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专题 07 不等式与不等式组
考点 01 求不等式组的解集
1．（2025·天津·中考真题）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得____________；
(2)解不等式②，得____________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为____________．
【答案】(1)
(2)
(3)作图见解析
(4)
【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，
（1）根据移项，合并同类项即可得解；
（2）根据移项，合并同类项即可得解；
（3）根据不等式的解集在数轴上表示的方法：“ ”空心圆点向右画折线，“ ”实心圆点向右画折线，
“ ”空心圆点向左画折线，“ ”实心圆点向左画折线，据此画出图形；
（4）根据一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不
到，据此确定不等式组的解集；
解题的关键是掌握：①不等式的解集在数轴上表示的方法；②一元一次不等式组的解集确定的原则．
【详解】（1）解：移项，得： ，
合并同类项，得： ，
∴解不等式①，得： ，
故答案为： ；
（2）移项，得： ，
合并同类项，得： ，
1∴解不等式②，得： ，
故答案为： ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示：
（4）原不等式组的解集为： ，
故答案为： ．
2．（2025·福建·中考真题）不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示解集，先求出不等式的解集，定边界，定方向，表示出
不等式的解集即可．
【详解】解： ，
，
，
∴ ；
在数轴上表示如图：
故选C．
3．（2025·江西·中考真题）不等式 的解集为
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式．根据一元一次不等式的解法，先移项，再系数化为 ，即可求解．
【详解】解：移项，得 ，
系数化为 ，得 ．
故答案为： ．
4．（2024·江苏南京·中考真题）解不等式组：
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小
2找不到”是解题关键．
先求出每个不等式的解集，再求出公共解集即可．
【详解】解： ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
∴原不等式组的解集为 ．
故答案为： ．
5．（2024·宁夏·中考真题）已知 ，则 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了绝对值的性质，解一元一次不等式．根据绝对值的性质，可得 ，从而得
到 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
则的取值范围在数轴上表示正确的是：
故选：A．
6．（2024·内蒙古·中考真题）关于x的不等式 的解集是 ，这个不等式的任意一个解
都比关于x的不等式 的解大，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先分别求出不等式的解集，
再根据题意列出关于 的不等式，求解即可得．
【详解】解： ，
，
，
．
解不等式 得： ，
3∵不等式 任意一个解都比关于 的不等式 的解大，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ； ．
7．（2023·江苏盐城·中考真题）解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来.
【答案】 ，数轴见详解
【分析】根据解一元一次不等式的步骤解答即可．
【详解】
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1： ．
在数轴上可表示为：
．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，能求出不等式的解集是解此
题的关键，难度适中．
8．（2023·山东淄博·中考真题）若实数 ， 分别满足下列条件：
（1） ；
（2） ．
试判断点 所在的象限．
【答案】点 在第一象限或点 在第二象限
【分析】运用直接开平方法解一元二次方程即可；解不等式求出解题，在分情况确定 ， 的符
号确定点 所在象限解题即可．
【详解】解：
4或
， ；
，
解得： ；
∴当 ， 时， ， ，点 在第一象限；
当 ， 时， ， ，点 在第二象限；
【点睛】本题考查点在平面直角系的坐标特征，解不等式，平方根的意义，利用不等式的性质判断点的坐
标特征是解题的关键．
9．（2024·江苏盐城·中考真题）求不等式 的正整数解．
【答案】 ， ．
【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集以及正整数解，先求出不等式的解集，进而可得到不等式的
正整数解，正确求出一元一次不等式的解集是解题的关键．
【详解】解：去分母得， ，
去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为 得， ，
∴不等式的正整数解为 ， ．
考点 02 不等式组的整数解
1．（2025·重庆·中考真题）求不等式组： 的所有整数解．
【答案】 ， ，
【分析】本题考查解不等式组及不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的步骤是解题的关键．利用解不
等式组的步骤求解，再得出其整数解即可．
【详解】解： ，
解不等式①，得： ；
5解不等式②，得： ；
∴不等式组的解集为 ．
所以该不等式组的所有整数解是 ， ， ．
2．（2025·江苏扬州·中考真题）解不等式组 ，并写出它的所有负整数解．
【答案】不等式组的解集为 ，它的所有负整数解为
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式
的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后写出它的所有负整数解即可得．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
所以不等式组的解集为 ，它的所有负整数解为 ．
3．（2024·山东淄博·中考真题）解不等式组： 并求所有整数解的和．
【答案】 ，
【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及求一元一次不等式组的整数解．解各不等式，可得出x的取
值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将各整数解相加，即可求出结论．
【详解】解： ，
解不等式①得： ；
解不等式②得： ，
∴原不等式组的解集 ，
∴不等式组所有整数解的和为 ．
4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）不等式组 的整数解有 个．
【答案】
【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取
小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可．
6【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为： ，
∴整数解有 ， ， ， 共4个，
故答案为： ．
5．（2024·四川凉山·中考真题）求不等式 的整数解．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键．
先将 变形为 ，再解每一个不等式，取解集的公共部分作为不等式组的解集，再
找出其中的整数解即可．
【详解】解：由题意得 ，
解①得： ，
解②得： ，
∴该不等式组的解集为： ，
∴整数解为：
考点 03 已知不等式的解求参数
1．（2025·四川南充·中考真题）不等式组 的解集是 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集，熟知不等式组的解集取值规则是
关键．
先分别求出每一个不等式的解集，再根据两个解集结合不等式组的解集求出m的取值范围即可．
【详解】解：
解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
∵不等式组的解集是 ，
7∴ ，
∴ ．
故答案为：
2．（2024·四川南充·中考真题）若关于x的不等式组 的解集为 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到关于
参数的不等式，进行求解即可．
【详解】解：解 ，得： ，
∵不等式组的解集为： ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
3．（2024·重庆·中考真题）若关于 的一元一次不等式组 的解集为 ，且关于 的分式
方程 的解均为负整数，则所有满足条件的整数 的值之和是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数，先解不等式组中的
两个不等式，再根据不等式组的解集求出 ；解分式方程得到 ，再由关于 的分式方程
的解均为负整数，推出 且 且a是偶数，则 且 且a是偶数，据此确
定符合题意的a的值，最后求和即可．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∵不等式组的解集为 ，
8∴ ，
∴ ；
解分式方程 得 ，
∵关于 的分式方程 的解均为负整数，
∴ 且 是整数且 ，
∴ 且 且a是偶数，
∴ 且 且a是偶数，
∴满足题意的a的值可以为4或8，
∴所有满足条件的整数a的值之和是 ．
故答案为： ．
4．（2023·湖北鄂州·中考真题）已知不等式组 的解集是 ，则 （ ）
A．0 B． C．1 D．2023
【答案】B
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得 ，再结合已知可得 ，
，然后进行计算可求出 ， 的值，最后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴原不等式组的解集为： ，
∵不等式组的解集是 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．（2023·四川宜宾·中考真题）若关于x的不等式组 所有整数解的和为 ，则整数 的
值为 ．
【答案】 或
9【分析】根据题意可求不等式组的解集为 ，再分情况判断出 的取值范围，即可求解．
【详解】解：由①得： ，
由②得： ，
不等式组的解集为： ，
所有整数解的和为 ，
①整数解为： 、 、 、 ，
，
解得： ，
为整数，
．
②整数解为： ， ， ， 、 、 、 ，
，
解得： ，
为整数，
．
综上，整数 的值为 或
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的解法，理解参数
的意义是解题的关键．
6．（2025·黑龙江·中考真题）关于x的不等式组 恰有3个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据已知列出关于a的不等式组．先解含参
的不等式组，根据不等式组恰有3个整数解得到关于a的不等式组，求解即可．根据解集的情况得到关于
a的不等式组是解题的关键．
【详解】解：解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
∵不等式组恰有3个整数解，
∴ ，
故答案为： ．
7．（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定 ．若关于a的不等式
组 恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ．
10【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据找不等式的解集和已知得出
关于P的不等式组是解此题的关键．先根据新定义化简关于 的不等式，根据不等式组有3个整数解，得
出 ，进而解不等式组，即可求解．
【详解】解：∵
∴关于a的不等式组 即
解不等式①得：
解不等式②得：
∵不等式组有3个整数解，
∴整数解为 ，
∴
解得：
故答案为： ．
8．（2023·四川绵阳·中考真题）关于x的不等式组 有且只有两个整数解，则符合条件的所有整
数m的和为（ ）
A．11 B．15 C．18 D．21
【答案】C
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，正确得到关于m的不等式组是解题的关键．
先求出两个不等式的解集，再根据不等式组有且只有两个整数解得到 ，解不等式组即可得到
答案．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∵不等式组有且只有两个整数解，
∴ ，
11∴ ，
∴符合要求的所有整数m的值为5，6，7，
∴符合要求的所有整数m的和为 ．
故选C．
考点 0 4 实际应用
1．（2023·浙江·中考真题）小霞原有存款 元，小明原有存款 元．从这个月开始，小霞每月存 元零
花钱，小明每月存 元零花钱，设经过 个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】依据数量关系式：小霞原来存款数+ ×月数 ＞小明原来存款数+ ×月数 ，把相关数值代入即
可；
【详解】解：根据题意得，
，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，得到两人存款数的关系式是解决本题的关键．
2．（2025·贵州·中考真题）贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车
间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A、B两种型号生产线.已知，同时开启一条A型和一条B型生
产线每月可以生产抹茶共 ，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共 ．
(1)求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？
(2)为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A、B两种生产线共5条，该车间接到一个订单，
要求4个月生产抹茶不少于 ，至少需要安装多少条A型生产线？
【答案】(1)一条A型生产线每月生产抹茶 ，一条B型生产线每月生产抹茶
(2)至少需要安装3条A型生产线
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设一条A型生产线每月生产抹茶 ，一条B型生产线每月生产抹茶 ，根据“同时开启一条A型和
一条B型生产线每月可以生产抹茶共 ，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共
”建立二元一次方程组求解；
（2）设需要安装 条A型生产线，则安装B种生产线 条，根据“4个月生产抹茶不少于 ”建
立一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）解：设一条A型生产线每月生产抹茶 ，一条B型生产线每月生产抹茶 ，
12由题意得： ，
解得： ，
答：一条A型生产线每月生产抹茶 ，一条B型生产线每月生产抹茶 ；
（2）解：设需要安装 条A型生产线，则安装B种生产线 条，
由题意得： ，
解得： ，
∵ 为正整数，
∴ 最小取 ，
答：至少需要安装3条A型生产线．
3．（2025·辽宁·中考真题）小张计划购进 两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知 种文创
产品比 种文创产品每件进价多3元，购进2件 种文创产品和3件 种文创产品共需花费26元．
(1)求 种文创产品每件的进价；
(2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件
种文创产品？
【答案】(1) 种文创产品每件的进价为 元
(2)小张最多可以购进50件 种文创产品
【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关
键：
（1）设 种文创产品每件的进价为 元，根据 种文创产品比 种文创产品每件进价多3元，购进2件
种文创产品和3件 种文创产品共需花费26元，列出一元一次方程进行求解即可；
（2）设小张购进 件 种文创产品，根据总费用不超过550元，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设 种文创产品每件的进价为 元，则： 种文创产品每件的进价为 元，
由题意，得： ，
解得： ，
答： 种文创产品每件的进价为 元；
（2）设小张购进 件 种文创产品，由（1）可知， 种文创产品每件的进价为 元，
由题意，得： ，
解得： ；
13答：小张最多可以购进50件 种文创产品．
4．（2025·四川宜宾·中考真题）采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，
答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题
数是（ ）
A．14道 B．13道 C．12道 D．11道
【答案】C
【分析】设小明答对x道题，则答错或不答的题数为 道，根据得分规则建立不等式，解不等式后求
解x的最小整数值即可．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【详解】解：设答对x道题，则答错或不答的题数为 道．
根据题意得： ，
解得： ，
∴x的最小值为12，
∴他至少要答对12道题．
故选：C．
5．（2025·云南·中考真题）请你根据下列素材，完成有关任务．
背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．
素材
购买 个篮球与购买 个排球需要的费用相等；
一
素材
购买 个篮球和 个排球共需 元；
二
素材 该校计划购买篮球和排球共 个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不
三 超过购买篮球个数的 倍．
请完成下列任务：
任务
每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？
一
任务
给出最节省费用的购买方案．
二
【答案】任务一：每个篮球 元，每个排球 元；任务二：购买篮球 个，排球 个，最节省费用．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，掌握知识点的
应用是解题的关键．
任务一：设每个篮球 元，每个排球 元，根据题意得 ，然后解方程组即可；
14任务二：设购买篮球 个，则购买排球 个，费用为 元，根据题意得 ，求出 的取值
范围，由 ，可得 随 的增大而增大，则当 时， 有最小值，从
而求解．
【详解】解：任务一：设每个篮球 元，每个排球 元，
根据题意得： ，
解得： ，
答：每个篮球 元，每个排球 元；
任务二：设购买篮球 个，则购买排球 个，总的费用为 元，
根据题意得： ，
∴ 且a为整数，
∴ ，
∵
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， 有最小值，为 元，此时 ，
答：购买篮球 个，排球 个，最节省费用．
6．（2025·黑龙江·中考真题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发
布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦
仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个
“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元．
(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？
(2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？
(3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
【答案】(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要 元和 元
(2)方案一：购买“蜀宝” 个，购买“锦仔” 个；方案二：购买“蜀宝” 个，购买“锦仔” 个；
方案三：购买“蜀宝” 个，购买“锦仔” 个；
(3)方案一需要的资金最少，最少资金是2160元
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，正
15确的列出方程组，不等式组和一次函数的解析式，是解题的关键：
（1）设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要 元和 元，根据购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共
需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元，列出方程组进行求解即可；
（2）设购买“蜀宝” 个，根据投入资金不少于2160元又不多于2200元，列出不等式组，进行求解即
可；
（3）根据投入资金等于两种吉祥物的费用之和，列出函数关系式，利用一次函数的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要 元和 元，由题意，得：
，解得： ；
答：购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要 元和 元；
（2）解：设购买“蜀宝” 个，则：购买“锦仔” 个；
∴ ，
解得： ，
∴ ，
；
∴共有3种方案：
方案一：购买“蜀宝” 个，购买“锦仔” 个；
方案二：购买“蜀宝” 个，购买“锦仔” 个；
方案三：购买“蜀宝” 个，购买“锦仔” 个；
（3）解：由题意，得： ，
∴ 随着 的增大而增大，
∴当 时，即方案一需要的资金最少，最少资金是 （元）；
答：方案一需要的资金最少，最少资金是2160元．
16
