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11.3 一元一次不等式组【10 个必考点】
【人教版2024】
【知识点1 一元一次不等式组】..............................................................................................................................1
【必考点1 一元一次不等式组的判断】.................................................................................................................2
【必考点2 不等式组解集的表示】..........................................................................................................................2
【必考点3 解一元一次不等式组】..........................................................................................................................4
【必考点4 根据一元一次不等式组的解集求参】.................................................................................................5
【必考点5 根据一元一次不等式组的有解无解求参】.........................................................................................5
【必考点6 根据一元一次不等式组的整数解求参】.............................................................................................6
【必考点7 不等式组与方程（组）的综合】.........................................................................................................6
【必考点8 一元一次不等式组与新定义】.............................................................................................................7
【知识点2 列一元一次不等式组解决实际问题】.................................................................................................8
【必考点9 根据实际问题列一元一次不等式组】.................................................................................................8
【必考点10 一元一次不等式组的实际应用（方案选择问题）】.....................................................................10
【知识点1 一元一次不等式组】
1.一元一次不等式组的定义：
把含有 相同 未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。
2.一元一次不等式组的解集：
几个一元一次不等式的解集的 公共部分 ，叫做由他们组成的一元一次不等式组的解集。
3.一元一次不等式组的解集的求法：
先分别求出不等式组中的每一个不等式，然后找出他们解集的 公共部分 。
4.不等式组的解的情况与图示（a<b）：
①同大取大： ，图示： ，解集为 x> b 。
②同小取小： ，图示： ，解集为 x< a 。
③大小小大中间找： ，图示： ，解集为 a<x< b 。④大大小小无解答： ，图示： ，解集为 无解 。
【必考点1 一元一次不等式组的判断】
【例1】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）
A．{3−y＜5) B．{ x−2＜7 ) C．{ 3x−10＞0 ) D．
2x+5＞8 x2−2x−3＞0 16x＜3(4x+1)
{ 1 +2＜1 )
x
2(x+1)＞4
【变式1】下列各项中，是一元一次不等式组的是（ ）
{5x+2＞0
) {x+1＞0) { 2x＞3 ) { x＜2 )
A． 2 B． C． D．
x−1＞ y−3＞1 x2−x＞0 x+2＞−1
x
【变式2】下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是 ．（填序号）
{x+3＜4x) {x2+5＞3x) {x+2＞3x) {
x+2＞0
)
{x+4≤6x
)
① ；② ；③ ；④ x−5＜1 ；⑤ 1 ．
y＜2 x＜4 x≠1 ＞2
x−4＞3x−1 x
【变式3】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是 ．（填序号）
{x+2＜3x) {x2+1＞2x) {2(x−1)＞3x) { x−1＞0 )
① ；② ；③ ；④﹣4x≤x＜5；⑤ 2x+3＜0 ；
y＞2 x＜1 x≤−2
x−4＞2x−1
{x+6≤1
)
⑥ 1 ．
＞2
x
【必考点2 不等式组解集的表示】
{2x−4＞0)
【例1】不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
x−3≥0
A． B．
C． D．{
x+1≥0
)
【变式1】不等式组 x+1 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
＜1
4
A．
B．
C．
D．
【变式2】如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，该不等式组可能是（ ）
{x+5≥0) {x+5＞0)
A． B．
x+3＞0 x+3≥0
{x+5＜0) {x+5＜0)
C． D．
x+3＜0 x+3＞0
{x−3(2x−1)≥8)
【变式3】将不等式组 的解集表示在同一条数轴上，正确的是（ ）
−2x+1＜7
A．
B．
C．
D．【必考点3 解一元一次不等式组】
{−3(x−2)≤4−x，①
)
【例1】解不等式组
1+2x
x−1≤ ，②
3
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
{3(x−1)≤x+4
)
【例2】解不等式组： 把解集在数轴上表示出来，并写出所有的整数解．
1+2x x−1
＞
2 4
{3(x−1)＜2x+3
)
【变式1】解不等式组 ，并把该解集在数轴上表示出来．
x x−2
1− ≤
2 5
{4(x+1)≤7x+10
)
【变式2】解关于x的不等式组： ，把解集在数轴上表示出来．
x−1
2x−3＜
2
【变式3】（1）下面是乐乐同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
x+5 3x+2
解不等式： −1≤ ．
2 3
解：3（x+5）﹣6≤2（3x+2）．……第一步
3x+15﹣6≤6x+4．……第二步
3x﹣6x≤4+6﹣15．……第三步
﹣3x≤﹣5．……第四步
5
x≤ ．……第五步
3
任务一：①以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的；
②第 步出现错误，这一步错误的原因是 ．任务二：请写出该不等式的正确解集为 ．
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提
一条建议．
{x−3(x−2)≥4，
)
（2）解不等式组 并将其解集在数轴上表示出来．
5 x−3
x+1＞ ，
6 4
【必考点4 根据一元一次不等式组的解集求参】
{4(x−1)+1＜3x)
【例1】若关于x的不等式组 的解集为x＜3，那么m的取值范围是（ ）
x＜m
A．m＝3 B．m＞3 C．m＜3 D．m≥3
{ −x+3a≥b )
【例2】已知关于x的不等式组 的解集是2≤x≤5，则（3a+b）2025的值是（ ）
3x−4a≥2b+6
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
{2a−x＞3 )
【例3】关于x的不等式组 的解集中每一个值均不在﹣1≤x≤5的范围中，则a的取值范围
2x+8＞4a
是（ ）
A．a＜1或a＞4.5 B．a≤1或a≥4.5
C．a＞4或a＜4.5 D．a≥4或a≤4.5
{ x−2a＞0 )
【变式1】若关于x的不等式组 的解集是x＞2a，则a的取值范围是（ ）
2(x+1)＞14−x
A．a＞4 B．a＞2 C．a＝2 D．a≥2
{x+m＜0
)
【变式2】若关于x的不等式组 的解集为﹣2＜x＜3，则m﹣n的值为（ ）
2x−n＞2
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1
{2a−x＞3 )
【变式3】关于x的不等式组 的解集中每一个值均不在﹣1≤x≤5的范围中，则a的取值范
2x+8＞4a
围是（ ）
A．a＜1或a＞4.5 B．a≤1或a≥4.5
C．a＞4或a＜1.5 D．a≥4或a≤1.5【必考点5 根据一元一次不等式组的有解无解求参】
{ x−a≥0 )
【例1】已知关于x的不等式组 有解，则a的取值范围是（ ）
7−3(x−1)＞4
A．a＞﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜2 D．a≤2
{x+8＜4x+2，)
【例2】如果不等式组 无解，那么m的取值范围是（ ）
x−m＜0
A．m≥2 B．m≤2 C．m＝2 D．m＜2
{5x−a≥3(x−1))
【变式1】已知关于x的不等式组 只有一个解，a的值为 ．
2x−1≤7
{x−2k＜0)
【变式2】已知关于x的一元一次不等式组 有解，则k的取值范围为 ．
x+k＞2
{5x＞3(x+a)−10
)
【变式3】如果关于x的不等式组 无解，求a的取值范围．
a−3
3−x≥
4
【必考点6 根据一元一次不等式组的整数解求参】
{3
y+1＞
y−2
)
【例1】关于y的一元一次不等式组 2 2 有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
y−a＜0
A．a≤2 B．1＜a≤2 C．a≥1 D．1≤a＜2
{9x−m≥0)
【例2】已知关于x的不等式组 的整数解只有1、2、3，其中m、n都为整数，则m+n的值共
8x−n＜0
有（ ）
A．16个 B．17个 C．18个 D．72个
{2x＞3x−3)
【变式1】关于x的一元一次不等式组 只有4个整数解，则a的取值范围是（ ）
3x−a＞5
A．﹣1≤a＜2 B．﹣11＜a＜﹣8 C．﹣11≤a＜﹣8 D．﹣11＜a≤﹣8
{2x+a≥0
)
【变式2】已知关于x的不等式组 至少有2个整数解，则a的取值范围是（ ）
3x−3＜9
A．﹣4≤a＜﹣2 B．a≥﹣4 C．a≤﹣4 D．a＜﹣2
{3(x−a)+2≥2(1−2x−a)
)
【变式3】如果关于x的不等式组 的整数解仅为1、2、3，那么适合这个不
x+b b−x
＜
3 2
等式组的整数对（a，b）共有（ ）A．32对 B．35对 C．40对 D．48对
【必考点7 不等式组与方程（组）的综合】
【例1】如果关于y的方程a−(1−y) 有非负整数解，且关于x的不等式组 { x−a ≥2 ) 的解
= y−2 2
3
x−4≤3(x−2)
集为x≥1，则所有符合条件的整数a的和为（ ）
A．﹣5 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣12
{3x+ y=k+1)
【例2】已知关于x、y的二元一次方程组 ．
x+3 y=3
（1）若方程组的解x、y互为相反数．求k的值；
（2）若方程组的解满足0＜x+y＜1，求k的取值范围．
1−y 8+2y
{ ≤ −1)
【变式1】若关于x的方程 2−ax x 有非负整数解，且关于y的不等式组 2 3 至多
x− = +2
4 2 y+a
+1＞y+a
2
有三个整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ．
{ 7x−a≥1 )
【变式2】若关于x的不等式组 x+5 有且仅有4个整数解，且关于 m，n的二元一次方程组
≥x−1
3
{ m+2n=3 )
的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为 ．
2m−2n=a
{ x+2y=4 )
【变式3】已知关于x，y的方程组 ．
x−2y=2m
（1）求这个方程组的解；
（2）当m取何值时，这个方程组的解x大于1，y不小于﹣1．
（3）已知t＝3x﹣2y，在（2）的条件下，求t的取值范围．
【必考点8 一元一次不等式组与新定义】
【例1】对实数x、y定义一种新的运算F，规定 {x−y(x≥ y))，若关于正数x的不等式组
F(x，y)=
y−x(x＜y){F(x，2)＞3)恰好有4个整数解，则n的取值范围是（ ）
F(−1，x)≤n
A．9＜n≤10 B．9≤n＜10 C．10＜n≤11 D．10≤n＜11
【变式1】对于任意实数a、b，定义一种运算：a b＝a+b﹣ab，如：2 3＝2+3﹣2×3，请根据以上定义
⊕ ⊕
{2⊕x＞0)
解决问题：若关于x的不等式组 只有3个整数解，则m的取值范围是 ．
x⊕3≤m
【变式2】定义[x]表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[1]＝1，[﹣1.2]＝﹣2．有下列结论：①当
1 7
x= 时，[1+x]+[1﹣x]的值为1；②[x﹣1]＝[x]﹣1；③x﹣1＜[x]≤x；④x=− 是方程3x﹣2[x]+1＝0
2 3
的唯一解，其中，正确的有 ．（填序号）
【变式3】定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）
的“完美解”．
例：已知方程2x﹣3＝1的解为x＝2，不等式x+3＞0的解集为x＞﹣3，则称“x＝2”为方程2x﹣3＝1
和不等式x+3＞0的“完美解”．
x−1 {x+1＞0)
（1）下列不等式（组）：①2x﹣3＞3x﹣1，② ＜3，③ 中与方程2x+3＝1存在“完
2 x−2≤1
美解”的有哪些？并说明理由；
{3x−2y=m+2) {x+ y＞−1)
（2）若关于x，y的二元一次方程组 的解是该方程组与不等式组 的“完
2x−y=m−5 x+ y＜5
美解”，求m的取值范围．
【知识点2 列一元一次不等式组解决实际问题】
列一元一次不等式组解决实际问题的基本步骤：
①审题：认真审题，分清已知量、未知量之间的关系，要抓住题设的关键字，如大于、小于、不大于、
不小于等，并要准确理解他们的含义。
②设：设出适当的未知数。
③列：根据题目中的不等量关系，列出不等式，从而组成不等式组。
④解：解出所列的不等式组的解集。
⑤答：检验结果是否符合题意，并写出答案。
【必考点9 根据实际问题列一元一次不等式组】
【例1】将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学
生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数．设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（ ）
{4x+77−6x＞0)
A．
4x+77−6x＜5
{6x+77−4x＞0)
B．
6x+77−4x＜5
C．{4x+77−6(x−1)＞0)
4x+77−6(x−1)＜5
D．{6x+77−4(x−1)＞0)
6x+77−4(x−1)＜5
【例2】某中学计划采购A，B两种型号的黑板共60块，经洽谈，一块A型黑板需要100元，一块B型黑
板需要80元．根据实际需求，B型黑板的数量不能多于A型黑板数量的2倍，且学校此次划拨采购黑
板的总费用为5240元．学校应该采购A，B两种型号黑板各多少块？设采购A型黑板x块，则根据题意
可以列不等式组为（ ）
{ 2x＜60−x )
A．
100x+80(60−x)＞5240
{ 2x＞60−x )
B．
100x+80(60−x)＜5240
{ 2x≤60−x )
C．
100x+80(60−x)≥5240
{ 2x≥60−x )
D．
100x+80(60−x)≤5240
【变式1】某景点摊位要购进不倒翁和折扇两种纪念品，不倒翁的单价为 20元，折扇的单价为10元．已
知购买折扇的件数比购买不倒翁的件数的2倍少3件，如果购买不倒翁、折扇两种商品的总数量不少于
35件，且购买这两种商品的总费用少于560元．设购买不倒翁x件，依题意可列不等式组得（ ）
A．{ x+(2x−3)≥35 )
20x+10(2x−3)＜560
B．{ x+(2x−3)≥35 )
20x+10(2x−3)≤560
C．{ x+(2x−3)≥35 )
20x+10(2x−3)＞560D．{ x+(2x−3)≥560 )
20x+10(2x−3)≤35
【变式2】用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知每千克的这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料
的价格如表所示：现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200单位的维生素C，且购买原料的费用不超
过72元．设所需甲种原料x（kg），则可列不等式组为（ ）
原料 甲 乙
维生素 600单位 100单位
原料价格 8元 4元
{ 600x+100x≥4200 )
A．
8(10−x)+4(10−x)≤72
B．{600(10−x)+100x＞4200)
8(10−x)+4x＜72
C．{600x+100(10−x)≥4200)
8x+4(10−x)≤72
D．{600x+100(10−x)＜4200)
8x+4(10−x)＞72
【变式3】用若干载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车
装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空．设有 x辆货车，3位同学分别列出了关于x的不等式组，
则正确的是（ ）
①0＜8x﹣（4x+20）＜8；②8（x﹣1）＜4x+20＜8x；③0＜4x+20﹣8（x﹣1）＜8．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【必考点10 一元一次不等式组的实际应用（方案选择问题）】
【例1】某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的
单价比A品牌足球的单价高30元．
（1）求A，B两种品牌足球的单价各多少元？
（2）根据需要，学校决定再次购进 A，B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活
动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A，B两种品牌足球
的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于22个，则有几种购买方案？为了节约资金，学
校应选择哪种方案？【例2】某科技公司训练DeepSeek AI模型时，需要处理大量文本和图片数据．已知文本数据每一个数据
集包含800个字符，图片数据每一个数据集包含200张图片．处理一个文本数据集需要3秒，处理一个
图片数据集需要2秒．
（1）某次训练任务中，AI总共处理了50个数据集，且处理的总字符数比总图片数多16000．求此次训
练任务中，处理的文字数据集和图片数据集各多少个？
（2）为提高训练效率，公司又进行了第二次训练，一共需要处理100个数据集，总字符数不低于总图
片数，总耗时不超过221秒．求有哪几种处理方案？
【变式1】在2025年3月14日下午，成都外国语学校初中部举办了第二届数学“ ”节活动——七年级
“智趣数学，欢乐游园”游园会．筹备组教师从淘宝网购进魔方和踩雷对战棋共π25个活动道具，其中
魔方单价12元，踩雷对战棋单价15元．
（1）若合计采购费用为330元，求购买的魔方和踩雷对战棋各有多少个；
（2）若筹各组在购买魔方时遇到淘宝平台开展限时优惠活动：一次性购买魔方超过8个，超过部分可
享受8折优惠．若筹备组希望保持总数量25个不变，总费用不超过330元，且魔方数量不超过踩雷对
战棋数量的1.5倍，共有几种购买方案，并列举所有可能的方案．
【变式2】某家具店经销A，B两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200
元、5250元．
（1）该店销售记录显示，4月份A，B两种品牌的儿童床共售出20张，且销售A，B两种品牌的儿童床
的利润相同．该店4月份A，B两种品牌的儿童床各售出多少张？
（2）根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于
A品牌的儿童床张数的70%，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方
案．
【变式3】学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫少5元，购买40
件A款文化衫和30件B款文化衫一共花费2950元．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）初一年同学一共有700人，学校计划用不多于29640元，不少于29600元的资金为初一年每位同
学购买一件文化衫，求有几种购买方案？
（3）在实际购买时，由于购买数量较多，商家让利销售，A款每件让利m元，B款六折优惠，采购人
员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，则m值为 ．
