、D 、M 、N 为顶点的四边形能否为矩形或菱形，若能请求出a 的值，若不能请说明理
由．
