文档内容
押上海高考 18 题
函数、数列、不等式、解三角形
考点 4年考题 考情分析
函数 2023年 函数奇偶性的性质与判断
数列 2022年、2022年 数列的极限、等差数列与等比数列的综合
不等式 2022年 不等式恒成立的问题
解三角形 2021年、2023年 正弦定理、解三角形
一．函数奇偶性的性质与判断（共1小题）
1．（2023•上海）已知 ， ，函数 ．
（1）若 ，求函数的定义域，并判断是否存在 使得 是奇函数，说明理由；
（2）若函数过点 ，且函数 与 轴负半轴有两个不同交点，求此时 的值和 的取值范围．
【分析】（1） 时，求出函数 的解析式，根据函数的定义域和奇偶性进行求解判断即可．
（2）根据函数过点 ，求出 的值，然后根据 与 轴负半轴有两个不同交点，转化为一元二次方
程根的分布进行求解即可．
【解答】解：（1）若 ，则 ，
要使函数有意义，则 ，即 的定义域为 ，
是奇函数， 是偶函数，
函数 为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数 ，使得 是奇函数．（2）若函数过点 ，则 （1） ，得 ，得 ，
此时 ，若数 与 轴负半轴有两个不同交点，
即 ，得 ，当 时，有两个不同的交点，
设 ，
则 ，得 ，得 ，即 ，
若 即 是方程 的根，
则 ，即 ，得 或 ，
则实数 的取值范围是 且 且 ，
即 ， ， ．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数与方程的应用，根据条件建立方程，转化为一元二次
方程根的分布是解决本题的关键，是中档题．
二．数列的极限（共1小题）
2．（2022•上海）已知在数列 中， ，其前 项和为 ．
（1）若 是等比数列， ，求 ；
（2）若 是等差数列， ，求其公差 的取值范围．
【分析】（1）由已知求得等比数列的公比，再求出前 项和，求极限得答案；
（2）求出等差数列的前 项和，代入 ，对 分类分析得答案．
【解答】解：（1）在等比数列 中， ， ，则 ，公比 ，则 ，
；
（2）若 是等差数列，
则 ，
即 ，当 时， ；
当 时， 恒成立， ， ， ．
综上所述， ， ．
【点评】本题考查等差数列与等比数列前 项和，考查数列极限的求法，考查数列的函数特性及应用，是
中档题．
三．等差数列与等比数列的综合（共1小题）
3．（2020•上海）已知各项均为正数的数列 ，其前 项和为 ， ．
（1）若数列 为等差数列， ，求数列 的通项公式；
（2）若数列 为等比数列， ，求满足 时 的最小值．
【分析】（1）设等差数列的公差为 ，运用等差数列的求和公式，解方程可得 ，进而得到所求通项公式；
（2）设等比数列的公比为 ，由等比数列的通项公式可得 ，再由等比数列的求和公式，解不等式可得
的最小值．
【解答】解：（1）数列 为公差为 的等差数列， ， ，
可得 ，解得 ，
则 ；
（2）数列 为公比为 的等比数列， ， ，可得 ，即 ，
则 ， ，
，即为 ，
即 ，可得 ，即 的最小值为7．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基
础题．
四．不等式恒成立的问题（共1小题）
4．（2022•上海） ．
（1）若将函数 图像向下移 后，图像经过 ， ，求实数 ， 的值．
（2）若 且 ，求解不等式 ．
【分析】（1）写出函数图像下移 个单位后的解析式，把点的坐标代入求解即可得出 和 的值．
（2）不等式化为 ，写出等价不等式组，求出解集即可．
【解答】解：（1）因为函数 ，
将函数 图像向下移 后，得 的图像，
由函数图像经过点 和 ，
所以 ，
解得 ， ．
（2） 且 时，不等式 可化为 ，等价于 ，
解得 ，
当 时， ， ，解不等式得 ，
当 时， ， ，解不等式得 ；
综上知， 时，不等式 的解集是 ， ，
时，不等式 的解集是 ， ．
【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，是中档题．
五．正弦定理（共2小题）
5．（2021•上海）在 中，已知 ， ．
（1）若 ，求 ．
（2）若 ，求 ．
【分析】（1）由余弦定理求得 ，从而求得 面积；
（2）由正、余弦定理求得 、 值，从而求得 周长．
【解答】解：（1）由余弦定理得 ，
解得 ，
；
（2） ， 由正弦定理得 ，又 ，
， ， ， ， 为锐角，．
由余弦定理得： ，又 ， ，
，得： ，解得： ．
当 时， 时 ；
当 时， 时 ．
【点评】本题考查余正、弦定理应用、三角形面积求法，考查数学运算能力，属于中档题．
6．（2021•上海）已知 、 、 为 的三个内角， 、 、 是其三条边， ， ．
（1）若 ，求 、 ；
（2）若 ，求 ．
【分析】（1）由已知利用正弦定理即可求解 的值；利用余弦定理即可求解 的值．
（2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得 ， ， 的值，进而
根据正弦定理可得 的值．
【解答】解：（1）因为 ，可得 ，
又 ，可得 ，
由于 ，可得 ．
（2）因为 ，
可得 ，
又 ，
可解得 ， ，或 ， ，
因为 ，可得 ， ，可得 为钝角，若 ， ，可得 ，可得 ，
可得 为钝角，这与 为钝角矛盾，舍去，
所以 ，由正弦定理 ，可得 ．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形
中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
六．解三角形（共1小题）
7．（2023•上海）在 中，角 、 、 所对应的边分别为 、 、 ，其中 ．
（1）若 ， ，求边长 ；
（2）若 ， ，求 的面积．
【分析】（1）由已知结合和差角公式及正弦定理进行化简可求 ， ， ，然后结合锐角三角函数即可
求解；
（2）由已知结合正弦定理先求出 ，进而可求 ，再由正弦定理求出 ，结合三角形面积公式可求．
【解答】解：（1） ，且 ，
，
，
， ， ，
，
；
（2） ，
则 ，
，
，
，
为锐角，
， ， ，，
，
．
【点评】本题主要考查了和差角公式，正弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
一．函数奇偶性的性质与判断
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么
函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，
且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对
称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
【命题方向】
函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确
率．
二．数列的极限
1、数列极限的定义：对于数列 ，如果存在一个常数 ，无论预先指定多么小的正数 ，都能在数列
找到一项 ，使得 时， 恒成立，则 ；
2、三个最基本的极限：（1）常数数列的极限就是其本身，即： ；（2） ；（3）当时， ；当 时，若 ，则 ；若 ，则 不存在；
当 时， 不存在。这三个最基本的极限是求复杂数列极限的基础和化归方向。
【注意】：它们是极限运算的基础，但是要区别，如果 是收敛的等比数列的公比时， 。
lim
3 、 极 限 的 运 算 法 则 ： 如 果 ， n→∞b
n
＝ B ， 那 么 ，
，
；
推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况；例如，若 ， ， 有极限，
则： ；
特别地，如果 是常数，那么
三．等差数列与等比数列的综合
(1)等差、等比数列{a}的常用性质
n
等差数列 等比数列
①若m，n，p，q∈N*，且m
①若m，n，s，t∈N*，且m＋n＝
＋n＝p＋q，则a ＋ a ＝ a＋
m n p
s＋t，则a · a ＝ a · a ；
m n s t
a；
q
性质 ②a＝a · q n － m ；
n m
②a＝a ＋ ( n － m ) d；
n m
③S ，S －S ，S －S ，…仍成
m 2m m 3m 2m
③S ，S －S ，S －S ，…
m 2m m 3m 2m
等比数列(S ≠0)
m
仍成等差数列
(2)判断等差数列的常用方法
①定义法
a
n＋1
－a
n
＝d(常数)(n∈N*)⇔{a
n
}是等差数列；
②通项公式法
a＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{a}是等差数列；
n n
③中项公式法
2a
n＋1
＝a
n
＋a
n＋2
(n∈N*)⇔{a
n
}是等差数列；
④前n项和公式法S＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{a}是等差数列．
n n
(3)判断等比数列的常用方法
①定义法
＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{a}是等比数列；
n
②通项公式法
a＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{a}是等比数列；
n n
③中项公式法
a＝a
n
·a
n＋2
(a
n
≠0，n∈N*)⇔{a
n
}是等比数列．
四．不等式恒成立的问题
在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一段取值范围内所有值都成立的情形，
我们将这样的情形称为不等式恒成立问题．
【解题方法点拨】
1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
（1）通常需要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值；从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新
函数能直接求出最值点的情况．若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成
立问题与存在性问题的区别．
2、利用参变量分离法求解函数不等式恒成立，可根据以下原则进行求解：
（1） x D，m≤f（x） m≤f（x） ；
min
（2）∀x∈D，m≥f（x）⇔m≥f（x） ．
max
【命题∀方∈向】 ⇔
不等式恒成立问题涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类
讨论、换元等思想方法，成为历年高考的一个热点．不等式恒成立问题基本命题角度有：证明不等式恒成
立、由不等式恒（能）成立求参数的范围、不等式存在性问题．基本上都采取分参法，求什么就把什么分
离出来，转换成恒成立问题求解．
五．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R a2＝b2+c2﹣2bccos A，
（ R是△ABC外接圆半径） b2＝a2+c2﹣2accosB，
c2＝a2+b2﹣2abcosC变形 （1）a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； cos A＝；
形式 (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； cos B＝；
(3)a∶b∶c＝ sin A ∶ sin B ∶ sin C cos C＝
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝
csin A
解决 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条 ①已知三边，求各角；
边；
三角 ②已知两边和它们的夹角，求第三边和
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和 其他两角
形的
其他两角
问题
一．函数奇偶性的性质与判断（共2小题）
1．（2024•黄浦区二模）设 ，函数 ．
（1）求 的值，使得 为奇函数；
（2）若 （2） ，求满足 的实数 的取值范围．
【分析】（1）结合奇函数的定义即可求解 ；
（2）由 （2） 可求 ，然后结合指数函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）因为 为奇函数，
所以 （1），
即 ，
解得， ，
经检验， 为奇函数，符合题意；
（2）因为 （2） ，即 ，所以 ，
化简得， ，
解得， ，
故 的范围为 ．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，还考查了指数函数的性质在不等式求解中的应用，属于基础
题．
2．（2024•徐汇区模拟）已知函数 ，其中 ．
（1）求证： 是奇函数；
（2）若关于 的方程 在区间 ， 上有解，求实数 的取值范围．
【分析】（1）利用奇偶函数的概念判断即可；
（2）依题意，得 ，分离参数 ，构造函数 ，利用其单调性可求得答案．
【解答】解：（1）证明：由 ，得 或 ，
的定义域为 ， ， ，关于原点对称，
又 ，
故 是奇函数；
（2） ，且 或 ，
由题意，可得 在区间 ， 上有解，
即 在区间 ， 上有解，令 ，
在区间 ， 上单调递减，
， ，
， ．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．
二．等差数列与等比数列的综合（共3小题）
3．（2024春•宝山区校级期中）已知等差数列 满足 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设等比数列 各项均为正数，其前 项和 ，若 ， ，求 ．
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，根据题意得出关于 和 的方程组，解出这两个量，利用等差
数列的通项公式可求得数列 的通项公式；
（2）设等比数列 的公比为 ，求出 、 的值，可得出关于 和 的方程组，解出这两个量，
再利用等比数列的求和公式可求得 ．
【解答】解：（1）设等差数列 的公差为 ，
， ，
，解得 ，
故数列 的通项公式 ；
（2）设各项均为正数的等比数列 的公比为 ，，
则 ， ，
， ，
， ，即 ，解得2或 （舍去），
．
【点评】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了等比数列求和公式的应用，考查计算能力，属
于基础题．
4．（2024春•宝山区校级月考）已知各项均为正数的数列 ，其前 项和为 ， ．
（1）若数列 为等差数列， ，求数列 的通项公式；
（2）若数列 为等比数列， ，求满足 时 的最小值．
【分析】（1）设等差数列的公差为 ，运用等差数列的求和公式，解方程可得 ，进而得到所求通项公式；
（2）设等比数列的公比为 ，由等比数列的通项公式可得 ，再由等比数列的求和公式，解不等式可得
的最小值．
【解答】解：（1）数列 为公差为 的等差数列， ， ，
可得 ，解得 ，
则 ；
（2）数列 为公比为 的等比数列， ， ，
可得 ，即 ，则 ， ，
，即为 ，
即 ，可得 ，即 的最小值为7．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基
础题．
5．（2024春•宝山区校级月考）已知等差数列 的公差不为零， ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求 的通项公式；
（2）计算 ．
【分析】（1）设出公差，利用题干条件列出方程，求出公差，进而写成通项公式；
（2）在（1）的基础上，得到 ，即数列 正整数）为等差数列，利用等差数列
求和公式进行求解．
【解答】解：（1）设等差数列 的公差为 ，
则 ， ．
因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ， 代入，解得 舍去）．
所以 ，
所以 的通项公式为 ；
（2）因为 ，所以数列 正整数）是以25为首项， 为公差的等差数列，
所以 ．
【点评】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
三．不等式恒成立的问题（共1小题）
6．（2024•袁州区校级开学）已知函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【分析】（1）分类讨论去绝对值得到 的分段解析式，然后分情况求解，从而得解．
（2）结合（1）中结论，分类讨论得 ，从而 ，由此得解．
【解答】解：（1）因为 ，
所以 或 或 ，
解得 或 或 ，
综上所述，不等式 的解集为 ， ， ．
（2）由（1）知当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
综上， ，所以 （2） ，
故 ，故 ，解得 ，即实数 的取值范围为 ．
【点评】本题考查不等式恒成立的问题，考查绝对值不等式的解法，属于中档题．
四．解三角形（共7小题）
7．（2024•闵行区二模）在锐角 中，角 、 、 所对边的边长分别为 、 、 ，且
．
（1）求角 ；
（2）求 的取值范围．
【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式可求 ，结合 为锐角，即可求解 的值；
（2）由题意可求得 ，可得 ， ，可得 ， ，利用三角函数恒等变
换的应用化简可求 ，即可得解 的取值范围．
【解答】解：（1） ，
，
又 ，
，
为锐角三角形，
；
（2） 为锐角三角形， ，
，解得 ，
， ，可得 ， ，则 ， ，
的取值范围是 ， ．
【点评】本题考查了正弦定理，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了计算
能力和转化思想，属于中档题．
8．（2024•普陀区模拟）设函数 ， ， ，它的最小正周期为 ．
（1）若函数 是偶函数，求 的值；
（2）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ， ，求 的值．
【分析】（1）利用正弦函数的周期公式可求 ，又函数 是偶函数，结合 ，即可
求解 的值；
（2）由 ，可得 ，结合题意利用正弦定理可求 ，由余弦定理可求 ，进
而可求 的值．
【解答】解：（1）因为函数 的最小正周期为 ，且 ，
所以 ，即 ，
则 ，
又函数 是偶函数，
则 ， ，即 ，
又 ，
则 ；
（2）由（1）可得 ，又 ，可得 ，
又 ， ，
则 ，即 ，
由余弦定理得 ，
即 ，则 ．
【点评】本题考查了正弦函数的周期公式，三角函数的奇偶性以及正弦定理，余弦定理在解三角形中的应
用，属于中档题．
9 ． （ 2024• 宝 山 区 二 模 ） 在 中 ， 角 、 、 的 对 边 分 别 为 、 、 ， 已 知
．
（1）求角 的大小；
（2）若 的面积为 ，求 的最小值，并判断此时 的形状．
【分析】（1）利用边角互化思想得 ，由余弦定理求出 的值，从而得出角 的值；
（2）由三角形的面积公式得出 的值，再由基本不等式即可计算得解．
【解答】解：（1）由正弦定理得 ，
又由余弦定理得 ，
因为 是三角形内角，所以 ；
（2）由三角形面积公式得：
，
解得 ，
因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为4，此时 为等边三角形．
【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．10．（2024•崇明区二模）在锐角三角形 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为 在
方向上的投影向量，且满足 ．
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的周长．
【分析】（1）由题意可知， ，代入 得 ，再利用正弦
定理求解即可；
（2）由余弦定理可得 ，再结合 可求出 的值，进而求出 的值，得到 的周长．
【解答】解：（1） 为 在 方向上的投影向量，
，
又 ，
，
，
又 ， ，
，
， ， ， ，
又 ，
，
解得 ；
（2） ， ，， ，
，
， ，
，
，
解得 ，
，
的周长为 ．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
11．（2024•杨浦区二模）已知 ．
（1）若 的最小正周期为 ，判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）已知 ， 中， ， ， 分别是角 ， ， 所对的边，若 ， ， ，
求 的值．
【分析】（1）结合周期公式可求 ，再求出 ，结合函数奇偶性定义即可求解；
（2）由已知若 可求出 ，结合余弦定理可求 ．
【解答】解：（1）由题意可得， ，
， ，
， ， ， ，
不是奇函数，不是偶函数；（2） ，
则 ，
，
，
，
，
，
， ，
即 ，
，
解得， ．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
12．（2024•嘉定区二模）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ， ．
（1）求角 ，并计算 的值；
（2）若 ，且 是锐角三角形，求 的最大值．
【分析】（1）由已知结合二倍角公式进行化简可求 ，进而可求；
（2）由已知锐角三角形可先求出 的范围，然后结合正弦定理可表示 ，然后结合和差角公式及辅助
角公式进行化简，再由正弦函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）因为 且 为三角形内角，
所以 或 ，
当 时， ，当 时， ；
（2）由题意结合（1）得 ，
所以 ，解得， ，
因为 ，
由正弦定理得， ，
所以 ， ，
所以
， ， ，
则 ， ， ，
故当 时， 取得最大值 ．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，和差角公式及辅助角公式的应用，还考查了正弦定理在求解三角形
中的应用，属于中档题．
13 ． （ 2024• 黄 浦 区 校 级 模 拟 ） 在 中 ， 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ，
．
（1）求角 ；
（2）若 为钝角三角形，且 ，求 的取值范围．
【分析】（1）化切为弦，然后根据两角和的正弦公式化简即可求解；
（2）利用正弦定理化边为角，根据辅助角公式化为 ，结合角的范围利用正弦函数的性
质即可求解范围．【解答】解：（1）因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
又 且 ，所以 ；
（2）由正弦定理，得 ，
所以 ，所以 ，
因为 是钝角三角形，不妨设 为钝角，则 ，
所以
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 的取值范围是 ．
【点评】本题考查利用正余弦定理和三角恒等变换知识解三角形，属于中档题．
