专题04一元一次不等式（组）（5年汇编）（浙江专用）（解析版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2027新好题汇编_2027新好题汇编2022-2026年中考数学真题分类汇编（浙江专用）

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专题04 一元一次不等式（组）
5 年真题1 年模拟
考点分类
浙江考情（2022-2026）
命题规律
考点01 一元一次不
等式的性质、解法及
应用
2026·浙江·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2022·浙江杭州·中考
2023·浙江台州·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2022·浙江嘉兴·中考
2022·浙江绍兴·中考
2022·浙江金华·中考
2022·浙江丽水·中考
2022·浙江丽水·中考
2022·浙江舟山·中考
2022·浙江温州·中考
2022-2026 年浙江中考在本考点共收录13 道真题，考查
频率较高。题型包括直接解一元一次不等式、在数轴上
表示解集、不等式性质辨析以及根据实际情境列不等
式。2022-2023 年各地市卷考查较为集中，常与实数运
算、因式分解组成综合计算题，也通过储蓄、电路等生
活情境考查不等式建模。2026 年省级命题仍以直接求解
集的基础题形式出现，说明该考点定位稳定。易错点主
要包括移项符号变化、两边乘除负数时改变不等号方向
以及端点是否取等。复习时应兼顾规范求解、数轴表示
和实际语言向不等关系的转化。
考点02 一元一次不
等式组的解法及应
用
2025·浙江·中考
2024·浙江·中考
2023·浙江宁波·中考
2023·浙江温州·中考
2023·浙江湖州·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2022·浙江衢州·中考
2022·浙江宁波·中考
2022-2025 年浙江中考在本考点共收录8 道真题，2026
年未直接考查。题目主要考查分别求出两个一元一次不
等式的解集，再确定公共部分，并常要求在数轴上表示。
2023 年各地市卷题量较多，2024、2025 年省级命题连
续考查，说明该内容仍是稳定的基础考点。现有真题主
要集中于直接求解，参数型、整数解和实际应用题覆盖
不足。复习时除掌握“同大取大、同小取小、大小小大
取中间、大大小小无解”等结果外，还应从数轴交集的
本质理解不等式组解集，并加强含参数和整数解问题。
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考点01 一元一次不等式的性质、解法及应用
1．（2026·浙江·中考真题）一元一次不等式͵ݔെʹ ㌳䁩的解集是___________．
【答案】ݔ㌳䁩
【分析】根据不等式的基本性质，对原不等式逐步化简即可得到解集．
【详解】解：͵ݔെʹ ㌳䁩
͵ݔ㌳䁩䀀ʹ
͵ݔ㌳͵
解得ݔ㌳䁩．
2．（2023·浙江·中考真题）（1）分解因式：ܽʹ 䀀ʹܽ．
（2）解不等式：ʹ ݔെ䁩㌳ݔ䀀䁩．
【答案】（1）ܽܽ
䀀ʹ ；（2）ݔ㌳͵．
【分析】（1）利用提取公因式法分解因式即可；
（2）按照解不等式的一般步骤求解即可．
【详解】解：（1）ܽʹ 䀀ʹܽܽܽܽ
䀀ʹ ；
（2）ʹ ݔെ䁩㌳ݔ䀀䁩
去括号，得ʹݔെʹ ㌳ݔ䀀䁩，
移项合并，得ݔ㌳͵．
3．（2023·浙江·中考真题）实数a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（
）
A．ܽ
㌳ܿ
㌳ܾ
B．ܿെܽ
㌳ܾ
െܽ
C．ܽ䀀ܾܾ
Ͳ
D．ܽܿ
ʹܾܾܿ
ʹ
【答案】D
【分析】根据ܽ
，ܾ，ܿ对应的点在数轴上的位置，利用不等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：由数轴得：ܾܽ
Ͳܾܾܾܿ
，ܾܾܽ
，
故选项A 不符合题意；
∵ܾܾܿ
，∴ܿെܾܾܽ
െܽ，故选项B 不符合题意；
∵ܾܾܽ
，ܾܾܽ
，∴ܽ䀀ܾ
㌳Ͳ，故选项C 不符合题意；
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∵ܾܾܽ
，്ܿ
Ͳ，∴ܽܿ
ʹܾܾܿ
ʹ，故选项D 符合题意；
故选：D．
4．（2022·浙江杭州·中考真题）已知a，b，c，d 是实数，若ܽ
㌳ܾ
，ܿܽ
㌱，则（
）
A．ܽ䀀ܿ
㌳ܾ
䀀㌱
B．ܽ䀀ܾ
㌳ܿ
䀀㌱
C．ܽ䀀ܿ
㌳ܾ
െ㌱
D．ܽ䀀ܾ
㌳ܿ
െ㌱
【答案】A
【分析】根据不等式的基本性质可判定A 正确，举例能判定B、C、D 错误．
【详解】解：A、∵ܽ
㌳ܾ
，ܿܽ
㌱，∴ܽ䀀ܿ
㌳ܾ
䀀㌱．故此选项符合题意；
B、∵ܽ
㌳ܾ
，ܿܽ
㌱，如a=-2,b=-3,c=d=1，则a+b=-5，c+d=2，∴a+b<c+d，故此选项不符合题意；
C、∵ܽ
㌳ܾ
，ܿܽ
㌱，如a=-2,b=-3,c=d=-4，则a+c=-2-4=-6，b-d=-3-(-4)=1，∴a+c<b-d，故此选项不符
合题意；
D、∵ܽ
㌳ܾ
，ܿܽ
㌱，如a=-2,b=-3,则a+b=-5,c-d=0，∴a+b<c-d, 故此选项不符合题意；
故选：A．
5．（2023·浙江台州·中考真题）不等式ݔ䀀䁩൒ʹ 的解集在数轴上表示为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式的性质解出未知数的取值范围，在数轴上表示即可求出答案．
【详解】解：׶ ݔ䀀䁩൒ʹ，
׵ ݔ൒䁩．
׵在数轴上表示如图所示：
．
故选：B．
6．（2023·浙江·中考真题）小霞原有存款ͷʹ 元，小明原有存款͹Ͳ 元．从这个月开始，小霞每月存䁩ͷ 元
零花钱，小明每月存䁩ʹ 元零花钱，设经过݊
个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（
）
A．ͷʹ 䀀䁩ͷ݊
㌳͹Ͳ 䀀䁩ʹ݊
B．ͷʹ 䀀䁩ͷܾ݊
͹Ͳ 䀀䁩ʹ݊
C．ͷʹ 䀀䁩ʹ݊
㌳͹Ͳ 䀀䁩ͷ݊
D．ͷʹ 䀀䁩ʹܾ݊
͹Ͳ 䀀䁩ͷ݊
【答案】A
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【分析】依据数量关系式：小霞原来存款数+䁩ͷ×月数݊
＞小明原来存款数+䁩ʹ×月数݊
，把相关数值代
入即可；
【详解】解：根据题意得，
ͷʹ 䀀䁩ͷ݊
㌳͹Ͳ 䀀䁩ʹ݊，
故选：A．
7．（2022·浙江嘉兴·中考真题）不等式3x＋1＜2x 的解在数轴上表示正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先解不等式，得到不等式的解集，再在数轴上表示即可．
【详解】解：3x＋1＜2x
解得：ݔܾ
െ䁩ǡ
在数轴上表示其解集如下：
故选B
8．（2022·浙江绍兴·中考真题）关于ݔ的不等式͵ݔെʹ ㌳ݔ的解是______．
【答案】ݔ㌳䁩
【分析】将不等式移项，系数化为1 即可得．
【详解】解：͵ݔെʹ ㌳ݔ
͵ݔെݔ㌳ʹ
ʹݔ㌳ʹ
ݔ㌳䁩，
故答案为：ݔ㌳䁩．
9．（2022·浙江金华·中考真题）解不等式：ʹሺ͵ݔെʹሻ㌳ݔ䀀䁩．
【答案】ݔ㌳䁩
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【分析】按照解不等式的基本步骤解答即可．
【详解】解：ʹሺ͵ݔെʹሻ㌳ݔ䀀䁩，
͸ݔെͶ ㌳ݔ䀀䁩，
͸ݔെݔ㌳Ͷ 䀀䁩，
ͷݔ㌳ͷ，∴ݔ㌳䁩．
10．（2022·浙江丽水·中考真题）已知电灯电路两端的电压U 为ʹʹͲV，通过灯泡的电流强度ܫሺAሻ的最大限
度不得超过Ͳ㈠䁩䁩A．设选用灯泡的电阻为ܴ
ሺΩሻ，下列说法正确的是（
）
A．R 至少ʹͲͲͲΩ
B．R 至多ʹͲͲͲΩ
C．R 至少ʹͶ㈠ʹΩ
D．R 至多ʹͶ㈠ʹΩ
【答案】A
【分析】根据U=IR，代入公式，列不等式计算即可．
【详解】解：由题意，得
Ͳ㈠䁩䁩ܴ
൒ʹʹͲ，
解得ܴ
൒ʹͲͲͲ．故选：A．
11．（2022·浙江丽水·中考真题）不等式3x>2x+4 的解集是_____________.
【答案】ݔ㌳Ͷ
【分析】根据不等式的性质在不等式的两边同时减去2x 即可求出x 的取值范围．
【详解】解：3x＞2x+4，
两边同时减去2x，
∴x＞4，故答案为：ݔ㌳Ͷ.
12．（2022·浙江舟山·中考真题）（1）计算：
͵ ͺ െሺ͵ െ䁩ሻͲ．
（2）解不等式：ݔ䀀ͺܾ
Ͷݔെ䁩．
【答案】（1）1；（2）ݔ㌳͵
【分析】（1）根据零指数幂、立方根进行运算即可；
（2）根据移项、合并同类项、系数化为1，进行解不等式即可．
【详解】（1）原式ܽ
ʹ െ䁩ܽ
䁩．
（2）移项得：ݔെͶݔܾ
െ䁩െͺ，
合并同类项得：െ͵ݔܾ
െͻ，
系数化为得：ݔ㌳͵．
9．（2022·浙江温州·中考真题）（1）计算：ͻ 䀀ሺെ͵ሻʹ 䀀͵െʹ െȁ െ
䁩
ͻ ȁ．
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（2）解不等式ͻݔെʹ ൑͹ݔ䀀͵，并把解集表示在数轴上．
【答案】（1）12；
（2）ݔ൑
ͷ
ʹ，
这个不等式的解表示在数轴上如图所示．
【分析】（1）先计算算术平方根，乘方，绝对值，再作加减法；
（2）先移项合并同类项系数化成1，再把解集表示在数轴上．
【详解】（1）原式ܽ
͵ 䀀ͻ 䀀
䁩
ͻ െ
䁩
ͻܽ
䁩ʹ．
（2）ͻݔെʹ ൑͹ݔ䀀͵，
移项，得ͻݔെ͹ݔ൑͵ 䀀ʹ．
合并同类项，得ʹݔ൑ͷ．
两边都除以2，得ݔ൑
ͷ
ʹ．
考点02
一元一次不等式组的解法及应用
1．（2025·浙江·中考真题）不等式组
ݔ൒െʹ
ʹݔെ͵ܾ
ͷ 的解集是________．
【答案】െʹ ൑ݔܾ
Ͷ
【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解集．熟练掌握解一元一次不等式组的解集是解题的关键．
先求第二个不等式的解集，进而可得不等式组的解集．
【详解】解：
ݔ൒െʹ
ʹݔെ͵ܾ
ͷ①，
由①得：ݔܾ
Ͷ，
∴原不等式组的解集为：െʹ ൑ݔܾ
Ͷ，
故答案为：െʹ ൑ݔܾ
Ͷ．
2．（2024·浙江·中考真题）不等式组
ʹݔെ䁩൒䁩
͵ሺʹ െݔሻ㌳െ͸ 的解集在数轴上表示为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，先分别求出每一个不等式的解
集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示是解题的关键．
【详解】解：
ʹݔെ䁩൒䁩①
͵ ʹ െݔ㌳െ͸②，
解不等式①，得：ݔ൒䁩，
解不等式②，得：ݔܾ
Ͷ，
∴不等式组的解集为䁩൑ݔܾ
Ͷ．
在数轴上表示如下：
．
故选：A．
3．（2023·浙江宁波·中考真题）不等式组ݔ䀀䁩㌳Ͳ
ݔെ䁩൑Ͳ 的解在数轴上表示正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式组的解法先求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可得到答案．
【详解】解：ݔ䀀䁩㌳Ͳ①
ݔെ䁩൑Ͳ②，
由①得ݔ㌳െ䁩；
由②得ݔ൑䁩；
׵原不等式组的解集为െ䁩ܾ
ݔ൑䁩，
在数轴上表示该不等式组的解集如图所示：
，
故选：C．
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4．（2023·浙江温州·中考真题）不等式组
ݔ䀀͵ ൒ʹ
͵ݔെ䁩
ʹܾ
Ͷ 的解是___________．
【答案】െ䁩൑ݔܾ
͵/͵ ㌳ݔ൒െ䁩
【分析】根据不等式的性质先求出每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
【详解】解不等式组：
ݔ䀀͵ ൒ʹ①
͵ݔെ䁩
ʹܾ
Ͷ②
解：由①得，ݔ൒െ䁩；
由②得，ݔܾ
͵
所以，െ䁩൑ݔܾ
͵．
故答案为：െ䁩൑ݔܾ
͵．
5．（2023·浙江湖州·中考真题）解一元一次不等式组
ʹݔ䀀䁩㌳ݔ①
ݔܾ
െ͵ݔ䀀ͺ②
【答案】െ䁩ܾ
ݔܾ
ʹ
【分析】根据不等式的性质，分别解一元一次不等式，然后求出两个解集的公共部分即可．
【详解】解：
ʹݔ䀀䁩㌳ݔ①
ݔܾ
െ͵ݔ䀀ͺ②，
解不等式①，得ݔ㌳െ䁩，
解不等式②，得ݔܾ
ʹ，
所以原不等式组的解是െ䁩ܾ
ݔܾ
ʹ．
6．（2023·浙江·中考真题）解一元一次不等式组：ݔ䀀ʹ ㌳͵
ʹݔെ䁩ܾ
ͷ ．
【答案】䁩ܾ
ݔܾ
͵
【分析】根据不等式的性质，解一元一次不等式，然后求出两个解集的公共部分即可．
【详解】解：ݔ䀀ʹ ㌳͵①
ʹݔെ䁩ܾ
ͷ②
解不等式①，得ݔ㌳䁩，
解不等式②，得ݔܾ
͵，
∴原不等式组的解是䁩ܾ
ݔܾ
͵．
7．（2022·浙江衢州·中考真题）不等式组
͵ݔെʹ＜ʹ（ݔ䀀䁩），
ݔെ䁩
ʹ ＞䁩
的解集是（
）
A．ݔ＜͵
B．无解
C．ʹ＜ݔ＜Ͷ
D．͵＜ݔ＜Ͷ
【答案】D
【分析】分别解两个不等式得到，然后根据大小小大取中间确定不等式组的解集．
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【详解】解：解不等式͵ݔെʹܾ
ʹ ݔ䀀䁩，解得ݔܾ
Ͷ，
解不等式
ݔെ䁩
ʹ ㌳䁩，解得ݔ㌳͵，
׵不等数组的解集为͵ܾ
ݔܾ
Ͷ．故选：D．
8．（2022·浙江宁波·中考真题）计算
(1)计算：ሺݔ䀀䁩ሻሺݔെ䁩ሻ䀀ݔሺʹ െݔሻ．
(2)解不等式组：Ͷݔെ͵ ㌳ͻ
ʹ 䀀ݔ൒Ͳ
【答案】(1)ʹݔെ䁩
(2)ݔ㌳͵
【分析】（1）根据平方差公式和单项式乘多项式展开，合并同类项即可得出答案；
（2）分别解这两个不等式，根据不等式解集的规律即可得出答案．
【详解】（1）解：原式ܽ
ݔʹ െ䁩䀀ʹݔെݔʹܽ
ʹݔെ䁩；
（2）解：Ͷݔെ͵ ㌳ͻ①
ʹ 䀀ݔ൒Ͳ②，
解不等式①，得ݔ㌳͵，
解不等式②，得ݔ൒െʹ，
所以原不等式组的解是ݔ㌳͵．
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一、单选题
1．
（2026·浙江温州·三模）已知点ܣܽ
ǡ䁠在直线ݕ䁩ܽ
香ݔെʹ香䀀͵ 上，点ܤܽ
െ䁩ǡ݊
在直线ݕʹܽ
െ香ݔ䀀ʹ香െ͵
上，下列说法正确的是（
）
A．不存在一个k 的值，使两条直线平行
B．无论k 为何值，当ܾܽ
ʹ 时，䁠െܾ݊
͸
C．若香㌳Ͳ，且䁠െ݊
㌳͸，则ܾܽ
ʹ㈠ͷ
D．若香ܾ
Ͳ，且䁠െ݊
㌳͸，则ܾܽ
ʹ㈠ͷ
【答案】D
【分析】先根据点在直线上得到䁠和݊
的表达式，计算䁠െ݊
，再结合一次函数平行的性质和不等式
性质逐一判断选项即可．
【详解】解：∵点ܣܽ
ǡ䁠在ݕ䁩ܽ
香ݔെʹ香䀀͵ 上，点ܤܽ
െ䁩ǡ݊
在ݕʹܽ
െ香ݔ䀀ʹ香െ͵ 上
∴䁠ܽ
香ܽെʹ香䀀͵，݊ܽ
െ香ܽ
െ䁩䀀ʹ香െ͵ܽ
െ香ܽ䀀͵香െ͵
∴䁠െ݊ܽ
香ܽെʹ香䀀͵ െെ香ܽ䀀͵香െ͵ܽ
香ʹܽെͷ 䀀͸
A、若两直线平行，则香ܽ
െ香，得香ܽ
Ͳ，
此时ݕ䁩ܽ
͵，ݕʹܽ
െ͵，两直线平行，存在符合条件的香，故A 错误；
B、取ܽܽ
䁩ܾ
ʹ，香ܽ
െ䁩Ͳ，则䁠െ݊ܽ
െ䁩Ͳ ൈʹ ൈ䁩െͷ 䀀͸ܽ
͵͸ ㌳͸，故B 错误；
C、若香㌳Ͳ，䁠െ݊
㌳͸，则香ʹܽെͷ 䀀͸ ㌳͸，即香ʹܽെͷ ㌳Ͳ
∴ʹܽെͷ ㌳Ͳ，
解得ܽ
㌳ʹ㈠ͷ，故C 错误；
D、若香ܾ
Ͳ，䁠െ݊
㌳͸，则香ʹܽെͷ 䀀͸ ㌳͸，即香ʹܽെͷ ㌳Ͳ
∴ʹܽെͷܾ
Ͳ，
解得ܾܽ
ʹ㈠ͷ，故D 正确．
2．（2026·浙江台州·一模）一条鱼的销售方式有两种：①整鱼销售；②分割成鱼头和鱼身两部分销售（不
计分割损耗）．已知整鱼、鱼头部分、鱼身部分的单价分别为24 元/千克、36 元/千克、16 元/千克．若分割
销售的总额不少于整鱼销售额，则分割时鱼头部分的质量占整鱼质量的百分比至少为（
）
A．ʹͷ%
B．͵Ͳ%
C．͵ͷ%
D．ͶͲ%
【答案】D
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【分析】设整鱼总质量为䁠，鱼头质量占整鱼质量的百分比为ݔ，则鱼头质量为ݔ䁠，鱼身质量为
䁠ሺ䁩െݔሻ.，根据题意列不等式求解即可得到结果．
【详解】解：设整鱼总质量为䁠，鱼头质量占整鱼质量的百分比为ݔ，则鱼头质量为ݔ䁠，鱼身质量为
䁠ሺ䁩െݔሻ，
∵分割销售的总额不少于整鱼销售额，
∴可得不等式͵͸ݔ䁠䀀䁩͸䁠ሺ䁩െݔሻ൒ʹͶ䁠，
∵䁠㌳Ͳ，两边同时除以䁠得͵͸ݔ䀀䁩͸ሺ䁩െݔሻ൒ʹͶ，
展开整理得ʹͲݔ൒ͺ，
解得ݔ൒Ͳ㈠Ͷܽ
ͶͲ%，
因此鱼头部分的质量占整鱼质量的百分比至少为ͶͲ%．
3．（2026·浙江温州·三模）如图，函数ݕܽܽ
ݔെʹܽ
ݔʹ䀀䁩（ܽ
为常数，自变量ݔ取全体实数）的图像交ݕ轴于点ܣ，
交ݔ轴正半轴于点ܤ，且点ܤ在䁩ǡͲ 的左侧，以下结论正确的是（
）
A．点ܣ的坐标为Ͳǡ െ͵
B．െ䁩ܾܾܽ
ʹ
C．ܾܽ
െ䁩
D．ܽ
㌳ʹ
【答案】D
【分析】先求出点ܣ的坐标为Ͳǡ െʹ 可判断A 选项；根据图像列不等式组可得ܽ
㌳ʹ 或ܾܽ
െ䁩，然后
利用点ܤ在䁩ǡͲ 的左侧得到ܽ
㌳ʹ，进而完成解答．
【详解】解：∵令ݔܽ
Ͳ，可得ݕܽܽ
ൈͲെʹܽ
ൈͲʹ䀀䁩ܽ
െʹ，即点ܣ的坐标为Ͳǡ െʹ ，故A 选项错误；
∵交ݔ轴正半轴于点ܤ，且点ܤ在䁩ǡͲ 的左侧，
∴当ݔܽ
䁩时，ܽ
ൈ䁩െʹܽ
ൈ䁩ʹ䀀䁩㌳Ͳ，即ܽ
െʹܽ
䀀䁩㌳Ͳ，
∴ܽ
െʹ ㌳Ͳܽ
䀀䁩㌳Ͳ 或ܽ
െʹܾ
Ͳܽ
䀀䁩ܾ
Ͳ ，
∴ܽ
㌳ʹ 或ܾܽ
െ䁩，
当ݕܽ
Ͳ 时，即ܽ
ݔെʹܽ
ݔʹ䀀䁩ܽ
Ͳ，ܽݔʹ 䀀䁩൒䁩恒成立，
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∴ܽݔെʹܽ
Ͳ，解得：ݔܽ
ʹ്ܽܽ
Ͳ ，
∴ܤ
ʹܽǡͲ ，
∵点B 在䁩ǡͲ 的左侧，
∴
ʹܾܽ
䁩，即ܽ
㌳ʹ．
综上，a 的取值范围为ܽ
㌳ʹ．
4．（2026·浙江台州·二模）已知函数ݕܽ
香ݔ䀀͵
ݔʹ䀀ܿ（ܿ，香为常数）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）
A．ܿ香ܾ
Ͳ
B．ܿ香㌳Ͳ
C．ܿെ香ܾ
Ͳ
D．ܿെ香㌳Ͳ
【答案】B
【分析】根据函数图象与坐标轴的交点位置，分别令ݔܽ
Ͳ 和ݕܽ
Ͳ，结合图象特征判断ܿ
和香的符号，
进而得出结论．
【详解】解：令ݔܽ
Ͳ，则ݕܽ
͵ܿ，
׶图象与ݕ轴的交点在ݔ轴上方，
׵
͵ܿ㌳Ͳ，
解得ܿ
㌳Ͳ，
令ݕܽ
Ͳ，得香ݔ䀀͵ܽ
Ͳ，
解得ݔܽ
െ
͵
香，
׶图象与ݔ轴交点在ݕ轴左侧，
׵െ
͵
香ܾ
Ͳ，
解得香㌳Ͳ，
׶ܿ
㌳Ͳ，香㌳Ͳ，
׵ܿ香㌳Ͳ，且无法确定ܿ
െ香的符号．
5．（2026·浙江杭州·二模）已知点ܣ䁠ǡݕ䁩在直线݈䁩：ݕܽ
香ݔ䀀香上，点ܤ䁠െ䁩ǡݕʹ 在直线݈ʹ：ݕܽ
െ香ݔെ香
上．下列结论正确的是（
）
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A．若香㌳Ͳ 时，Ͳܾ
ݕʹܾ
ݕ䁩，则䁠㌳െ
䁩
ʹ
B．若香㌳Ͳ 时，Ͳܾ
ݕʹܾ
ݕ䁩，则䁠ܾ
Ͳ
C．若香ܾ
Ͳ 时，ݕʹܾ
ݕ䁩ܾ
Ͳ，则െ䁩ܾ
䁠ܾ
െ
䁩
ʹ
D．若香ܾ
Ͳ 时，ݕʹܾ
ݕ䁩ܾ
Ͳ，则െ
䁩
ʹܾ
䁠ܾ
Ͳ
【答案】C
【分析】先根据点在直线上求出ݕ䁩和ݕʹ的化简表达式，再分香㌳Ͳ 和香ܾ
Ͳ 两种情况，根据给出的不等
关系解不等式组，得到䁠的取值范围，进而判断正确选项．
【详解】解：∵点ܣ䁠ǡݕ䁩在直线ݕܽ
香ݔ䀀香上，点ܤ䁠െ䁩ǡݕʹ 在直线ݕܽ
െ香ݔെ香上
∴ݕ䁩ܽ
香䁠䀀香ܽ
香ሺ䁠䀀䁩ሻ，ݕʹܽ
െ香ሺ䁠െ䁩ሻെ香ܽ
െ香䁠
若香㌳Ͳ，Ͳܾ
ݕʹܾ
ݕ䁩，可得不等式组：
െ香䁠㌳Ͳ
െ香䁠ܾ
香ሺ䁠䀀䁩ሻ
∵香㌳Ͳ，不等式两边同除以香，不等号方向不变
∴化简得
䁠ܾ
Ͳ
䁠㌳െ
䁩
ʹ
，即െ
䁩
ʹܾ
䁠ܾ
Ͳ
选项A，B 均不完整，因此A，B 错误．
若香ܾ
Ͳ，ݕʹܾ
ݕ䁩ܾ
Ͳ，可得不等式组：
香䁠䀀䁩ܾ
Ͳ
െ香䁠ܾ
香䁠䀀䁩
െ香䁠ܾ
Ͳ
∵香ܾ
Ͳ，不等式两边同除以香，不等号方向改变
∴化简得：
䁠䀀䁩㌳Ͳ
െ䁠㌳䁠䀀䁩
െ䁠㌳Ͳ
解得：
䁠㌳െ䁩
䁠ܾ
െ
䁩
ʹ
䁠ܾ
Ͳ
∴െ䁩ܾ
䁠ܾ
െ
䁩
ʹ，符合选项C，因此C 正确，D 错误．
6．（2026·浙江杭州·一模）已知反比例函数ݕܽ
͵െܽ
ݔ്ܽ
͵ ，点ܯݔ䁩ǡݕ䁩和ܰ
ݔʹǡݕʹ 是反比例函数图象上
的两点，若对于ݔ䁩ܽ
ʹܽ，ʹ ൑ݔʹ ൑Ͷ，都有ݕ䁩ܾ
ݕʹ，则a 的取值范围是（
）
A．ܾܽ
Ͳ 或ʹܾܾܽ
͵B．Ͳܾܾܽ
䁩
C．ʹܾܾܽ
͵
D．ܽ
㌳͵ 或ܾܽ
Ͳ
【答案】A
【分析】本题利用反比例函数的增减性，根据系数͵ െܽ
的正负分情况讨论，结合对任意ʹ ൑ݔʹ ൑Ͷ
都有ݕ䁩ܾ
ݕʹ的条件，列不等式求解ܽ
的取值范围即可．
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【详解】解：设香ܽ
͵ െܽ，反比例函数为ݕܽ
香
ݔ，分两种情况讨论：
情况1：香㌳Ͳ，即͵ െܽ
㌳Ͳ，得ܾܽ
͵，此时反比例函数的图象在每个象限内ݕ随ݔ增大而减小．
∵对任意ʹ ൑ݔʹ ൑Ͷ，都有ݕ䁩ܾ
ݕʹ，
∴ݕ䁩小于ݕʹ的最小值，ݕʹ的最小值为
͵െܽ
Ͷ ，
又∵ݕ䁩ܽ
͵െܽ
ʹܽ，可得
͵െܽ
ʹܾܽ
͵െܽ
Ͷ ，
∵͵ െܽ
㌳Ͳ，
∴
䁩
ʹܾܽ
䁩
Ͷ．
当ܾܽ
Ͳ 时，左边
䁩
ʹܾܽ
Ͳܾ
䁩
Ͷ，不等式恒成立，符合条件，
当ܽ
㌳Ͳ 时，两边同乘Ͷܽ，得ʹܾܽ
，
又∵ܾܽ
͵，
∴ʹܾܾܽ
͵；
情况2：香ܾ
Ͳ，即͵ െܾܽ
Ͳ，得ܽ
㌳͵，此时反比例函数的图象在每个象限内ݕ随ݔ增大而增大，
∵对任意ʹ ൑ݔʹ ൑Ͷ，都有ݕ䁩ܾ
ݕʹ，
∴ݕ䁩小于ݕʹ的最小值
͵െܽ
ʹ ，代入，得
͵െܽ
ʹܾܽ
͵െܽ
ʹ ，
∵͵ െܾܽ
Ͳ，
∴
䁩
ʹܽ㌳
䁩
ʹ，
∵ܽ
㌳͵ ㌳Ͳ，两边同乘ʹܽ，得ܾܽ
䁩，与ܽ
㌳͵ 矛盾，
∴此情况无解．
综上，ܽ
的取值范围是ܾܽ
Ͳ 或ʹܾܾܽ
͵．
7．（2026·浙江舟山·二模）定义：对于一个四位数ܯܾܽܽܿ
㌱，若满足ܽ
䀀㌱ܾܽ
െܿܽ݊
，则称该四位数ܯ
为“݊
阶特征数”．例如͵ͻͲ͸，满足͵ 䀀͸ܽ
ͻ െͲ，则͵ͻͲ͸ 为“ͻ 阶特征数”．依据以上定义，下列说法中错
误的是（
）
A．䁩൑݊
൑ͻ
B．记“݊
阶特征数”的最大值为݌，最小值为ݍ，则݌ܽ
ͻݍ
C．若ܯ能被ͻ 整除，则ܾ
也只能等于ͻ
D．个数最多的“݊
阶特征数”是“Ͷ 阶特征数”或“͸ 阶特征数”
【答案】D
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【分析】根据“݊
阶特征数”的定义，推导得到各数字之间的关系，结合四位数各位数字的取值范围，整
除性质和计数原理，逐个验证选项即可得到结果．
【详解】解：∵四位数ܯܾܽܽܿ
㌱为“݊
阶特征数”，
∴ܽ
满足䁩൑ܽ
൑ͻ，ܾ，ܿ，㌱满足Ͳ ൑ܾ
ǡܿǡ㌱൑ͻ，且ܽ
、ܾ、ܿ、㌱均为整数，ܽ
䀀㌱ܾܽ
െܿܽ݊
，即㌱ܽ݊
െܽ
，ܾܿܽ
െ݊
，
A．∵ܽ
൒䁩，㌱൒Ͳ，
∴݊ܽܽ
䀀㌱൒䁩䀀Ͳܽ
䁩，
∵ܾ
൑ͻ，ܿ൒Ͳ，
∴ܾ݊ܽ
െܿ
൑ͻ െͲܽ
ͻ，
∴䁩൑݊
൑ͻ，
原说法正确，故此选项不符合题意；
B．∵“݊
阶特征数”的最大值为݌，
此时四位数最大，则ܽ
、ܾ尽可能大，而ܽ
最大取ͻ，
∴݊ܽܽ
䀀㌱൒ܽ
൒ͻ，
∵݊
൑ͻ，
∴݊ܽ
ͻ，㌱ܽ
Ͳ，
此时ܾ
最大取ͻ，
∴ܾܿܽ
െ݊ܽ
ͻ െͻܽ
Ͳ，
∴݌ܽ
ͻͻͲͲ；
∵“݊
阶特征数”的最小值为ݍ，
此时四位数最小，则ܽ
、ܾ尽可能小，而ܽ
最小取䁩，
∴݊ܽܽ
䀀㌱൒ܽ
൒䁩，
∵݊
൒䁩，
∴݊ܽ
䁩，㌱ܽ
Ͳ，
此时ܾ
最小取䁩，
∴ܾܿܽ
െ݊ܽ
䁩െ䁩ܽ
Ͳ，
∴ݍܽ
䁩䁩ͲͲ；
∵ͻͻͲͲܽ
ͻ ൈ䁩䁩ͲͲ，即݌ܽ
ͻݍ，
原说法正确，故此选项不符合题意；
C．∵ܯ能被ͻ 整除，
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∴ܽ䀀ܾ
䀀ܿ
䀀㌱是ͻ 的倍数，
∵ܽ䀀㌱ܽ݊
，ܾܿܽ
െ݊
，
∴ܽ䀀ܾ
䀀ܿ
䀀㌱ܽ݊
䀀ܾ
䀀ܾ
െ݊ܽ
ʹܾ，
∴ʹܾ是ͻ 的倍数，
∴ܾ是ͻ 的倍数，
∵ܾ是Ͳ ׽ ͻ 的整数，且ܾ݊ܽ
െܿ
൒䁩，
∴ܾ
൒䁩，
∴ܾ只能为ͻ，
原说法正确，故此选项不符合题意；
D．由题意知：䁩൑ܽ
൑݊
（ܽ、݊
为整数），则ܽ
共有݊
种取值，
∵ܾܽ݊
䀀ܿ
൒݊
，
∴݊
൑ܾ
൑ͻ（ܾ、݊
为整数），ܾ共有䁩Ͳ െ݊
种取值，
当݊ܽ
ͷ 时，则䁩൑ܽ
൑ͷ，ͷ ൑ܾ
൑ͻ，
此时ܽ
有ͷ 种取值，ܾ
有ͷ 种取值，则四位数ܯܾܽܽܿ
㌱的个数为：ͷ ൈͷܽ
ʹͷ（个）；
当݊ܽ
Ͷ 时，则䁩൑ܽ
൑Ͷ，Ͷ ൑ܾ
൑ͻ，
此时ܽ
有Ͷ 种取值，ܾ
有͸ 种取值，则四位数ܯܾܽܽܿ
㌱的个数为：Ͷ ൈ͸ܽ
ʹͶ（个）；
当݊ܽ
͸ 时，则䁩൑ܽ
൑͸，͸ ൑ܾ
൑ͻ，
此时ܽ
有͸ 种取值，ܾ
有Ͷ 种取值，则四位数ܯܾܽܽܿ
㌱的个数为：͸ ൈͶܽ
ʹͶ（个）；
∵ʹͷ ㌳ʹͶ，
∴个数最多的是ͷ 阶特征数，
原说法错误，故此选项符合题意．
二、填空题
8．（2026·浙江杭州·一模）已知，在平面直角坐标系中，ܣݔ䁩ǡݕ䁩、ܤݔʹǡݕʹ 是函数ݕܽ
Ͷ
ݔ图象上的两点，
且满足ݔʹ െݔ䁩ܽ
ʹ，若ݕ䁩ܾ
ݕʹ，则ݔ䁩的取值范围是______．
【答案】െʹܾ
ݔ䁩ܾ
Ͳ
【分析】由反比例函数可知ݕ䁩ܽ
Ͷ
ݔ䁩，ݕʹܽ
Ͷ
ݔʹ，由已知条件可得出ݔʹܽ
ʹ 䀀ݔ䁩，然后代入ݕʹܽ
Ͷ
ݔʹ得ݕʹܽ
Ͷ
ʹ䀀ݔ䁩，
再根据已知条件ݕ䁩ܾ
ݕʹ列出关于ݔ䁩的不等式求解即可得出答案．
【详解】解：׶ܣݔ䁩ǡݕ䁩、ܤݔʹǡݕʹ 是函数ݕܽ
Ͷ
ݔ图象上的两点，
׵ݕ䁩ܽ
Ͷ
ݔ䁩，ݕʹܽ
Ͷ
ݔʹ，
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׶ݔʹ െݔ䁩ܽ
ʹ，
׵ݔʹܽ
ʹ 䀀ݔ䁩，
׵ݕʹܽ
Ͷ
ʹ䀀ݔ䁩，
׶ݕ䁩ܾ
ݕʹ，
׵
Ͷ
ݔ䁩ܾ
Ͷ
ʹ䀀ݔ䁩，
∴
䁩
ݔ䁩ܾ
䁩
ʹ䀀ݔ䁩
∴
䁩
ݔ䁩െ
䁩
ʹ䀀ݔ䁩ܾ
Ͳ，
∴
ʹ䀀ݔ䁩െݔ䁩
ݔ䁩ʹ䀀ݔ䁩ܾ
Ͳ，
∴
ʹ
ݔ䁩ʹ䀀ݔ䁩ܾ
Ͳ，
∴ݔ䁩ʹ 䀀ݔ䁩ܾ
Ͳ，
∴
ݔ䁩㌳Ͳ
ʹ 䀀ݔ䁩ܾ
Ͳ 或
ݔ䁩ܾ
Ͳ
ʹ 䀀ݔ䁩㌳Ͳ ，
解不等式组
ݔ䁩㌳Ͳ
ʹ 䀀ݔ䁩ܾ
Ͳ ，不等式组无解，
解不等式组
ݔ䁩ܾ
Ͳ
ʹ 䀀ݔ䁩㌳Ͳ ，解得：െʹܾ
ݔ䁩ܾ
Ͳ．
故െʹܾ
ݔ䁩ܾ
Ͳ.
9．（2026·浙江绍兴·二模）数学家曾提出快速估算两个正分数的平均数的方法，即：已知ܽ
，ܾ，ܿ，㌱都是
正整数，如果ܾܾܽܿ
㌱，那么ܾܾܽܽ
䀀ܾܿ
䀀㌱ܾܿ
㌱．例如：
䁩
͵ܾ
ʹ
ͷ，那么
䁩
͵ܾ
䁩䀀ʹ
͵䀀ͷܾ
ʹ
ͷ．若
ʹ
ͷܾ
͹
݌ܾ
͵
͹，且݌为整数，则݌ܽ
________．
【答案】䁩͹
【分析】根据已知分数大小比较方法，结合题中给出的分数大小关系，分析确定݌的取值范围，可得
答案．
【详解】解：∵
ʹ
ͷܾ
͹
݌ܾ
͵
͹，
∴
ʹ
ͷܾ
ʹ䀀͹
ͷ䀀݌ܾ
͹
݌ǡ
͹
݌ܾ
͹䀀͵
݌䀀͹ܾ
͵
͹，即
ʹ
ͷܾ
ͻ
ͷ䀀݌ܾ
͹
݌ǡ
͹
݌ܾ
䁩Ͳ
݌䀀͹ܾ
͵
͹，
∴
ʹ
ͷܾ
ͻ
ͷ䀀݌ܾ
͹
݌ܾ
䁩Ͳ
݌䀀͹ܾ
͵
͹，
∵
ʹ
ͷܾ
ͻ
ͷ䀀݌，
∴ʹ ൈͷ 䀀݌ܾ
ͷ ൈͻ，即䁩Ͳ 䀀ʹ݌ܾ
Ͷͷ，
解得：݌ܾ
͵ͷ
ʹܽ
䁩͹㈠ͷ，
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∵
͹
݌ܾ
䁩Ͳ
݌䀀͹，
∴͹ ൈ݌䀀͹ܾ
䁩Ͳ݌，即͹݌䀀Ͷͻܾ
䁩Ͳ݌，
解得：݌㌳
Ͷͻ
͵ ൎ䁩͸㈠͵͵，
∵
䁩Ͳ
݌䀀͹ܾ
͵
͹，
∴䁩Ͳ ൈ͹ܾ
͵ ൈ݌䀀͹ ，即͹Ͳܾ
͵݌䀀ʹ䁩，
解得：݌㌳
Ͷͻ
͵ ൎ䁩͸㈠͵͵，
∴䁩͸㈠͵͵ܾ
݌ܾ
䁩͹㈠ͷ，
∵݌为整数，
∴݌ܽ
䁩͹．
10．（2026·浙江绍兴·二模）已知二次函数ݕ䁩ܽ
ʹܽݔʹ െ͸ܽݔ䀀Ͷ，一次函数ݕʹܽ
െܽ
ݔ，当自变量ݔ取相同值
时，我们把ݕ䁩െݕʹ的值称为这两个函数的“绝美值”．若仅存在一个整数ݔ，使得这两个函数的“绝美值”不超
过͵，则ܽ
的取值范围为________．
【答案】
䁩
͵ ൑ܾܽ
䁩
ʹ
【分析】根据“绝美值”的定义将问题转化为不等式ʹܽݔʹ െͷܽݔ䀀䁩൑Ͳ 仅存在一个整数解的问题，再
分两种情况：ܾܽ
Ͳ 和ܽ
㌳Ͳ，结合函数的对称性和增减性，建立不等式组，解不等式组即可．
【详解】解：设这两个函数的“绝美值”为ݕܽ
ݕ䁩െݕʹ，
∵二次函数ݕ䁩ܽ
ʹܽݔʹ െ͸ܽݔ䀀Ͷ，一次函数ݕʹܽ
െܽ
ݔ，
∴ݕܽ
ʹܽݔʹ െ͸ܽݔ䀀Ͷ െെܽ
ݔܽ
ʹܽݔʹ െͷܽݔ䀀Ͷ，
由题意可知，ݕ൑͵，്ܽ
Ͳ，
∴ʹܽݔʹ െͷܽݔ䀀Ͷ ൑͵，即ʹܽݔʹ െͷܽݔ䀀䁩൑Ͳ，
令二次函数ݖܽ
ʹܽݔʹ െͷܽݔ䀀䁩്ܽ
Ͳ ，
①当ܾܽ
Ͳ 时，二次函数ݖܽ
ʹܽݔʹ െͷܽݔ䀀䁩്ܽ
Ͳ 的开口向下，
∴存在无数个整数ݔ，使得ݖ൑Ͳ，不符合题意；
②当ܽ
㌳Ͳ 时，
二次函数ݖܽ
ʹܽݔʹ െͷܽݔ䀀䁩്ܽ
Ͳ 的开口向上，对称轴为直线ݔܽ
െ
െͷܽ
Ͷܽܽ
ͷ
Ͷ，
∴当ݔܾ
ͷ
Ͷ时，ݖ随ݔ的增大而减小；当ݔ㌳
ͷ
Ͷ时，ݖ随ݔ的增大而增大，
∵距离对称轴最近的整数是ݔܽ
䁩，
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∴若仅存在一个整数ݔ，使得ݖ൑Ͳ，则需满足当ݔܽ
䁩时，ݖ൑Ͳ；且当ݔܽ
ʹ 时，ݖ㌳Ͳ，
即
ʹܽڄ 䁩ʹ െͷܽ䀀䁩൑Ͳ
ʹܽڄ ʹʹ െʹ ൈͷܽ䀀䁩㌳Ͳ ，
解得
䁩
͵ ൑ܾܽ
䁩
ʹ．
三、解答题
11．（2026·浙江丽水·一模）【阅读理解】
对于两个函数，当自变量ݔ任取一个值时，它们所对应的函数值之和为2，我们称这两个函数互为“关联函
数”．例如：ݕܽ
ݔ与ݕܽ
ʹ െݔ互为“关联函数”．
【初步探究】
(1)如图，函数ݕܽ
香ݔ经过点䁩ǡʹ ，求该函数的“关联函数”表达式；
【深入思考】
(2)在（1）条件下，函数图象的一段ݕܽ
香ݔെʹ ൑ݔ൑Ͳ 向上平移䁠个单位长度后，与它的“关联函数”的
图象有交点．求䁠的最小值．
【答案】(1)ݕܽ
ʹ െʹݔ
(2)䁠的最小值为ʹ．
【分析】（1）利用待定系数法求得原函数为ݕܽ
ʹݔ，根据“关联函数”的定义：两个函数的函数值之和
为2，列式求解即可；
（2）根据题意两个函数有交点，即方程ʹݔ䀀䁠ܽ
ʹ െʹݔ在െʹ ൑ݔ൑Ͳ 范围内有解，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵函数ݕܽ
香ݔ经过点䁩ǡʹ ，
∴将点代入函数：ʹܽ
香，即香ܽ
ʹ，
∴原函数为ݕܽ
ʹݔ，
根据“关联函数”的定义：两个函数的函数值之和为2，设关联函数为ݕԢ，
则：ʹݔ䀀ݕԢܽ
ʹ，
∴ݕԢܽ
ʹ െʹݔ，
∴函数的“关联函数”表达式为ݕܽ
ʹ െʹݔ；
（2）解：函数ݕܽ
ʹݔ在െʹ ൑ݔ൑Ͳ 上向上平移m 个单位后，
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解析式为：ݕܽ
ʹݔ䀀䁠െʹ ൑ݔ൑Ͳ ，
它的“关联函数”为ݕܽ
ʹ െʹݔ，
∵两个函数有交点，即方程ʹݔ䀀䁠ܽ
ʹ െʹݔ在െʹ ൑ݔ൑Ͳ 范围内有解，
解方程：ʹݔ䀀䁠ܽ
ʹ െʹݔ，得ݔܽ
ʹെ䁠
Ͷ ，
∴െʹ ൑
ʹെ䁠
Ͷ
൑Ͳ，
解不等式：
ʹെ䁠
Ͷ
൒െʹ，得䁠൑䁩Ͳ，
解不等式：
ʹെ䁠
Ͷ
൑Ͳ，得䁠൒ʹ，
∴䁠的取值范围是ʹ ൑䁠൑䁩Ͳ，则䁠的最小值为ʹ．
12．（2026·浙江金华·二模）如图，已知一次函数ݕ䁩ܽ
ݔ䀀䁠与ݕʹܽ
െʹݔ䀀݊
的图象交于点ܲ
，且点ܲ
的横
坐标为െ䁩．
(1)求䁠与݊
的关系式．
(2)当െʹܾ
ݔܾ
െ䁩时，都有ݕʹ ㌳ݕ䁩㌳Ͳ，求݊
的取值范围．
【答案】(1)䁠ܽ
͵ 䀀݊
(2)݊
൒െ䁩
【分析】（1）ݔܽ
െ䁩代入两个函数建立等量关系即可求解；
（2）求出一次函数ݕ䁩ܽ
ݔ䀀䁠与ݔ轴的交点坐标，结合图像写出ݕʹ ㌳ݕ䁩㌳Ͳ 的解，再建立不等式求
解即可．
【详解】（1）解：ݔܽ
െ䁩时，ݕ䁩ܽ
െ䁩䀀䁠，ݕʹܽ
െʹ ൈെ䁩䀀݊ܽ
ʹ 䀀݊
，
׵െ䁩䀀䁠ܽ
ʹ 䀀݊
，即䁠ܽ
͵ 䀀݊
；
（2）解：ݕ䁩ܽ
ݔ䀀䁠ܽ
Ͳ，解得ݔܽ
െ䁠，
即一次函数ݕ䁩ܽ
ݔ䀀䁠与ݔ轴相交于െ䁠ǡͲ ，
结合图像ݕʹ ㌳ݕ䁩㌳Ͳ 的解为െ䁠ܾ
ݔܾ
െ䁩，
׵െ䁠൑െʹ，解得䁠൒ʹ，
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׵ ͵ 䀀݊
൒ʹ，解得݊
൒െ䁩．
13．（2026·浙江金华·三模）某生产商打算生产上市一款新产品，上市前做了一系列调查研究．新产品上市
的第一个月，商品的需求量ܳ
䁩与供货量ܳ
ʹ关于产品上市的天数ݔ（Ͳܾ
ݔ൑͵Ͳ，且ݔ为整数）的函数图象如
图所示，ܳ
䁩关于ݔ的函数关系式为：ܳ
䁩ܽ
䁩
ʹ ݔ䀀䁩ͲሺͲܾ
ݔ൑ʹͶሻ
ʹʹሺʹͶܾ
ݔ൑͵Ͳሻ
．
(1)求ܳ
ʹ关于ݔ的函数关系式；
(2)当供货量超过需求量的ͷͲ%时，生产销售该产品面临亏本的风险，则哪几天该产品面临亏本风险？
【答案】(1)ܳ
ʹܽ
͵
ʹ ݔ䀀ʹ Ͳܾ
ݔ൑ʹͲ
͵ʹ ʹͲܾ
ݔ൑͵Ͳ
(2)第䁩ͺ 到第ʹʹ 天面临亏本风险
【分析】（1）由函数图象可知，ܳ
ʹ关于ݔ的函数图象由两段组成，当Ͳܾ
ݔ൑ʹͲ 时，ܳ
ʹ关于ݔ的函
数图象为一次函数，利用待定系数法求出此时的ܳ
ʹ关于ݔ的函数关系式，再求出当ʹͲ ൑ݔ൑͵Ͳ 时，ܳ
ʹ恒
为32；
（2）根据题意得，当ܳ
ʹ ㌳䁩㈠ͷܳ
䁩时，会面临亏本的风险，分情况讨论：当Ͳܾ
ݔ൑ʹͲ 或ʹͲܾ
ݔ൑ʹͶ
或ʹͶܾ
ݔ൑͵Ͳ 时列出不等式，结合ݔ为整数求解即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知，
当Ͳܾ
ݔ൑ʹͲ 时，设ܳ
ʹ关于ݔ的函数关系式为ܳ
ʹܽ
香ݔ䀀ܾ，
将Ͳǡʹ 、ʹͲǡ͵ʹ 代入ܳ
ʹܽ
香ݔ䀀ܾ
得：ܾܽ
ʹ
ʹͲ香䀀ܾܽ
͵ʹ ，
解得：香ܽ
͵
ʹܾܽ
ʹ
，
׵此时ܳ
ʹ关于ݔ的函数关系式为ܳ
ʹܽ
͵
ʹ ݔ䀀ʹ，
当ʹͲ ൑ݔ൑͵Ͳ 时，ܳ
ʹܽ
͵ʹ，
综上所述，ܳ
ʹ关于ݔ的函数关系式为：ܳ
ʹܽ
͵
ʹ ݔ䀀ʹ Ͳܾ
ݔ൑ʹͲ
͵ʹ ʹͲܾ
ݔ൑͵Ͳ
；
（2）解：根据题意得，当ܳ
ʹ ㌳䁩䀀ͷͲ%ܳ
䁩，即ܳ
ʹ ㌳䁩㈠ͷܳ
䁩时，会面临亏本的风险，
当Ͳܾ
ݔ൑ʹͲ 时，ܳ
䁩ܽ
䁩
ʹ ݔ䀀䁩Ͳ，ܳ
ʹܽ
͵
ʹ ݔ䀀ʹ，
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׵
͵
ʹ ݔ䀀ʹ ㌳䁩㈠ͷ
䁩
ʹ ݔ䀀䁩Ͳ ，
解得：ݔ㌳
ͷʹ
͵ ，
׵
ͷʹ
͵ܾ
ݔ൑ʹͲ，
׶ ݔ为整数，
׵ ݔ可以取18，19，20；
当ʹͲܾ
ݔ൑ʹͶ 时，ܳ
䁩ܽ
䁩
ʹ ݔ䀀䁩Ͳ，ܳ
ʹܽ
͵ʹ，
׵ ͵ʹ ㌳䁩㈠ͷ
䁩
ʹ ݔ䀀䁩Ͳ ，
解得：ݔܾ
͸ͺ
͵ ，
׵ ʹͲܾ
ݔܾ
͸ͺ
͵ ，
׶ ݔ为整数，
׵ ݔ可以取21，22；
当ʹͶܾ
ݔ൑͵Ͳ 时，ܳ
䁩ܽ
ʹʹ，ܳ
ʹܽ
͵ʹ，
׵ 䁩㈠ͷܳ
䁩ܽ
䁩㈠ͷ ൈʹʹܽ
͵͵，
׵ 䁩㈠ͷܳ
䁩㌳ܳ
ʹ，
׵当ʹͶܾ
ݔ൑͵Ͳ 时，不会面临亏本的风险，
综上所述，第䁩ͺ 到第ʹʹ 天该产品面临亏本风险．
14．（2026·浙江金华·三模）问题呈现：已知实数ܽ
、ܾ满足：ʹܾܾܽ
͵，͵ܾܾܾ
Ͷ，求ܽ
െܾ
的取值范围．
解：由͵ܾܾܾ
Ͷ 两边同乘以െ䁩得，െͶܾ
െܾܾ
െ͵
׵ ʹ 䀀െͶܾܽ
െܾܾ
͵ 䀀െ͵
׵ܽ
െܾ
的取值范围为：െʹܾܽ
െܾܾ
Ͳ．
类比学习：
(1)若实数ݔ、ݕ满足：െ䁩ܾ
ݔܾ
䁩，ʹܾ
ݕܾ
͵，求ݔെݕ的取值范围；
(2)若实数ݔ、ݕ满足：䁩൑ʹݔെݕ൑͵，Ͳ ൑ݔ䀀ݕ䀀䁩൑ʹ，求ݔെʹݕ的最大值．
【答案】(1)െͶܾ
ݔെݕܾ
െ䁩
(2)Ͷ
【分析】（1）先根据已知ݕ的取值范围，不等式两边同乘െ䁩得到െݕ的取值范围，再将ݔ的范围与െݕ
的范围对应相加，即可得到ݔെݕ的取值范围；
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（2）同（1）求出ݔെʹݕ的取值范围，进而求出ݔെʹݕ的最大值．
【详解】（1）解：由ʹܾ
ݕܾ
͵ 两边同乘以െ䁩得，െ͵ܾ
െݕܾ
െʹ，
׵െ䁩䀀െ͵ܾ
ݔെݕܾ
䁩䀀െʹ ，
׵ ݔെݕ的取值范围为：െͶܾ
ݔെݕܾ
െ䁩；
（2）解：由Ͳ ൑ݔ䀀ݕ䀀䁩൑ʹ 两边同乘以െ䁩得，െʹ ൑െݔെݕെ䁩൑Ͳ，
׵ 䁩䀀െʹ ൑ʹݔെݕ䀀െݔെݕെ䁩൑͵ 䀀Ͳ，
׵െ䁩൑ݔെʹݕെ䁩൑͵，
׵ ݔെʹݕ的取值范围为：Ͳ ൑ݔെʹݕ൑Ͷ ，
׵ ݔെʹݕ的最大值为Ͷ．