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趋势推荐
趋势一 注重学习过程
7. (新趋势)·注重学习过程 (2022天津)解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
(Ⅰ)解不等式①，得________；
(Ⅱ)解不等式②，得________；
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\分类数李含22.tif" \*
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第7题图
(Ⅳ)原不等式组的解集为________．
11. (新趋势)·注重学习过程 (2021山西)下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
＞－1
解： 2(2x－1)＞3(3x－2)－6第一步
4x－2 ＞9x－6－6第二步
4x－9x ＞－6－6＋2第三步
－5x ＞－10第四步
x＞2第五步
任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据________(运算律)进行变形的；②第________步开始出现错
误，这一步错误的原因是________；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集．
8. (新趋势)·注重学习过程 (2022北京)下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一
种，完成证明．
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类
1 中考原创好题用数学思睿28.tif" \* MERGEFORMATINET
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
已知：如图，△ABC.
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
方法一 方法二
证明：如图，过点A作DE∥BC. 证明：如图，过点C作CD∥AB.
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0.
2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23
分类数学思睿29.tif" \* 分类数学思睿30.tif" \*
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INCLUDEPICTURE "D:\\1 课 件 \\0. 2023\\2023 版 中 考 真 题 分 类 卷 Word\\ 链 接 标 .TIF" \*
MERGEFORMATINET 源自人教八上P12例题
3. (新趋势)·注重学习过程 (2022永州)如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，BF平分∠DBC，交CD于点
F.
(1)请用尺规作∠ADB的角平分线DE，交AB于点E(要求保留作图痕迹，不写作法)；
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿152.tif" \*
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第3题图
(2)根据图形猜想四边形DEBF为平行四边形，请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠________(两直线平行，内错角相等).
又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，
∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠DBC，
2 中考原创好题用∴∠EDB＝∠DBF.
∴DE∥__________(______________________)(填推理的依据).
又∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴BE∥DF.
∴ 四边形DEBF为平行四边形(________________________)(填推理的依据).
27. (新趋势)·注重学习过程 (2022嘉兴)小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点
O，AC⊥BD，OB＝OD.求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠：
证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，
∴AC垂直平分BD.
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿200.tif" \*
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第27题图
13. (新趋势)·注重学习过程 (2021北京)《淮南子·天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出
时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步(步是
古代的一种长度单位)，在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，
B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆．取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．
(1)上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA的
中点D(保留作图痕迹)；
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿312A.tif" \*
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第13题图
(2)在上图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA
表示的方向为南北方向．完成如下证明．
证明：在△ABC中，BA＝________，D是CA的中点，
∴CA⊥DB(________________)(填推理的依据).
∵直线DB表示的方向为东西方向，
∴直线CA表示的方向为南北方向．
15. (新趋势)·注重学习过程 (2022重庆B卷)我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证
一个底为a，高为h的三角形的面积公式为S＝ah.想法是：以BC为边作矩形BCFE，点A在边FE上，再过点
A作BC的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与
填空：
证明：用直尺和圆规过点A作BC的垂线AD交BC于点D.(只保留作图痕迹)
在△ADC和△CFA中，
∵AD⊥ BC，
∴∠ADC＝90°.
∵∠F＝90°，
∴____①____．
∵EF∥BC，
∴____②____．
又∵____③____，
∴△ADC≌△CFA(AAS).
同理可得：____④____．
∴S ＝S ＋S ＝S ＋S ＝S ＝ah.
△ABC △ADC △ABD 矩形ADCF 矩形AEBD 矩形BCFE
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第15题图
5 中考原创好题用趋势二 真实问题情境试题
33. (新趋势)·真实问题情境 (2022嘉兴)6月13日，某港口的潮水高度y(cm)和时间x(h)的部分数据及函数图
象如下：
x(h) … 11 12 13 14 15 16 17 18 …
y(cm) … 189 137 103 80 101 133 202 260 …
(数据来自某海洋研究所)
(1)数学活动：
①根据表中数据，通过描点、连线(光滑曲线)的方式补全该函数的图象；
②观察函数图象，当x＝4时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？
(2)数学思考：
请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论；
(3)数学应用：
根据研究，当潮水高度超过260 cm时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\分类数李含53.tif" \*
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第33题图
32. (新趋势)·真实问题情境 (2021呼和浩特)下面图片是七年级教科书中“实际问题与一元一次方程”的探
究3.
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\分类数李含71.tif" \*
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INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\分类数李含72.tif" \*
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考虑下列问题：
(1)设一个月内用移动电话主叫为t min(t是正整数).根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方
式一和方式二如何计费；
(2)观察你的列表．你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法．
小明升入初三再看这个问题，发现两种计费方式，每一种都是因主叫时间的变化而引起计费的变化，他把主
叫时间视为在正实数范围内变化，决定用函数来解决这个问题．
(1)根据函数的概念，小明首先将问题中的两个变量分别设为自变量x和自变量的函数y，请你帮小明写出：
x表示问题中的________，y表示问题中的________．并写出计费方式一和二分别对应的函数解析式；
(2)在给出的正方形网格纸上画出(1)中两个函数的大致图象，并依据图象直接写出如何根据主叫时间选择省
钱的计费方式．(注：坐标轴单位长度可根据需要自己确定)
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第32题图
8. (新趋势)·真实问题情境 (2022南充)如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，
喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷
头高2.5 m时，水柱落点距O点2.5 m；喷头高4 m时，水柱落点距O点3 m．那么喷头高________m时，水柱
落点距O点4 m.
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第8题图
11. (新趋势)·真实问题情境 (2022北京)单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大
跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着
陆的过程中，运动员的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝a(x－h)2＋k(a<0).
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第11题图
某运动员进行了两次训练．
(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 2 5 8 11 14
竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a(x－h)2＋k(a<0)；
(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝－0.04(x－9)2＋23.24.记该运动
员第一次训练的着陆点的水平距离为d ，第二次训练的着陆点的水平距离为d ，则d________d(填”>”
1 2 1 2
“＝”或“<”).
12. (新趋势)·真实问题情境 (2022江西)跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳
后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所示)，落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上，着陆坡
上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高.2022年北京冬奥会跳台滑
雪标准台的起跳台的高度OA为66 m，基准点K到起跳台的水平距离为75 m，高度为h m(h为定值).设运动
员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0).
(1)c的值为________；
(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝－，b＝，求基准点K的高度h；
②若a＝－时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为________；
(3)若运动员飞行的水平距离为25 m时，恰好达到最大高度76 m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明
理由．
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第12题图
19. (新趋势)·真实问题情境 (2022成都)2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了
“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角
∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10 cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张
角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角∠A′OB＝108°时(点A′是A的对应点)，用眼舒适度较为
理想．求此时顶部边缘A′处离桌面的高度A′D的长．(结果精确到1 cm；参考数据：sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，
tan 72°≈3.08)
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第19题图
20. (新趋势)·真实问题情境 (2022常德)第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我
国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情. 某地模
仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台(如图①)，它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成. 图
②是其示意图，已知：助滑坡道 AF＝50米，弧形跳台的跨度 FG＝7米，顶端 E到 BD的距离为 40米，
HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°. 求此大跳台最高点 A距地面 BD的距离是多少米(结果保
留整数).
1 0 中考原创好题用(参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84，sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91，tan 25°≈0.47，sin 36°≈0.59，
cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73)
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿147.tif" \*
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第20题图
17. (新趋势)·真实问题情境 (2022鄂州)工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了
一个如图①所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图①所示的A、
B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图②是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是
铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16 cm，AC＝BD＝4 cm，则这种铁
球的直径为( )
A. 10 cm B. 15 cm C. 20 cm D. 24 cm
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿236.tif" \*
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第17题图
17. (新趋势)·真实问题情境 (2022河南)为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运
1 1 中考原创好题用动会的比赛项目，滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁
环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推
杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．
(1)求证：∠BOC＋∠BAD＝90°；
(2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，
此时点A距地面的距离AD最小，测得cos ∠BAD＝.已知铁环⊙O的半径为25 cm，推杆AB的长为75 cm，求
此时AD的长．
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第17题图
参考答案
趋势一 注重学习过程
7. (Ⅰ)x≥－1；
(Ⅱ)x≤2；
(Ⅲ)解集在数轴上表示如解图所示；
第7题解图
(Ⅳ)－1≤x≤2.
11. 解：任务一：①乘法分配律(或分配律)；
②五；不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变(或不符合不等式的性质3)；
任务二：x＜2.
1 2 中考原创好题用8. 方法一：证明：∵DE∥BC，
∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC.
∵∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°，
∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°.
方法二：证明：∵AB∥DC，
∴∠A＝∠ACD，∠B＋∠BCD＝180°，
又∵∠BCD＝∠ACD＋∠BCA，
∴∠A＋∠B＋∠BCA＝180°.
(选择一种即可)
3. 解：(1)如解图，DE即为所求作的角平分线；
第3题解图
(2)DBC；BF；内错角相等，两直线平行；两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
27. 解：赞成小洁的说法，补充：AB＝CB.
证明：由小惠证法得：AB＝AD，CB＝CD，
又∵AB＝CB，
∴AB＝AD＝CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
13. 解：(1)如解图，点D即为所求；
第13题解图
(2)BC，等腰三角形三线合一．
15. 解：补全图形如解图；①∠ADC＝∠F；②∠1＝∠2；③AC＝CA；④△BDA≌△AEB(AAS).
1 3 中考原创好题用第15题解图
1 4 中考原创好题用趋势二 真实问题情境试题
33. 解：(1)①补全函数图象如解图所示；
第33题解图
②当x＝4时，y＝200；当y的值最大时，x＝21.
(2)答案不唯一．
例如：①当2≤x≤7时，y随x的增大而增大；
②当x＝14时，y有最小值80.
(3)在5 h～10 h和18 h～23 h这两个时间段适合货轮进出此港口．
32. 解：(1)主叫时间，计费．
方式一：y＝
方式二：y＝
(2)大致图象如解图，
第32题解图
由解图可知，当主叫时间在270分钟以内选方式一，270分钟时两种方式相同，超过270分钟选方式二．
8. 8 【解析】抛物线上下平移，故抛物线解析式y＝ax2＋bx＋c中a和b的值不变．设y＝ax2＋bx＋c，由题
1 1
图可知c＝2.5，抛物线经过点(2.5，0)得a＋b＋＝0，设y＝ax2＋bx＋c，由题图可知c＝4，抛物线经过点(3，
1 2 2 2
0)得9a＋3b＋4＝0，解得a＝－，b＝，设y＝－x2＋x＋c，由题图可知抛物线经过点(4，0)得c＝8.
3 3 3
1 5 中考原创好题用11. 解：(1)该运动员竖直高度的最大值为23.2 m，
由点(5，22.75)和(11，22.75)可知，该抛物线的对称轴为直线x＝＝8，
∴h＝8，k＝23.2，
将点(0，20)代入y＝a(x－8)2＋23.2中，
得64a＋23.2＝20，
解得a＝－0.05，
∴该函数满足的函数关系为y＝－0.05(x－8)2＋23.2；
(2)<.
【解法提示】∵抛物线y＝－0.05(x－8)2＋23.2与y＝－0.04(x－9)2＋23.24都经过(0，20)，且抛物线y＝－
0.04(x－9)2＋23.24的开口比抛物线y＝－0.05(x－8)2＋23.2的开口大，抛物线y＝－0.04(x－9)2＋23.24的对
称轴为直线x＝9，∴第二次着陆点的水平距离比第一次着陆点的水平距离大．
12. 解：(1)66；
【解法提示】∵OA＝66，根据题意可知点A在y轴正半轴上，∴点A的坐标为(0，66)，将点A的坐标代入y＝
ax2＋bx＋c中得c＝66.
(2)①∵a＝－，b＝，c＝66，
∴y＝－x2＋x＋66，
当x＝75时，y＝－×752＋×75＋66＝21，
∴h＝21.
答：基准点K的高度h为21 m；
②b>；
【解法提示】∵a＝－，c＝66，∴y＝－x2＋bx＋66，∴对称轴为直线x＝25b，∵y＝－x2＋x＋66的对称轴为直
线x＝22.5，∵运动员落地点要超过K点，∴直线x＝25b要在直线x＝22.5的右侧，∴25b>22.5，∴b>.
(3)他的落地点能超过K点．
理由：∵运动员飞行的水平距离为25 m时，恰好达到最大高度76 m，
∴抛物线顶点坐标为(25，76)，
∴设抛物线解析式为y＝a(x－25)2＋76.
∵抛物线y＝a(x－25)2＋76经过点A(0，66)，
∴66＝a(0－25)2＋76，
解得a＝－，
∴y＝－(x－25)2＋76，
1 6 中考原创好题用当x＝75时，y＝－×(75－25)2＋76＝36>21，
∴运动员的落地点能超过K点．
19. 解：∵∠AOB＝150°，∴∠AOC＝30°，
∴在Rt△AOC中，sin ∠AOC＝，
即sin 30°＝，解得OA＝20 cm，
∴OA′＝OA＝20 cm.
∵∠A′OB＝108°，∴∠A′OD＝72°，
∴在Rt△A′OD中，sin ∠DOA′＝，即sin 72°＝，解得A′D≈19 cm.
答：此时顶部边缘A′处离桌面的高度A′D的长约为19 cm.
20. 解：如解图，过点E作EM⊥BC于点M，与FG交于点N，则BH＝MN，EM＝40，
∵HG∥BC，
∴∠EGN＝∠ECB＝36°，
设EN＝x，
∴NG＝＝≈＝，
FN＝＝≈＝，
∵FN＋NG＝FG，
∴＋＝7，
解得x≈2，
∴EN＝2，
∴HB＝MN＝EM－EN＝40－2＝38，
∵AH＝AF·sin ∠AFH＝50×sin 40°≈50×0.64＝32，
∴AB＝AH＋BH＝32＋38＝70米，
答：此大跳台最高点A距地面BD的距离约是70米．
第20题解图
1 7 中考原创好题用17. C 【解析】如解图，连接OE交AB于点F，连接OA，设OA＝R，∵AC＝BD＝4 cm，∴OF＝R－4，又∵AB
＝CD＝16 cm，∴AF＝8 cm，在Rt△OAF中，R2＝(R－4)2＋82，解得R＝10 cm，即直径为20 cm.
第17题解图
17. (1)证明：如解图，过点B作EF∥CD，分别交AD于点E，交OC于点F.
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°.
∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°.
∵EF∥CD，∴∠OFB＝∠AEB＝90°.
∴∠BOC＋∠OBF＝90°，∠ABE＋∠BAD＝90°.
∵AB为⊙O的切线，∴∠OBA＝90°.
∴∠OBF＋∠ABE＝90°，∴∠OBF＝∠BAD.
∴∠BOC＋∠BAD＝90°；
第17题解图
(2)解：如解图，在Rt△ABE中，
∵AB＝75，cos ∠BAD＝，
∴AE＝AB·cos ∠BAD＝45.
由(1)知，∠OBF＝∠BAD，
∴cos ∠OBF＝.
在Rt△OBF中，
∵OB＝25，∴BF＝OB·cos ∠OBF＝15，∴OF＝20.
∵OC＝25，∴CF＝5.
∵∠OCD＝∠ADC＝∠CFE＝90°，
1 8 中考原创好题用∴四边形CDEF为矩形．∴DE＝CF＝5，
∴AD＝AE＋ED＝50 cm.
1 9 中考原创好题用
