文档内容
2025 年上海浦东新区二模数学试卷
考生注意：
1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；
2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分．
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接
填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1. 不等式 的解为____________．
【答案】
【解析】
【详解】分析：不等式 化为 ，解一元二次不等式即可．
详解：不等式 化为 ，解得 ，
∴不等式 的解集为 ，故答案为 ．
点睛：本题考查了分式不等式转化为一元二次不等式的解法，属于基础题
2. 已知向量 ，若 ，则 ______．
【答案】-2
【解析】
【分析】由平面向量垂直的坐标表示求解．
【详解】解：因为 ，所以 ，
得 ，
解得 ，
故答案为：-2
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学科网（北京）股份有限公司3. 设圆 方程为 ，则圆 的半径为____________．
【答案】
【解析】
【分析】将圆 的方程化为标准方程，可得出圆 的半径.
【详解】将圆 的方程化为标准方程可得 ，故圆 的半径为 .
故答案为： .
4. 若 ，则函数 的最小正周期为____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用两角和差的余弦公式化简，再利用周期公式求解.
【详解】 ，
故最小正周期为 .
故答案为：
5. 若关于 的方程 的一个虚根的模为 ，则实数 的值为____________．
【答案】4
【解析】
【分析】设关于 的方程的两根虚根为 ，则 且 ，即可求出 的值，再代入检验.
【详解】设关于 的方程 的两根虚根为 ，则 且 ，
所以 ，又 ，所以 ，
当 时， ，所以关于 的方程 有两个不相等实数根，不符
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学科网（北京）股份有限公司合题意；
当 时， ，所以关于 的方程 有两个虚根，符合题意；
所以 .
故答案为：
6. 设数列 为等差数列，其前 项和为 ，已知 ，则 ____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据下标和性质及等差数列求和公式计算可得.
【详解】因为 ，所以 .
故答案为：
7. 在 的展开式中，常数项为__________.
【答案】-252
【解析】
【分析】用二项式定理即可.
【详解】根据二项式定理，第r+1项为 ，由于是常数，
，r=5，
其常数项系数为 =-252.，
故答案为：-252.
8. 设 为抛物线 上任意一点，若 的最小值为 ，则 的值为____________．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】依题意可得 ，则 ，结合二次函数的性质计算可得.
【详解】因为 为抛物线 上任意一点，所以 ， ，
所以 ，
所以当 时 取得最小值 ，依题意可得 ，所以 .
故答案为：
9. 李老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：
5 6 6 7 7 7 8 9 9，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第25百分位数，则这
10名学生的成绩的方差为____________．
【答案】
【解析】
【分析】现根据百分位数得出该生的成绩，再利用方差公式计算.
【详解】 ，则该学生的成绩为从小到大排列的第 个，
故该生的成绩为 ，
则这10名学生的成绩的平均数为 ，
方差为
故答案为：
10. 如图，某建筑物 垂直于地面，从地面点 处测得建筑物顶部 的仰角为 ，从地面点 处测得
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学科网（北京）股份有限公司建筑物顶部 的仰角为 ，已知 相距100米， ，则该建筑物 高度约为
__________米．（保留一位小数）
【答案】66.4
【解析】
【分析】先在 和 中，根据仰角分别用建筑物高度 表示出 和 ，然后在
中利用余弦定理建立关于 的方程，最后求解方程得到 的值.
【详解】在 中，已知从地面点 处测得建筑物顶部 的仰角为 ，即 .因为
，所以 .
在 中，从地面点 处测得建筑物顶部 的仰角为 ，即 .因为 ，
且 ，所以 .
在 中，已知 米， .根据余弦定理
，将 ， 代入可得：
，即
可得 .
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学科网（北京）股份有限公司则 .
故答案为：66.4.
11. 已知 为空间中三个单位向量，且 ，若向量 满足 ， ，
则向量 与向量 夹角的最小值为__________．（用反三角表示）
【答案】
【解析】
【分析】由题意可设设 ， ，结合 ，
，求得 和 ，再结合向量夹角得坐标表示即可求解.
【详解】可设 ，设 ，
则 ，
所以 ，
两式相减可得： ，再代入第一个式子，
可得：
设向量 与向量 夹角为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
易知对于 当 即 取得最大值 ，
此时 取得最大值 ，
即 的最大值为 ， 时取得，
再由余弦函数的单调性可知 的最小值为 ，
故答案为：
12. 已知数列 ， ，并且前 项的和 满足：
①存在小于 的正整数 ，使得 ；
②对任意的正整数 和 ，都有 ．
则满足以上条件的数列 共有__________个．
【答案】
【解析】
【 分 析 】 根 据 的 奇 偶 性 结 合 ， 分 析 可 知 ， 进 而 可 得 ，
，即可求数列个数，同时排除不满足条件①的情况.
【详解】因为 ， ，可知 的奇偶性与 的奇偶性一致，
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学科网（北京）股份有限公司对于①：存在小于 的正整数 ，使得 ，
对于②：对任意的正整数 和 ，都有 ，
可知 为奇数，即 ，
令 ，则 ，可得 或 ；
令 ，则 ，可得 或 ；
综上所述：对任意的正整数 ， .
且 ，可得 ， ，
即 确定， 不相等，有2种可能，
此时 ，条件②满足，
对于数列 可知： 均有2种可能，
则满足条件的数列共有 个，
又因为存在小于 的正整数 ，使得 ，
可知对任意 ， 不成立，即 这种情况不符合题意，
综上所述：符合题意的数列共有 个.
故答案为： .
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在
答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选
对得5分，否则一律得零分．
13. 已知集合 ，集合 ，全集为 ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由绝对值不等式确定结合 ，再由集合得交集、补集运算即可求解.
【详解】 ，可得
可得： ，
所以 ，
故选：D
14. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】 不能保证 都是正值，推不出 ，反之则成立，即可求解.
【详解】因为 在 上是增函数，故由 可得 ；
取 ， ，此时满足 ，但是不满足 ，
综上，“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选：B
15. 研究变量 ， 得到一组成对数据 ，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数
据 ，其中 ， ，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的
是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 变量 与变量 的相关性变强 B. 相关系数 的绝对值变小
C. 线性回归方程 不变 D. 拟合误差 变大
【答案】C
【解析】
【分析】设变量 ， 的平均数分别为 ， ，分析可知 ， .对于AB：根据相关系数的计
算公式和性质分析判断；对于CD：根据回归方程和拟合误差的性质分析判断.
【详解】设变量 ， 的平均数分别为 ， ，
则 ， ，即 ， ，
可知新数据的样本中心点不变，仍为 ，
对于AB：可得 ，
同理可得 ，
则相关系数 ，
可知相关系数 的值不变，变量 与变量 的相关性不变，故AB错误；
对于C：因为 ，且线性回归方程过样本中心点 ，
即 均不变，所以线性回归方程 不变，故C正确；
因为 即为样本中心点，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司可知残差平方和 不变，
所以拟合误差 不变，故D错误；
故选：C.
16. 已知圆锥曲线 的对称中心为原点 ，若对于 上的任意一点 ，均存在 上两点 ， ，使得原点
到直线 ， 和 的距离都相等，则称曲线 为“完美曲线”．现有如下两个命题：
①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”．
下列判断正确的是（ ）
A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题
C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题
【答案】A
【解析】
【分析】对于命题①，通过考虑以原点为圆心的圆与椭圆上直线的位置关系来判断；
对于命题②，通过取双曲线顶点，分析以原点为圆心的圆与双曲线相关直线的位置关系来判断.
【详解】判断命题①：
已知过椭圆上任意一点 作以原点为圆心的圆的切线，分别交椭圆于 ， 两点，连接 .
根据直线与圆的位置关系，当 与圆相切时，满足给定条件.
当 与圆相交时，因为圆的圆心是固定的原点，我们可以通过缩小圆的半径，使得圆逐渐靠近 ，直
到 与圆相切；同理，当 与圆相离时，扩大圆的半径，也能使圆靠近 直至相切.所以从直线与圆
位置关系的动态调整角度可知，一定能找到合适的圆半径使得 与圆相切，故①正确.
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学科网（北京）股份有限公司判断命题②：
当 在双曲线顶点时，过 作圆的切线，交双曲线于另外两点 ， .
由双曲线的性质可知，双曲线在顶点附近的形状特点决定了，过顶点作圆的切线与双曲线相交得到的线段
，其整体位置与以原点为圆心的圆是相离的.这是因为双曲线的渐近线性质以及顶点处的曲线走向，使
得从顶点出发的切线与双曲线相交形成的线段不会与圆相切，所以②不正确.
故选：A.
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规
定区域内写出必要的步骤．
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学科网（北京）股份有限公司17. 已知函数 的表达式 ．
（1）若函数 是奇函数，求实数 的值；
（2）对任意实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义，即可求解答案；
（2）根据分离参数转化为利用单调性求函数的最值，即可求解答案.
【小问1详解】
因为函数 是奇函数， 的定义域 关于原点对称，
由 ，则 ，
所以 .
【小问2详解】
对任意实数 ，不等式 恒成立，即 ，
设 ，
对任意实数 且
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，所以
所以函数 在 上单调递减；
，所以 .
18. 如图，四边形 为长方形， 平面 ， ， ．
（1）若 分别是 的中点，求证： ∥平面 ；
（2）边 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角的大小为 ？若存在，求 长；若
不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）法一：几何法：取 中点 ，连接 、 ，通过 ，即可求证；法二：向量
法：求得平面法向量取平面 的法向量 由 ，即可求证；
（2）法一：几何法：作 ，垂足为 ，连接 ，确定直线 与平面 所成的角为
，进而可求解；法二：向量法：由线面夹角公式求解即可.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司法一：取 中点 ，连接 、 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ 平面 ， 在平面 外，
∴ 平面
法二：如图建立空间直角坐标，
则 ， ， ，
， ， ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司易知平面 的一个法向量
∵ ，
且 在平面 外
∴ 平面
【小问2详解】
法一：作 ，垂足为 ，连接 ，
∵ 平面 ， 在平面 内，
∴ ，又 为平面 内两条相交直线，
∴ 平面 ，
∴直线 与平面 所成的角为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴边 上存在点 ，使得直线 与平面 所成的角为 ， .
法二：设 ，则 ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司易知平面 的一个法向量 ，
设 与 的夹角为 ，
则 ，
解得： ，
∴边 上存在点 ，使得直线 与平面 所成的角为 ， .
19. 为测试 、 两款人工智能软件解答数学问题的能力，将 道难度相当的数学试题从 到 编号后
随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下：
软件 软件
试题类别
测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量
几何试题
函数试题
（1）分别估计 软件、 软件能正确解答数学问题的概率；
的
（2）小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中 第 题（假设其难度和测试的 道题基本相
同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为 ，是函数题的概率为 ．将频率视
为概率，试通过计算来说明小浦应该用哪款软件解决这道试题？
（3）小浦决定采用这两款软件解答 道类似试题，其中几何、函数各 道，每道试题只用其中一款软件解
答一次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那
款软件解决其擅长的题型．用 、 分别表示这 道几何试题与 道函数试题被正确解答的个数，求随
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学科网（北京）股份有限公司机变量 的数学期望和方差．
【答案】（1） 软件、 软件能正确解答数学问题的概率分别为 、
（2）应该使用 软件来解决这道试题.
（3） ，
【解析】
【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得 软件、 软件能正确解答数学问题的概率；
（2）利用全概率公式计算出 、 软件分别能解答对第 题的概率，比较大小后可得出结论；
（3）利用二项分布的期望公式和方差公式可求出随机变量 、 的期望和方差，由题意可知 、
相互独立，可得出 ， ，即可得出答案.
【小问1详解】
记 、 软件能正确解答数学问题的概率为 和 ，
结合题中数据以及古典概型的概率公式可得 ， .
【小问2详解】
记“ 软件能正确解答这道题”为事件 ，“ 软件能正确解答这道题”为事件 ，
“该题为几何题”为事件 .
则 ， ， ， ， ， ，
由全概率公式可得 .
.
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 软件能够正确解决这道试题的概率更大，
故小浦应该使用 软件来解决这道试题.
【小问3详解】
几何试题用 软件解答，函数试题用 软件解答.
因为 ， ，
由二项分布的期望公式可得 ， ，
由二项分布的方差公式可得 ， ，
因为 、 相互独立，则 ，
.
20. 已知椭圆 的方程为 ，右顶点为 ，上顶点为 ，椭圆 的中心位于坐标原点，两个椭
圆的离心率相等．
（1）若椭圆 的方程是 ，焦点在 轴上，求 的值；
（2）设椭圆 的焦点在 轴上，直线 与 相交于点 、 ，若 ，求 的标准方程；
（3）设椭圆 的焦点在 轴上，点 在 上，点 在 上．若存在 是等腰直角三角形，且
，求 的长轴的取值范围．
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）运用离心率公式计算即可；
（2）先求出 ，得到直线 的方程，设 的方程为 ， ，
，直曲联立，运用弦长公式得到 ，求出 即可；
（3）先设出 的方程，因为有 且 的条件，所以任取 上一点 （不与
点 重合），算出 和直线的斜率 .接着设出点 的坐标，算出 .由于 ，得出直
线 方程，进而得到 与 、 的关系.结合 以及曲线方程进一步求解 ，最后
得到长轴取值范围即可.
【小问1详解】
由题，椭圆 离心率为 ，椭圆 的离心率为 ，
的
解得
【小问2详解】
由题， ， ，所以 ，直线 的方程为 ，
设 的方程为 ， ， ，
联立直线 与椭圆 的方程 ，代入整理得 ，
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学科网（北京）股份有限公司，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
故
，解得 .
所以 的标准方程为 .
【小问3详解】
由题，设 的方程为 ，
由题意， 且 ，
任取 上一点 （不与点 重合），则 ， .
设 ，则 ，
直线 的方程为 ，故 ，
代入得 ，
因为 ，解得 ，
由对称性，不妨设 ，代回直线 方程可解得 ，
而点 位于 上，所以
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学科网（北京）股份有限公司，
为 上任一点，所以 为定值，化简得 .
设 ， 为 上任一点，即 有解.
整理得 ， ，
解得 ，所以 .
故 的长轴长 .
21. 定义域为 的可导函数 满足，在曲线 上存在三个不同的点
，使得直线 与曲线 在点 处的切线平行（或
重合）．若 成等差数列，则称 为“等差函数”；若 成等差数列且 均为整数，
则称 为“整数等差函数”．
（1）设 ， ，分别判断 和 是否为“整数等差函数”，直接写出结论；
（2）若 为“整数等差函数”，求实数 的最小值；
（3）已知 的导函数 在 上为增函数，且存在一个正常数 ， 使得对任意 ，
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学科网（北京）股份有限公司成立，证明： 为“等差函数”的充要条件是 为常值函数．
【答案】（1） 不是“整数等差函数”， 是“整数等差函数”
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设公差为 ，根据所给定义及导数的几何意义得到 ，即可判断；
（2）设公差为 ，则 且 ，由 得到 从而确定 的最小值；
（ 3 ） 首 先 证 明 充 分 性 ， 再 说 明 必 要 性 ， 设 公 差 为 ， 结 合 所 给 定 义 得 到
， 令 ， 结 合
推出 为常值函数.
【小问1详解】
假设 成等差数列，得 ，
设公差为 ，则 ，
对于 ：直线 的斜率 ，
因为 ，所以曲线 在点 处的切线斜率为 ，
由题意， 恒成立，
取 ， ，则 成等差数列且均为整数，故 是“整数等差函数”．
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学科网（北京）股份有限公司对于 ，直线 的斜率 ，
因为 ，所以曲线 在点 处的切线斜率为 ，
由题意 ，
若 ，则 ，
令 ， ，则 恒成立，所以 在 上单调递减，
所以 ，即 在 上恒成立，
即 恒成立，所以 无解，
故 不是“整数等差函数”．
【小问2详解】
因 为为“整数等差函数”，所以 成等差数列且 均为整数，
设公差为 ，则 ，且 ，
直线 的斜率 ，
因为 ，所以曲线 在点 处的切线斜率为 ，
由题意， ，
因为 ， ，
所以
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学科网（北京）股份有限公司，
又 的定义域为 ，有 ，则 ，可取 使等号成立，故 的最小值为 ．
【小问3详解】
充分性，因为 为常值函数，所以 ，
任意取等差数列 ，则直线 的斜率 ，
曲线 在点 处的切线斜率为 ，
因为 ，所以 为“等差函数”．
必要性，因为 为“等差函数”，所以 成等差数列，
设公差为 ，则 ，
直线 的斜率 ，
曲线 在点 处的切线斜率为 ，
由题意， ,
，
令 ，
则
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学科网（北京）股份有限公司，
令 ，
则 ，
因为 在 上为增函数，所以 ， 在 上为增函数，
因为 ，所以 ， 在 上为增函数，
因为 ，所以 在 上恒成立，
又 ，由 的单调性知 ，
故 ， ，
， 为常数，
，
，
，
接下来，一方面，因为 ，且 在 上为增函数，
所以 在 上为增函数，故 ， ，
由 ，可得 ，
另一方面，因为 ，
所以 ，可得 ，
以此类推， 在 上恒成立，即 为常值函数．
命题得证！
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学科网（北京）股份有限公司第27页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
