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专题03 方程与不等式
5 年真题1 年模拟
考点分类
北京考情（2022-2026）
命题规律
考点01 一元与一
次方程
2026 福建卷、
2024 福建卷
命题均结合真实生活情境出题，分为两种考查形
式：选择题考查根据题意列一元一次方程，辨析
等量关系；填空题考查一元一次方程实际应用计
算求解；题干素材紧贴经济统计、物理浮力等现
实背景，重点训练读懂文字信息、梳理等量关系，
无复杂解方程运算，核心难点在于建模。
考点02 一元二次
方程与分式方程
2025 福建卷、
2024 福建卷
包含两大模块：①一元二次方程实际应用选择
题，依托围墙面积等生活情境，重点考查根据面
积等量关系列方程；②分式方程解答题，标准考
查完整解方程步骤，必须检验根。命题侧重建模
能力，易错点：分式方程忘记验根、实际问题中
自变量取值范围取舍。
考点03 一元一次
不等式（组）
2026 福建卷、
2025 福建卷、
2024 福建卷、
2023 福建卷、
2022 福建卷
每年稳定考查，题型包含选择、填空、解答题；
选择题常考查不等式解集数轴表示、二次根式有
意义条件转化不等式；解答题为标准解不等式组
题型，要求完整书写步骤；易错点：系数化为1
时负数要改变不等号方向、数轴空心实心区分、
不等式组解集取公共部分。
考点01 一元一次方程
1．（2024·福建·中考真题）今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季
度社会消费品零售总额120327 亿元，比去年第一季度增长4.7% ，求去年第一季度社会消费品零售总额．若
将去年第一季度社会消费品零售总额设为x 亿元，则符合题意的方程是（
）
A．
1
4.7%
120327
x
B．
1
4.7%
120327
x
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C．
120327
1
4.7%
x
D．
120327
1
4.7%
x
【答案】A
【分析】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是理解题意，找出等量关系，根据今年第一季度社
会消费品零售总额120327 亿元，比去年第一季度增长4.7% ，列出方程即可．
【详解】解：将去年第一季度社会消费品零售总额设为x 亿元，根据题意得：
1
4.7%
120327
x
，
故选：A．
2．（2026·福建·中考真题）由于水对物体的浮力作用，实心的纯金和纯银浸没水中称重时，弹簧测力计的
示数分别约为原来的19
20 和9
10 ．一件重80 克的实心金银饰品，浸没水中称重，弹簧测力计的示数为原来的15
16 ，
若实心的纯金和纯银浸没水中称重，弹簧测力计的示数分别按原来的19
20 和9
10 计算，则这件金银饰品中含金
____________克．
【答案】60
【分析】设这件金银饰品中含金x 克，则含银
80
x
克，根据浸没水中后弹簧测力计总示数等于金的示数
与银的示数之和，列出一元一次方程求解即可．
【详解】解：设这件金银饰品中含金x 克，则含银
80
x
克，
根据题意列方程得：
19
9
15
80
80
20
10
16
x
x
去括号，得19
9
72
75
20
10
x
x
移项合并同类项，得1
3
20 x
系数化为1，得
60
x
．
考点02 一元二次方程与分式方程
1．（2025·福建·中考真题）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5 米的篱笆，在两边都
足够长的直角围墙的一角，围出一块6 平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x
米，根据题意可列方程（
）
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A．
2
5
6
x
B．
2
5 1
6
x
C．(5
)
6
x
x
D．
2
5(1
)
6
x
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x 表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列
出方程即可．
【详解】解：设矩形的一边长为x 米，则另一边长为
5
x
米，由题意，得：
(5
)
6
x
x
；
故选：C．
2．（2024·福建·中考真题）解方程：
3
1
2
2
x
x
x
．
【答案】
10
x
．
【分析】本题考查解分式方程,掌握解分式方程的步骤和方法，将分式方程化为整式方程求解，即可解题．
【详解】解：
3
1
2
2
x
x
x
，
方程两边都乘
2
2
x
x
，得
3
2
2
2
2
x
x
x
x x
．
去括号得：
2
2
3
6
4
2
x
x
x
x
，
解得
10
x
．
经检验，
10
x
是原方程的根．
考点03 一元一次不等式（组）
1．（2025·福建·中考真题）不等式1
1
2
2 x
的解集在数轴上表示正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示解集，先求出不等式的解集，定边界，定方向，表示出
不等式的解集即可．
【详解】解：1
1
2
2 x
，
1
2 1
2 x
，
1
1
2 x ，
∴
2
x
；
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在数轴上表示如图：
故选C．
2．（2025·福建·中考真题）若
1
x
在实数范围内有意义，则实数x 的值可以是（
）
A．2
B．1
C．0
D．2
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即
1
0
x
，
解不等式即可确定x 的取值范围，进而选出正确选项．
【详解】解：要使
1
x
在实数范围内有意义，
需满足被开方数
1
0
x
，
解得
1
x ．
∴
2
x
符合．
故选：D．
3．（2022·福建·中考真题）不等式组
1
0
3
0
x
x
的解集是（
）
A．
1
x
B．1
3
x
C．1
3
x
D．
3
x
【答案】C
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大；同小取小；大小小大中间找，大大小小找
不到，确定不等式组的解集．
【详解】解：由
1 0
＞
x
，得：
1
x＞，
由
3
0
x
，得：
3
x
，
则不等式组的解集为1
3
x
＜
，
故选：C．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解题的基础，熟知“同大取大；
同小取小；大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．
4．（2024·福建·中考真题）不等式3
2
1
x
的解集是______．
【答案】
1
x
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，通过移项，未知数系数化为1，求解即可解．
【详解】解：3
2
1
x
，
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3
3
x
，
1
x ，
故答案为：
1
x ．
5．（2026·福建·中考真题）解不等式组：
2
1
3
5
2
1
x
x
x
①
②
【答案】3
7
x
【详解】解：
2
1
3
5
2
1
x
x
x
①
②
解不等式①，得
3
x
，
解不等式②，得
7
x
，
所以原不等式组的解集为3
7
x
．
6．（2023·福建·中考真题）解不等式组：
2
1
3,
1 3
1.
2
4
x
x
x
①
②
【答案】3
1
x
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
2
1
3,
1 3
1.
2
4
x
x
x
①
②
解不等式①，得
1
x ．
解不等式②，得
3
x ．
所以原不等式组的解集为3
1
x
．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
1．（2026·福建厦门·模拟预测）已知方程
2
2
3
1
0
x
x
，利用根的判别式
2
4
b
ac
判断方程的根的情
况，则a，b，c 对应的值为（
）
A．
2
a
，
3
b
，
1
c
B．
2
a
，
3
b ，
1
c
C．
2
a
，
3
b ，
1
c
D．
2
a ，
3
b ，
1
c
【答案】C
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【分析】根据一元二次方程一般形式
2
0
0
ax
bx
c
a
，对应找出各项系数，注意系数要包含本身的符
号．
【详解】解：∵原方程为
2
2
3
1
0
x
x
，符合一元二次方程的一般形式，
∴对应可得
2
a
，
3
b ，
1
c
．
2．（2026·福建福州·三模）若一次函数y
bx
c
的图象如图所示，则关于x 的一元二次方程
2
0
x
bx
c
的
根的情况是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．根的情况无法确定
【答案】A
【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系及一元二次方程根的判别式，由图象确定b 、c 的符号，计算
的值即可判断根的情况．
【详解】解：由一次函数y
bx
c
的图象可知，图象经过第一、二、四象限，
∴
0
b
，
0
c
，
在方程
2
0
x
bx
c
中，Δ ൌt hܾሻʹ h Ͷ ൈͳ ൈt hܿሻൌܾ
ʹ Ͷܿ，
∵
0
b
，
0
c
，
∴
2
0
b
，4
0
c
，
∴
2
Δ
4
0
b
c
，
∴该方程有两个不相等的实数根．
3．（2026·福建三明·二模）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、
罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文
是：现在有绫布和罗布，布长共3 丈（1丈10
尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896 文，绫
布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设每尺绫布值x 文，根据题意可列方程是（
）
A．896
896
30
120
x
x
B．896
896
30
120
x
x
C．
896
896
30
120
x
x
D．896
896
30
120
x
x
【答案】A
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【分析】利用“长度总价单价”表示出两种布的长度，再根据总长度列方程.
【详解】解：∵设每尺绫布值x 文，绫布和罗布各1 尺共值钱120 文，
∴每尺罗布值
120
x
文，
∵绫布总价为896 文，罗布总价为896 文，
∴绫布总长度为896
x 尺，罗布总长度为
896
120
x
尺，
又∵绫布和罗布总长度共3 丈
30
尺，总长度等于两种布长度之和，
∴列方程得896
896
30
120
x
x
.
4．（2026·福建泉州·模拟预测）不等式2
4
6
x
的解集在数轴上表示为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：移项，得2
6
4
x
，
合并同类项，得2
2
x
，
系数化为1，得
1
x ，
∴不等式2
4
6
x
的解集在数轴上表示为
．
5．（2026·福建泉州·二模）元朝朱世杰所著《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五
十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240 里，慢马每天行150 里，慢
马先行12 天，问快马几天可追上慢马？设快马所需时间为x 天，下列方程正确的是（
）
A．
150
12
240
x
x
B．
150
240
12
x
x
C．240
150
12
x
x
D．240
150
12
x
x
【答案】A
【分析】找准等量关系：快马追上慢马时，两马行驶的总路程相等，再根据所设未知数表示出对应路程即
可.
【详解】设快马所需时间为x 天
∵慢马先行12天，
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∴慢马一共行驶的时间为
12
x
天，
∵快马追上慢马时，两马行驶总路程相等，
∴快马总路程为240x，慢马总路程为
150
12
x
，
可得方程
150
12
240
x
x
.
6．（2026·福建福州·模拟预测）若关于x 的分式方程
2
4
4
x
m
x
x 无解，则m 的值为（
）
A．2
B．2
C．4
D．4
【答案】C
【分析】先去分母后得到的整式方程，再根据原方程无解，即有增根，解答即可求出m 的值．
【详解】解：
2
4
4
x
m
x
x ．
方程两边同乘
4
x
去分母，得：
2
4
x
x
m
整理得
8
x
m
．
∵原方程无解，即原方程有增根，则
4
0
x
，
∴
4
x 是方程的增根，将
4
x 代入得：
4
8
m
，
解得
4
m ．
7．（2026·福建福州·模拟预测）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果
买一千，甜果九个十一文，？，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，
其中十一文钱可以买甜果九个，____________，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x 个，苦果y 个，根据题
意可列方程组为
1000
11
4
999
9
7
x
y
x
y
，则横线上的信息为（
）
A．七文钱可以买苦果四个
B．四文钱可以买苦果七个
C．一文钱可以买苦果七个
D．一文钱可以买苦果四个
【答案】B
【详解】解：∵设甜果x 个，苦果y 个，
方程组
1000
11
4
999
9
7
x
y
x
y
中，第二个方程表示总花费为999 文，
∴4
7 文是单个苦果的价格，即7 个苦果总价格为4 文钱，对应描述为四文钱可以买苦果七个．
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8．（2026·福建漳州·模拟预测）《周礼·考工记》中记载了古代水利营建智慧，古人通过精准计算工时与工
程长度的比例，保障了水渠灌溉系统的高效修建．古代水利工程队修复水渠，已知修复1 米长的石渠比修
复1 米长的木渠所用工时多1 天．若同样用30 天工时，修复石渠的长度比木渠的长度少5 米，设修复1 米
木渠需要x 天工时，则符合题意的方程是（
）
A．30
30
5
1
x
x
B．30
30
5
1
x
x
C．30
30
5
1
x
x
D．30
30
5
1
x
x
【答案】C
【分析】本题为分式方程应用题，先根据所设未知数表示出修复1 米石渠的工时，再分别求出30 天工时内
可修复的木渠和石渠的长度，最后根据长度关系列出方程即可．
【详解】解：设修复1 米木渠需要x 天工时，修复1 米长的石渠比修复1 米长的木渠多用1 天工时，则修复
1 米石渠需要
1
x
天工时．
∵总工时为30 天，总长度等于总工时除以修复1 米所需工时，
∴30 天可修复木渠长度为30
x 米，可修复石渠长度为30
1
x 米．
又∵相同30 天工时下，修复石渠的长度比木渠的长度少5 米，
∴30
30
5
1
x
x
．
9．（2026·福建厦门·三模）解方程
1
1
1
1
1
x
x x
的步骤如下：
方程左右两边同乘
1
x x
，
(
)
2
1
1
x
x x
=
-
+
①
去括号，得
2
2
1
x
x
x
②
移项，得
2
2
1
x
x
x
③
合并同类项，得
1
x ④
经检验，原分式方程无解．
以上解方程的过程中，错误的一步是（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】A
【分析】按照解分式方程的步骤去分母解法，需要验证每一步计算是否正确，找出错误步骤．
【详解】解：原方程为
1
1
1
1
1
x
x x
，
∴公分母为
1
x x
，
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当方程两边同乘
1
x x
时，左边
1
1
1 x x
x
x
，右边为
1
1
1
1
1
1
1
x x
x x
x x
x x
，
去分母后正确结果应为
1
1
x
x x
，
而题干步骤①的变形结果为
(
)
2
1
1
x
x x
=
-
+
，与正确结果不符，故步骤①出错，
出错步骤是①．
10．（2026·福建漳州·模拟预测）下列方程中，有实数根的是（
）
A．
2
9
0
3
x
x
B．
2
1
0
x
C．
3
2
0
x
x
D．
2
3
6
0
x
x
【答案】A
【分析】根据不同类型方程的性质，分别判断各选项是否存在实数根即可．
【详解】解：选项A：
2
9
0
3
x
x
，
去分母，得
2
9
0
x
，
解得
3
x
或
3
x ，
∵分式方程分母不能为0，即
3
0
x
，即
3
x ，
∴舍去
3
x ，得方程实数根为
3
x
，故A 符合题意；
选项B：
2
1
0
x
，
移项，得
2
1
x ，
任意实数的平方为非负数，不可能等于1
，
∴方程无实数根，故B 不符合题意；
选项C：二次根式结果非负，可得
3
0
x
，
2
0
x
，
若和为0 ，则需满足
3
0
2
0
x
x
，
解得
3
0
x
x
，无共同解，
∴方程无实数根，故C 不符合题意；
选项D：对于一元二次方程
2
3
6
0
x
x
，根的判别式
2
Δ
3
4 1 6
15
0
，
∴方程无实数根，故D 不符合题意．
11．（2026·福建泉州·模拟预测）某校为数学社团在同一商家采购数独九宫格盘，第一次用1400元买了若干
套，第二次用900元购买同款数独九宫格盘，……，求第一次购买了多少套？同学们根据题意，设第一次购
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买了x 套，列得方程1400
900
5
10
x
x
，则题目省略部分的文字为（
）
A．每套比上次降价5元，多买了10套
B．每套比上次降价5 元，少买了10套
C．每套比上次涨价5 元，少买了10套
D．每套比上次涨价5元，多买了10套
【答案】B
【分析】根据分式方程各部分的实际意义，分别分析购买数量和单价的关系，即可推出省略部分的条件与
省略部分的文字．
【详解】解：∵设第一次购买了x 套，方程中第二次购买的数量为
10
x
套，
∴第二次购买数量比第一次少10套，即少买了10套；
∵1400
x
是第一次购买的单价，900
10
x
是第二次购买的单价，方程满足1400
900
5
10
x
x
，
∴第一次单价比第二次单价多5 元，即第二次每套比第一次降价5 元；
因此省略部分的文字为“每套比上次降价5元，少买了10套” ．
12．（2026·福建漳州·模拟预测）我国北宋诗人欧阳修名言：“立身以立学为先，立学以读书为本”表达了学
习和读书的重要性．为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次
逐月增加，第一个月进馆300 人次，第三个月进馆432 人次，设进馆人次的月平均增长率为x，则符合题意
的方程是（
）
A．
2
300 1
432
x
B．
2
300 1
432
x
C．
300
300 1
432
x
D．
2
300
300 1
300 1
432
x
x
【答案】A
【分析】根据增长率的增长规律表示出第三个月的进馆人次，结合已知条件即可列出方程．
【详解】解：∵第一个月进馆人次为300，月平均增长率为x，
∴第二个月进馆人次为
300 1
x
，
第三个月进馆人次为
2
300 1
1
300 1
x
x
x
，
∵题目已知第三个月进馆432 人次，
∴可列方程为
2
300 1
432
x
．
13．（2026·福建泉州·二模）已知a
b
，下列说法不一定正确的是（
）
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A．若b
c
，则a
c
B．若c
d
，则a
c
b
d
C．若c
d
，则ac
bd
D．若c
d
，则a
d
b
c
【答案】C
【分析】根据不等式性质逐一判断选项，找出不一定成立的结论即可.
【详解】解：A、∵a
b
，b
c
∴a
c
，一定正确.
B、∵a
b
，∴a
c
b
c
又∵c
d
，∴b
c
b
d
∴a
c
b
d
，一定正确.
C、举反例验证，令
2
a
，
1
b ，
2
c ，
3
d ，满足a
b
，c
d
此时
2
2
4
ac
，
1
3
3
bd
可得
4
3
，即ac
bd
，不一定正确.
D、∵c
d
，∴
d
c
又∵a
b
，同向不等式相加得
a
d
b
c
即a
d
b
c
，一定正确.
14．（2026·福建三明·二模）算盘起源于中国，是我国的优秀文化遗产，它以排列成串的算珠作为计算工具，
中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华拨了一颗上珠和一颗下
珠作为一个三位数的百位数字，若个位数字与十位数字的和等于百位数字的2 倍，且个位数字比十位数字
多4，则这个三位数为多少？设个位数字为x，十位数字为y，下列方程组正确的是（
）
A．
6
4
x
y
x
y
B．
12
4
x
y
x
y
C．
6
4
x
y
y
x
D．
12
4
x
y
y
x
【答案】B
【分析】根据题意可得百位数字为6 ，利用已知条件列出方程组即可．
【详解】解：根据题意可得：百位数字有一颗上珠和一颗下珠组成，即百位数字为5 1
6
，
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设个位数字为x，十位数字为y，
个位数字与十位数字的和等于百位数字的2 倍，
2 6
x
y
，即
12
x
y
，
个位数字比十位数字多4，
4
x
y
，
可列方程组为
12
4
x
y
x
y
．
15．（2026·福建南平·一模）不等式组
3
1
2
1
x
x
x
的解集在数轴上表示正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出不等式组的解集，在数轴上表示即可．
【详解】解：
3
1
2
1
x
x
x
①
②
解不等式①得，
2
x
；
解不等式②得，
1
x ；
∴该不等式组的解集为2
1
x
，
在数轴上表示不等式组的解集如下：
．
16．（2026·福建福州·二模）在福州，肉燕（俗称太平燕）不仅是一道名小吃，更是喜庆习俗中的重要菜品．某
传统肉燕店制作肉燕，熟练工每小时比学徒多包300 粒，学徒3 小时与熟练工2 小时制作的肉燕粒数相同．设
学徒每小时包x 粒肉燕，则下列方程中符合题意的是（
）
A．
2
3
300
x
x
B．
2
3
300
x
x
C．
3
2
300
x
x
D．
3
2
300
x
x
【答案】D
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，先根据设出的学徒每小时工作量，表示出熟练工每小时工作
量，再根据二者总工作量相等的等量关系列方程即可．
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【详解】设学徒每小时包x 粒肉燕，
∵熟练工每小时比学徒多包300 粒，
∴熟练工每小时包
300
x
粒，
∵学徒3 小时制作的总粒数与熟练工2 小时制作的总粒数相同，
且学徒3 小时总粒数为3x，熟练工2 小时总粒数为2(
300)
x
，
∴可列方程3
2(
300)
x
x
．
17．（2026·福建南平·二模）已知关于x 的一元二次方程
2
6
3
0
ax
x
，其中a 在数轴上的对应点如图所
示，则该方程的根的情况是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
【答案】A
【详解】解：由数轴得，1
3
a
，
∵一元二次方程为
2
6
3
0
ax
x
，
∴
2
2
4
6
4
3
36
12
0
b
ac
a
a
，
∴该方程有两个不相等的实数根．
18．（2026·福建厦门·一模）日历中蕴含着丰富的数学规律．如图是某月的日历，在此日历上用一个正方形
圈出9 个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．现用一个3×3 正方形圈出另外的9 个数，若这9
个数之和记为n，则n 的值可能是（
）
A．108
B．109
C．153
D．154
【答案】C
【分析】设3 3
正方形圈出的9 个数正中间的数为x ，根据日历中数的排列规律（左右相差1，上下相差7），
用含x 的代数式表示出这9 个数，求和得到
9
n
x
，再结合日历的边界条件进行判断．
【详解】解：设3 3
正方形圈出的9 个数正中间的数为x ，
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则这9 个数分别为：
8,
7,
6
x
x
x
，
1
x ，x ，
1
x ，
6,
7,
8
x
x
x
(
8)
(
7)
(
6)
(
1)
(
1)
(
6)
(
7)
(
8)
9
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
n
必须是9 的倍数
109 和154不是9 的倍数
排除B、D 选项
对于A 选项，若
108
n
，则9
108
x
，解得
12
x
观察日历可知，12 位于第一列（周日），其左侧没有数字，无法构成3 3
的正方形，故A 不符合题意
对于C 选项，若
153
n
，则9
153
x
，解得
17
x
观察日历可知，17 位于第六列（周五），其上下左右均有数字，可以构成3 3
的正方形（圈出的数为9，
10，11，16，17，18，23，24，25），故C 符合题意．
19．（2026·福建泉州·一模）如图，
,
CA CB为
DCE
的三等分线，BE
CB
交CE 于点E，已知
ABE
E
DCE
=
+
，
20
A
，则
E
的度数为（
）
A．75
B．70
C．65
D．60
【答案】B
【分析】根据三等分线定义可设
ECB
ACB
ACD
x
，得到
90
E
x
，
160
ABC
x
，
90
2
ABE
x
，根据周角的定义列方程并解方程，进一步即可得到答案．
【详解】解：∵
,
CA CB为
DCE
的三等分线，
∴可设
ECB
ACB
ACD
x
，
则
3
DCE
x
，
∵BE
CB
交CE 于点E，
∴
90
CBE
，
∴
180
90
E
CBE
BCE
x
，
∵
20
A
，
∴
180
160
ABC
A
ACB
x
，
∴
90
3
90
2
ABE
E
DCE
x
x
x
，
∵
360
ABE
ABC
CBE
，
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∴90
2
160
90
360
x
x
，
解得
20
x
，
∴
90
70
E
x
．
20．（2026·福建泉州·一模）下列一元二次方程中没有实数根的是（
）
A．
2
2
0
x
x
B．
2
4
4
0
x
x
C．
2
1
0
x
x
D．
2
5
1
0
x
x
【答案】C
【分析】对于一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
，当
2
Δ
4
0
b
ac
时方程没有实数根，计算各选项的判
别式即可判断．
【详解】解：A 选项，
2 2
0
x
x
-
= ，
2
Δ
( 2)
4 1 0
4
0
，
方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B 选项，
2
4
4
0
x
x
，
2
Δ
( 4)
4 1 4
0
，
方程有两个相等的实数根，不符合题意；
C 选项，
2
1
0
x
x
，
2
Δ
1
4 1 1
3
0
，
方程没有实数根，符合题意；
D 选项，
2
5
1
0
x
x
，
2
Δ
( 5)
4 1
1
29
0
，
方程有两个不相等的实数根，不符合题意．
21．（2026·福建漳州·一模）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著
作记载了“买椽多少”问题（注释：椽是传统木构建筑用以支撑屋顶材料的木杆）．设这批椽有x 株，则符合
题意的方程是
（
）
原文：六贯二百一十钱，倩人去
买几株椽，每株脚钱三文足，无
钱准与一株椽．
译文：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210 文，
如果每株椽的运费是3 文，那么少拿一株椽后，剩下
的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210 文能
买多少株椽？
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A．6210
3
1
x
B．6210
3
1
x
x
C．6210
3
1
x
x
D．
6210
3
1
x
x
【答案】D
【分析】设这批椽有x 株，则一株椽的价钱为6210
x
，拿一株椽后，剩余
1
x
株，根据剩下的椽的运费恰
好等于一株椽的价钱，列出方程即可．
【详解】解：设这批椽有x 株，依题意得
6210
3
1
x
x
．
22．（2026·福建泉州·模拟预测）若关于x 的一元二次方程
2
3
0
x
x
k
有实数根，则k 的值不能为（）
A．2
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】利用一元二次方程根的判别式求出k 的取值范围，再判断选项中不满足范围的值即可．用到一元
二次方程有实根时判别式非负的性质．
【详解】解：∵一元二次方程
2
3
0
x
x
k
有实数根，
∴
2
Δ
4
0
b
ac
，
方程中
1
a ，
3
b - ，c
k
，代入得：
2
Δ
3
4 1
0
k
，
整理得9
4
0
k
，
解得
9
2.25
4
k
，
∵四个选项中只有3
2.25
，不满足取值范围．
∴k 的值不能为3．
23．（2026·福建泉州·模拟预测）黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部
分与较大部分的比值的分割点．已知线段
2
AB
，点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC
BC
，则AC 的长
是（
）
A．5 1
B．3
5
C．
5
1
2
D．
5
1
2
【答案】A
【分析】本题主要考查了黄金分割的应用，准确分析计算是解题的关键．
根据黄金分割点的定义，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，设AC 为x ，列出方程求
解
【详解】
2
AB
，AC
BC
，
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设AC
x
，则
2
BC
x
，
2
2
x
x
x
，
2
2 2
x
x
，即
2
2
4
0
x
x
，
解得
1
5
x
或
1
5
x
，
0
x
，
5
1
x
，即
5
1
AC
．
故选A ．
24．（2026·福建福州·模拟预测）已知a 是方程
2
2
5
0
x
x
的解，则
2
2
2
2
2
2026
a
a
a
a
________．
【答案】1996
【分析】先根据一元二次方程的解可得
2
2
5
0
a
a
，再变形为
2
2
5
a
a
，最后整体代入求值．
【详解】解：∵a 是方程
2
2
5
0
x
x
的解，
∴
2
2
5
0
a
a
即
2
2
5
a
a
，
则
2
2
2
2
2
2
2026
5
5
2026
1996
a
a
a
a
．
25．（2026·福建泉州·二模）节约用水已成为每位公民的自觉行动．某市规定，居民生活用水按三档分段计
价．第一段：每户每月用水不超过
3
Am ，水价为2.91元/
3
m ；第二段：每户每月用水超过
3
Am 但不超过
3
Bm ，
超过部分水价按3.71元/
3
m 计算；第三段：每户每月用水超过
3
Bm ，超过部分按6.11元/
3
m 计算．已知小明
家上月用水
3
20m 并没有超过
3
Bm ，缴纳水费59.80元．问A 的值为_____
3
m ．
【答案】18
【分析】先根据题目条件判断小明家水费符合第一、第二档的分段计价规则，再根据“总水费第一档水费
第二档水费”的等量关系列出关于A 的一元一次方程，最后解方程得到A 的值．
【详解】解：∵小明家上月用水
3
20m 未超过
3
Bm ，
∴水费仅涉及第一档和第二档计价：
第一档用水量为
3
Am ，
第二档用水量为
3
(20
)
A m
，
结合总水费列一元一次方程：2.91
3.71(20
)
59.80
A
A
，
整理得：0.8
14.4
A
，
解得
18
A
．
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26．（2026·福建泉州·二模）学校举行舞蹈比赛，从服装、动作技巧、感染力三个方面打分，并按服装、动
作技巧、感染力权重比为1: 4 :5 计算最终成绩，九年级（1）班和（2）班的成绩如下表，若（2）班的最终
成绩超过（1）班，则（2）班的感染力得分x 至少应超过_________．
参赛班级
服装
动作技巧
感染力
九（1）班
75 分
85 分
80 分
九（2）班
80 分
75 分
x 分
【答案】87
【分析】根据权重比得到加权平均数的计算方法，结合“2 班最终成绩超过1 班”的条件列出一元一次不等式
求解即可.
【详解】解：由服装、动作技巧、感染力权重比为1: 4 :5 ，可得总权重为1
4
5
10
，
计算九（1）班的最终成绩为：75 1 85 4
80 5
815
10
10
，
九（2）班的最终成绩为：80 1
75 4
5
380
5
10
10
x
x
，
由题意得九（2）班最终成绩超过九（1）班，列不等式：380
5
815
10
10
x
，
不等式两边同乘10得：380 5
815
x
，
移项得：5
815 380
x
合并同类项得：5
435
x
系数化为1得：
87
x
故（2）班的感染力得分x 至少应超过87.
27．（2026·福建三明·二模）已知
1x ，
2x 是一元二次方程
2
3
0
x
x
m
的两个根，若
2
1
1
2
3
8
6
x
x
x
，则m
的值为______．
【答案】1
【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系，得到
2
1
1
3
0
x
x
m
以及
1
2
3
x
x
，将
2
1x 用含
1x 和
m 的式子表示后代入已知等式整理，即可求出m 的值.
【详解】解：∵
1x ，
2x 是一元二次方程
2
3
0
x
x
m
的两个根，
∴
2
1
1
3
0
x
x
m
，
1
2
3
x
x
，
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∴
2
1
1
3
x
x
m
，
∵
2
1
1
2
3
8
6
x
x
x
，
∴
1
1
2
3 3
8
6
x
m
x
x
，
展开得
1
1
2
9
3
8
6
x
m
x
x
，
整理得
1
2
6
3
x
x
m
，
将
1
2
3
x
x
代入得3
6 3m
，解得
1
m .
28．（2026·福建宁德·二模）某校计划组织545 名师生前往“闽东苏区红色”基地开展研学活动．某旅游公司
派出11 辆A，B 型客车，所有客车刚好坐满，没有空位，其中A 型客车可承载45 人，B 型客车可承载55
人．求该旅游公司派出A，B 型客车各多少辆？若设该旅游公司派出A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，根据题
意，已经列出一个方程是
11
x
y
，则可列出的另一个方程是________．
【答案】45
55
545
x
y
【分析】根据等量关系“A 型客车承载人数+B 型客车承载人数=总人数”结合两种车型的载客量推导另一个方
程即可．
【详解】解：设派出A 型客车x 辆，则A 型客车总承载人数为45x ；B 型客车y 辆，则B 型客车总承载人数
为55y ，
由题意，得45
55
545
x
y
．
29．
（2026·福建泉州·模拟预测）若关于x 的分式方程
2
3
3
x
mx
x
x
有正整数解，若m 为正整数，则m ______．
【答案】1
【分析】将分式方程化为整式方程，求解得到x 的表达式，根据x 为正整数且m 为正整数，确定m 的可能
值，并检验分母不为零即可．
【详解】解：原方程可化为
2
3
3
x
mx
x
x
，
两边同乘
3
x
，得：
2
x
mx
，
整理得：
1
2
x
m
，
解得：
2
1
x
m
．
∵分式方程有正整数解，
∴1
m
是2 的正因数，即1
1
m
或1
2
m
，解得
0
m
或
1
m ．
∵m 为正整数，
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∴
1
m ，
当
1
m 时，
1
x ，代入原方程，分母
3
2
0
x
，3
2
0
x
，符合题意．
30．（2026·福建三明·三模）关于x 的不等式组
4
2
0
0
x
x
a
恰有4 个整数解，则a 的取值范围是________．
【答案】2
1
a
【分析】先解出不等式组中每个不等式的解集，再根据不等式组恰有4 个整数解，得到关于a 的不等式，即
可求解得到a 的取值范围．
【详解】解：由4
2
0
x
，得：2
4
x
，
系数化为1得
2
x
，
由
0
x
a
，
得：x
a
，
不等式组的解集为
2
a
x
，
不等式组恰有4 个整数解，
这4 个整数解为1,0,1,2
，
2
1
a
．
31．（2026·福建厦门·模拟预测）已知
x
m
y
m
，
1
2
x
m
y
m
均为关于x ，y 的二元一次方程
2
ax
by
的解，
则b
a 的值为______．
【答案】1
2 /0.5
【分析】根据二元一次方程的解的定义，将两组解代入原方程，得到关于a 、b 、m 的等式，消去m 后得到
a 与b 的数量关系，即可计算得到b
a 的值．
【详解】解：将
x
m
y
m
代入
2
ax
by
，得
2
am
bm
①
将
1
2
x
m
y
m
代入
2
ax
by
，得
1
2
2
a m
b m
展开整理，得
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2
2
am
bm
a
b
②
把①代入②，得
2
2
2
a
b
整理得：
2
a
b
，
则
2
1
2
b
b
a
b
．
32．（2026·福建漳州·模拟预测）方程组
3
4
2
1
x
y
x
y
的解是_________．
【答案】
1
1
x
y
【详解】解：
3
4
2
1
x
y
x
y
①
②，
由①得：
3
4
y
x
③，
把③代入②得：
2 3
4
1
x
x
，
整理得：7
7
x ，解得：
1
x ，
把
1
x 代入③得：
3
1
4
1
y
，
原方程组的解为
1
1
x
y
．
33．（2026·福建泉州·一模）已知实数x，y 满足
2
2
6
x
xy
y
，则
2
2
x
xy
y
的最大值为____．
【答案】18
【分析】先求得
2
2
x
y
和2xy 的值，再求得
2
18
0
2
w
x
y
，解不等式可求得
18
w
，即可得出答案．
【详解】解：由题意，设
2
2
x
xy
y
w
①，
又
2
2
6
x
xy
y
②，
①
②得，
2
2
2
6
x
y
w
，
即
2
2
6
2
w
x
y
，
①-②得，2
6
xy
w
，
∴
2
2
2
6
18
2
6
0
2
2
w
w
x
y
xy
x
y
w
，
18
w
，
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2
2
x
xy
y
的最大值为18．
34．（2026·福建泉州·一模）已知关于x 的分式方程
2
1
1
x
m
x
x
有增根，则m 的值________．
【答案】1
【分析】将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程即可求出m 的值．
【详解】解：方程两边同乘最简公分母
1
x
，去分母得：
2
1
x
x
m
，
解得：
2
x
m
，
∵分式方程有增根，
∴
1
0
x
，即
1
x ，
∴1
2
m
解得
1
m ．
35．（2026·福建泉州·模拟预测）若关于x 的分式方程2
3
2
x
m
x
的解是正数，则实数m 的取值范围是
_________
【答案】
6
m 且m≠-4
【分析】先解方程求出x=m+6，根据该方程的解是正数，且x-2 0 列得
6
0
6
2
0
m
m
，计算即可．
【详解】解：2
3
2
x
m
x
，
去分母得：2x+m=3（x-2），
解得：x=m+6，
∵该方程的解是正数，且x-2 0，
∴
6
0
6
2
0
m
m
，
解得
6
m 且m -4，
故答案为：
6
m 且m -4．
【点睛】本题考查了分式的解的情况求字母的取值范围，解题中注意不要忽略分式的分母不等于零的情况．
36．（2026·福建厦门·模拟预测）解不等式组：
1
0
1
4
3
2
x
x
①
②．
【答案】1
2
x
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【详解】解：
1
0
1
4
3
2
x
x
①
②
由①得，
1
x
；
由②得，
2
x
∴原不等式组的解集为1
2
x
．
37．（2026·福建南平·二模）2026 年国内成品油价格迎来新一轮上调，高速服务区“油电协同补给”成为标配．
(1)在某服务区，新增电动汽车的快速充电桩A 型与普通充电桩B 型，快速充电桩A 型数量是普通充电桩B
型数量的2 倍，统计发现：在1 个小时内，平均每个A 型充电桩可以为3 辆电动汽车充电，每个B 型充电
桩可以为2 辆电动汽车充电，这样在这1 小时内可以为56 辆汽车提供充电服务．那么这个服务区的A 型、
B 型充电桩分别有多少个？
(2)一般情况下，在高速公路上行驶时电动汽车平均每公里所耗电费比燃油汽车平均每公里所耗油费少0.8
元．若两位车主在服务区分别花80 元给电动汽车充电、花400 元给燃油汽车加油，电动汽车可行驶的里程
与燃油汽车可行驶的里程相等，那么电动汽车在高速路上行驶时平均每公里所耗电费为多少元？
【答案】(1)A 型充电桩有14 个，B 型充电桩有7 个；
(2)电动汽车在高速公路上行驶时平均每公里所耗电费为0.2 元．
【分析】（1）设A 型充电桩有x 个，B 型充电桩有y 个，根据快速充电桩A 型数量是普通充电桩B 型数
量的2 倍，在1 个小时内，平均每个A 型充电桩可以为3 辆电动汽车充电，每个B 型充电桩可以为2 辆电
动汽车充电，且1 小时内可以为56 辆汽车提供充电服务，建立方程组求解即可；
（2）设电动汽车在高速路上行驶时平均每公里所耗电费为a 元，则燃油汽车平均每公里所耗油费为
0.8
a
元，根据花80 元给电动汽车充电、花400 元给燃油汽车加油，电动汽车可行驶的里程与燃油汽车可行驶的
里程相等，建立分式方程求解即可．
【详解】（1）解：设A 型充电桩有x 个，B 型充电桩有y 个，
依题意得
2
3
2
56
x
y
x
y
，
解得
14
7
x
y
，
答：A 型充电桩有14 个，B 型充电桩有7 个；
（2）解：设电动汽车在高速路上行驶时平均每公里所耗电费为a 元，则燃油汽车平均每公里所耗油费为
0.8
a
元，
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根据题意得80
400
0.8
a
a
，
解得
0.2
a
，
经检验，
0.2
a
是原分式方程的解且符合题意，
答：电动汽车在高速公路上行驶时平均每公里所耗电费为0.2 元．
38．（2026·福建福州·模拟预测）学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x 的一元二次方程
2
0
x
x
m
开展探究．
(1)当
1
m 时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”；
(2)若实数a，b 满足
2
0
a
a
m
，
2
3
9
0
b
b
m
，且3a
b
，求3a
b
的值；
(3)若两个不相等的实数p，q 满足
2
p
p
m
mq
，
2
q
q
m
mp
，求证：
2
pq
m
．
【答案】(1)
1
5
2
(2)
3
3
a
b
(3)
证明：
∵
2
p
p
m
mq
①，
2
q
q
m
mp
②，
①②得：
2
2
(
)
p
q
p
q
m q
p
，
整理得：(
)(
)
(
)
(
)
p
q
p
q
p
q
m p
q
，
∵p
q
，
∴
0
p
q
，
等式两边同时除以p
q
得：
1
p
q
m
，即
1
p
q
m
，
∴
1
q
m
p
将
1
q
m
p
代入①得：
2
(
1
)
p
p
m
m
m
p
，
整理得：
2
2
p
p
m
m
m
mp
，
移项整理得：
2
2
(1
)
0
p
m p
m
，
同理，将
1
p
m
q
代入②，整理得
2
2
(1
)
0
q
m q
m
，
∵p
q
，
∴p ，q 是一元二次方程
2
2
(1
)
0
x
m x
m
的两个不相等的实数根，
∴
2
pq
m
.
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【分析】（1）代入
1
m ，利用求根公式求出方程的正根即可；
（2）将已知等式变形，得到a 和3
b 是原一元二次方程的两个不相等根，利用根与系数的关系求出3a
b
的
值；
（3）对两个已知等式作差，结合p
q
得到p
q
的关系式，再推导出p ，q 是新一元二次方程的两个根，
利用根与系数关系证明结论.
【详解】（1）解：将
1
m 代入
2
0
x
x
m
，得
2
1
0
x
x
，
∴
2
Δ
1
4 1
1
5
0
，
∴
1
5
2
x
，
∴
1
2
1
5
1
5
0,
0
2
2
x
x
，
∴“黄金分割数”为1
5
2
；
（2）解：∵
2
0
a
a
m
，
2
3
9
0
b
b
m
，
将
2
3
9
0
b
b
m
两边同时除以9，得
2
0
3
3
b
b
m
，
∵3a
b
，
∴
3
b
a
，
∴a ，3
b 是一元二次方程
2
0
x
x
m
的两个不相等的实数根，
∴
1
3
b
a
，
∴3
3
a
b
；
（3）略
39．（2026·福建厦门·模拟预测）某服装制造厂要在开学前赶制3000套校服，为尽快完成任务，工厂提高
了生产效率，使每天完成的校服数量是原计划的1.2倍，结果提前4 天完成任务，原计划每天完成多少套校
服？
【答案】原计划每天完成125 套校服
【分析】设原计划每天完成校服x 套，由等量关系：原计划完成所需时间- 实际完成所需时间
4
，列方程
即可，注意分式方程要检验．
【详解】解：设原计划每天完成校服x 套，则实际每天完成校服1.2x 套，
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由题意得3000
3000
4
1.2
x
x
，
解得
125
x
，
检验：当
125
x
时，1.2
150
0
x
，
所以，原分式方程的解为
125
x
，且符合题意，
答：原计划每天完成125 套校服．
40．（2026·福建福州·三模）实数a 、b 、m 满足
2
2
2
4
a
am
m
m
，
2
2
2
4
b
bm
m
m
，且a
b
．
(1)若a
b
，当
2
m
时，求a 及b 的值；
(2)是否存在m 使
2
2
3
a
b
，若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
1
5
a
，
1
5
b
(2)存在，
1
m
【分析】（1）易得a 、b 是关于x 的方程
2
2
2
4
0
x
mx
m
m
的两个不相等的实数根，把
2
m
，代入方
程，再解一元二次方程即可；
（2）根据根与系数的关系，列出方程求出m 的值，再把m 的值代入原方程，判断方程的根的情况，进行取
舍即可.
【详解】（1）解：
2
2
2
4
a
am
m
m
，
2
2
2
4
b
bm
m
m
，且a
b
a
、b 是关于x 的方程
2
2
2
4
0
x
mx
m
m
的两个不相等的实数根，
当
2
m
时，方程化为
2
2
4
0
x
x
，
解得
1
5
x
或
1
5
x
a
b
1
5
a
，
1
5
b
．
（2）解：存在
理由：由（1）得a 、b 是关于x 的方程
2
2
2
4
0
x
mx
m
m
的两个不相等的实数根，
∴a
b
m
，
2
2
4
ab
m
m
，
2
2
3
a
b
，
2
2
2
(
)
2
2(
2
4)
3
a
b
ab
m
m
m
，
解得
1
m 或
5
m
；
当
1
m 时，方程化为
2
1
0
x
x
，此时
21
4 1
1
5
0
，符合题意；
当
5
m
时，方程化为
2
5
11
0
x
x
，此时
2
Δ
5
4 1 11
19
0
，不符合题意；
1
m
．
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41．（2026·福建三明·模拟预测）对于一元二次方程
2
2
0
ax
cx
b
（
0
a
），若满足
2
2
2
a
b
c
，则我们
把这样的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
(1)当
3
a
，
4
b
，
0
c
时，求相应的“勾系一元二次方程”的根；
(2)求证：关于x 的“勾系一元二次方程”
2
2
0
x
cx
b
必有实数根．
【答案】(1)
1
5
13
3
x
，
2
5
13
3
x
(2)证明：
2
2
0
x
cx
b
Q
是勾系一元二次方程，
2
2
1
c
b
，
2
2
2
2
1
Δ
4
4
4 1
4
4
4
4
4
3
2
c
b
b
b
b
b
b
，
2
1
0
2
b
Q
，
2
1
Δ
4
3
0
2
b
，
∴关于x 的勾系一元二次方程
2
2
0
x
cx
b
必有实数根．
【分析】（1）先根据“勾系一元二次方程”的定义求出
5
c
，再解一元二次方程即可；
（2）先根据“勾系一元二次方程”的定义求出
2
2
1
c
b
，然后利用根的判别式解答即可．
【详解】（1）解：∵方程是勾系一元二次方程，且
3
a
，
4
b
，
2
2
2
2
2
3
4
25
c
a
b
．
0
c
Q
，
5
c
（负舍），
∴原方程为：
2
3
10
4
0
x
x
．
2
Δ
10
4 3 4
52
0
Q
，
10
52
10
2 13
5
13
2 3
6
3
x
，
1
5
13
3
x
，
2
5
13
3
x
．
（2）略．
42．（2026·福建厦门·三模）班级打算购买某款笔记本和中性笔作为奖品，奖励在绘画比赛中获奖的学生．笔
记本的价格为16 元/本，中性笔的价格为4 元/支，该班级一共要购买20 件奖品．设购买x 本笔记本．
(1)用含有x 的代数式表示购买这些奖品的费用；
(2)若购买这些奖品的费用不超过200 元，那么该班级最多能买多少本笔记本？
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【答案】(1)购买这些奖品的费用为
12
80
x
元，其中0
20
x
且x 为整数
(2)该班级最多能买10本笔记本
【分析】（1）先根据总奖品数量得到中性笔的购买数量，再根据“总价=单价×数量”列出总费用的代数式并
化简；
（2）根据费用不超过200 元的不等关系列出一元一次不等式，求解后结合x 的实际意义得到最大购买数量．
【详解】（1）解：由题意得，购买x 本笔记本，总奖品数为20 件，因此购买中性笔的数量是(20
)
x
支．
总费用等于笔记本总价加中性笔总价，因此：
16
4 20
16
80
4
12
80
x
x
x
x
x
其中0
20
x
且x 为
整数，
因此购买这些奖品的费用为
12
80
x
元，其中0
20
x
且x 为整数．
（2）根据题意列不等式：12
80
200
x
移项得12
120
x
系数化为1 得
10
x
x 为整数，因此x 的最大值为10．
答：该班级最多能买10 本笔记本．
43．（2026·福建南平·一模）阅读下列材料，回答相应问题.
数字黑洞在数论领域中，存在一类极具趣味性与逻辑性的数字规律——数字黑洞，其中最具代表性的三位
数数字黑洞（又称卡普雷卡常数），由印度数学家达塔塔拉亚·拉姆钱德拉·卡普雷卡于1949 年发现．
三位数黑洞规则简述如下：
1.一个三位数（三个数字不能完全相同，如不能是111，222）；
2.三个数字重新排列，得到一个最大数和最小数；
3.得到的最大数减去最小数，得到一个新的三位数（如果不足三位，前面补0），对新得到的三位数重复上
述操作，经过有限次运算后，最终结果必然稳定在495，且无论后续重复多少次运算，结果都不会再发生改
变，如同陷入黑洞无法跳出，因此将495 命名为“三位数数字黑洞”．
例如：取三位数315，重排得531，135，作差531 135
396
-
=
；对396 重复操作，重排得963，369，作差
963
369
594
；对594 重复操作，重排得954，459，作差954
459
495
，后续运算结果始终为495．
(1)用三位数213 按规则运算，写出每一步算式，直至得到495；
(2)设一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，且a
b
c
（a，b，c 为非负整数）．
①用含a，b，c 的代数式表示最大数与最小数的差，并化简；
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②若最大数与最小数的差记为
100
10
M
x
y
z
（x，y，z 为整数，0
, ,
9
x y z
），求y 的值．
【答案】(1)
解：321 123
198
，
981 189
792
，
972
279
693
，
963
369
594
，
954
459
495
．
(2)①99
99
a
c
；②
9
y
【分析】（1）根据规则列式计算即可；
（2）①先得到最大数与最小数，再作差即可；
②先得到
10
99
x
y
z
a
c
x
，则
10
x
y
z
能被99 整除，再求出
10
x
y
z
的取值范围，进而得出
10
x
y
z
的值，然后根据0
18
x
z
建立不等式组，解不等式组即可．
【详解】（1）略
（2）解：①∵a
b
c
且, ,
a b c 为非负整数，
∴得到的最大数为100
10
a
b
c
，最小数为100
10
c
b
a
，
∴最大数与最小数的差为
100
10
100
10
a
b
c
c
b
a
100
10
100
10
a
b
c
c
b
a
99
99
a
c
．
②由（2）①得：最大数与最小数的差为
99
99
99
a
c
a
c
，
∵最大数与最小数的差记为
100
10
M
x
y
z
，
∴
99
100
10
99
10
a
c
x
y
z
x
x
y
z
，
∴
10
99
x
y
z
a
c
x
，
∴
10
x
y
z
能被99 整除，
∵, ,
x y z 均为整数，且0
, ,
9
x y z
，
∴0
18
x
z
，0
10
90
y
，
∴0
10
108
x
y
z
，
又∵
10
x
y
z
能被99 整除，, ,
x y z 不全为0，
∴
10
99
x
y
z
，
31 / 33
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∴
99
10
x
z
y
，
∴0
99
10
18
y
，
解得8.1
9.9
y
，
又∵y 为整数，
∴
9
y
．
44．（2026·福建漳州·一模）阅读材料，回答问题．
探索《九章算术》中机械化算法思想
《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其算法具有强烈的程序化、机械化特点，便于编写计算机程序．在
解方程组时，古人用算筹构建数阵（只写系数与常数项），采用重复的乘法和减法计算，将复杂数阵转化
为简单的阶梯数阵，最终求出答案．
例如：解三元一次方程组：
3
2
2
2
3
1
2
3
x
y
z
x
y
z
x
y
z
思路大致如下（第一、第二、第三行分别用①②③表示）：
3
1
2
2
2
3
1
1
1
2
1
3
3
2
②
①
3
1
2
2
0
7
1
7
1
2
1
3
3
③
①
3
1
2
2
0
7
1
7
0
7
5
7
③②
3
1
2
2
0
7
1
7
0
0
6
0
（1）
（2）
（3）
（4）
将原方程组中略去了未知数后形成数阵（1），通过“行乘倍数，行相减”逐步消元（类似加减消元法），将
数阵（1）转化到阶梯数阵（4）．不难发现数阵（4）对应的方程组是
3
2
2
7
7
6
0
x
y
z
y
z
z
，第三行的方程，易
解出z 的值，再依次代入上一行方程分别求出y
x
，的值．
(1)直接写出示例方程组的解；
(2)仿照材料中的机械化算法思想，解决下列问题：
（i）解方程组：
2
2
2
1
2
1
x
y
z
x
y
z
x
y
z
（ii）已知关于x
y
z
，，的方程组：
1
2
3
2
3
5
x
y
z
x
y
z
x
y
mz
有唯一解，求m 的取值范围．
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【答案】(1)
1
1
0
x
y
z
(2)（i）
1
2
2
x
y
z
（ii）
5
m
【分析】（1）解出z 的值，再依次代入上一行方程分别求出y
x
，的值；
（2）根据材料的方法仿照解题即可．
【详解】（1）解：方程组
3
2
2
7
7
6
0
x
y
z
y
z
z
①
②
③
，
由③得，
0
z
，
代入②，解得
1
y ，
代入①，解得
1
x ，
∴方程组的解为
1
1
0
x
y
z
；
（2）解：（i）方程组
2
2
2
1
2
1
x
y
z
x
y
z
x
y
z
①
②
③
，
仿照材料可得：
2
1
1
2
1
2
1
1
1
1
2
1
2
②
①
2
1
1
2
0
5
3
4
1
1
2
1
2
③
①
2
1
1
2
0
5
3
4
0
1
3
4
5
③
②
2
1
1
2
0
5
3
4
0
0
12
24
最后一个数阵对应的方程组是
2
2
5
3
4
12
24
x
y
z
y
z
z
④
⑤
⑥
，
由⑥得
2
z ，
代入⑤，解得
2
y
，
代入④，解得
1
x ，
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∴方程组的解为
1
2
2
x
y
z
；
（ii）方程组
1
2
3
2
3
5
x
y
z
x
y
z
x
y
mz
①
②
③
，
仿照材料可得：
1
1
1
1
1
2
3
2
1
3
5
m
②①
1
1
1
1
0
1
2
1
1
3
5
m
③①
1
1
1
1
0
1
2
1
0
2
1
4
m
2
③②
1
1
1
1
0
1
2
1
0
0
5
2
m
最后一个数阵对应的方程组是
1
2
1
5
2
x
y
z
y
z
m
z
④
⑤
⑥
，
当
5
0
m
，即
5
m
时，
由⑥得
2
5
z
m
，
代入⑤，解得
9
5
m
y
m
，
代入④，解得
2
5
x
m
，
∴方程组的解为
2
5
9
5
2
5
x
m
m
y
m
z
m
，符合题意；
∴
5
m
．
