2024年高考数学试卷（上海）（秋考）（回忆版）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2024·高考数学真题

2024 年上海市高考数学试卷（网络回忆版） 2024.06 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分.其中第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题满分 5 分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. U =1,2,3,4,5 A=2,4 1. 设全集 ，集合 ，则A= ______． 【答案】 1,3,5 【解析】 【分析】根据补集的定义可求A. 【详解】由题设有A=1,3,5， 故答案为： 1,3,5 ìï x,x>0 2. 已知 f x=í ,则 f 3=______． ïî1,x£0 【答案】 3 【解析】 【分析】利用分段函数的形式可求 f 3 . ìï x,x>0 【详解】因为 f x=í ,故 f 3= 3， ïî1,x£0 故答案为： 3. 3. 已知xÎR,则不等式x2 -2x-3<0的解集为______． 【答案】 x|-1< x<3 【解析】 【分析】求出方程x2 -2x-3=0的解后可求不等式的解集. 【详解】方程x2 -2x-3=0的解为x=-1或x=3， 故不等式x2 -2x-3<0的解集为 x|-1< x<3 ， 故答案为： x|-1< x<3 . 第1页/共17页 学科网（北京）股份有限公司4. 已知 f x= x3+a，xÎR，且 f x 是奇函数，则a =______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据奇函数的性质可求参数a. 【详解】因为 f x 是奇函数，故 f -x+ f(x)=0即x3 +a+-x3 +a =0， 故a=0， 故答案为：0. 5. 已知kÎR,a r =2,5,b r =6,k，且a r //b r ，则k的值为______． 【答案】15 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. r 【详解】 a r //b ，\2k =5´6，解得k =15． Q 故答案为：15． 6. 在(x+1)n的二项展开式中，若各项系数和为32，则x2项的系数为______． 【答案】10 【解析】 【分析】令x=1，解出n=5，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可. 【详解】令x=1，\(1+1)n =32，即2n =32，解得n=5， 所以(x+1)5的展开式通项公式为T =Cr ×x5-r ，令5- r =2，则r =3， r+1 5 \T =C3 x2 =10x2． 4 5 故答案为：10． 7. 已知抛物线y2 =4x上有一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距离为______． 【答案】4 2 【解析】 【分析】根据抛物线的定义知x =8，将其再代入抛物线方程即可. P 【详解】由y2 =4x知抛物线的准线方程为x=-1，设点Px ,y  ，由题意得x +1=9，解得x =8， 0 0 0 0 第2页/共17页 学科网（北京）股份有限公司代入抛物线方程y2 =4x，得 y2 =32，解得y =±4 2 ， 0 0 则点P到x轴的距离为4 2． 故答案为：4 2． 8. 某校举办科学竞技比赛，有A、B、C 3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有 3000道题．小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是 0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______． 【答案】0.85 【解析】 【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案. 【详解】由题意知，A,B,C题库的比例为：5:4:3， 5 4 3 各占比分别为 , , ， 12 12 12 5 4 3 则根据全概率公式知所求正确率 p = ´0.92+ ´0.86+ ´0.72=0.85． 12 12 12 故答案为：0.85． 2 9. 已知虚数z，其实部为1，且z+ =mmÎR，则实数m为______． z 【答案】2 【解析】 【分析】设z =1+bi，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案. 【详解】设z =1+bi，bÎR且b¹0. 2 2 æb2 +3ö æb3 -bö 则z+ =1+bi+ =ç ÷+ç ÷i=m， z 1+bi è 1+b2 ø è 1+b2 ø ìb2 +3 =m ï ï1+b2 mÎR，\í ，解得m = 2， Q ïb3-b =0 ïî1+b2 故答案为：2. 10. 设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数 的最大值______． 第3页/共17页 学科网（北京）股份有限公司【答案】329 【解析】 【分析】三位数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可. 【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数． 首先讨论三位数中的偶数， ①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有P2 =72个； 9 ②当个位不为0时，则个位有C1 个数字可选，百位有C1 =256个数字可选，十位有C1个数字可选， 4 8 8 根据分步乘法这样的偶数共有C1C1C1 =256， 4 8 8 最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为72+256+1=329个． 故答案为：329． 11. 已 知 点 B 在 点 C 正 北 方 向 ， 点 D 在 点 C 的 正 东 方 向 ， BC =CD, 存 在 点 A 满 足 ÐBAC =16.5°,ÐDAC =37°，则ÐBCA=______(精确到0.1度) 【答案】7.8° 【解析】 CA CD 【 分 析 】 设 ÐBCA=q， 在 △DCA和 VBCA中 分 别 利 用 正 弦 定 理 得 到 = ， sinD sinÐCAD CA CB = sin  q+16.5o  sin16.5o ，两式相除即可得到答案. 【详解】设ÐBCA=q,ÐACD=90o -q， CA CD 在△DCA中，由正弦定理得 = ， sinD sinÐCAD CA CD = 即 siné180o -  90o -q+37.0o ù sin37.0o ’ ë û 第4页/共17页 学科网（北京）股份有限公司CA CD = 即 sin  90o -q+37.0o  sin37.0o ① CA CB 在VBCA中，由正弦定理得 = ， sinB sinÐCAB CA CB CA CB = = 即 siné180o -  q+16.5o ù sin16.5o ，即 sin  q+16.5o  sin16.5o ，② ë û   ② sin 90o -q+37.0o sin37.0o 因为CD=CB， 得 = ， ① sin  q+16.5o  sin16.5o 利用计算器即可得q»7.8o， 故答案为：7.8o. 12. 无穷等比数列 a  满足首项a >0,q >1，记I =  x- y x,yÎa ,a Èa ,a  ，若对任意正整数n n 1 n 1 2 n n+1 集合I 是闭区间，则 q 的取值范围是______． n 【答案】q³2 【解析】 【分析】当n³2时，不妨设x³ y，则x- yÎ0,a 2 -a 1  U a n -a 2 ,a n+1 -a 1  U 0,a n+1 -a n  ，结合I n 为 1 闭区间可得q-2³- 对任意的n³2恒成立，故可求 q 的取值范围. qn-2 【详解】由题设有a =aqn-1，因为a >0,q >1，故a >a ，故 a ,a =éaqn-1,aqnù， n 1 1 n+1 n n n+1 ë 1 1 û 当n=1时，x,yÎa ,a  ，故x- yÎa -a ,a -a  ，此时I 为闭区间， 1 2 1 2 2 1 1 当n³2时，不妨设x³ y，若x,yÎa ,a  ，则x- yÎ0,a -a  ， 1 2 2 1 若yÎa ,a ,xÎa ,a  ，则x- yÎa -a ,a -a  ， 1 2 n n+1 n 2 n+1 1 若x,yÎa ,a  ，则x- yÎ0,a -a  ， n n+1 n+1 n 综上，x- yÎ0,a 2 -a 1  U a n -a 2 ,a n+1 -a 1  U 0,a n+1 -a n  ， 又I 为闭区间等价于 0,a -a Èa -a ,a -a È0,a -a  为闭区间， n 2 1 n 2 n+1 1 n+1 n 而a -a >a -a >a -a ，故a -a ³a -a 对任意n³2恒成立， n+1 1 n+1 n 2 1 n+1 n n 2 故a -2a +a ³0即aqn-1q-2+a ³0，故qn-2q-2+1³0， n+1 n 2 1 2 第5页/共17页 学科网（北京）股份有限公司1 故q-2³- 对任意的n³2恒成立，因q >1， qn-2 1 故当n®+¥时，- ®0，故q-2³0即q³2. qn-2 故答案为：q³2. 【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有 关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理. 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 18 分，其中第 13-14 题每题满分 4 分，第 15-16 题每题 满分 5 分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格 涂黑，选对得满分，否则一律得零分. 13. 已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（ ） A 气候温度高，海水表层温度就高 . B. 气候温度高，海水表层温度就低 C. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 【答案】C 【解析】 【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项. 【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误. 对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势， 故C正确，D错误. 故选：C. 14. 下列函数 f x 的最小正周期是2π的是（ ） A. sinx+cosx B. sinxcosx C. sin2x+cos2x D. sin2x-cos2x 【答案】A 【解析】 【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 . 第6页/共17页 学科网（北京）股份有限公司æ πö 【详解】对A，sinx+cosx= 2sin ç x+ ÷，周期T =2π，故A正确； è 4ø 1 2π 对B，sinxcosx = sin2x，周期T = =π，故B错误； 2 2 对于选项C，sin2x+cos2x=1，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误； 2π 对于选项D，sin2x-cos2x = -cos2x，周期T = =π，故D错误， 2 故选：A． 15. 定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取P,P,P ÎΩ，存在不全为0的实数l,l,l， 1 2 3 1 2 3 uuur uuur uuur r 使得lOP +lOP +lOP =0．已知(1,0,0)ÎΩ，则(0,0,1)ÏΩ的充分条件是（ ） 1 1 2 2 3 3 A. 0,0,0ÎW B. -1,0,0ÎW C. 0,1,0ÎW D. 0,0,-1ÎW 【答案】C 【解析】 【分析】首先分析出三个向量共面，显然当 1,0,0,0,0,1,0,1,0ÎΩ时，三个向量构成空间的一个基底， 则即可分析出正确答案. uuur uuur uuur 【详解】由题意知这三个向量OP ,OP,OP 共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 1 2 3 对A，由空间直角坐标系易知 0,0,0,(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当 -1,0,0,(1,0,0)ÎW无法推出 (0,0,1)ÏΩ，故A错误； 对B，由空间直角坐标系易知 -1,0,0,(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当 0,0,0,(1,0,0)ÎW无法推出 (0,0,1)ÏΩ，故A错误； 对C， 由空间直角坐标系易知 1,0,0,0,0,1,0,1,0 三个向量不共面，可构成空间的一个基底， 则由 1,0,0,0,1,0ÎΩ能推出 0,0,1ÏΩ， 对D，由空间直角坐标系易知 1,0,0,0,0,1,0,0,-1 三个向量共面， 则当 0,0,-1(1,0,0)ÎW无法推出(0,0,1)ÏΩ，故D错误. 故选：C． 第7页/共17页 学科网（北京）股份有限公司16. 已知函数 f(x)的定义域为 R，定义集合 M =  x x ÎR,xÎ-¥,x , f x< f x  ，在使得 0 0 0 0 M =-1,1 的所有 f x 中，下列成立的是（ ） A. 存在 f x 是偶函数 B. 存在 f x 在x=2处取最大值 C. 存在 f x 是严格增函数 D. 存在 f x 在x=-1处取到极小值 【答案】B 【解析】 【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数 ì-2,x<-1 ï f x=íx,-1£ x£1即可判断. ï 1,x>1 î 【详解】对于A，若存在 y= f(x) 是偶函数, 取 x =1Î[-1,1], 0 则对于任意 xÎ(-¥,1), f(x)< f(1), 而 f(-1)= f(1), 矛盾, 故 A 错误； ì-2,x<-1, ï 对于B，可构造函数 f x=íx,-1£ x£1,满足集合M =-1,1 ， ï 1,x>1, î 当x<-1时，则 f x=-2，当-1£ x£1时， f xÎ-1,1 ，当x>1时， f x=1， 则该函数 f x 的最大值是 f 2 ，则B正确； 对C，假设存在 f x ，使得 f x 严格递增，则M =R，与已知M =-1,1 矛盾，则C错误； 对 D，假设存在 f x ，使得 f x 在 x=-1处取极小值，则在 -1的左侧附近存在 n，使得 f n> f -1 ，这与已知集合M 的定义矛盾，故D错误； 故选：B. 三、解答题（本大题共有 5题，满分 78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内 写出必要的步骤 17. 如图为正四棱锥P- ABCD,O为底面ABCD的中心． 第8页/共17页 学科网（北京）股份有限公司（1）若AP =5,AD =3 2 ，求 POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积； V （2）若AP = AD,E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小． 【答案】（1）12π π （2） 4 【解析】 【分析】（1）根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形 POA的边长，然后求圆锥的体积； V （2）连接EA,EO,EC，可先证BE ^平面ACE，根据线面角的定义得出所求角为ÐBOE，然后结合题 目数量关系求解. 【小问1详解】 正四棱锥满足且PO^平面ABCD，由AOÌ平面ABCD，则PO^ AO， 又正四棱锥底面ABCD是正方形，由AD=3 2可得，AO=3， 故PO= PA2 -AO2 =4， 根据圆锥的定义， POA绕PO旋转一周形成的几何体是以PO为轴，AO为底面半径的圆锥， V 即圆锥的高为PO=4，底面半径为AO=3， 1 根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是 ´π´32´4=12π 3 【小问2详解】 连接EA,EO,EC，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形， 由E是PB中点，则AE ^ PB,CE ^ PB，又AE I CE = E,AE,CE Ì平面ACE， 故PB^平面ACE，即BE ^平面ACE，又BD 平面ACE =O， I 第9页/共17页 学科网（北京）股份有限公司于是直线BD与平面AEC所成角的大小即为ÐBOE， 3 2 不妨设AP= AD=6，则BO=3 2,BE =3，sinÐBOE = = ， 3 2 2 é πù 又线面角的范围是 0, ， ê ú ë 2û π 故ÐBOE = .即为所求. 4 18. 若 f x=log x(a >0,a ¹1)． a （1）y = f x 过 4,2 ，求 f 2x-2< f x 的解集； （2）存在x使得 f x+1、f ax、f x+2 成等差数列，求a的取值范围． 【答案】（1） x|1< x<2 （2）a >1 【解析】 【分析】（1）求出底数a，再根据对数函数的单调性可求不等式的解； 2 （2）存在x使得 f x+1、f ax、f x+2 成等差数列等价于a2 =2 æ ç 1 + 3ö ÷ - 1 在 0,+¥ 上有解， è x 4ø 8 利用换元法结合二次函数的性质可求a的取值范围． 【小问1详解】 因为y = f x 的图象过 4,2 ，故log 4=2，故a2 =4即a=2（负的舍去）， a 而 f x=log x在 0,+¥ 上为增函数，故 f 2x-2< f x ， 2 故0<2x-2< x即1< x<2， 故 f 2x-2< f x 的解集为 x|1< x<2 . 【小问2详解】 因为存在x使得 f x+1、f ax、f x+2 成等差数列， 故2f ax= f x+1+ f x+2 有解，故2log ax=log x+1+log x+2 ， a a a 因为a>0,a¹1，故x>0，故a2x2 =x+1x+2 在 0,+¥ 上有解， 由a2 = x2 +3x+2 =1+ 3 + 2 =2 æ1 + 3ö 2 - 1 在 0,+¥ 上有解， ç ÷ x2 x x2 è x 4ø 8 第10页/共17页 学科网（北京）股份有限公司令t = 1 Î0,+¥，而y =2 æ t+ 3ö 2 - 1 在 0,+¥ 上的值域为 1,+¥ ， ç ÷ x è 4ø 8 故a2 >1即a >1. 19. 为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均 体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示： 时间范围 0,0.5 0.5,1 1,1.5 1.5,2 2,2.5 学业成绩 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 （1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ （2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1） （3）是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ n(ad -bc)2 （附：c2 = ,其中n=a+b+c+d ，P  c2 ³3.841  »0.05．） a+bc+da+cb+d 【答案】（1）12500 （2）0.9h （3）有 【解析】 【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可； （2）根据平均数的计算公式即可得到答案； （3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论. 【小问1详解】 179+43+28 25 由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比 = ， 580 58 25 则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为29000´ =12500． 58 【小问2详解】 估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为 第11页/共17页 学科网（北京）股份有限公司1 é0.5 0.5+1 1+1.5 1.5+2 2+2.5 ù ´139+ ´191+ ´179+ ´43+ ´28 »0.9． ê ú 580ë 2 2 2 2 2 û 则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时. 【小问3详解】 由题列联表如下： 1,2 其他 合计 优秀 45 50 95 不优秀 177 308 485 合计 222 358 580 提出零假设H ：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关． 0 其中a=0.05． 580´(45´308-177´50)2 c2 = »3.976>3.841． 95´485´222´358 则零假设不成立， 即有95%的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关． y2 20. 已知双曲线Γ:x2 - =1,(b>0),左右顶点分别为A,A ，过点M -2,0 的直线l交双曲线Γ于P,Q b2 1 2 两点. （1）若离心率e=2时，求b的值． 2 6 （2）若b= ,△MA P为等腰三角形时，且点P在第一象限，求点P的坐标． 3 2 uuur uuuur （3）连接OQ并延长，交双曲线Γ于点R，若AR×A P =1，求b 的取值范围． 1 2 【答案】（1）b= 3   （2）P 2,2 2   æ 30ù （3） 0, 3 Uç ç 3, ú 3 è û 【解析】 【分析】（1）根据离心率公式计算即可； 第12页/共17页 学科网（北京）股份有限公司（2）分三角形三边分别为底讨论即可； （3）设直线l:x=my-2，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可. 【小问1详解】 c c 由题意得e= = =2，则c=2，b= 22 -1= 3． a 1 【小问2详解】 y2 2 6 Γ:x2 - =1 当b= 时，双曲线 8 ，其中M -2,0 ，A 1,0 ， 2 3 3 因为△MA P为等腰三角形，则 2 1 ①当以MA 为底时，显然点P在直线x=- 上，这与点P在第一象限矛盾，故舍去； 2 2 ②当以A P为底时， MP = MA =3， 2 2 ì 23 ì 23 ì 3y2 x=- x=- ï x2 - =1 ï ï 11 ï ï 11 ìx=1 设Px,y ，则 í 8 , 联立解得í 或í 或í ， ï î(x+2)2 + y2 =9 ï y =- 8 17 ï y = 8 17 îy =0 ïî 11 ïî 11 因为点P在第一象限，显然以上均不合题意，舍去； （或者由双曲线性质知 MP > MA ，矛盾，舍去）； 2   ③当以MP为底时， A P = MA =3，设P x,y ，其中x >0,y >0， 2 2 0 0 0 0 ìx -12 + y2 =9 ï 0 0 则有 ï í x2 - y 0 2 =1 ，解得 ìï í x 0 =2 ，即P  2,2 2  ． ï 0 8 ïî y =2 2 0 ï î 3   综上所述：P 2,2 2 . 【小问3详解】 由题知A -1,0,A 1,0 ， 1 2 uuur uuuur 当直线l的斜率为0时，此时AR×A P=0，不合题意，则k ¹0， 1 2 l 则设直线l:x=my-2， 设点Px ,y ,Qx ,y  ，根据OQ延长线交双曲线Γ于点R， 1 1 2 2 第13页/共17页 学科网（北京）股份有限公司根据双曲线对称性知R-x ,-y  ， 2 2 ìx=my-2 联立有 ï í y2 Þ  b2m2 -1  y2 -4b2my+3b2 =0， x2 - =1 ï î b2 显然二次项系数b2m2 -1¹0， 其中Δ=  -4mb22 -4  b2m2 -1  3b2 =4b4m2 +12b2 >0， 4b2m 3b2 y + y = ①，y y = ②， 1 2 b2m2 -1 1 2 b2m2 -1 uuur uuuur AR=-x +1,-y ,A P=x -1,y ， 1 2 2 2 1 1 uuur uuuur 则AR×A P=-x +1x -1- y y =1，因为Px ,y ,Qx ,y  在直线l上， 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 则x =my -2，x =my -2， 1 1 2 2 即-my -3my -3- y y =1，即y y  m2 +1  -y + y 3m+10=0， 2 1 1 2 1 2 1 2 3b2 4b2m 将①②代入有  m2 +1  × -3m× +10=0， b2m2 -1 b2m2 -1 即3b2 m2 +1  -3m×4b2m+10  b2m2 -1  =0 化简得b2m2 +3b2 -10=0， 10 所以 m2 = -3, 代入到 b2m2 -1¹0, 得 b2 =10-3b2 ¹1, 所以 b2 ¹3, b2 10 10 10 且m2 = -3³0，解得b2 £ ，又因为b>0，则00)，求证：对于点M 0,0 ，存在点P，使得点P是M 在 f x 的“最近点”； x （2）对于 f x=ex,M 1,0 ，请判断是否存在一个点P，它是M 在 f x 的“最近点”，且直线MP与 y= f(x)在点P处的切线垂直； （3）已知y= f(x)在定义域R上存在导函数 f¢(x)，且函数 g(x) 在定义域R上恒正，设点 M  t-1, f t-gt ，M  t+1, f t+gt ．若对任意的tÎR，存在点P同时是M ,M 在 f x 1 2 1 2 的“最近点”，试判断 f x 的单调性． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，P0,1 （3）严格单调递减 【解析】 【分析】（1）代入M(0,0)，利用基本不等式即可； （2）由题得sx=(x-1)2 +e2x，利用导函数得到其最小值，则得到P，再证明直线MP与切线垂直即可； 1 （3）根据题意得到s¢x =s ¢x =0，对两等式化简得 f¢x =- ，再利用“最近点”的定义得 1 0 2 0 0 g(t) 到不等式组，即可证明x =t，最后得到函数单调性. 0 【小问1详解】 2 æ1 ö 1 1 当M(0,0)时，sx=(x-0)2 + -0 = x2 + ³2 x2× =2， ç ÷ è x ø x2 x2 1 当且仅当x2 = 即x=1时取等号， x2 故对于点M 0,0 ，存在点P1,1 ，使得该点是M 0,0 在 f x 的“最近点”． 【小问2详解】 由题设可得sx=(x-1)2 +  ex -0 2 =(x-1)2 +e2x， 则s¢x=2x-1+2e2x，因为y =2x-1,y =2e2x均为R 上单调递增函数， 第15页/共17页 学科网（北京）股份有限公司则s¢x=2x-1+2e2x在R 上为严格增函数， 而s¢0=0，故当x <0时，s¢x<0，当x>0时，s¢x>0， 故sx =s0=2，此时P0,1 ， min 而 f¢x=ex,k = f¢0=1，故 f x 在点P处的切线方程为y=x+1. 0-1 而k = =-1，故k ×k =-1，故直线MP与y = f x 在点P处的切线垂直． MP 1-0 MP 【小问3详解】 设s x=(x-t+1)2 +(f x- f t+gt)2， 1 s x=(x-t-1)2 +(f x- f t-gt)2， 2 而s¢x=2(x-t+1)+2(f x- f t+gt)f¢x ， 1 s¢x=2(x-t-1)+2(f x- f t-gt)f¢x ， 2 若对任意的tÎR，存在点P同时是M ,M 在 f x 的“最近点”， 1 2 设P  x,y  ，则x 既是s x 的最小值点，也是s x 的最小值点， 0 0 0 1 2 因为两函数的定义域均为R ，则x 也是两函数的极小值点， 0 则存在x ,使得s¢x =s ¢x =0， 0 1 0 2 0 即s¢x =2x -t+1+2f¢x éf x - f(t)+g(t)ù =0① 1 0 0 0 ë 0 û s ¢x =2x -t-1+2f¢x éf x - f(t)-g(t)ù =0② 2 0 0 0 ë 0 û 由①②相等得4+4g(t)× f¢x =0，即1+ f¢x g(t)=0， 0 0 1 即 f¢x =- ，又因为函数g(x)在定义域R上恒正， 0 g(t) 1 则 f¢x =- <0恒成立， 0 g(t) 接下来证明x =t， 0 因为x 既是s x 的最小值点，也是s x 的最小值点， 0 1 2 则s x £s(t),s x £s(t)， 1 0 2 0 第16页/共17页 学科网（北京）股份有限公司即x -t+12 +  f x - f t+gt2 £1+  gt2 ，③ 0 0 x -t-12 +  f x - f t-gt2 £1+  gt2 ，④ 0 0 ③+④得2x -t2 +2+2éf x - f(t)ù 2 +2g2(t)£2+2g2(t) 0 ë 0 û 即x -t2 +  f x - f t2 £0，因为x -t2 ³0,  f x - f t2 ³0 0 0 0 0 ì x -t =0 则í 0 ，解得x =t， f x - f t=0 0 î 0 1 则 f¢t=- <0恒成立，因为t的任意性，则 f x 严格单调递减. g(t) 1 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到 f¢x =- ，再利用最 0 g(t) 值点定义得到x =t即可. 0 第17页/共17页 学科网（北京）股份有限公司