文档内容
11.2 一元一次不等式【10 个必考点】
【人教版2024】
【知识点1 一元一次不等式的概念】.....................................................................................................................1
【必考点1 一元一次不等式的判断】.....................................................................................................................1
【必考点2 由一元一次不等式的概念求值】.........................................................................................................2
【知识点2 解一元一次不等式】..............................................................................................................................2
【必考点3 解一元一次不等式】..............................................................................................................................2
【必考点4 列不等式求取值范围】..........................................................................................................................3
【必考点5 已知不等式的解集求参】.....................................................................................................................3
【必考点6 一元一次不等式的整数解】.................................................................................................................4
【必考点7 一元一次不等式的新定义问题】.........................................................................................................4
【知识点3 用一元一次不等式解决实际问题】.....................................................................................................5
【必考点8 根据实际问题列一元一次不等式】.....................................................................................................5
【必考点9 一元一次不等式的实际应用（最多至少问题）】.............................................................................6
【必考点10 一元一次不等式的实际应用（方案选择问题）】...........................................................................8
【知识点1 一元一次不等式的概念】
只含有 1 个未知数，且未知数的次数是 1 的整式不等式，叫做一元一次不等式。整个不等式中分母
不含有 字母 。
【必考点1 一元一次不等式的判断】
【例1】在数学表达式：﹣3＜0，a+b，x＝3，x2+2y+y2，x≠5，x+2＞y+3中，是一元一次不等式的有（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1
【变式 1】有下列不等式：① x≥0；② x+3≤1；③− x＜1；④ 3x+y＞5；⑤ x2＞1；⑥
2
x 1
1+ ＞5− (x−2)．其中一元一次不等式有（ ）
3 2
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式2】下列式子中，一元一次不等式有（ ）
1 x−2 x
①x+2x2＞1；②2x﹣y＞0；③ −1＞0；④2x﹣3＞5；⑤ ＞1；⑥3x− ＞2﹣x．
x−1 3 2A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式3】下列关系式中，哪些是一元一次不等式．（ ）
①x＞0，②2x＜﹣2+x，③x﹣y＞﹣3，④4x＝﹣1，⑤❑√a+1≥0，⑥x2＞2．
A．①②③ B．①② C．②④⑤ D．①②⑥
【必考点2 由一元一次不等式的概念求值】
【例1】若关于x的一元一次不等式2a﹣x|2+3a|＞2，则a的值（ ）
1 1 1
A．﹣1 B．1或− C．﹣1或− D．−
3 3 3
【例2】若mx﹣8≤4﹣2x是关于x的一元一次不等式，则m的取值是 ．
【变式1】若（m+1）x|m+2|+4＜0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣3或﹣1
【变式2】已知（k+3）x|k|﹣2+5＜k﹣4是关于x的一元一次不等式，则k的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．无法确定
【变式3】已知3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，则mn2+（m﹣1）3的值是 ．
【知识点2 解一元一次不等式】
具体步骤：
①去分母：在不等式两边同时乘上分母的 最小公倍数 。（根据等式的性质 2 ）
②去括号：利用去括号的法则去括号。
③移项：把含有未知数的移到等号的 左边 ，常数移到等号的 右边 。（根据等式的性质 1 ）
④并：利用合并同类项法则进行合并。
⑤系数化为1：不等式两边除以 系数 或乘上 系数的倒数 。当系数为负数时，不等号方向一定要 改变 。
（根据不等式的性质 2 或 3 ）
【必考点3 解一元一次不等式】
x+1
【例1】解不等式2+ ≤−x，小聪的解题过程如下：①﹣6+x+1＜3x；②x﹣3x≤6﹣1；③﹣2x≤5；
−3
5
④x≥− ．这个结果是错的，其中造成解答错误的一步是（ ）
2
A．① B．② C．③ D．④
【例2】解下列一元一次不等式．
（1）3（x+2）﹣1＜8﹣2（x﹣1）；
2x−1 5x+1
（2） − ≥1．
3 22x−1 1−3x
【变式1】在解不等式 −1＞ 的过程中：①去分母得4（2x﹣1）﹣4＞3（1﹣3x），②去括
3 4
8
号得8x﹣1﹣4＞3﹣9x，③移项、合并同类项得17x＞8，④系数化为1得解集为x＞ ．其中开始发
7
生错误的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【变式2】解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
11
（1）2(4x−1)≥5(x− )；
5
x+1 2−x
（2） −1≤ ．
3 2
2x+1 2x−1
【变式3】当x满足什么条件时，2− 的值不大于 的值？
2 6
【必考点4 列不等式求取值范围】
{3x+ y=1+m)
【例1】关于x，y二元一次方程组 的解满足2x+y＜1，则m的取值范围是（ ）
x+ y=3
A．m＜﹣2 B．m＞﹣2 C．m＜2 D．m＞2
2x−m 1−x
【变式1】若关于x的方程x− = 的解是非负数，则m的取值范围是 ．
3 3
{2x−y=2k−3)
【变式2】关于x、y的方程组 的解中x与y的和不小于﹣5，则k的取值范围为
x−2y=k
．
{x+3 y=5−5a①)
【变式3】已知方程组 的解x，y的和是负数，且a取符合条件的最小正整数．求关于
x−y=2a②
7x+5
x的不等式ax＜ 的解集．
3
【必考点5 已知不等式的解集求参】
【例1】若关于x的不等式m﹣1≤1﹣x只有负数解，则m的取值范围是 ．
【例2】若关于x的不等式x﹣2＞0的每一个解都能使x﹣3+m＞0成立，则m的取值范围是 ．
【变式1】若关于x的不等式2（x﹣a）＜a+6的解集和不等式2x﹣4＜0的解集相同，则a的值为 ．
3x+a
【变式2】关于x的两个不等式① ＜1与②1﹣3x＞0．
2
（1）若两个不等式的解集相同，则a的值为 ；（2）若不等式①的解都是②的解，则a的取值范围为 ．
2 x+a
【变式3】已知关于x的不等式3− x＞ ．
3 2
（1）求该不等式的解集；
x
（2）若关于x的一元一次方程2(x+1)= +9的解为该不等式的一个解，求a的取值范围．
4
【必考点6 一元一次不等式的整数解】
【例1】不等式5x﹣2≤3x+2的非负整数解为 ．
【例2】已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是 ．
【变式1】若关于x的不等式3x﹣m≤﹣2的正整数解是1，2，3，4，则m的取值范围是 ．
【变式2】已知关于x的不等式3a+2x＞1至少有三个负整数解，则a的取值范围是 ．
【变式3】已知关于x的不等式2x﹣n＜3（x+1）．
（1）当n＝2025时，该不等式的解集为 ；
（2）若该不等式的负整数解有且只有2个，则n的取值范围是 ．
【必考点7 一元一次不等式的新定义问题】
【例1】定义一种新运算：当a＞b时，a*b＝ab+b；当a＜b时，a*b＝ab﹣b．若3*（x+2）＞0，则x的取
值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜1或x＜﹣2 B．x＜﹣2或1＜x＜2
C．﹣2＜x＜1或x＞1 D．x＜﹣2或x＞2
【例2】对m，n定义一种新运算“*”，规定：m*n＝am﹣bn+5（a，b均为非零实数），等式右边的运算
是通常的四则运算，例如3*4＝3a﹣4b+5．已知2*3＝1，3*（﹣1）＝10．则关于x的不等式x*（2x﹣
3）＜5的最小整数解为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1】若定义 max{a，b}是a与b中的较大者，例如：max{1，3}＝3，max{5，5}＝5，若有 y＝
max{x+3，﹣x+8}，那么y的最小值是 ．
【变式2】对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}：当a≤b时，min{a，b}＝a；当a＞b时，min{a，b}
＝b．例如：min{6，﹣1}＝﹣1，min{7，7}＝7．
根据上面的材料，回答下列问题：
（1）若p＞q，则min{2﹣p，2﹣q}＝ ．
5x−1 5x−1
（2）当min{x−2， }= 时，x的取值范围是 ．
2 2
【变式3】我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”．
（1）不等式x≥3 x≤﹣1的“和谐不等式”：（填“是”或“不是”）．
（2）若关于x的不等式x+m≥0不是3x﹣1＜2x+5的“和谐不等式”，求m的取值范围；
1
（3）若n≠− ，关于x的不等式x+3＞n与不等式2nx﹣1≤2n﹣x互为“和谐不等式”，求n的取值范
2
围．
【知识点3 用一元一次不等式解决实际问题】
列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超
过”“超过”等关键词的含义；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（5）解：解出所列的不等式的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案.
【易错点剖析】
列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大
于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.
【必考点8 根据实际问题列一元一次不等式】
【例1】小华同学早上7：40前要到达学校，出家门时是7：20，已知他家离学校距离为2600m，他跑步的
速度为180m/min，走路的速度为80m/min，小华同学至少跑步多长时间才能保证不迟到．设小华同学跑
步时间为x min，则x满足的不等式为（ ）
A．180x+80（20﹣x）＜2600 B．180x+80（x﹣20）＞2600
2600−80x 2600−180x
C． +x＜20 D． +x＜20
180 80
【例2】棕北中学班级篮球赛如火如荼的进行中，篮球比赛得分规则如下：三分线外进球得 3分（称为三
分球），三分线内进球得2分（称为两分球），不进球得 0分．在某次投篮练习中，小明共投篮 25
次，有2次没进球，但得分超过了56分，设小明进了x个三分球，根据题意列不等式为（ ）
A．3x+2（25﹣x）＞56 B．2x+3（25﹣2﹣x）＞56
C．2x+3（25﹣x）＞56 D．3x+2（25﹣2﹣x）＞56
【变式1】哪吒为助力陈塘关振兴，自瑶池仙圃购得“混天仙桃”1000千克，收购价每千克10金．因东海龙族作祟，运输途中仙桃遭海水侵蚀，质量损耗 4%．为保障陈塘关防务建设及民生改善，需确保至少
20%的利润．设销售单价为x金/千克，则可列不等式为（ ）
1000(1−4%)(x−10)
A． ≥20%
1000×10
1000×(1−4%)x−10×1000
B． ≥20%
10×1000
1000(1−4%)(x−10)
C． ＞20%
1000×10
1000×(1−4%)x−10×1000
D． ＞20%
10×1000
【变式2】某乒乓球馆有两种计费方案，如表．小鸣和同学们打算周末去此乒乓球馆连续打球 4小时，经
服务生测算后，告知他们包场计费方案会比按人数计费方案便宜，若他们共有x人，根据题意可列不等
式 ．
包场计费：包场每场每小时50元，每人须另付入场费5元
人数计费：每人打球2小时20元，接着续打球每人每小时6元
【变式3】2025年3月，第18届国际田径联合会世界室内田径锦标赛在南京举办，比赛期间某商店购进了
一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，锦标赛结束后，商店准备将这批服装降价
处理，打x折出售，使得每件衣服的利润不低于5%，根据题意可列出来的不等式： ．
【必考点9 一元一次不等式的实际应用（最多至少问题）】
【例1】已知某品牌的饮料有大瓶装与小瓶装之分．某超市花了 3500元购进一批该品牌的饮料共 1000
瓶，其中大瓶和小瓶饮料的进价及售价如下表所示：
大瓶 小瓶
进价（元/瓶） 5 2
售价（元/瓶） 7 3
（1）该超市购进大瓶和小瓶饮料各多少瓶？
（2）在大瓶饮料售出200瓶，小瓶饮料售出100瓶后，商家决定将剩下的小瓶饮料的售价降低0.5元销
售，并把其中一定数量的小瓶饮料作为赠品，在顾客一次性购买大瓶饮料时，每满 2瓶就送1瓶小瓶饮
料，送完即止．超市要使这批饮料售完后获得的利润不低于1250元，那么小瓶饮料作为赠品最多只能
送出多少瓶？
【例2】某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书．其中科普书的单价比文学书的单价多 4元，买
100本科普书和100本文学书共用2000元．（1）求去年购买的文学书和科普书的单价各是多少元？
（2）若今年文学书的单价比去年提高了25%，科普书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文
学和科普书共200本，且购买文学书和科普书的总费用不超过2135元，这所中学今年至少要购买多少
本文学书？
【变式1】近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了142亿，商家推出A、B两种类型的哪
吒纪念娃娃．已知购进7件A种娃娃和购进10件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B
种娃娃的进价多3元．
（1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？
（2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1600元的资金购进A、B两种娃娃共200个，那么最
多购买A种娃娃多少个？
【变式2】第9届哈尔滨亚冬会于2025年2月8日﹣2月14日举行．亚冬会期间其吉祥物“滨滨和妮妮”
系列产品热卖．某商店计划购进A、B两款型号的吉祥物．已知购买A型号吉祥物10套、B型号吉祥物
5
4套共需1000元，且B型号吉祥物每套价格是A型号吉祥物每套价格的 倍．
3
（1）分别求A、B型号吉祥物每套的价格；
（2）经市场调研，A型号吉祥物每套零售价为80元，B型号吉祥物每套零售价为150元．该商家决定
购进A、B两种型号吉祥物共200套，若要使这批吉祥物按零售价全部售完后的利润不低于 8500元，求
A型号吉祥物最多购进多少套．
【变式3】如图，是某牛奶的“营养成分表”及相关说明．（注：NRV%表示100ml牛奶中相关营养的含量
占一个人每日所需该种营养总量的百分比的参考值）
假设一个同学每日所需相关营养的含量恰好符合根据该牛奶“营养成分表”中的信息计算出的结果，请
解决下列问题：（1）该同学每日所需碳水化合物是 g；
（2）该同学的钙的吸收率为80%，求他每天喝多少毫升的该牛奶，才能恰好满足一天的钙的摄入？
（不计其他渠道摄入的钙）
（3）该同学某天早餐喝了200ml该牛奶，吃了一个鸡蛋和一块牛排（每 100g牛排中蛋白质含量为
20g）．如果他在早餐中摄入的蛋白质全部吸收，且已经超过当日他所需蛋白质总量，那么这块牛排的
质量至少是多少克？（用一元一次不等式解决问题，结果保留整数．）
【必考点10 一元一次不等式的实际应用（方案选择问题）】
【例1】研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质
教育的新内容和新方式．某中学计划组织七年级师生赴某研学基地开展研学活动．现有A，B两种型号
的客车，载客量和租金如下表所示：
A型号客车 B型号客车
载客量（人/辆） 50 45
租金（元/辆） 600 520
已知学校租用A，B两种型号的客车共10辆，租车的总费用不超过5800元．
（1）最多能租用多少辆A型号客车？
（2）若七年级师生共有480人，请写出所有可行的租车方案．
【例2】疫情期间，政府积极组织各商家开通便民服务，甲乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且
又各自推出不同的优惠方案，在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按85%收费，在乙商
店累计超过100元后，超出部分按照90%收费．
（1）若小明妈妈准备用420元去采购物资，你建议小明妈妈去 商场花费少（直接写出“甲”或
“乙”）；
（2）设某顾客累计了购物花费x（x＞200）元，若在甲商场购物，则实际花费 元，若在乙商场
购物，则实际花费 元．（均用含x的式子表示）；（3）某顾客计划采购一件商品，经过测算选择在乙商场更优惠，求该顾客购买该商品的标价范围．
【变式1】任务背景：我校在世界读书日启动“书香校园”活动，我班在参与读书活动中，计划购进一些
笔记本用于摘抄“好词好句”．
驱动任务：购买笔记本的最省钱方案．
数据信息
信息一 购进A、B两种型号的笔记本．
信息二 已知 A 型号笔记本 12 元/个，B 型号笔记本 8
元/个．
问题解决
任务一 我班计划购进A、B两种型号的笔记本共50本，且
购买费用不超过528元，则最多可以购买A型号笔
记本多少本？
任务二 在满足任务一的条件下，要求购买B型号的笔记本
2
数不多于A型号笔记本数的 ，我班购进笔记本的
3
方案有哪几种？哪种方案最省钱？
【变式2】新学年，学校计划购买30副羽毛球拍和若干盒羽毛球，已知体育用品商店的标价及活动如下：
羽毛球拍100元/副，羽毛球30元/盒，现在正值活动期间，有以下两种优惠方案：
方案一：整体打九折；
方案二：原价购买两副羽毛球拍赠送一盒羽毛球．
（1）学校计划购买30副羽毛球拍和100盒羽毛球，若选择方案二共需花费 元．
（2）学校计划购买30副羽毛球拍和a盒羽毛球（a＞15）．
若选择方案一购买，需要花费 元（用含a的代数式表示）；
若选择方案二购买，需要花费 元（用含a的代数式表示）．
（3）学校想购买30副羽毛球拍和a盒羽毛球，应该如何选择购买方案能更省钱？
【变式3】某厂生产一种产品，每件产品的生产成本价始终不变．该厂今年 3月份将产品的出厂价定为50
元/件，结果销售了3600件；4月份将产品的出厂价定为54元/件，结果销售了3000．已知该厂3月份
与4月份销售该产品所获的利润相同．备注：销售利润＝（每件产品的出厂价﹣每件产的成本价）×销
售数量
（1）求每件产品的生产成本价；
（2）若在生产过程中，平均每生产1件产品产生0.2m3的污水，为达到环保要求，工厂设计了如表所示
的两种污水处理方案并准备实施．
方案 费用1：排到污水处理厂处理 每处理1m3污水需付12元排污费
2：本厂净化处理后排放 每月排污设备损耗费10000元，且每处理1m3污水需付2元排
污费
单纯从经济效益角度考虑，你认为该工厂应如何选择污水处理方案？
