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绵阳南山中学实验学校高2023级高三（上）零诊考试
数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B C A A C A B ABC BD ABD
二、填空题
12． 13．4 14.
14．【详解】由 在 上单调递增，且过点 ，
在 上 ，在 上单调递减，在 上单调递增，
结合 解析式，其大致图象如图，
随 变化， 的图象只在 轴上平移，
令过 且平行于 的直线为 ，
则 ，所以 ，故 ，
联立 与 ，消去y得 ，
所以 或 ，
对任意 ， 都有 成立，由图知，在 上 不单调，必有 ，
需保证 ， 时有 ，
所以 ，
，整理得 ，所以 ，
综上，实数 的取值范围是 .
三、解答题
学科网（北京）股份有限公司15．（1）由不等式 的解集为 知：关于 的方程 的两根为 和 ，
且
由根与系数关系，得 ，∴ ，
所以原不等式化为 ，
当 时，原不等式化为 ，且 ，解得 或 ；
∴当 时，原不等式的解集为 ；
（2）假设存在满足条件的实数 ，
由（1）得： ，∴ ，
∴ ，
令 ， ，则 ∴对称轴为： ，
又 ，∴ ， ，∴函数 在 递减，
∴ 时， 最小为： ，解得：
16．（1）当 时， ，解得 ．
当 时，由 ，得 ，
则 ，则 ．
因为 ，所以 ，所以 是以2为首项，4为公差的等差数列，
则 ．
（2）由（1）可知 ，
学科网（北京）股份有限公司则
．
17．（1）当 时，则 ， ，可得 ， ，
即切点坐标为 ，切线斜率 ，
所以切线方程为 ，即 .
（2）因为 的定义域为 ，且 ，
若 ，则 对任意 恒成立，
可知 在 上单调递增，无极值，不合题意；
若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 有极小值 ，无极大值，
由题意可得： ，即 ，
构建 ，则 ，
可知 在 内单调递增，且 ，
不等式 等价于 ，解得 ，
所以a的取值范围为 ；
18．（1）由题设 ，则 且 ，
当 ， ，即 在 上单调递增，
当 ， ，即 在 上单调递减，
学科网（北京）股份有限公司当 ， ，即 在 上单调递增；
（2）由题设 ，令 ，则 ，
对 时， 恒成立，且 ，只需 ，即 ，
另一方面， 时， ，
所以 在 上单调递增，则 ，
所以 在 上单调递增，则 ，满足题设，
综上， ；
（3）由（2）取 ，在 上 ，
令 ， ，则 ，即 ，
所以 ，则 ，得证.
19．（1）证明：因为方程 有三个根 ，
所以方程 即为 ，
变形为 ，
比较两个方程可得 .
（2）（i）证明： 有两个零点，
学科网（北京）股份有限公司有一个二重根 ，一个一重根 ，且
由（1）可得 ，由 可得 .
由 可得 ， .
联立上两式可得 ，解得 ，
又 ，综上 .
（ii）解：由（i）可得 ，
.
令 ，则 ，
，当 时， ，
在 上单调递增， ，
.
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