文档内容
七上数学期末复习压轴题 12 个必考点（84 题）
【人教版2024】
【考点1 与绝对值有关的压轴题】..........................................................................................................................1
【考点2 与整式的加减有关的压轴题】..................................................................................................................5
【考点3 与一元一次方程的解有关的压轴题】.....................................................................................................8
【考点4 一元一次方程的实际应用压轴题】.......................................................................................................13
【考点5 与线段有关的计算压轴题】....................................................................................................................19
【考点6 数轴、线段中的动点压轴题】................................................................................................................26
【考点7 与角度有关的计算压轴题】....................................................................................................................37
【考点8 角的旋转压轴题】....................................................................................................................................46
【考点9 新定义问题】............................................................................................................................................62
【考点10 日历与幻方问题】..................................................................................................................................67
【考点11 数字规律问题】......................................................................................................................................72
【考点12 图形规律问题】......................................................................................................................................76
【考点1 与绝对值有关的压轴题】
|x−2| |x−1| |x|
1．（2023秋•光山县校级期末）若1＜x＜2，则 − + 的值是（ ）
x−2 1−x x
A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．1
【分析】在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号．
【解答】解：∵1＜x＜2，
∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，x＞0，
∴原式＝﹣1﹣（﹣1）+1＝1，
故选：D．
2．（2023秋•荔湾区期末）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若a+b＜0，ac＜0，则下面四个
结论：①abc＜0；②b+c＜0；③|a|﹣|b|＞0；④|a﹣c|＜|a|，其中一定成立的结论个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用有理数的加法，乘法法则判断即可．
【解答】解：∵a+b＜0，ac＜0，∴a＜0，c＞0，b＞0且|a|＞|b|或b＜0，
∴abc＞0或abc＜0，选项①错误；
b+c＞0或b+c＜0，选项②错误；
|a|＞|b|，即|a|﹣|b|＞0，选项③正确；
|a﹣c|＞|a|，选项④错误，
其中一定成立的结论个数为1．
故选：A．
3．（2023秋•潮南区校级期末）已知有理数a，b，c在数轴上的对应位置如图，则|1﹣2c|+|c﹣2a|+2|a﹣2b|
＝（ ）
A．1﹣4a+4b﹣c B．﹣1﹣4a+4b+3c
C．1+4b﹣3c D．1+4a﹣4b﹣3c
【分析】首先根据有理数a，b，c在数轴上的对应位置可以得到﹣1＜c＜0＜a＜b，然后就分别可以得
到1﹣2c＞0，c﹣2a＜0，a﹣2b＜0，最后利用绝对值的性质即可化简．
【解答】解：依题意得
﹣1＜c＜0＜a＜b，
∴1﹣2c＞0，c﹣2a＜0，a﹣2b＜0，
∴|1﹣2c|+|c﹣2a|+2|a﹣2b|＝1﹣2c﹣（c﹣2a）﹣2（a﹣2b）＝1﹣2c﹣c+2a﹣2a+4b＝1﹣3c+4b．
故选：C．
4．（2023秋•抚州期末）适合|a+5|+|a﹣3|＝8的整数a的值有（ ）
A．4个 B．5个 C．7个 D．9个
【分析】此方程可理解为a到﹣5和3的距离的和，由此可得出a的值，继而可得出答案．
【解答】解：|a+5|表示a到﹣5点的距离，
|a﹣3|表示a到3点的距离，
因为﹣5到3点的距离为8，
故﹣5到3之间的所有点均满足条件，
又由a为整数，
故满足条件的a有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3共9个，
故选：D．
5．（2023秋•忠县期末）如果有理数a，b，c满足|a+b+c|＝a+b﹣c，对于以下结论：①c＝0；②（a+b）c＝0；③当a，b互为相反数时，c不可能是正数；④当c≠0时，|a+b+c﹣2|﹣|5﹣c|＝﹣3．其中正确
的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据绝对值的性质，得出c＝0或a+b＝0，逐个判断出正确错误即可．
【解答】解：∵|a+b+c|＝a+b﹣c，
∴a+b+c＝a+b﹣c或﹣a﹣b﹣c＝a+b﹣c，
∴c＝0或a+b＝0，
∴（a+b）c＝0
故①不正确，②正确，
当a，b互为相反数时，
∵|a+b+c|＝a+b﹣c＝﹣c，
∴c≤0，
∴③正确，
当c≠0时，a+b＝0，c≤0，
|a+b+c﹣2|﹣|5﹣c|＝|c﹣2|﹣|5﹣c|＝2﹣c﹣5+c＝﹣3，
故④正确，
故选：C．
|b+c| 2|a+c| 3|a+b|
6．（2023秋•渝中区期末）已知abc＜0，a+b+c＝0，若x= + − ，则x的最大
a b c
值与最小值的乘积为（ ）
A．﹣24 B．﹣12 C．6 D．24
【分析】根据abc＜0，a+b+c＝0判断出a、b、c只能是一负两正，然后分情况讨论：当a、b为正，c
为负时；当a、c为正，b为负时；当b、c为正，a为负时；分别计算x的值，即可得出答案．
【解答】解：∵abc＜0，
∴a、b、c中一负两正或三负，
∵a+b+c＝0，
∴a、b、c不可能三负，只能是一负两正，
∵a+b+c＝0，
∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，
当a、b为正，c为负时，
|b+c| 2|a+c| 3|a+b|
x= + −
a b c|−a| 2|−b| 3|−c|
= + −
a b c
a 2b −3c
= + −
a b c
＝1+2+3
＝6；
当a、c为正，b为负时，
|b+c| 2|a+c| 3|a+b|
x= + −
a b c
|−a| 2|−b| 3|−c|
= + −
a b c
a −2b 3c
= + −
a b c
＝1﹣2﹣3
＝﹣4；
当b、c为正，a为负时，
|b+c| 2|a+c| 3|a+b|
x= + −
a b c
|−a| 2|−b| 3|−c|
= + −
a b c
−a 2b 3c
= + −
a b c
＝﹣1+2﹣3
＝﹣2；
则x的最大值与最小值的乘积为6×（﹣4）＝﹣24，
故选：A．
7．（2023秋•武汉期末）数轴上点A、B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离可表示为线段AB＝|a
﹣b|，如：数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点之间的距离为|x﹣（﹣1）|＝|x+1|．代数式|x+3|﹣|x﹣2|
的最大值等于 ．
【分析】分x≤﹣3，﹣3＜x≤2，x＞2三种情况进行讨论，然后比较作答．
【解答】解：当x≤﹣3时，|x+3|﹣|x﹣2|＝﹣（3+x）+（x﹣2）＝﹣3﹣2＝﹣5．
当﹣3＜x≤2时，|x+3|﹣|x﹣2|＝x+3+（x﹣2）＝2x+1，当x＝2时，有最大值5，
当x＞2时，|x+3|﹣|x﹣2|＝x+3﹣（x﹣2）＝x+3﹣x+2＝5．
综上，|x+3|﹣|x﹣2|的最大值为5，故答案为：5．
【考点2 与整式的加减有关的压轴题】
1．（2024•宁波校级期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为
长方形（长为m cm，宽为n cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表
示．则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）
A．4m cm B．4n cm C．2（m+n） cm D．4（m﹣n） cm
【分析】本题需先设小长方形卡片的长为a，宽为b，再结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周
长，再把它们加起来即可求出答案．
【解答】解：设小长方形卡片的长为a，宽为b，
∴L上面的阴影 ＝2（n﹣a+m﹣a），
L下面的阴影 ＝2（m﹣2b+n﹣2b），
∴L总的阴影 ＝L上面的阴影+L下面的阴影 ＝2（n﹣a+m﹣a）+2（m﹣2b+n﹣2b）＝4m+4n﹣4（a+2b），
又∵a+2b＝m，
∴4m+4n﹣4（a+2b），
＝4n．
故选：B．
2．（2023秋•儋州校级期末）三张大小不一的正方形纸片按如图①和图②方式分别放置于相同的大长方
形中，它们既不重叠也无空隙，记图①阴影部分周长为m，图②阴影部分周长之和为n，则m与n的
差（ ）
A．与正方形A的边长有关
B．与正方形B的边长有关
C．与正方形C的边长有关D．与A，B，C的边长均无关
【分析】认真读懂题意，根据题意列代数式，化简整理代数式，判断正误．
【解答】解：设正方形A、B、C的边长分别为a、b、c，大矩形的面积为d，
根据题意得：m＝a+b+（a﹣b）+（d﹣b﹣c）+c+c+（d﹣c）+（d﹣a）＝a+3d﹣b，
n＝（d﹣b+b）×2+（d﹣b﹣c+c）×2＝4d﹣2b，
∴m﹣n＝a+3d﹣b﹣（4d﹣2b）＝a+b﹣d＝0，
∴m与n的差和正方形A，B，C的边长无关．
故选：D．
3．（2023秋•越秀区期末）已知A＝2x2+3xy﹣2x，B＝x2+xy+y，且A﹣2B的值与x的取值无关．若B＝5，
则A的值是（ ）
A．﹣4 B．2 C．6 D．10
【分析】计算A﹣2B后根据题意求得它的值，再由B＝5即可求得A的值．
【解答】解：A﹣2B
＝2x2+3xy﹣2x﹣2（x2+xy+y）
＝2x2+3xy﹣2x﹣2x2﹣2xy﹣2y
＝xy﹣2x﹣2y
＝（y﹣2）x﹣2y，
∵A﹣2B的值与x的取值无关，
∴y﹣2＝0，
∴y＝2，
∴A﹣2B＝0﹣4＝﹣4，
∵B＝5，
∴A﹣10＝﹣4，
∴A＝6，
故选：C．
4．（2023秋•沂源县期末）已知无论x，y取什么值，多项式（3x2﹣my+9）﹣（nx2+5y﹣3）的值都等于定
值12，则m+n等于（ ）
A．8 B．﹣2 C．2 D．﹣8
【分析】直接去括号、合并同类项，进而得出3﹣n＝0，m+5＝0，进而得出答案．
【解答】解：（3x2﹣my+9）﹣（nx2+5y﹣3）
＝3x2﹣my+9﹣nx2﹣5y+3＝（3﹣n）x2﹣（m+5）y+12，
∵多项式（3x2﹣my+9）﹣（nx2+5y﹣3）的值都等于定值12，
∴3﹣n＝0，m+5＝0，
解得：n＝3，m＝﹣5，
∴m+n＝﹣5+3＝﹣2．
故选：B．
5．（2023秋•鼓楼区校级期末）已知4x2﹣6xy＝﹣6，3y2﹣2xy＝12，则式子2x2﹣xy﹣3y2的值是（ ）
A．8 B．5 C．﹣8 D．﹣15
【分析】几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类
项．由4x2﹣6xy＝﹣6知2x2﹣3xy＝﹣3，结合3y2﹣2xy＝12知（2x2﹣3xy）﹣（3y2﹣2xy）＝﹣3﹣12＝
﹣15，去括号、合并同类项即可．
【解答】解：∵4x2﹣6xy＝﹣6，
∴2x2﹣3xy＝﹣3，
又∵3y2﹣2xy＝12，
∴（2x2﹣3xy）﹣（3y2﹣2xy）＝﹣3﹣12＝﹣15，
∴2x2﹣3xy﹣3y2+2xy＝﹣15，即2x2﹣xy﹣3y2＝﹣15，
故选：D．
6．（2023秋•襄城区期末）若多项式2x3﹣8x2+mx﹣1与多项式x3+（3m+1）x2﹣5x+7的差不含二次项，则
它们的和等于 ．
【分析】先计算两个多项式的差，得出x3﹣[8+（3m+1）]x2+（m+5）x﹣8，根据题意得出8+（3m+1）
＝0，即可求出m的值，从而求出这两个多项式的和．
【解答】解：由题意得，
（2x3﹣8x2+mx﹣1）﹣[x3+（3m+1）x2﹣5x+7]
＝2x3﹣8x2+mx﹣1﹣x3﹣（3m+1）2+5x﹣7
＝x3﹣[8+（3m+1）]x2+（m+5）x﹣8，
∵多项式2x3﹣8x2+mx﹣1与多项式x3+（3m+1）x2﹣5x+7的差不含二次项，
∴8+（3m+1）＝0，
解得m＝﹣3，
∴多项式2x3﹣8x2+mx﹣1为2x3﹣8x2﹣3x﹣1，多项式x3+（3m+1）x2﹣5x+7为x3﹣8x2﹣5x+7，
∴2x3﹣8x2﹣3x﹣1+x3﹣8x2﹣5x+7
＝3x3﹣16x2﹣8x+6，故答案为：3x3﹣16x2﹣8x+6．
7．（2023秋•广州期末）已知A＝x2+xy﹣2x﹣3，B＝﹣x2+3xy﹣9．若3A﹣B的值等于﹣2，则代数式x2
3
− x+3的值是 ．
2
【分析】把A与B代入3A﹣B＝﹣2中，去括号合并求出2x2﹣3x的值，原式变形后代入计算即可求出
值．
【解答】解：∵A＝x2+xy﹣2x﹣3，B＝﹣x2+3xy﹣9，
∴3A﹣B＝3（x2+xy﹣2x﹣3）﹣（﹣x2+3xy﹣9）＝3x2+3xy﹣6x﹣9+x2﹣3xy+9＝4x2﹣6x＝﹣2，
即2x2﹣3x＝﹣1，
1 1 1
则原式= （2x2﹣3x）+3 =− + 3＝2 ，
2 2 2
1
故答案为：2 ．
2
【考点3 与一元一次方程的解有关的压轴题】
1
1．（2023秋•郑州期末）若关于x的方程2x+1= x+a的解为x＝﹣3，则关于y的方程2（y﹣2）+1
2023
1
= (y−2)+a的解为（ ）
2023
A．y＝﹣1 B．y＝﹣2 C．y＝﹣3 D．不能确定
1
【分析】令y﹣2＝x，根据2x+1= x+a的解为x＝﹣3，即可求解．
2023
1 1
【解答】解：令y﹣2＝x，则2(y−2)+1= (y−2)+a变形为2x+1= x+a，
2023 2023
1
∵关于x的方程2x+1= x+a的解为x＝﹣3，
2023
∴y﹣2＝﹣3，
解得y＝﹣1，
故选：A．
2−ax x
2．（2023秋•陇县期末）已知关于x的方程x− = −1有非负整数解，则整数a的所有可能的取值
6 3
的和为（ ）
A．﹣6 B．﹣7 C．﹣14 D．﹣19
【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将a的值算出，最后相加即可得出答案．
2−ax x
【解答】解：x− = −1，
6 3
去分母，得6x﹣（2﹣ax）＝2x﹣6，
去括号，得6x﹣2+ax＝2x﹣6，
移项、合并同类项，得（4+a）x＝﹣4，
4
将系数化为1，得x=− ，
4+a
4
∵x=− 是非负整数解，
4+a
∴4+a取﹣1，﹣2，﹣4，
∴a＝﹣5或﹣6，﹣8时，x的解都是非负整数，
则﹣5+（﹣6）+（﹣8）＝﹣19，
故选：D．
x m(x−1)
3．（2023秋•广州期末）已知x＝3是关于x的方程( +1)+ =1的解，n满足关系式|m+n|＝2，
3 2
则mn的值是 ．
【分析】把x＝3代入方程即可求出m的值，再将m的值代入|m+n|＝2中即可求出n的值，从而求出mn
的值．
x m(x−1)
【解答】解：∵x＝3是关于x的方程( +1)+ =1的解，
3 2
3 (3−1)m
∴( +1)+ =1，
3 2
∴2+m＝1，
解得m＝﹣1，
∵|m+n|＝2，
∴|﹣1+n|＝2，
解得n＝﹣1或3，
∴mn＝1或﹣3，
故答案为：1或﹣3．
kx+a 2x+bk
4．（2023秋•乌鲁木齐期末）已知a，b为定值，关于x的方程 =1− ，无论k为何值，它的
3 6
解总是1，则a+b＝ ．kx+a 2x+bk k+a 2+bk
【分析】把x＝1代入方程 =1− ，得： =1− ，整理可得（2+b）k+2a﹣4＝0，
3 6 3 6
再根据题意可得2+b＝0，2a﹣4＝0，进而可得a、b的值，从而可得答案．
kx+a 2x+bk
【解答】解：把x＝1代入方程 =1− ，得：
3 6
k+a 2+bk
=1− ，
3 6
2（k+a）＝6﹣（2+bk），
2k+2a＝6﹣2﹣bk，
2k+bk+2a﹣4＝0，
（2+b）k+2a﹣4＝0，
∵无论k为何值，它的解总是1，
∴2+b＝0，2a﹣4＝0，
解得：b＝﹣2，a＝2．
则a+b＝0．
故答案为：0．
3x ax+2
5．（2023秋•赤坎区校级期末）若关于x的方程 + =b有无数解，则2a+3b的值为 ．
2 3
【分析】先解方程得到（9+2a）x＝6b﹣4，再根据方程有无数解得到9+2a＝0，6b﹣4＝0，据此求出2a
＝﹣9，3b＝2，然后代值计算即可．
3x ax+2
【解答】解： + =b，
2 3
去分母得：9x+2（ax+2）＝6b，
去括号得：9x+2ax+4＝6b，
移项得：9x+2ax＝6b﹣4，
合并同类项得：（9+2a）x＝6b﹣4，
3x ax+2
∵关于x的方程 + =b有无数解，
2 3
∴关于x的方程（9+2a）x＝6b﹣4有无数解，
∴9+2a＝0，6b﹣4＝0，
∴2a＝﹣9，3b＝2，
∴2a+3b＝﹣9+2﹣＝﹣7，
故答案为：﹣7．6．（2023秋•龙泉驿区期末）已知关于 y的方程2+5y＝（b+5）y无解，关于x的方程5+ax＝2a有唯一
解，则关于z的方程az＝b的解为 ．
【分析】根据题意，化简关于x、y的方程，推断出a、b情况，将条件代入关于z的方程，得出结果．
2a−5
【解答】解：关于x的方程5+ax＝2a可以简化为：x= ，
a
∵关于x的方程5+ax＝2a有唯一解，
∴a≠0，
∵2+5y＝（b+5）y，
∴2+5y＝by+5y，
∴by＝2，
2
∴y= ，
b
∵关于y的方程2+5y＝（b+5）y无解，
∴b＝0，
b
关于z的方程az＝b可以简化为：z= ，
a
∵a≠0，b＝0，
∴z＝0．
故答案为：z＝0．
7．（2023秋•潮南区期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方
程”，例如：方程4x＝8和x+1＝0为“集团方程”．
（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣1＝x+8是“集团方程”，求m的值；
（2）若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个较大的解为n，求n的值；
1 1
（3）若关于x的一元一次方程 x+3=2x+k和 x+1=0是“集团方程”，求关于y的一元一
2022 2022
1
次方程 (y+1)+3=2y+2+k的解．
2022
【分析】（1）先表示两个方程的解，再求值．
（2）根据条件建立关于n的方程，再求值．
（3）先求k，再解方程．
【解答】解：（1）∵3x+m＝0，m
∴x=− ．
3
∵4x﹣1＝x+8，
∴x＝3．
∵关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣1＝x+8是“集团方程”，
m
∴− +3=1，
3
∴m＝6；
（2）∵“集团方程”的两个解和为1，
∴另一个方程的解是1﹣n，
∵两个解的差是6，且n为较大的解，
∴n﹣（1﹣n）＝6，
7
∴n= ．
2
1
（3）∵ x+1=0，
2022
∴x＝﹣2022．
1 1
∵关于x的一元一次方程 x+3=2x+k和 x+1=0是“集团方程”，
2022 2022
1
∴关于x的一元一次方程 x+3=2x+k的解为：x＝1﹣（﹣2022）＝2023．
2022
1 1
∵关于y的一元一次方程 (y+1)+3=2y+2+k可化为： (y+1)+3=2(y+1)+k，令y+1＝
2022 2022
x＝2023，
∴y＝2022．
【考点4 一元一次方程的实际应用压轴题】
1．（2023秋•宿城区期末）为迎接新年到来，光明中学开展制作“中国结”活动．七（1）班有m人，打
算制作n个“中国结”．若每人做4个，则可比计划多做2个；若每人做2个，则将比计划少做58个，
现有下列四个方程：
n+2 n−58 n−2 n+58
①4m﹣2＝2m+58；②4m+2＝2m﹣58；③ = ；④ = ．其中正确的是（ ）
4 2 4 2
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【分析】根据题意可得：n＝4m﹣2，n＝2m+58，由n不变可得出4m﹣2＝2m+58，由m不变可得出n+2 n−58
= ，此题得解．
4 2
【解答】解：根据题意得：n＝4m﹣2，n＝2m+58，
n+2 n−58
∴4m﹣2＝2m+58， = ，
4 2
∴方程①③正确．
故选：A．
2．（2023秋•黄石港区期末）某市近期公布的居民用天然气阶梯价格方案如下：
第一档天然气用量 第二档天然气用量 第三档天然气用量
年用天然气量360立方 年用天然气量超出360立方米，不 年用天然气量600立方米以上，超
米及以下，价格为每立 足600立方米时，超过360立方米 过600立方米部分价格为每立方米
方米2元． 部分每立方米价格为2.5元． 3元．
若某户2023年实际缴纳天然气费2463元，则该户2023年使用天然气 98 1 立方米．
【分析】根据“实际缴纳天然气费2463元”列方程求解．
【解答】解：当用天然气360立方米时，费用为：360×2＝720元，
当用天然气600立方米时，费用为：360×2+2.5×（600﹣360）＝1320元，
∵2463＞1320，
∴缴纳天然气费2463元，使用量大于600立方米，
设该户2023年使用天然气x立方米，
则：1320+3×（x﹣600）＝2463，
解得：x＝981，
故答案为：981．
3．（2024•东莞市校级模拟）国庆黄金周，某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同
时当顾客在商场内一次性消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额．
消费金额（元） 小于或等于500元 500～1000 1000～1500 1500以上
返还金额（元） 0 60 100 150
注：500～1000表示消费金额大于500元且小于或等于1000元，其他类同．
根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为 1000元的商品，则消
费金额为800元，获得的优惠额为1000×（1﹣80%）+60＝260（元）．
（1）购买一件标价为1600元的商品，顾客获得的优惠额是多少？
（2）若顾客在该商场购买一件标价x元（x＞1250）的商品，那么该顾客获得的优惠额为多少？（用含
有x的代数式表示）（3）若顾客在该商场第一次购买一件标价x元（x＞1250）的商品后，第二次又购买了一件标价为500
元的商品，两件商品的优惠额共为650元，则这名顾客第一次购买商品的标价为 200 0 元．
【分析】（1）购买一件标价为1600元的商品，根据题中给出的数据可得消费金额为1280元，优惠额
为：1600﹣1280+100＝420（元）除以标价就是优惠率；
（2）分两种情况：当1000＜0.8x≤1500时；当0.8x＞1500时；讨论可求该顾客获得的优惠额；
（3）设这名顾客第一次购买商品的标价为x元，两件商品的优惠额共为650元，然后就分情况：当
1250＜x≤1875时；当x＞1875时；根据题意列出方程求解．注意解方程时要结合实际情况分析．
【解答】解：（1）标价为1600元的商品按80%的价格出售，消费金额为1280元，
消费金额1280元在1000﹣1500之间，返还金额为100元，
则顾客获得的优惠额是：1600﹣1280+100＝420（元）；
（2）当1000＜0.8x≤1500时，（0.2x+100）元；
当0.8x＞1500时，（0.2x+150）元；
（3）1500÷80%＝1875（元），
当1250＜x≤1875时，0.2x+100+500×0.2＝650，解得x＝2250不合题意；
当x＞1875时，0.2x+150+500×0.2＝650，解得x＝2000符合．
故这名顾客第一次购买商品的标价为2000元．
故答案为：2000．
4．（2023秋•鹤山市期末）晨光文具店分两次购进一款礼品盲盒共 70盒，总共花费960元，已知第一批
盲盒进价为每盒15元，第二批盲盒进价为每盒12元．（利润＝销售额﹣成本）
（1）求两次分别购进礼品盲盒多少盒？
（2）文具店老板计划将每盒盲盒标价20元出售，销售完第一批盲盒后，再打八折销售完第二批盲盒，
按此计划该老板总共可以获得多少元利润？
（3）在实际销售中，该文具店老板在以（2）中的标价20元售出一些第一批盲盒后，决定搞一场促销
活动，尽快把第一批剩余的盲盒和第二批盲盒售完，老板现将标价提高到40元/盒，再推出活动：购买
两盒，第一盒七五折，第二盒半价，不单盒销售．售完所有盲盒后该老板共获利润 710元，按（2）中
标价售出的礼品盲盒有多少盒？
【分析】（1）设第一次购进礼品盲盒x盒，则第二次购进礼品盲盒（70﹣x）盒，利用总价＝单价×数
量，可列出关于x的一元一次方程，解之可求出第一次购进礼品盲盒的数量，再将其代入（70﹣x）
中，即可求出第二次购进礼品盲盒的数量；
（2）利用总利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，即可求出结论；
（3）设按（2）中标价售出的礼品盲盒有m盒，利用总利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设第一次购进礼品盲盒x盒，则第二次购进礼品盲盒（70﹣x）盒，
根据题意得：15x+12（70﹣x）＝960，
解得：x＝40，
∴70﹣x＝70﹣40＝30．
答：第一次购进礼品盲盒40盒，第二次购进礼品盲盒30盒；
（2）根据题意得：20×40+20×0.8×30﹣960
＝800+480﹣960
＝320（元）．
答：按此计划该老板总共可以获得320元利润；
（3）设按（2）中标价售出的礼品盲盒有m盒，
70−m
根据题意得：20m+（40×0.75+40×0.5）• −960＝710，
2
解得：m＝16．
答：按（2）中标价售出的礼品盲盒有16盒．
5．（2023秋•新会区期末）安宁市的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，若经粗
加工后销售，每吨利润可达4500元；若经精加工后销售每吨获利7500元．当地一家农产品企业收购这
种蔬菜140吨，该企业加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨，如果进行
精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节条件限制，企业必须在15天的时间
将这批蔬菜全部销售或加工完毕，企业研制了四种可行方案：
方案一：全部直接销售；
方案二：全部进行粗加工；
方案三：尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售；
方案四：将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成．
请通过计算以上四个方案的利润，帮助企业选择一个最佳方案使所获利润最多？
【分析】根据总利润＝单吨利润×销售质量即可求出方案一、二、三的利润，在方案四种，设精加工x
吨食蔬菜，则粗加工（140﹣x）吨蔬菜，根据每天可精加工6吨或粗加工16吨结合加工总天数为15天
即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，进而得出140﹣x的值，再根据总利润＝精加工
部分的利润+粗加工部分的利润求出方案四的利润，将四种方案获得的利润比较后即可得出结论．
【解答】解：方案一可获利润：140×1000＝140000（元）；
方案二可获利润：4500×140＝630000（元）；方案三可获利润：15×6×7500+（140﹣15×6）×1000＝725000（元）；
方案四：设精加工x吨食蔬菜，则粗加工（140﹣x）吨蔬菜，
x 140−x
根据题意得： + = 15，
6 16
解得：x＝60，
∴140﹣x＝80．
此情况下利润为：60×7500+80×4500＝810000（元），
∵140000＜630000＜725000＜810000，
∴企业选择方案四所获利润最多．
6．（2023秋•枣阳市期末）某购物平台准备在春节期间举行年货节活动，此次年货节活动特别准备了A、
B两种商品进行特价促销，已知购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进
价多40元，购进A种商品2件与购进B种商品3件的进价相同．
（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）该网购平台从厂家购进了A、B两种商品共60件，所用资金为5800元，出售时，A种商品在进价
的基础上加价20%进行标价；B商品按标价出售每件可获利20元．若按标价出售A、B两种商品，则全
部售完共可获利多少元？
（3）在（2）的条件下，年货节期间，A商品按标价出售，B商品按标价先销售一部分商品后，余下的
2
再按标价降价8元出售，A、B两种商品全部售出，总获利比全部按标价售出获利少了 ，则B商品按
13
标价售出多少件？
【分析】（1）设A种商品每件的进价是x元，根据购进A种商品2件与购进B种商品3件的进价相同
列出方程，解出可得结论；
（2）设购买A种商品a件，根据所用资金5800元可得购进A、B两种商品的件数，在根据两种商品的
售价和进价可得总利润；
2
（3）设B商品按标价售出m件，根据等量关系A商品的利润+B商品的利润＝（2）中的利润×（1−
13
）列出方程，可得结论．
【解答】解：（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是（x﹣40）元，
由题意得2x＝3（x﹣40），
解得：x＝120，
120﹣40＝80（元）．答：A种商品每件的进价是120元，B种商品每件的进价是80元；
（2）设购买A种商品a件，则购买B商品（60﹣a）件，
由题意得120a+80（60﹣a）＝5800，
解得a＝25，60﹣a＝35．
120×20%×25+20×35＝1300（元）．
答：全部售完共可获利1300元；
（3）设B商品按标价售出m件，
2
由题意得：120×20%×25+20m+（20﹣8）（35﹣m）＝1300×（1− ），
13
解得m＝10．
答：B商品按标价售出10件．
7．（2023秋•汉川市期末）新时代超市经销甲、乙两种商品，两种商品相关信息如表：
商品 进价（元/件） 售价（元/件） 利润率
甲种 40 60 n
乙种 50 m 50%
（1）以上表格中m，n的值分别为 7 5 ， 50% ；
（2）若该超市同时购进甲种商品数量是乙种商品数量的2倍少10件，且在正常销售情况下售完这两种
商品共获利3050元，求购进甲、乙两种商品各多少件？
（3）春节临近，该超市决定对甲、乙两种商品进行如下的优惠活动：
顾客一次性购商品 数量 优惠措施
甲种 不超过15件 不优惠
超过15件 全部按售价8.5折
乙种 不超过15 不优惠
超过15件但不超过25件 全部按售价8.8折
超过25件 全部按售价8折
小华的爸爸一次性购买包含甲、乙两种商品共40件，按上述条件优惠后实付款恰好为2280元；求出小
华的爸爸购买方案．
售价−进价
【分析】（1）利用甲种商品的利润率= ×100%，即可求出n的值，利用乙种商品的利润
进价
售价−进价
率= ×100%，可列出关于m的一元一次方程，解之即可求出m的值；
进价（2）设购进乙种商品x件，则购进甲种商品（2x﹣10）件，利用总利润＝每件甲种商品的销售利润×购
进甲种商品的数量+每件乙种商品的销售利润×购进乙种商品的数量，可列出关于x的一元一次方程，解
之可求出购进乙种商品的数量，再将其代入（2x﹣10）中，即可求出购进甲种商品的数量；
（3）设购买甲种商品y件，则购买乙种商品（40﹣y）件，分0＜y＜15，y＝15，15＜y＜25及y≥25四
种情况考虑，利用总价＝单价×数量，结合总价为2280元，可列出关于y的一元一次方程，解之取其符
合题意的值，即可得出结论．
60−40
【解答】解：（1）根据题意得：n= ×100%＝50%；
40
m−50
×100%＝50%，
50
解得：m＝75．
故答案为：75，50%；
（2）设购进乙种商品x件，则购进甲种商品（2x﹣10）件，
根据题意得：（60﹣40）（2x﹣10）+（75﹣50）x＝3050，
解得：x＝50，
∴2x﹣10＝2×50﹣10＝90（件）．
答：购进甲种商品90件，乙种商品50件；
（3）设购买甲种商品y件，则购买乙种商品（40﹣y）件．
当0＜y＜15时，60y+75×0.8（40﹣y）＝2400≠2280，不符合题意，舍去；
当y＝15时，60×15+75×0.88×（40﹣15）＝2550≠2280，不符合题意，舍去；
当15＜y＜25时，60×0.85y+75×0.88（40﹣y）＝2280，
解得：y＝24，
∴40﹣y＝40﹣24＝16（件）；
当y≥25时，60×0.85y+75（40﹣y）＝2280，
解得：y＝30，
∴40﹣y＝40﹣30＝10（件），
∴小华的爸爸共有2种购买方案，
方案1：购买甲种商品24件，乙种商品16件；
方案2：购买甲种商品30件，乙种商品10件．
【考点5 与线段有关的计算压轴题】
1．（2023秋•江岸区期末）如图，AB＝20cm，点C是线段AB延长线上一点，点M为线段AC的中点，在线段BC上存在一点N（N在M的右侧且N不与B、C重合），使得4MN﹣NB＝40cm且BN＝kCN，则k
的值为（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．不能确定
1
【分析】设CN＝x cm，则BC＝（k+1）x cm，BN＝k x cm，根据线段中点的定义得到CM= AC
2
20+(k+1)x 20+(k+1)x
= cm，则MN＝CM﹣CN＝（ −x）cm，再由4MN﹣NB＝40cm得到（k﹣2）x
2 2
＝0，据此可得答案．
【解答】解：∵BN＝kCN，
∴BC＝（k+1）CN，
设CN＝x cm，则BC＝（k+1）x cm，BN＝k x cm，
∴AC＝AB+BC＝[20+（k+1）x]cm，
∵点M为线段AC的中点，
1 20+(k+1)x
∴CM= AC= cm，
2 2
20+(k+1)x
∴MN＝CM﹣CN＝（ −x）cm，
2
∵4MN﹣NB＝40cm，
20+(k+1)x
∴4×（ −x）﹣kx＝40，
2
∴40+2（k+1）x﹣4x﹣kx＝40，
∴（2k﹣2﹣k）x＝0，
∴（k﹣2）x＝0，
∵x≠0，
∴k﹣2＝0，
∴k＝2，
故选A．
2．（2023秋•源汇区校级期末）已知点A、B、C都在直线l上，点C是线段AB的三等分点，D、E分别为
13
线段AB、BC中点，直线l上所有线段的长度之和为91，则AC＝ 或 1 3 ．
2【分析】分两种情况讨论：当点C是线段AB靠近A的三等分点时和当点C是线段AB靠近B的三等分
点时，分别求出即可．
【解答】解：当点C是线段AB靠近A的三等分点时，
设AC＝x，则AB＝3x，BC＝2x，
∵D、E分别为AB、BC中点，
∴AD＝DB＝1.5x，BE＝CE＝x，
∴CD＝AD﹣AC＝0.5x，DE＝DB﹣BE＝1.5x﹣x＝0.5x，
∵直线l上所有线段的长度之和为91，
∴AD+AB+AE+AC+CD+CE+CB+DE+DB+EB
＝（AD+DB）+（AC+BC）+（AE+EB）+（CD+DE+CE）+AB
＝4AB+2CE
＝4×3x+2x
＝14x
＝91，
13
∴x= ，
2
13
∴AC= ；
2
当点C是线段AB靠近B的三等分点时，
设BE＝x，
∵D、E分别为AB、BC中点，
∴BE＝CE＝x，BC＝2x，AC＝4x，AB＝6x，AD＝BD＝3x，CD＝DB﹣BC＝x，
∵直线l上所有线段的长度之和为91，
∴AD+AB+AE+AC+CD+CE+CB+DE+DB+EB
＝（AD+DB）+（AC+BC）+（AE+EB）+（CD+DE+CE）+AB
＝4AB+2DE
＝4×6x+4x
＝28x
＝91，
13
∴x= ，
4
∴AC＝13．13
所以AC= 或13．
2
13
故答案为： 或13．
2
3．（2023秋•阜平县期末）如果一点在由两条具有公共端点的线段组成的一条折线上，且把这条折线分成
长度相等的两部分，则把这一点叫做这条折线的“折中点”．如图，点 P是折线M﹣O﹣N的“折中
点”．
（1）若OM＝10，ON＝6，点P在线段 上（填“OM”或“ON”）；
（2）若ON＝8，OP＝3，则OM的长度为 ．
【分析】（1）先根据已知条件，求出OM+ON的值，然后根据已知条件中的定义进行解答即可；
（2）根据已知条件中的新定义可知OM+OP＝ON﹣OP，然后把已知条件中的线段代入进行计算即可．
【解答】解：（1）∵OM＝10，ON＝6，
∴OM+ON＝16，
∵点P是折线M﹣O﹣N的“折中点”，
1 1
∴ (OM+ON)= ×16=8，
2 2
∴点P在线段OM上，
故答案为：OM；
（2）当点P在OM上时，
∵点P是折线M﹣O﹣N的“折中点”，ON＝8，OP＝3，
∴OM+OP＝ON﹣OP，
OM+3＝8﹣3，
OM+3＝5，
OM＝2；
当点P在ON上时，
∵点P是折线M﹣O﹣N的“折中点”，ON＝8，OP＝3，
∴OM﹣OP＝OP+ON，
OM﹣3＝8+3，OM﹣3＝11，
OM＝14；
故答案为：2或14．
4．（2023秋•青山湖区校级期末）在同一直线上有A，B，C，D不重合的四个点，AB＝8，BC＝3，CD＝
5，则AD的长为 ．
【分析】由于没有图形，故A，B，C，D四点相对位置不确定，分：点C在B的左侧、右侧，点D在C
的左侧、右侧等，不同情况画图分别求解即可．
【解答】解：I．当点C在B的右侧，点D在C的左侧时，如图：
∵AB＝8，BC＝3，CD＝5，
∴AD＝AB+BC﹣CD＝8+3﹣5＝6，
II．当点C在B的右侧，点D在C的右侧时，如图：
∴AD＝AB+BC﹣CD＝8+3+5＝16，
III．当点C在B的左侧，点D在C的左侧时，如图：
∴AD＝AB﹣BC﹣CD＝8﹣3﹣5＝0，点A、D重合，不合题意，
IV．当点C在B的左侧，点D在C的右侧时，如图：
∴AD＝AB﹣BC+CD＝8﹣3+5＝10，点A、D重合，不合题意，
综上所述：AD的长为6或10或16
故答案为：6或10或16．
5．（2023秋•随县期末）如图，线段 AB的长为a，点C为线段AB的中点，D为线段AB上一点，且
1 11 PD
AD= BD．图中共有 条线段；若P为直线AB上一点，且PA+PB= a，则 的值为
3 10 AB．
【分析】先根据线段的定义写出所有的线段，然后统计条数即可解答，分点 P在AB的延长线上和点P
在BA的延长线上两种情况，分别运用线段的和差关系即可解答．
【解答】解：图中的线段有：AD，AC，AB，DC，DB，CB共6条线段，
故答案为：6；
1
∵点C为线段AB的中点，D为线段AB上一点，且AD= BD，
3
1 1 1 1
∴BC= AB= a，AD= AB= a
2 2 4 4
11
∵PA+PB= a＞a，
10
∴点P在AB的延长线上和点P在BA的延长线，
如图：当点P在AB的延长线上时，则AP＝AB+BP＝a+BP，
11
∵PA+PB= a，
10
11
∴a+BP+PB= a，
10
1
解得：PB= a，
20
1
∴PB= a，
20
1 1 16
∴PD=AB+BP−AD=a+ a− a= a，
20 4 20
16
a
∴PD 20 16 4；
= = =
AB a 20 5
如图：当点P在BA的延长线上时，则BP＝AB+AP＝a+AP，
11
∵PA+PB= a，
1011
∴AP+a+AP= a，
10
1
解得：PA= a，
20
1
∴PA= a，
20
1 1 3
∴PD=PA+AD= a+ a= a，
20 4 10
3
a
∴PD 10 3 ．
= =
AB a 10
4 3
故答案为： 或 ．
5 10
6．（2023秋•安庆期末）如图，AB为一根长为40cm的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点M、N，
分别将AM、BN沿点M、N折叠，点A、B分别落在绳子上的点A′、B′处（绳子无并性，折叠处的长
度忽略不计）．
（1）当点A′与点B′恰好重合时，MN＝ cm．
（2）当A′B′＝10cm时，MN＝ cm．
【分析】（1）由折叠的性质得，AM＝A′M，BN＝B′N，根据当点 A′与点 B′恰好重合时，
1
MN= AB求解即可；
2
（2）分两种情况分别计算即可：当点A′落在点B′的左侧时，当点A′落在点B′的右侧时．
【解答】解：（1）由折叠的性质得，AM＝A′M，BN＝B′N，
1
∴当点A′与点B′恰好重合时，MN=A′M+B′N= AB=20cm，
2
故答案为：20；
（2）当点A′落在点B′的左侧时，如图，
∵AM+A′M+A′B′+B′N+BN＝40cm，A′B′＝10cm，
∴AA′+BB′＝30cm，由折叠的性质得，AM＝A′M，BN＝B′N，
∴A′M+B′N＝15cm，
∴MN＝MA′+A′B′+B′N＝25cm．
当点A′落在点B′的右侧时，如图，
∵AA′+BB′＝AB+A′B′＝40+10＝50（cm），
1 1 1 1
∴AM+BN= AA′+ BB′= (AA′+BB′)= ×50=25(cm)，
2 2 2 2
∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝40﹣25＝15（cm）．
故答案为：25或15．
7．（2023秋•黄冈期末）如图，将一段长为100cm绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽
略不计），使绳子与自身一部分重叠．若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在B'处（点B'始终在点A右
侧），在重合部分B'N上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为 2：
3：5，BN的值可能为 ．
【分析】首先根据线段的比例设出线段的长，再分三种情况分别列出方程可得答案．
【解答】解：设绳子三段的长分别为2x cm、3x cm和5x cm，两个断点分别为F、E，
则2x+3x+5x＝100，
解得x＝10．
①如图，
若AF＝3x，FE＝5x，EB＝2x，
由题意得N为EF的中点，
1
∴NE= EF＝2.5x，
2
∴BN＝2.5x+2x＝4.5x＝45（cm）；
②如图，若AF＝5x，FE＝3x，EB＝2x，
由题意得N为EF的中点，
1
∴NE= EF＝1.5x，
2
∴BN＝1.5x+2x＝3.5x＝35（cm）；
③如图，
若AF＝5x，FE＝2x，EB＝3x，
由题意得N为EF的中点，
1
∴NE= EF＝x，
2
∴BN＝x+3x＝4x＝40（cm）．
故答案为：35cm或40cm或45cm．
【考点6 数轴、线段中的动点压轴题】
1．（2023秋•青山区期末）已知，点O为数轴的原点，点A，B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数
为10，AB＝12，点C是数轴上原点左侧一点．
（1）若BC＝2OA．
①则点B表示的数是 ﹣ 2 ，点C表示的数是 ﹣ 2 2 ；
②点P，Q同时分别从点A、C出发向右运动，若点Q的速度比点P的速度的2倍少3个单位长度，运
动3秒时，点O是线段PQ的中点，求点P的速度．
（2）点P、Q、R同时分别从点A、B、C出发向右运动，点P的速度为1个单位长度/秒，点Q的速度
为3个单位长度/秒，点R的速度为3个单位长度/秒．若从线段QR的右端点到达原点O起，直至线段
2
QR的左端点与点P重叠止，共用时5 秒，请直接写出C点表示的数．
3
【分析】（1）①根据题意求出点B点C即可；
②由点P点Q互为相反数，列出方程即可解答；
（2）分两种情况列出相应的方程，解答即可；【解答】解：（1）①∵A表示的数为10，AB＝12，
∴OB＝2，
∴点B表示的数是﹣2，
∵BC＝2OA＝20，
∴C表示的数是﹣22．
故答案为：﹣2，﹣22；
②设点P运动速度为t，则点Q运动速度为2t﹣3，
由题得，﹣22+3（2t﹣3）+10+3t＝0，
7
解得，t= ，
3
7
故点P的速度为 ；
3
（2）设点C表示的数为x，
当点C在点B左侧时，
17 2 17
由题得，x+2+3× =10+ + ，
3 3 3
8
解得，x=− ；
3
当点C在点B右侧时，
17 x 17
由题得，﹣2﹣x+3× =10− + ，
3 3 3
解得，x＝﹣1．
8
故点C表示的数为− 或﹣1．
3
2．（2023秋•武昌区期末）数轴上点A表示的数是a（a＜0），点B表示的数是b（b＞0），点C是线段
AB的中点．
知识准备：
因为点A表示的数是a（a＜0），点B表示的数是b（b＞0），则OA＝﹣a，OB＝b，所以AB＝OB+OA
＝b+（﹣a）＝b﹣a．
1 1
因为点C是线段AB的中点，则BC= AB= (b−a)．
2 2
那么点C表示的数：1 a+b a+b
①当点C在原点右侧时，如图1，则OC=OB−BC=b− (b−a)= ，点C表示的数为 ．
2 2 2
1 a+b
②当点 C 在原点左侧时，如图 2，则OC=BC−OB= (b−a)−b=− ，点 C 表示的数为
2 2
a+b a+b
−(− )= ．
2 2
a+b
综上，点C表示的数为 ．
2
知识应用：若a＝﹣8，b＝10，如图3．
（1）点C表示的数为 1 ；
（2）线段DE在射线AB上运动，点D在点E的左边，点M是线段AD的中点，点N是线段BE的中
点，DE＝4，求线段MN的长度；
（3）点P，Q为数轴上两动点，动点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时动点
Q从点B出发以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当P，Q两点相遇后，PQ＝9时，动点P变为以
5个单位长度/秒的速度向左匀速运动，动点Q保持原有的速度和方向不变．设运动时间为t秒，在动点
P从点A出发后的整个运动过程中，当PQ＝6时，t＝ 2. 4 或 4. 8 或 6. 9 或 12. 9 ．
【分析】（1）根据中点公式求解；
（2）根据中点公式求解；
（3）根据两点之间的距离求解．
−8+10
【解答】解：（1） =1，
2
故答案为：1；
（2）设点D表示的数为a，则点E表示的数为：a+4，
−8+a 10+a+4 14+a
∴点M表示的数为 ，点N表示的数为 = ，
2 2 2
14+a −8+a
∴MN= − =11，
2 2
答：线段MN的长度为11；（3）当P，Q两点相遇后，PQ＝9时，（﹣8+2t）﹣（10﹣3t）＝9，
解得：t＝5.4，
当t＜5.4时，PQ＝6，即（﹣8+2t）﹣（10﹣3t）||＝6，
解得：t＝2.4或t＝4.8，
设经过5.4秒后的时间为x，
则|（﹣6.2﹣3x）﹣（2.8﹣5x）|＝6，
解得：x＝1.5或x＝7.5，
∴x+5.4的值为：6.9或12.9，
故答案为：2.4或4.8或6.9或12.9．
3．（2023秋•硚口区期末）A，B在数轴上，分别表示数m，n，且|m+17|+（n﹣15）2＝0．
（1）直接写出m的值是 ﹣ 1 7 ，n的值是 1 5 ，线段AB的长度是 3 2 ；
（2）如图1，PQ是一条定长的线段（点P在点Q的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过
程中，线段PQ完全经过点A（即点A在线段PQ上的这段过程）所需的时间为4秒，线段PQ完全经过
线段AB（即线段PQ与线段AB有公共点的这段过程）所需的时间为20秒．
①求线段PQ的长；
②直接写出线段PQ运动的速度为 2 个单位长度/秒；
③如图2，当动线段PQ运动到Q点与A点重合时，与此同时，点C从P点出发，在动线段PQ上，以
1个单位长度/秒的速度向Q点运动，遇到Q点后，点C立即原速返回，向P点运动，遇到P点后也立
即原速返回，向Q点运动．设动线段PQ，以及点C同时运动的时间为t秒（0≤t≤20），当4PC﹣QB
＝4时，求t的值．
【分析】（1）根据题意，可知m+17＝0，n﹣15＝0，即可算出m与n的值，线段AB用两点间的距离公
式即可解出；
（2）①设PQ的长度为x，根据题目，我们知道x+32＝2x，解这个方程得x＝32，所以PQ的长度是
32；
②根据题目直接计算即可；
③当t＝0时，点P对应的数是﹣17﹣8＝﹣25，本小题分三种情况讨论即可．
【解答】解：（1）∵|m+17|+（n﹣15）2＝0，
∴m＝﹣17，n＝15，∴AB＝15﹣（﹣17）＝32，
故答案为：﹣17，15，32．
（2）①设PQ的长度为m，
m 32+m
根据题意得： = ，
4 20
解得：m＝8，
∴线段PQ的长是8个单位长度；
②2；
③当t＝0时，点P对应的数是﹣17﹣8＝﹣25，本小题分三种情况讨论：
（Ⅰ）当0≤t≤8时，
点C对应的数是﹣25+（2+1）t＝3t﹣25，点P对应的数是﹣25+2t，
点Q对应的数是﹣17+2t，点B对应的数是15，
∴PC＝t，BQ＝32﹣2t，
∵4t﹣（32﹣2t）＝4，
解得：t＝6；
（Ⅱ）当8＜t≤16时，
点C对应的数是﹣1+（2﹣1）（t﹣8）＝t﹣9，点P对应的数是﹣25+2t，
点Q对应的数是﹣17+2t，点B对应的数是15，
∴PC＝16﹣t，BQ＝32﹣2t，
∵4PC﹣QB＝4，
∴4（16﹣t）﹣（32﹣2t）＝4，
解得：t＝14；
（Ⅲ）当16＜t≤20时，
点C对应的数是7+（2+1）（t﹣16）＝3t﹣41，点P对应的数是﹣25+2t，
点Q对应的数是﹣17+2t，点B对应的数是15，
∴PC＝t﹣16，BQ＝2t﹣32，
∵4PC﹣QB＝4，
∴4（t﹣16）﹣（2t﹣32）＝4，
解得：t＝18；
综上所述：t的值是6，14，18．
4．（2023秋•鄂州期末）情境背景我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思
想方法．A，B是数轴上的两点（点B在点A的右侧），点A表示的数为﹣15，A，B两点的距离AB是
点A到原点O的距离OA的4倍，即AB＝4OA．
特例初探
（1）在情境背景下，数轴上点B表示的数是 4 5 ，点C为数轴上的动点，当AC+BC＝72时，可知
点C表示的数为 ﹣ 2 1 或 5 1 ．
能力提升
（2）动点P，Q分别从点B和A同时出发向左匀速运动，点P，Q的速度分别为每秒7个单位长度和每
秒3个单位长度．
①当点P与点Q之间的距离为4个单位长度时，求此时点P和点Q在数轴上所表示的数；
②设运动时间为t，点M为数轴上P、Q两点之间的动点，且点M始终满足PM：MQ＝1：3，点M在
3
运动到点O的过程中， PQ﹣OM的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由．
2
【分析】（1）根据两点间的距离公式求出点B表示的数，再分点C在点A的左侧或点C在点B的右侧
两种情况，列方程即可求解；
（2）①设运动时间为x秒，分若点P与点Q相遇前相距4个单位长度和若点P与点Q相遇后相距4个
单位长度两种情况，根据题意列方程即可得到结果；
②设点M表示的数为y，根据PM：MQ＝1：3，得y＝30﹣6t，从而表示出PQ和OM，即可证明结
论．
【解答】解：（1）∵点A表示的数为﹣15，
∴OA＝15，
∵AB＝4OA，
∴AB＝60，
∵点B在点A的右侧，点A表示的数为﹣15，AB＝60，
∴点B表示的数为﹣15+60＝45，
设点C表示的数为x，
∵AB＝60＜72，
∴点C在点A的左侧或在点B的右侧，
当点C在点A的左侧，得AC＝﹣15﹣x，BC＝45﹣x，
∵AC+BC＝72，
∴（﹣15﹣x）+（45﹣x）＝72，解得x＝﹣21，
∴点C表示的数为﹣21；
当点C在点B的右侧时，得AC＝x+15，BC＝x﹣45，
∵AC+BC＝72，
∴（x+15）+（x﹣45）＝72，
解得x＝51；
综上所述，当AC+BC＝72时，可知点C表示的数为﹣21或51；
故答案为45，﹣21或51；
（2）①设运动时间为x秒，
若点P与点Q相遇前相距4个单位长度，
依题意得，45﹣7x﹣（﹣15﹣3x）＝4，
解得x＝14，
则点P表示的数为﹣53，点Q表示的数为﹣57；
若点P与点Q相遇后相距4个单位长度，
依题意得，﹣15﹣3x﹣（45﹣7x）＝4，
解得x＝16，
则点P表示的数为﹣67，点Q表示的数为﹣63；
综上所述，若点P与点Q相遇前相距4个单位长度，点P表示的数为﹣53，点Q表示的数为﹣57；若
点P与点Q相遇后相距4个单位长度，点P表示的数为﹣67，点Q表示的数为﹣63；
3
② PQ−OM的值不发生变化，理由如下：
2
设点M表示的数为y，
依题意得，y﹣（﹣15﹣3t）＝3（45﹣7t﹣y），
解得y＝30﹣6t，
∵PQ＝（45﹣7t）﹣（﹣15﹣3t）＝60﹣4t，
3 3
∴ PQ−OM= (60−4t)−(30−6t)= 60，
2 2
3
∴ PQ−OM的值不发生变化，值为60．
2
5．（2024•济南模拟）【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的
规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点a+b
表示的数为 ．
2
【问题情境】
如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿
数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t
秒（t＞0）．
【综合运用】
（1）填空：用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ﹣ 2+ 3 t ；点Q表示的数为 8 ﹣ 2 t ；
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
1
（3）求当t为何值时，PQ= AB；
2
（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若
变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
【分析】（1）根据题意直接可得t秒后，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t；
（2）根据题意得﹣2+3t＝8﹣2t，即可解得t＝2，故当t为2秒时，P、Q两点相遇，相遇点所表示的数
为4；
1 1
（3）由PQ= AB得|﹣2+3t﹣（8﹣2t）|= ×10，即可解得t＝1或t＝3；
2 2
3t 3t
（4）由点M为PA的中点，点N为PB的中点，可知M表示的数是 −2，N表示的数是3+ ，即得
2 2
3t 3t
MN＝3+ −（ −2）＝5，故线段MN的长度为5，不发生变化．
2 2
【解答】解：（1）根据题意，t秒后，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，
故答案为：﹣2+3t，8﹣2t；
（2）根据题意得：﹣2+3t＝8﹣2t，
解得t＝2，
此时﹣2+3×2＝4，∴当t为2时，P、Q两点相遇，相遇点所表示的数为4；
（3）∵点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，
∴AB＝8﹣（﹣2）＝10，
1
∵PQ= AB，
2
1
∴|﹣2+3t﹣（8﹣2t）|= ×10，
2
解得t＝1或t＝3，
1
∴t为1或3时，PQ= AB；
2
（4）线段MN的长度不发生变化，理由如下：
∵点M为PA的中点，点N为PB的中点，
3t −2+3t+8 3t
∴M表示的数是 −2，N表示的数是 =3+ ，
2 2 2
3t 3t
∴MN＝3+ −（ −2）＝5，
2 2
∴线段MN的长度为5，不发生变化．
6．（2023秋•荆门期末）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣2，b，
8．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.2cm，点
C对齐刻度6.0cm．我们把数轴上点A到点C的距离表示为AC，同理，A到点B的距离表示为AB．
（1）在图1的数轴上，AC＝ 10 个长度单位；在图2中刻度尺上，AC＝ 6 cm；数轴上的1个
5
长度单位对应刻度尺上的 0. 6 cm；刻度尺上的1cm对应数轴上的 个长度单位；
3
（2）在数轴上点B所对应的数为b，若点Q是数轴上一点，且满足CQ＝2AB，请通过计算，求b的值
及点Q所表示的数；
（3）点M，N分别从B，C出发，同时向右匀速运动，点M的运动速度为5个单位长度/秒，点N的速
度为3个单位长度/秒，设运动的时间为t秒（t＞0）．在M，N运动过程中，若AM﹣k•MN的值不会随
t的变化而改变，请直接写出符合条件的k的值．【分析】（1）AC等于A、C两点对应的数相减的绝对值，观察图，可得AC，用AC在刻度尺上的数值
除以数轴上AC的长度单位，可得数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的 多少厘米，1厘米除以数轴上
的1个长度单位对应刻度尺上的厘米，即刻度尺上的1cm对应数轴上的多少长度单位；
（2）A到B在刻度尺上是1.2厘米，对应在数轴上有两个长度单位，可得 b的值，由于CQ＝2AB，可
以列式求得点Q所表示的数；
（3）根据AM﹣k•MN列出式子，AM﹣k•MN的值不会随t的变化而改变，所以t的系数为0，可求得k
的值．
【解答】解：（1）AC＝|8﹣（﹣2）|＝10，
刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，点C对齐刻度6.0cm，
∴在图2中刻度尺上，AC＝6cm，
6÷10＝0.6cm，
数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的0.6cm，
5
1÷0.6= ，
3
5
刻度尺上的1cm对应数轴上的 个单位长度，
3
5
故答案为：10，6，0.6， ；
3
（2）∵点B对齐刻度1.2cm，
∴数轴上点B所对应的数为b，b＝﹣2+1.2÷0.6＝0，
∵CQ＝2AB，AB＝|﹣2﹣0|＝2，
设点Q在数轴上对应的点为x，则CQ＝|8﹣x|，
∴|8﹣x|＝4，解得：x＝4或x＝12，
点Q所表示的数为4或12，
∴b的值是0，点Q所表示的数为4或12；（3）由题意得，点M追上点N前，即t＜4，
AM＝AB+BM＝2+5t，k•MN＝k（BC+CN﹣BM）＝k（8+3t﹣5t）＝k（8﹣2t），
AM﹣k•MN＝2+5t﹣k（8﹣2t）＝2﹣8k+（5+2k）t，
∵AM﹣k•MN的值不会随t的变化而改变，
∴5+2k＝0，
5
解得：k=− ，
2
点M追上点N后，即t＞4，
AM＝AB+BM＝2+5t，k•MN＝k（BM﹣CN﹣BC）＝k（5t﹣3t﹣8）＝k（2t﹣8），
AM﹣k•MN＝2+5t﹣k（2t﹣8）＝2+8k+（5﹣2k）t，
∵AM﹣k•MN的值不会随t的变化而改变，
∴5﹣2k＝0，
5
解得：k= ，
2
7．（2023秋•恩平市期末）已知多项式3m3n2﹣8mn3﹣2中，多项式的项数为a，四次项的系数为b，常数
项为c，且a，b，c的值分别是点A、B、C在数轴上对应的数，点P从B点出发，沿数轴向右以1单
位/s的速度匀速运动，点Q从点A出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发．
（1）求a（b﹣c）的值；
（2）若点Q运动速度为3单位/s，经过多长时间P、Q两点相距5？
AP−OC
（3）O是数轴上的原点，当点P运动在原点左侧上时，分别取OP和AC的中点EF，试问 的
EF
值是否变化，若变化，求出其范围；若不变，求出其值．
【分析】（1）根据题意可得a＝3，b＝﹣8，c＝﹣2即可求解；
（2）设经过t秒P．Q两点相距5，则BP＝t，AQ＝3t，然后分两种情况讨论：当点在点Q的左侧时和
当点P在点Q的右侧时，即可求解；
m 1 1
（3）设OP＝m，则AP＝3+m，再根据中点的定义，可得OE= ，OF= ，从而得到EF= （m+1），
2 2 2
即可求解．
【解答】解：（1）∵多项式3m3n2﹣8mn3﹣2中，多项式的项数为a，四次项的系数为b，常数项为e，
∴a＝3，b＝﹣8．c＝﹣2，
∴a（b﹣c）
＝3×（﹣8+2）＝3×（﹣6）
＝﹣18；
（2）设经过t秒P、Q两点相距5，
根据题意得：BP＝t，AQ＝3t，
当点在点Q的左侧，BP+PQ+AQ＝AB，
即t+5+3t＝3﹣（﹣8），
解得：t＝1.5，
当点在点Q的右侧时，BP+AQ﹣PQ＝AB，
即t+3t﹣5＝3﹣（﹣8），
解得：t＝4．
综上所述，经过1.5秒或4秒P、Q两点相距5；
（3）设OP＝m，
∴AP＝3+m，
∵点E为OP的中点，
m
∴OE= ，
2
∵A对应的数为3，C对应的数为﹣2，AC的中点为F，
1 5
∴AF＝CF= AC= ，
2 2
5 1
∴点F对应的数为：﹣2+ = ，OC＝2，
2 2
1
∴OF= ，
2
m 1 1
∴EF＝OE+OF= + = （m+1），
2 2 2
AP−OC 3+m−2 m+1
= = =
∴ EF 1 1 2，
(m+1) (m+1)
2 2
AP−OC
∴ 的值是不变，为2．
EF
【考点7 与角度有关的计算压轴题】
1．（2023秋•武昌区期末）钟表是日常生活中的计时工具，我们观察钟表可以发现钟表中有许多数学内
容．例如，我们可以思考在3时到5时之间，钟表上的时针与分针的夹角问题．从3时开始到5时之间，当经过t分钟后，钟表上的时针与分针刚好成110°的角，则t的值为 ．
【分析】时针t分钟转0.5°t，分针t分钟转6°t，3时时针与分针夹角为90°，分三种情况：①从3时开
始，不到4时，则6°t﹣90°﹣0.5°t＝110°，②4时后，若分针还没追上时针，则6°t﹣90°﹣0.5°t＝360°
﹣110°，③4时后，若分针已经追上时针，则6°t﹣90°﹣0.5°t＝360°+110°，分别解方程可得答案．
【解答】解：时针t分钟转0.5°t，分针t分钟转6°t，3时时针与分针夹角为90°，
①从3时开始，不到4时，则6°t﹣90°﹣0.5°t＝110°，
400
解得t= ；
11
②4时后，若分针还没追上时针，则6°t﹣90°﹣0.5°t＝360°﹣110°，
680
解得t= ；
11
③4时后，若分针已经追上时针，则6°t﹣90°﹣0.5°t＝360°+110°，
1120
解得t= ；
11
400 680 1120
综上所述，t的值为 或 或 ；
11 11 11
400 680 1120
故答案为： 或 或 ．
11 11 11
2．（2023秋•汉川市期末）钟表是我们日常生活中常见的计时工具，善于观察的小亮偶然发现在 9时到10
时之间的某一时刻时，时针与分针恰好重合了，则该时刻为9时 分．（要求取准确值）
【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，时钟的时针每小时转过的角
是一份，即30°；分针每分钟转过的角是分，即×30°＝6°；九点钟，时针和分针呈270°，时针1分钟走
0.5°，分针一分钟走6°设九点x分，重合，则有0.5x+270＝6x，即可解答．
【解答】解：九点钟，时针和分针呈270°，时针1分钟走0.5°，分针一分钟走6°，
设九点x分重合，则有：
0.5x+270＝6x．1
x＝49 ，
11
1
故答案为：49 ．
11
3．（2023秋•东西湖区期末）射线OC为锐角∠AOB的三等分线，射线OD平分∠AOC，此时图中所有锐
角度数之和为190°，则∠AOB的度数为 °．
1 2
【分析】根据射线OC是∠AOB的三等分线，则需要分∠AOC= ∠AOB以及∠AOC= ∠AOB，两种情
3 3
况进行解决，每种情况都是6个锐角，然后设∠AOD的度数为x，分别表示这6个角，再求和列出方程
求解即可解决．
1
【解答】解：①当∠AOC= ∠AOB时，如图①，图中锐角有：∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠DOC，
3
∠DOB，∠COB，共6个．
设∠AOD＝x，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOC＝2x，∠DOC＝x，∠AOB＝6x，∠BOC＝4x，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝5x，
∴∠AOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC+∠DOB+∠COB＝x+2x+6x+x+5x+4x＝19x＝190°，
∴x＝10°，
∴∠AOB＝6x＝60°．
2
②当∠AOC= ∠AOB时，如图②，图中锐角有：∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠DOC，∠DOB，
3
∠COB，共6个．
设∠AOD＝x，∵OD平分∠AOC，
∴∠AOC＝2x，∠DOC＝x，∠AOB＝3x，∠BOC＝x，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝2x，
∴∠AOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC+∠DOB+∠COB＝x+2x+3x+x+2x+x＝10x＝190°，
∴x＝19°，
∴∠AOB＝3x＝57°．
综合以上两种情况，∠AOB＝60°或57°．
故本题答案为60或57．
4．（2023秋•鄂州期末）射线OA，OB，OC，OD是同一平面内互不重合的四条射线，∠AOB＝60°，
∠AOD＝50°，∠BOC＝10°，则∠COD的度数为 ．
【分析】分情况讨论：若∠AOD在∠AOB外部，则可分∠BOC在∠AOB外部和∠BOC在∠AOB内部两
种情况；若∠BOC在∠AOB外部，同理可分∠BOC在∠AOB内部两种情况．分别画出对应图形，根据
角的和差关系计算即可．
【解答】解：（1）当∠AOD在∠AOB外部时，
①如图，当∠BOC在∠AOB外部时，
∵∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°，
∴∠COD＝∠BOC+∠AOB+∠AOD＝120°；
②如图，当∠BOC在∠AOB内部时，
∵∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝50°，
∴∠COD＝∠AOD+∠AOC＝100°．
（2）当∠AOD在∠AOB内部时，
①如图，当∠BOC在∠AOB外部时，∵∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝10°，
∴∠COD＝∠BOD+∠BOC＝20°；
②当∠BOC在∠AOB内部时，
此时，射线OC与OD重合，不合题意．
综上，∠COD＝120°或100°或20°．
故答案为：120°或100°或20°．
5．（2024春•望花区期末）如图，已知△AOB＝35°，OD⊥OB，以O为顶点作射线OC，使∠AOC＝
2∠AOB，则∠COD的度数为 ．（结果在0°∼180°之间）
【分析】根据题意，分两种情况：（1）OC在直线OA的下方；（2）OC在OD、OB之间．根据垂直定
义，周角定义，角的和差计算即可．
【解答】解：（1）如图，当OC在直线OA的下方时，
∵∠AOB＝35°，∠AOC＝2∠AOB，
∴∠AOC＝2×35°＝70°．
∵OD⊥OB，
∴∠BOD＝90°．∵∠COD+∠BOD+∠AOB+∠AOC＝360°，
∴∠COD＝360°﹣35°﹣70°﹣90°
＝325°﹣70°﹣90°
＝255°﹣90°
＝165°；
（2）如图，当OC在OD、OB之间时，
∵∠AOB＝35°，∠AOC＝2∠AOB，
∴∠BOC＝∠AOB＝35°．
∵OD⊥OB，
∴∠BOD＝90°，
∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC
＝90°﹣35°
＝55°．
故答案为：165°或55°．
6．（2023秋•随县期末）新定义：如果两个角的和为120°，我们称这两个角互为“兄弟角”．已知∠AOB
＝ （15°＜ ＜45°），∠AOB与∠AOC互为“兄弟角”，∠AOB与∠AOD互余．
（α1）如图，α当点B在∠AOC的内部，且点B，点D在OA的同侧时：
①若∠BOC＝60°，则 ＝ °．
1 α
②若∠AOE= ∠AOD，射线OM在∠AOC内部，且满足∠COM＝3∠AOM，求∠EOM的度数（用
3
含 的式子表示）．
（2α）直接写出∠COD所有可能的度数： （可用含 的式子表示）．
α【分析】（1）①由“兄弟角”的定义可得∠AOC＝120°﹣ ，再根据角的和差可得∠AOB＝60°﹣ ，
α α
1
然后得到方程60°﹣ ＝ 即可解答；②先说明∠AOD＝90°﹣ ，∠AOE=30°− α，然后化成草图，
3
α α α
再根据题意列方程求解即可；
（2）由余角的定义可得∠AOD＝90°﹣ ，再由（1）可得∠AOC＝120°﹣ ，然后根据角的和差即可解
答． α α
【解答】解：（1）①∵∠AOB与∠AOC互为“兄弟角”，∠AOB＝ （15°＜ ＜45°），
∴∠AOB+∠AOC＝120°，即∠AOC＝120°﹣ ， α α
∵∠AOC＝∠BOC+∠AOB， α
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝120°﹣ ﹣60°＝60°﹣ ，
∵∠AOB＝ （15°＜ ＜45°）， α α
∴60°﹣ ＝α， α
解得： α＝3α0°．
故答案α为：30．
②∵∠AOB与∠AOD互余，
∴∠AOD＝90°﹣∠AOB＝90°﹣ ，
1 α
∵∠AOE= ∠AOD，
3
1
∴∠AOE=30°− α，
3
如图：
1
∴∠AOM＝∠AOE+∠EOM，∠AOC＝120°﹣ ，∠AOE=30°− α，
3
α1 1 2
∴∠AOM=30°− α+∠EOM，∠COM=120°−α−∠EOM−30°+ α=90°− α−∠EOM
3 3 3
，
∵∠COM＝3∠AOM，
2 1
∴90°− α−∠EOM=3(30°− α+∠EOM)，
3 3
1
解得：∠EOM= α．
12
（2）
∵∠AOB与∠AOD互余，∠AOB＝ （15°＜ ＜45°），
∴∠AOD＝90°﹣ ， α α
由（1）可得∠AOαC＝120°﹣ ，
∴当OD在OA上面时，∠COαD＝∠AOC﹣∠AOD＝30°，
当OD在OA下面时，
∠COD＝∠AOC+∠AOD＝90°﹣ +120°﹣ ＝210°﹣2 ．
故答案为：30°或210°﹣2 ． α α α
7．（2023秋•江海区期末）α新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成的两个角，其中一
个角是另一个角的 n 倍，那么我们称射线 OP 为∠MON 的 n 倍分线，例如，如图 1，∠MOP＝
4∠NOP，则OP为∠MON的4倍分线．∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的4倍分线．
（1）应用：若∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝ 4 0 °；
（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线．
①若OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）已知，
∠AOC＝120°，则∠POQ＝ 13 5 °；
②在①的条件下，若∠AOC＝ ，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若
发生变化，请说明理由． α
③如图3，已知∠MON＝90°，且OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，请直接写出∠AOC的度数．
【分析】（1）根据题意可得：∠BOP＝2∠AOP，∠BOP+∠AOP＝60°，进而得出答案；
（2）①由题意可得：∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ，根据∠AOC＝120°，得出∠AOP＝90°，
∠BOQ＝45°，再求解即可；
3 3
②不变，根据题意得出∠COP= ∠AOC，∠COQ= ∠BOC，再代入即可得出答案；
4 4
③设∠MOC＝ ，则∠NOC＝90°﹣ ，根据题意得出∠COM＝3∠AOM，∠BON＝3∠CON，列出方程
α α
1
α+α+90°−α+3(90°−α)=180°，求得∠MOC＝67.5°，∠MOA＝22.5°，进而得出答案．
3
【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，
∴∠BOP＝2∠AOP，∠BOP+∠AOP＝60°，
∴∠AOP＝20°，
∴∠BOP＝40°，
故答案为：40；
（2）①∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB），
∴∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ，
∵∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOP＝30°，∠BOQ＝15°，
∴∠COP＝90°，∠COQ＝45°，
∴∠POQ＝∠POC+∠COQ＝135°，
故答案为：135；
②不变，
∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB，
3 3
∴∠COP= ∠AOC，∠COQ= ∠BOC，
4 4
3 3 3 3
∴∠ POQ ＝∠ COP+∠COQ ， = ∠AOC+ ∠BOC， = (∠AOC+∠BOC)， = ∠AOB，
4 4 4 4
3
= ×180°，＝135°；
4
③设∠MOC＝ ，
∵∠MON＝90°α，∴∠NOC＝90°﹣ ，
∵OM，ON所在射α线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，
∴∠COM＝3∠AOM，∠BON＝3∠CON，
∵∠AOM+∠COM+∠CON+∠BON＝180°，
1
∴ α+α+90°−α+3(90°−α)=180°，
3
∴ ＝67.5°，
∴α∠MOC＝67.5°，∠MOA＝22.5°，
∴∠AOC＝90°．
【考点8 角的旋转压轴题】
1．（2023秋•洪山区期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠COD：∠AOB＝1：7，∠COD是∠AOB补角
1
的 （本题出现的角均指不大于平角的角）．
2
（1）如图1，求∠COD的值；
（2）在（1）的条件下，OC平分∠AOD，射线OM满足∠MOC＝4∠MOB，求∠MOB的大小；
（3）如图2，若∠AOC＝30°，射线OC绕点O以每秒30°的速度顺时针旋转，同时射线OD以每秒10°
的速度绕点O顺时针旋转，当射线OC与OB重合后，再以每秒5°的速度绕点O逆时针旋转．设射线
35
OD，OC运动的时间为t秒（0＜t≤9），当|∠BOC﹣∠BOD|＝50°时，请直接写出t的值 3.5 或
9
．
1
【分析】（1）根据“∠COD：∠AOB＝1：7，∠COD是∠AOB补角的 ”列方程求解；
2
（2）根据“∠MOC＝4∠MOB及角的平分线的性质”列方程求解；
（3）根据“|∠BOC﹣∠BOD|＝50°”列方程求解．
【解答】解：（1）设∠COD＝x°，则∠AOB＝7x°，
1
则x= （180﹣7x），
2解得：x＝20，
∴∠COD＝20°；
（2）设∠MOB＝y°，
当OM在∠BOC内部时，有y+4y＝140﹣20，
解得：y＝24，
当OM在∠BOC外部时，有y+120＝4y或y﹣120＝4y，
解得：y＝40或y＝﹣40（不合题意，舍去），
∴∠MOB＝24°或40°；
11
（3）当OC转到与OB重合时需要的时间为：（140﹣30）÷30= （秒），
3
11
当0≤t≤ 时，∠BOC＝140°﹣30°﹣30°t＝110°﹣30°t，∠BOD＝140°﹣30°﹣20°﹣10°t＝90°﹣10°t，
3
∵|∠BOC﹣∠BOD|＝50°，
∴|（110°﹣30°t）﹣（90°﹣10°t）|＝50°，
解得：t＝3.5或t＝﹣1.5（不合题意，舍去），
11 11
当t＞ 时，设又经过m秒，∠BOC＝5°m，∠BOD＝90°﹣10°（ +m），
3 3
∵|∠BOC﹣∠BOD|＝50°，
11
∴|5°m﹣[90°﹣10°（ +m）]|＝50°，
3
2 62
解得：m= 或m= ，
9 9
11
∵t＝m+ ，
3
35 95
∴t的值为： 或 （不合题意，舍去），
9 9
35
故答案为：3.5或 ．
9
2．（2023秋•江岸区期末）若∠A+2∠B＝90°，我们则称∠B是∠A的“绝配角”．例如：若∠1＝10°，
∠2＝40°，则∠2是∠1的“绝配角”，请注意：此时∠1不是∠2的“绝配角”．（1）如图1，已知∠AOB＝60°，在∠AOB内存在一条射线OC，使得∠AOC是∠BOC的“绝配角”，
此时∠AOC＝ 30 ° ．（直接填写答案）
（2）如图2，已知∠AOB＝60°，若平面内存在射线OC、OD（OD在直线OB的上方），使得∠AOC是
∠BOC的“绝配角”，∠BOC与∠BOD互补，求∠AOD大小．
（3）如图3，若∠AOB＝10°，射线OC从OA出发绕点O以每秒20°的速度逆时针旋转，射线OD绕点
O从OB出发以每秒10°的速度顺时针旋转，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，运动时间为t秒（0＜
t≤20）．
①当0＜t＜17时，∠AOB是∠MON的“绝配角”，求出此时t的值．
56
②当17＜t≤20时，t＝ 时，∠AOB是∠MON的“绝配角”（直接填写答案）．
3
【分析】（1）根据“绝配角”的定义，∠AOC是∠BOC的“绝配角”，那么2∠AOC+∠BOC＝90°，
把相关数值代入计算即可；
（2）根据射线OC可能在∠AOB内部，射线OA上方，射线OB下方，分三种情况得到∠AOC的度数，
然后根据∠BOC与∠BOD互补，得到∠BOD的度数，进而求得∠AOD大小；
（3）∠AOB是∠MON的“绝配角”，那么2∠AOB+∠MON＝90°，已知∠AOB的度数，即可求得
∠MON的度数；
①当0＜t＜17时，可分当OC未转够180°以及超过180°，而未到340°两种情况，根据∠MON的度数求
解即可；
②当17＜t≤20时，若t＝20，20×20°＝400°，射线OC旋转超过360°，20×10°＝200°，OD旋转超过
180°，根据∠MON的度数求解即可．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，∠AOC是∠BOC的“绝配角”，
∴2∠AOC+∠BOC＝90°．
2∠AOC+（60°﹣∠AOC）＝90°，
∠AOC＝30°．
（2）①射线OC在∠AOB内部．由（1）得∠AOC＝30°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝60°﹣30°＝30°．
∵∠BOC与∠BOD互补，
∴∠BOD＝180°﹣30°＝150°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝150°﹣60°＝90°．
②射线OC在射线OA上方．
∵∠AOB＝60°，∠AOC是∠BOC的“绝配角”，
∴2∠AOC+∠BOC＝90°．
2∠AOC+（60°+∠AOC）＝90°，
∠AOC＝10°．
∵∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝60°+10°＝70°．
∵∠BOC与∠BOD互补，
∴∠BOD＝180°﹣70°＝110°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝110°﹣60°＝50°．
③射线OC在射线OB下方．∵∠AOB＝60°，∠AOC是∠BOC的“绝配角”，
∴2∠AOC+∠BOC＝90°．
2∠AOC+（∠AOC﹣60°）＝90°，
∴∠AOC＝50°．
∵∠AOC＜∠AOB，
∴OC在∠AOB的内部，不符合题意，舍去．
答：∠AOD大小是90°或50°．
（3）∵∠AOB＝10°，∠AOB是∠MON的“绝配角”，
∴2∠AOB+∠MON＝90°，
20°+∠MON＝90°，
∠MON＝70°．
①Ⅰ、由题意得：∠AOC＝20t°，∠BOD＝10t°．
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠AOM＝10t°，∠BON＝5t°．
当OC未转够180°，即0＜t＜9时，
如图：∠AOM+∠AOB+∠BON＝70°．
10t+10+5t＝70，
15t＝60，t＝4．
Ⅱ、当OC旋转超过180°，即9≤t＜17时．
由题意得：OC转了20t°，∠BOD＝10t°．
∴∠AOC＝（360﹣20t）°
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
1
∴∠AOM= ∠AOC＝（180﹣10t）°，∠BON＝5t°．
2
如图：∠AON﹣∠AOM＝∠MON．
∴（∠AOB+∠BON）﹣∠AOM＝70°．
∴（10+5t）﹣（180﹣10t）＝70，
10+5t﹣180+10t＝70，
15t＝240，
t＝16．
答：t的值为4或16．
②当17＜t≤20时，若t＝20，20×20°＝400°，射线OC旋转超过360°，20×10°＝200°，OD旋转超过
180°．
OC转了20t°，OD转了10t°．
∴∠BOD＝（360﹣10t）°，∠AOC＝（20t﹣360）°．
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，1 1
∴∠BON= ∠BOD＝（180﹣5t）°，∠AOM= ∠AOC＝（10t﹣180）°．
2 2
∵∠BON﹣AOM﹣∠AOB＝∠MON，
∴（180﹣5t）﹣（10t﹣180）﹣10＝70．
280＝15t
56
t= ．
3
56
故答案为： ．
3
3．（2023秋•东西湖区期末）已知∠AOB＝40°．
1
（1）如图1，OC在∠AOB的内部，且∠AOC= ∠BOC，则∠BOC＝ 30 ° ；
3
（2）如图2，∠AOC＝20°，OM在∠AOB的内部，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，求
4∠AON+∠COM的值；
（3）如图3，∠AOC＝20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结
束，在旋转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，当t在某个范围
1
内时，∠AON− ∠BOM会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均大于0°
4
且不超过180°）．
【分析】（1）根据角的数量关系求出∠BOC与∠AOB的关系，从而求得∠BOC的度数；
（2）设∠CON＝x°，根据角之间的数量关系表示出∠AON和∠COM，相加求和即可；
（3）设∠CON＝x°，根据角之间的数量关系表示出∠AON和∠BOM，得出代数式从而得解．
1
【解答】解：（1）∵∠AOC= ∠BOC，∠AOB＝∠AOC+∠BOC，
3
4
∴∠AOB= ∠BOC，
3
∵∠AOB＝40°，∴∠BOC＝30°；
故答案为：30°；
（2）设∠CON＝x°，
∵3∠CON＝∠NOM，∠CON+∠NOM＝∠COM，
∴∠COM＝4∠CON＝4x°，
∵∠CON+∠AON＝∠AOC＝20°，
∴∠AON＝（20﹣x）°，
∴4∠AON+∠COM＝80°﹣4x+4x＝80°；
（3）当∠BOM＝180°时，t＝180÷5＝36s；
当∠COM＝180°时，t＝（180+20+40）÷5＝48s；
当∠AON＝180°时，∠CON＝180°﹣20°＝160°，此时，∠MOC＞180°，
∴ON不在左侧，即∠AON≠180°；
当ON和OA重合时，∠AOM＝3∠AOC＝60°，∠BOM＝20°，t＝（360﹣20）÷5＝68s；
当OC和OM重合时，t＝（20+40）÷5＝12s；
①当0≤t≤12时，∠BOM＝5t°，∠COM＝（60﹣5t）°，
1 5
∴∠CON= ∠COM＝（15− t）°，
4 4
5
∴∠AON＝∠AOC﹣∠CON＝（ t+5）°，
4
1 5 5
∴∠AON− ∠BOM= t+5− t＝5°，为定值；
4 4 4
②当12＜t≤36时，∠BOM＝5t°，∠COM＝（5t﹣60）°，
5
∴∠CON＝（ t﹣15）°，
4
5
∴∠AON＝∠AOC+∠CON＝（ t+5）°，
4
1 5 5
∴∠AON− ∠BOM= t+5− t＝5°，为定值；
4 4 4
③当36≤t≤48时，∠BOM＝（360﹣5t）°，∠COM＝（5t﹣60）°，
5
∴∠CON＝（ t﹣15）°，
45
∴∠AON＝∠AOC+∠CON＝（ t+5）°，
4
1 5 5 5
∴∠AON− ∠BOM= t+5﹣450+ t= t﹣445，不是定值；
4 4 4 2
④当48＜t＜68时，∠BOM＝（360﹣5t）°，∠COM＝∠BOM+60°＝（420﹣5t）°，
∴∠CON＝（105﹣1.25t）°，
∴∠AON＝∠CON﹣∠AOC＝（85﹣1.25t）°，
1
∴∠AON− ∠BOM＝85﹣1.25t﹣90+1.25t＝5°，为定值；
4
⑤当68＜t＜72时，∠BOM＝（360﹣5t）°，∠COM＝∠BOM+60°＝（420﹣5t）°，
∴∠CON＝（105﹣1.25t）°，
∴∠AON＝∠AOC﹣∠CON＝（1.25t﹣85）°，
1
∴∠AON− ∠BOM＝1.25t﹣85﹣90+1.25t＝2.5t﹣175，不是定值；
4
1
综上所述，当0＜t≤36或48＜t＜68时，∠AON− ∠BOM会为定值5°．
4
4．（2023秋•云梦县期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠AOB＝120°，∠COD＝20°．（本题中研究的
角的度数均小于180°）
（1）如图1，求∠AOD+∠COB的大小；
（2）如图2，OM平分∠COB，ON平分∠AOD，求∠NOM的大小．
（3）如图3，若∠AOC＝30°，射线OC、OD同时绕点O旋转，其中射线OC先以每秒10°的速度顺时
针旋转，当与射线OB重合后，再以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转；射线OD始终以每秒20°的速度
绕点O顺时针旋转．设射线OC、OD运动的时间是t秒（0＜t≤15），当∠COD＝80°时，直接写出t的
值．
【分析】（1）根据∠AOD+∠COB＝∠AOB+∠COD，计算求解即可；
1 1
（ 2 ） 由 角 平 分 线 可 知 ， ∠AON= ∠AOD， ∠BOM= ∠COB， 根 据
2 21
∠NOM=∠AOB−∠AON−∠MOB=∠AOB− (∠AOD+∠COB)，计算求解即可；
2
（3）由∠AOC＝30°，∠AOB＝120°，可得∠BOC＝90°，∠BOD＝70°，当OC未到达OB时（0＜t＜
9），如图1，∠C′OD′＝80°，则∠DOD′+∠COD﹣∠COC′＝80°，即20°t+20°﹣10°t＝80°，计算
求解即可；当OC到达OB后返回时（9≤t≤15），如图2，∠C′OD′＝80°，则∠BOD′﹣∠BOC′
＝80°，即[360°﹣（20°t﹣70°）]﹣15°（t﹣9）＝80°，计算求解即可．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝120°，∠COD＝20°，
∴∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠BOD+∠COD＝∠AOB+∠COD＝140°，
∴∠AOD+∠COB＝140°；
（2）∵OM平分∠COB，ON平分∠AOD，
1 1
∴∠AON= ∠AOD，∠BOM= ∠COB，
2 2
1
∴∠NOM=∠AOB−∠AON−∠MOB=∠AOB− (∠AOD+∠COB)=50°，
2
∴∠NOM＝50°；
（3）∵∠AOC＝30°，∠AOB＝120°，∠COD＝20°，
∴∠BOC＝90°，∠BOD＝70°，
当OC未到达OB时（0＜t＜9），如图1，∠C′OD′＝80°，则∠DOD′＝20t，∠COC′＝10t，
∴∠DOD′+∠COD﹣∠COC′＝80°，即20°t+20°﹣10°t＝80°，
解得t＝6；
当 OC 到达 OB 后返回时（9≤t≤15），如图 2，∠C′OD′＝80°，则∠BOD′＝360°﹣（20°t﹣
70°），∠BOC′＝15°（t﹣9），∴∠BOD′﹣∠BOC′＝80°，即[360°﹣（20°t﹣70°）]﹣15°（t﹣9）＝80°，
6
解得t=13 ，
7
6
综上，t的值为6或13 ．
7
5．（2023秋•咸安区期末）如图 1，在直线MN上摆放一副直角三角板，两三角板顶点重合于点 O，
∠AOB＝60°，∠OCD＝45°，将三角板COD绕点O以每秒6°的速度顺时针方向转动，设转动时间为 t
秒．
（1）如图2，若OC平分∠MOB，则t的最小值为 5 ；此时∠DOB﹣∠MOC＝ 3 0 度；（直接写
答案）（2）当三角板COD转动如图3的位置，此时OC、OD同时在直线OB的右侧，猜想∠DOB与
∠MOC有怎样的数量关系？并说明理由；（数量关系中不含t）
（3）若当三角板COD开始转动的同时，另一个三角板OAB也绕点O以每秒3°的速度顺时针转动，当
OC旋转至射线ON上时，两三角板同时停止运动：
①当t为何值时，∠BOC＝15°；
②在转动过程中，请写出∠DOB与∠MOC的数量关系，并说明理由．（数量关系中不含t）
【分析】（1）可得出∠COM＝30°，∠BOD＝60°，进而得出结果；
（2）可得出∠BOD＝∠BOC+∠COD＝∠BOC+90°，∠BOC＝∠COM﹣∠AOB＝∠COM﹣60°，从而得
出∠BOD＝∠COM﹣60°+90°＝∠COM+30°；
（3）①当OC在∠BOM内部时，由∠BOM＝60°+3t，∠COM＝6t，∠BOC＝∠BOM﹣∠COM得出60°
+3t﹣6t＝15°，进而得出结果；当OC在∠BOM外部时，由∠COM＝6t，∠BOM＝60°+3t，∠BOC＝∠COM﹣∠BOM得出6t﹣（60°+3t）＝15°，从而得出结果；
1
②由∠COM＝6t，∠BOD＝∠COM+90°﹣（60°+3t）＝3t+30°得出∠BOD= ∠COM+30°．
2
【解答】解：（1）如图1，
∵OC平分∠MOB，
1 1
∴∠COM= ∠BOM= ×60°=30，
2 2
30
∴t= =5，
6
此时∠BOD＝60°，
∴∠DOB﹣∠COM＝30°，
故答案为：5，30；
（2）如图2，
∵∠BOD＝∠BOC+∠COD＝∠BOC+90°，∠BOC＝∠COM﹣∠AOB＝∠COM﹣60°，
∴∠BOD＝∠COM﹣60°+90°＝∠COM+30°；
（3）①如图3，当OC在∠BOM内部时，
∵∠BOM＝60°+3t，∠COM＝6t，∠BOC＝∠BOM﹣∠COM，
∴60°+3t﹣6t＝15°，
∴t＝15，
如图4，
当OC在∠BOM外部时，
∵∠COM＝6t，∠BOM＝60°+3t，∠BOC＝∠COM﹣∠BOM，
∴6t﹣（60°+3t）＝15°，
∴t＝25，
综上所述：t＝15或25；
②如图5，∵∠COM＝6t，∠BOD＝∠COM+90°﹣（60°+3t）＝3t+30°，
1
∴∠BOD= ∠COM+30°．
2
6．（2023秋•广水市期末）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：
3，将一直角△MON的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．绕
点O顺时针旋转△MON，其中旋转的角度为 （0＜ ＜360°）．
（1）将图1中的直角△MON旋转至图2的位α置，使α得ON落在射线OB上，此时 为 27 0 度；
（2）将图1中的直角△MON旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试α探究∠AOM与∠NOC
之间满足什么等量关系，并说明理由；
（3）在上述直角△MON从图1旋转到图3的位置的过程中，若直角△MON绕点O按每秒25°的速度顺
时针旋转，当直角△MON的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时直角△MON绕点O的运动
时间t的值．
【分析】（1）根据∠MON的度数，可得ON旋转的度数，可得答案；
（2）根据∠AOC：∠BOC＝1：3，可得∠AOC的度数，根据角的和差，可得∠AON与∠CON的关
系，再根据∠AON与∠AOM的关系，可得答案；
（3）分类讨论，ON在∠AOC的平分线上，ON的反向延长线平分∠AOC，可得相应的旋转角，根据旋
转的速度，可得旋转的时间．
【解答】解：（1）将图1中的直角△MON旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时 为
270度， α
故答案为：270；
（2）解：∠AOM﹣∠NOC＝45°，理由如下：∵∠AOC：∠BOC＝1：3，∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝45°，∠BOC＝135°，
∴∠AON+∠NOC＝45°，∠AON＝45°﹣∠NOC
∵∠MON＝90°，
∴∠AON+∠AOM＝90°．
∴45°﹣∠NOC+∠AOM＝90°，
即∠AOM﹣∠NOC＝45°．
（3）解：①当ON平分∠AOC时，由（2）可知：∠AOC＝45°，
∴∠AON+∠NOC＝45°．
∵ON平分∠AOC，
∴∠AON＝∠NOC＝22.5°，
∵∠MON＝90°，
∴旋转角度为：90°+22.5°＝112.5°，
112.5
∴t= =4.5s．
25
②当ON的反向延长线平分∠AOC时，旋转112.5°的基础上，再旋转180°，
∴旋转角度为：112.5°+180°＝292.5°．
292.5
∴t= =11.7s．
25
综上所述：t＝4.5s或t＝11.7s．
7．（2023秋•海珠区期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°，将一直
角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN＝30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下
方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，
求∠BON的度数．
（2）将图1中三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，同时射线OP从OC开始绕点O以每秒2°的速度沿顺时针方向旋转，当三角板停止运动时，射线OP也停止运动．设旋转时间为t秒．
①在运动过程中，当∠POM＝40°时，求t的值．
②当40＜t＜54时，在旋转的过程中∠CON与∠AOM始终满足关系m∠CON+∠AOM＝n°（m，n为常
数），求m+n的值．
【分析】（1）根据角平分线的定义以及直角的定义，即可求得∠BON 的度数；
（2）①分四种情况，作出相应图形列方程求解即可；
②在①的条件下，当40＜t＜54时，在旋转的过程中∠CON与∠AOM始终满足关系m∠CON+∠AOM
＝n°，（m，n为常数），求m+n的值．
【解答】解：（1）如图2中，∵OM平分∠BOC
1
∴∠BOM＝∠COM= ∠BOC＝55°，
2
∴∠BON＝90°﹣55°＝35°；
（2）①分四种情况：5t+2t+40＝110①
解得 t＝10；
或5t+2t﹣110＝40，
150
解得t= ；
7
或5t﹣110+2t+40＝360，
430
解得t= ；
7
或5t﹣110+2t﹣40＝360，
510
解得t= （舍）．
7
150 430
综上所述，满足条件的T的值为10或 或 ；
7 7
②设旋转时间为t秒，当t＝40时，ON与OC重合，当t＝54时，ON与OA重合，
当40＜t＜54时，如图：由已知可得：∠CON＝5°t﹣200°，∠AOM＝5°t﹣180°，
∵m∠CON+∠AOM＝n°，
∴m（5°t﹣200°）+5°t﹣180°＝n°，
∴（5°m+5°）t﹣200°m﹣180°＝n°，
∵在旋转的过程中∠CON与∠AOM始终满足关系m∠CON+∠AOM＝n°，
∴5°m+5°＝0，
解得m＝﹣1，
∴﹣200°m﹣180°＝n°，
解得n＝20，
∴m+n＝﹣1+20＝19．
∴m+n的值是19．
【考点9 新定义问题】
1．（2023秋•襄城区期末）探究规律，完成相关题目．王老师说：我定义了一种新的运算，叫“※”运
算．王老师写了一些按照“※”运算法则进行运算的式子：（+2）※（+4）＝﹣6；（﹣3）※（﹣4）
＝﹣7；（﹣2）※（+3）＝+5；（+5）※（﹣6）＝+11；0※（+9）＝﹣9：（﹣7）※0＝+7．请你按
照王老师定义的运算法则计算（﹣2023）※（+2024）的结果为（ ）
A．﹣4047 B．0 C．1 D．4047
【分析】根据新运算列式计算即可．
【解答】解：（﹣2023）※（+2024）
＝+（2023+2024）
＝4047，
故选：D．
2．（2023秋•安陆市期末）定义一种关于整数n的“F”运算：
（1）当n是奇数时，结果为3n+5；n n
（2）当n是偶数时，结果是 （其中k是使 为奇数的正整数），并且运算重复进行．
2k 2k
例如：取n＝58，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运
算是74，…，若n＝9，则第2023次经F运算的结果是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据关于整数n的“F”运算：探究规律后即可解决问题．
32
【解答】解：由题意n＝9时，第一次经“F”运算是3×9+5＝32，第二次经“F”运算是 =1，第三
25
8
次经“F”运算是3×1+5＝8，第四次经“F”运算是 =1⋯⋯，
23
以后出现1、8循环，奇数次是8，偶数次是1，
∴第2023次运算结果8，
故选：C．
3．（2023秋•瑶海区期末）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“x←x+2”表示用x+2的值作为x
的值输入程序再次计算．比如：当输入x＝2时，依次计算作为第一次“传输”，可得2×2＝4，4﹣1＝
3，32＝9，9不大于2024，所以2+2＝4，把x＝4输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得第二
次“传输”后可4×2＝8，8﹣1＝7，……，若输入x＝1，那么经过（ ）次“传输”后可以输出结
果，结束程序．
A．11 B．12 C．21 D．23【分析】根据计算程序，得到第n次输入的数应该是2n﹣1，根据452＝2025＞2024可得2（2n﹣1）﹣1
＝45，解得n值即可．
【解答】解：每次输入的数应该是1，3，5，7，9．⋯第n次输入的数应该是2n﹣1．
每次算出的数为[2（2n﹣1）﹣1]2，
由452＝2025＞2024，程序结束．
可得2（2n﹣1）﹣1＝45，解得n＝12．
故选：B．
4．（2023秋•洪山区期末）定义：我们称使等式b2＝4ac成立的有理数a，b，c为“唯一根数组”，记作
1 1 5
【a，b，c】．例如：由于22＝4× ×3，因此【 ，2，3】是“唯一根数组”．若【5+ k﹣k2，k，1】
3 3 2
是“唯一根数组”，则2k﹣k2+1的值为 ﹣ 3 ．
5
【分析】根据“唯一根数组”的定义得到k2＝4（5+ k﹣k2）×1，依此即可求得2k﹣k2+1的值．
2
5
【解答】解：∵【5+ k﹣k2，k，1】是“唯一根数组”，
2
5
∴k2＝4（5+ k﹣k2）×1，
2
∴k2＝20+10k﹣4k2，
∴10k﹣5k2＝﹣20，即2k﹣k2＝﹣4，
∴2k﹣k2+1＝﹣4+1＝﹣3．
故答案为：﹣3．
5．（2023秋•郧阳区期末）用〈m〉表示大于m的最小整数，例如〈1〉＝2，〈3.2〉＝4，〈﹣3〉＝﹣
2．用max{a，b}表示a，b两数中较大的数，例如 max{﹣2，4}＝4，按上述规定，如果整数 x满足
max{x，﹣3x}＝﹣2〈x〉+8，则x的值是 2 或﹣ 6 ．
【分析】按照题目的规定，分两种情况讨论，即可求解．
【解答】解：∵x是整数，
∴〈x〉＝x+1，
若x＞﹣3x，则max{x，﹣3x}＝x，
∴x＝﹣2〈x〉+11＝﹣2（x+1）+8，
∴x＝2，
此时符合题意．若x＜﹣3x，则max{x，﹣3x}＝﹣3x，
∴﹣3x＝﹣2（x+1）+8，
∴x＝﹣6．
此时符合题意．
∴x的值是2或﹣6．
故答案为：2或﹣6．
1
6．（2023秋•越秀区期末）已知a是不为1的有理数，我们把 称为a的差倒数，如：3的差倒数是
1−a
1 1
=− ．已知a ＝﹣1，a 是a 的差倒数，a 是a 的差倒数，a 是a 的差倒数，…，以此类推，a
1−3 2 1 2 1 3 2 4 3 n
1
为a n﹣1 的差倒数，则a 2 ＝ 2 ；若a 1 +a 2 +⋯+a n ＝55，则n＝ 11 3 ．
【分析】分别求出a ，a ，a 的值，根据其规律，再求相应的n值．
2 3 4
【解答】解：∵a ＝﹣1，
1
1 1
∴a = = ，
2 1−(−1) 2
1
= =2
a 1 ，
3 1−
2
1
a = =−1，
4 1−2
…，
1
∴该列数是以﹣1， ，2这三个数循环出现，
2
1 3
∵﹣1+
2
+2=
2
，a
1
+a
2
+⋯+a
n
＝55，
3
∴55÷ = 36……2，
2
3
∴36× =54，
2
1 1
∴54+（﹣1）+ +2+(−1)+ =55，
2 2
∴n＝36×3+3+2＝113．1
故答案为： ，113．
2
7．（2023秋•江汉区期末）定义：一个正整数 x＝1000a+100b+10c+d（其中a，b，c，d均为小于10的非
负整数）．若ma﹣b＝mc﹣d，m为整数，我们称x为“m倍数”．例如，5923：2×5﹣9＝2×2﹣3，则
3 3
称5923为“2倍数”；1940：﹣3×1﹣9＝﹣3×4﹣0，则称1940为“﹣3倍数”；2548： ×2−5= ×
2 2
3
4﹣8．因为 不是整数，所以2548不是“m倍数”．
2
（1）直接判断3274和2961是否为“m倍数”，若是，直接写出m的值；
（2）若一个三位数x为“﹣2倍数”，且个位数字为7，判断这个三位数是否能被7整除，并说明理
由；
（3）若一个四位数x为“1倍数”，且各数位的数字互不相等，将它的千位数字和百位数字组成的两位
y−z
数记为y（即10a+b），十位数字和个位数字组成的两位数记为z（即10c+d）．若 为整数，求这
8
个四位数；
（4）若一个四位数x为“4倍数”，将它的百位数字和十位数字互换，得到的新的四位数仍为“4倍
数”，x+6为“﹣4倍数”，直接写出满足条件的x的最大值．
【分析】（1）根据题意列出关于m的方程，进行判断．
（2）根据三位数x为“﹣2倍数”，且个位数字为7，得出b＝2c+7，表示出三位数，进行判断．
（3）根据四位数x为“1倍数”，得出a﹣c＝b﹣d，再得出11（a﹣c）为8倍数，求出a﹣c，b﹣d的
值，得出答案．
（4）设x的四位数字分别为a，b，c，d．百位十位进行互换，得出新数，分两种情况进行讨论，得出
答案．
【解答】解：（1）3m﹣2＝7m﹣4 ﹣4m＝﹣2．
1 ⇒
解得：m= ．
2
m不是整数，所以3274不是“m倍数“．
2m﹣9＝6m﹣1 ﹣4m＝8．
解得：m＝﹣2．⇒
2961是“﹣2倍数“，m为﹣2．
（2）∵x为三位数，个位为7，∴a＝0．d＝7．
﹣2×0﹣b＝﹣2c﹣7．
整理得：b＝2c+7．
这个三位数为：100b+10c+7＝100（2c+7）+10c+7＝210c+707＝7（30c+101）．
∵30c+101是整数．
∴这三位数x能被7整除．
（3）∵这四位数为“1倍数”．
∴a﹣b＝c﹣d a﹣c＝b﹣d．
∵y＝10a+b，⇒z＝10c+d．
∴y﹣z＝10a+b﹣10c﹣d＝10（a﹣c）+10（b﹣d）＝11（a﹣c）．
y−z
∵ 为整数．
8
11(a−c)
∴ 为整数．
8
即a﹣c＝±8，b﹣d＝±8．
∵各位数的数字互不相等．
∴a，b，c，d四个数应为9，8，1，0．或1，0，9，8．
∴这四位数应为9810，1098．
（4）设x的四位数字分别为a，b，c，d．
∵x为“4倍数“．
∴4a﹣b＝4c﹣d①．
∵将百位数字与十位数字互换，新的四位数仍为“4倍数”．
∴4a﹣c＝4b﹣d②．
①﹣②得﹣b+c＝4c﹣4b ﹣3c＝﹣3b c＝b．
将b＝c代入①得：4a﹣b⇒＝4b﹣d． ⇒
整理得：d＝5b﹣4a．
∵x+6为“﹣4倍数“．
∴当d＜4时，﹣4a﹣b＝﹣4c﹣d﹣6．
把b＝c，d＝5b﹣4a代入﹣4a﹣b＝﹣4c﹣d﹣6得：
﹣4a﹣b＝﹣4b﹣（5b﹣4a）﹣6．
整理得：8a﹣8b＝6．
∵a，b，c，d均为小于10的非负整数，∴8a﹣8b不可能等于6，
∴d＜4不符合题意．
当4≤d≤10时，﹣4a﹣b＝﹣4（c+1）﹣（d+6﹣10），
整理得：4a+b＝4c+d，
把b＝c，d＝5b﹣4a代入4a+b＝4c+d得：
4a+b＝4b+（5b﹣4a），
整理得：a＝b，
∴d＝5b﹣4a＝5b﹣4b＝b，
即d＝b．
∴a＝b＝c＝d．
∵x+6为四位数，
∴a＝b＝c＝d＜9．
∴a，b，c，d的最大值为8，即这个四位数最大为8888．
【考点10 日历与幻方问题】
1．（2023秋•武昌区期末）如图，在2024年1月的日历表中用图形框出10，18，19，24四个数，它们的
和为71．若保持图形框的整体形状不变，在日历表中平移，还是框出四个数，则它们的和不可能是（
）
A．35 B．63 C．99 D．119
【分析】设最上边的那个数是x，则剩下的那个数为x+8，x+9，x+14，这四个数的和是4x+31，将每个
选项逐个代入并根据日历的特点分析即可．
【解答】解：设最上边的那个数是x，则剩下的那个数为x+8，x+9，x+14，
∴这四个数的和是x+x+8+x+9+x+14＝4x+31，
当4x+31＝35时，解得x＝1，则这四个数分别1，9，10，15，符合日历特点；
当4x+31＝63时，解得x＝8，则这四个数分别8，1617，22，符合日历特点；当4x+31＝99时，解得x＝17，则这四个数分别17，25，26，31，符合日历特点；
当4x+31＝119时，解得x＝22，则这四个数分别22，30，31，36，不符合日历特点；
∴四个选项中只有D选项符合题意．
故选：D．
2．（2023秋•随县期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫格．将
9个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的 3个数之和相等，如图是一个
未完成的幻方，则x﹣y的值是（ ）
﹣1
x 2
﹣2 y
A．0 B．﹣3 C．3 D．4
【分析】设最右边一列中间的数为z，先根据幻方的定义可得x+2+z＝﹣1+z+y，然后变形即可解答．
【解答】解：设最右边一列中间的数为z，
根据题意可得：x+2+z＝﹣1+z+y，
变形可得：x﹣y＝﹣3．
故选：B．
3．（2023秋•岱岳区期末）现有一个50个偶数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，则这四个数
的和有可能是（ ）
A．98 B．210 C．314 D．386
【分析】设第一行中间这个数为x，得到四个数的和为4x+10，分别解方程逐一判断即可解题．
【解答】解：设第一行中间这个数为x，则另三个数为x﹣2，x+2，x+10，
∴这四个数的和为：x+x﹣2+x+2+x+10＝4x+10
A．当4x+10＝98，解得：x＝22是第三行的首位数字，不符合题意；
B．当4x+10＝210，解得：x＝50是第五行的末尾数字，不符合题意；
C．当4x+10＝314，解得：x＝76，符合题意；
D．当4x+10＝386，解得：x＝94是第十行的数字，不符合题意；
故选：C．4．（2023秋•大冶市期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫
格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的 3个数之和相等，例如
图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】如图（见解析），根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等建立方程，解
方程即可得．
【解答】解：如图，
由题意得：x﹣5+8＝x+a﹣2，
解得：a＝5，
﹣2+b+8＝﹣5+b+d，
解得：d＝11，
﹣2+11+e＝8+c+e，
解得：c＝1，
﹣5+b+d＝8+1+e，即：﹣5+b+11＝8+1+e，
解得：b＝3+e，
x﹣5+8＝8+c+e，即x﹣5+8＝8+1+e，
解得：x＝6+e，
则x+b+e＝8+1+e，即6+e+3+e+e＝9+e，
解得：e＝0，
所以x﹣5+8＝8+c+e，即x+3＝9，
解得：x＝6．
故选：C．
5．（2023秋•南沙区期末）如图是2024年1月日历，用“Z”型方框任意覆盖其中四个方格，最小数字记为a，四个数字之和记为S．当S＝82时，a所表示的日期是星期（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
【分析】根据“四个数字之和记为S．当S＝82”列方程求解．
【解答】解：由题意得：a+a+1+a+9+a+8＝82，
解得：a＝16，
16是周二，
故选：B．
6．（2023秋•潢川县期末）在如图所示的图案中，每个小三角形的边长都为1，把由四个小三角形组成的
边长为2的大三角形称为一个“单元”，现将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数分别填入图中
的十个小三角形中，使得对于图中的四个“单元”，每个“单元”中的四个数之和都是 23，若2，4，
5，a已填入图中，位置如图所示，则a表示的数是 3 ．
【分析】根据每个“单元”中的四个数之和都是23可得x+y＝16，再由4+a+x+y＝23即可求出a的值．
【解答】解：如图，
由题意得，x+y+2+5＝23，
∴x+y＝16，
又∵4+a+x+y＝23，
即4+a+16＝23，
∴a＝3，故答案为：3．
7．（2023秋•香洲区期末）爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将1，﹣2，﹣3，3，4，6，﹣
7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4，6，﹣7，
8这四个数填入了圆圈，则图中a+b的值为 ﹣ 5 ．
【分析】先求出这8个数的和，即可求出横、竖以及内外两圈上的4个数字之和，然后列式计算即可求
出a、b的值．
【解答】解：如图，
1+（﹣2）+（﹣3）+3+4+6+（﹣7）+8
＝（1+3+4+6+8）+（﹣2﹣3﹣7）
＝22+（﹣12）
＝10，
∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，
∴这个和为10÷2＝5，
∴﹣7+6+b+8＝5，﹣7+c+8+d＝5，c+a+4+d＝5，
∴b＝﹣2，c+d＝4，
∴a＝﹣3，
∴a+b＝﹣3﹣2＝﹣5，
故答案为：﹣5．【考点11 数字规律问题】
1．（2023秋•汉川市期末）阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…
1
+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是 1+2+3+⋯+n= n（n+1），其中n是正整数．现在我们
2
1
来研究一个类似的问题：1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）＝？观察几个特殊的等式：1×2= ×（1×2×3﹣
3
1 1
0×1×2），2×3= ×（2×3×4﹣1×2×3），3×4= ×（3×4×5﹣2×3×4），将这三个等式的两边相加，可以
3 3
1
得到1×2+2×3+3×4= ×3×4×5＝20．读完这段材料，请你思考后计算：1×2+2×3+3×4+…+50×51的值是
3
（ ）
A．41650 B．44200 C．46852 D．49608
【分析】根据所给等式，求出1×2+2×3+…+n（n+1）即可解决问题．
【解答】解：由题知，
1
因为1×2= ×(1×2×3−0×1×2)，
3
1
2×3= ×(2×3×4−1×2×3)，
3
1
3×4= ×(3×4×5−2×3×4)，
3
…，
1
n（n+1）= [n(n+1)(n+2)−(n−1)n(n+1)]；
3
将以上等式两边相加得，
1
1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）= n(n+1)(n+2)，
3
当n＝50时，
1
1×2+2×3+3×4+…+50×51= ×50×51×52=44200．
3
故选：B．
2．（2023秋•来凤县期末）正整数按如图的规律排列，请写出第 15行，第18列的数字是（ ）A．284 B．296 C．303 D．304
【分析】首先观察出第2、3、4、5、6列的第一个数为1+1、4+1、9+1、16+1、25+1，由此进一步解决
问题．
【解答】解：由于第2、3、4、5、6列的第一个数为1+1、4+1、9+1、16+1、25+1．
那么第18列的第一个数为172+1＝290，
∴第15行，第18列的数字是290+15﹣1＝304，
故选：D．
3．（2024 秋•黔东南州期末）为了求 1+2+22+23+…+220的值，可令 S＝1+2+22+23+…+220，则 2S＝
2+22+23+24+…+221，因此 2S﹣S＝221﹣1，所以 1+2+22+23+…+220＝221﹣1，仿照以上推理，计算
1+5+52+53+…+52024＝（ ）
A．52024 B．52023﹣1
1 1
C．
(52024−1)
D．
(52025−1)
4 4
【分析】根据题目信息，设S＝1+5+52+53+⋯+52024，求出5S，然后错位相减计算即可得解．
【解答】解：设S＝1+5+52+53+⋯+52024，则5S＝5+52+53+54⋯+52025，
∴5S﹣S＝52025﹣1，
52025−1
∴S= ，
4
52025−1 1
∴1+5+52+53+…+52024= = （52025﹣1），
4 4
故选：D．
4．（2023秋•无为市期末）观察下面三行数：
第①行：2、4、6、8、10、12、…
第②行：3、5、7、9、11、13、…第③行：1、4、9、16、25、36、…
设x、y、z分别为第①、②、③行的第100个数，则2x﹣y+2z的值为（ ）
A．9999 B．10001 C．20199 D．20001
【分析】总结第①，第②，第③行的变化规律，分别求出x，y，z的值即可计算．
【解答】解：观察第①行：2、4、6、8、10、12、…
∴第100个数为100×2＝200，
即x＝200，
观察第②行：3、5、7、9、11、13、…
∴第100个数为100×2+1＝201，
观察第③行：1、4、9、16、25、36、…
∴第100个数是1002＝10000，
即x＝200、y＝201、z＝10000，
∴2x﹣y+2z＝20199，
故选：C．
5．（2023秋•恩施市期末）“转化”是一种解决问题的常用思想，有时画图可以帮助我们找到转化的方
法．例如借助图①，可以把算式1+3+5+7+9+11转化为62＝36．请你观察图②，利用转化的方法计
1 1 1 1 1 1 1 1 255
算： + + + + + + + = ．
2 4 8 16 32 64 128 256 256
1
【分析】通过观察可知：所求有理数的和在图形中所对的面积为1− ，由此求和即可．
256
1 1 1 1 1 1 1 1 1 255
【解答】解： + + + + + + + = 1− = ，
2 4 8 16 32 64 128 256 256 256
255
故答案为： ．
256
1 1 1 1
6．（2023秋•广水市期末）将数字1个1，2个 ，3个 ，4个 ，…n个 （n为正整数）按顺序排成一
2 3 4 n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
排：1， ， ， ， ， ， ， ， ， ，⋯ ， ， ⋯，记 a ＝1，a ＝a + + ，a ＝a
2 2 3 3 3 4 4 4 4 n n n 1 2 1 2 2 3 2
1 1 1
+ + + ，…S ＝a ，S ＝a +a ，S ＝a +a +a +…+a ，则S ﹣S ＝ 200 9 ．
3 3 3 1 1 1 1 2 n 1 2 3 n 1000 1008
1
【分析】由题意可得：n个 的和为1，则有a ＝1，a ＝2，a ＝3，…，从而可求解．
n 1 2 3
1 1 1 1 1 1
【解答】解：∵n个 的和为1，a ＝1，a ＝a + + ，a ＝a + + + ，…，
n 1 2 1 2 2 3 2 3 3 3
∴a ＝1，a ＝2，a ＝3，…，
1 2 3
∴S ＝1，S ＝1+2，S ＝1+2+3+…+n，
1 2 n
∴S ﹣S
1000 1008
＝1+2+3+…+1000﹣（1+2+3+…+1008）
＝1+2+3+…+1008+1009+1000﹣1﹣2﹣3﹣…﹣1008
＝2009．
故答案为：2009．
7．（2023秋•江陵县期末）从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如表：
加数的个数n S
1 2＝1×2
2 2+4＝6＝2×3
3 2+4+6＝12＝3×4
4 2+4+6+8＝20＝4×5
5 2+4+6+8+10＝30＝5×6
（1）若n＝7时，则S的值为 5 6 ．
（2）根据表中的规律猜想：用含n的代数式表示S的公式为：S＝2+4+6+8+…+2n＝ n （ n + 1 ） ．
（3）根据上题的规律计算102+104+106+…+2020的值（要有过程）．
【分析】（1）根据表格中的数据，可以计算出n＝7时，S的值；
（2）根据表格中的数据，可以计算出S＝2+4+6+…+2n的值；
（3）根据题目中的式子可知，102+204+206+…+2020＝（2+4+…+200+202+…+2020）﹣（2+4+…
+100），然后计算即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
n＝7时，S＝2+4+…+16＝7×8＝56，
故答案为：56；（2）由题意可得，
S＝2+4+6+…+2n＝n（n+1），
故答案为：n（n+1）；
（3）102+104+106+…+2020
＝（2+4+…+100+102+…+2020）﹣（2+4+…+100）
＝1010×1011﹣50×51
＝1021110﹣2550
＝1018560．
【考点12 图形规律问题】
1．（2023秋•黄冈期末）如图，将一些形状相同的小五角星按图中所示放置，据此规律，第59个图形五
角星的个数为（ ）
A．3600 B．3500 C．3599 D．3499
【分析】依次求出图形中五角星的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1个图形五角星的个数为：3＝1×3；
第2个图形五角星的个数为：8＝2×4；
第3个图形五角星的个数为：15＝3×5；
第4个图形五角星的个数为：24＝4×6；
…，
所以第n个图形五角星的个数为n（n+2），
当n＝59时，
n（n+2）＝59×61＝3599（个），
即第59个图形五角星的个数为3599个．
故选：C．
2．（2023秋•黄石港区期末）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有3颗
棋子，第②个图形一共有9颗棋子，第③个图形一共有l8颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（ ）
A．63 B．84 C．108 D．152
【分析】根据第①个图形的棋子数是3＝3×1，第②个图形的棋子数是9＝3×（1+2），第③个图形的
棋子数是18＝3×（1+2+3），…，可得第n个图形的棋子数是3×（1+2+…+n），据此求出第⑥个图形
中棋子的颗数为多少即可．
【解答】解：∵第①个图形的棋子数是3＝3×1，
第②个图形的棋子数是9＝3×（1+2），
第③个图形的棋子数是18＝3×（1+2+3），
…，
∴第n个图形的棋子数是3×（1+2+…+n），
∴第⑥个图形中棋子的颗数为：
3×（1+2+…+6）
＝3×21
＝63．
故选：A．
3．（2023秋•郧阳区期末）如图1是一根起点为0且标有单位长度的射线，现有同学将它弯折成如图2，
弯折后落在虚线上的点，从下往上第一个数是0，第二个数是12，第三个数是42，…，依此规律，落在
虚线上的第五个点对应的数是（ ）A．90 B．96 C．150 D．156
【分析】根据每圈上数字特征，找到规律求解．
【解答】解：第1个数为0，
第2个数为：2+4+6＝12，
第3个数为：12+8+10+12＝42，
第4个数为：42+14+16+18＝90，
第5个数为：90+20+22+24＝156，
故选：D．
4．（2023秋•曾都区期末）根据图中数字的规律，若第n个图中的p＝101，则q的值为（ ）
A．2500 B．﹣2500 C．2601 D．﹣2601
【分析】观察所给图形中各部分的数字，发现规律即可解决问题．
【解答】解：观察所给图形可知，
第奇数个图形右上角的数字是正数，第偶数个图形右上角的数字是负数，且绝对值为完全平方数，
所以第n个图形右上角的数字可表示为：（﹣1）n+1n2．
图形中左上角的数字为从1开始的连续奇数，
所以第n个图形中左上角的数字可表示为：2n﹣1．
因为第p＝101，
则2n﹣1＝101，
解得n＝50，
所以q＝（﹣1）51×502＝﹣2500．
故选：B．
5．（2023秋•惠东县期末）在“互联网+”时代，利用二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识
别系统，如图是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左
到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，如图
中第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为1×23+0×22+0×21+1×20＝9（其中20＝1），表示该生
为9班学生，下面表示6班学生的识别图案是（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据题中定义求出第一行数字，即可求出其序号，进而解决问题．
【解答】解：由题知，
A选项中第一行的数字为：0，0，1，1．
则其序号为：0×23+0×22+1×21+1×20＝3，
所以该生为3班的学生．
故A选项不符合题意．
B选项中第一行的数字为：0，1，0，1．
则其序号为：0×23+1×22+0×21+1×20＝5，
所以该生为5班的学生．
故B选项不符合题意．
C选项中第一行的数字为：0，1，1，0．
则其序号为：0×23+1×22+1×21+0×20＝6，
所以该生为6班的学生．
故C选项符合题意．
D选项中第一行的数字为：0，1，1，1．
则其序号为：0×23+1×22+1×21+1×20＝7，
所以该生为7班的学生．
故D选项不符合题意．
故选：C．
6．（2023秋•海珠区期末）如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，若按此规律排列下去，则第n个图形中有 （ n 2 + n + 4 ） 个小圆圈．
【分析】观察图形的变化可得前几个图形的小圆圈的个数，进而可以寻找规律即可．
【解答】解：观察图形的变化可知：
第1个图形中有小圆圈的个数：1×2+4＝6个；
第2个图形中有小圆圈的个数：2×3+4＝10个；
第3个图形中有小圆圈的个数：3×4+4＝16个；
…
则第n个图形中有小圆圈的个数为：n（n+1）+4＝n2+n+4．
故答案为：n2+n+4．
7．（2023秋•汉阳区期末）问题呈现：在小学我们学习过用图示法求1+2+3+⋯+n的方法：
如图1，从第1层至第n层，分别有1，2，3，⋯，n个小圆圈；将图1旋转后拼成如图2．
①图2中，每层有小圆圈 （ n + 1 ） 个；共有小圆圈 n （ n + 1 ） 个．
n(n+1)
②1+2+3+⋯+n＝
2
数学思考：如何求12+22+32+⋯+n2？小明同学根据上面的启示设计了如图3所示三角形数阵型：
第1行圆圈中的数为1，即12；第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22；⋯⋯；第n行n个圆圈中数的和为
n+n+⋯+n
，即n2，这样，该三角形数阵中所有圆圈中的数的和为12+22+32+⋯+n2．
¿
为了求这个和，他将三角形数阵型经过两次旋转可得如图4所示的三角形数阵型．
观察这三个三角形数阵型各行同一位置圆圈中的数，（如第n﹣1行的第1个圆圈中的数分别为n﹣1，
2，n），
③发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 2 n + 1 ；
n(n+1)(2n+1)
④这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3（12+22+32+⋯+n2）＝ ；
2
n(n+1)(2n+1)
⑤12+22+32+⋯+n2＝ ．
6
拓展运用：根据以上发现，
12+22+32+⋯+n2 2n+1
⑥计算 的结果为 ．
1+2+3+⋯+n 3
⑦求212+222+232+…+302的值．
【分析】问题呈现：根据图中的四边形的面积计算；
数学思考：根据题中的步骤，结合②中的结果求解．
【解答】解：问题呈现：①图2中，每层有小圆圈（n+1）个；共有小圆圈n（n+1）个．
n(n+1)
②1+2+3+⋯+n= ，
2
n(n+1)
故答案为：（n+1），n（n+1）， ；
2
数学思考：③发现每个位置上三个圆圈中数的和均为2n+1，
：故答案为：2n+1；
④ 这 三 个 三 角 形 数 阵 所 有 圆 圈 中 数 的 总 和 为 ： 3 （ 12+22+32+⋯ +n2 ） ＝ （ 2n+1 ）
n(n+1) n(n+1)(2n+1)
= ，
2 2
n(n+1)(2n+1)
故答案为： ；
2
n(n+1)(2n+1) n(n+1)(2n+1)
⑤12+22+32+⋯+n2= ÷3= ，
2 6
n(n+1)(2n+1)
故答案为： ；
6
拓展运用：根据以上发现，12+22+32+⋯+n2 n(n+1)(2n+1) n(n+1) 2n+1
⑥ = ÷ = ，
1+2+3+⋯+n 6 2 3
2n+1
故答案为： ；
3
⑦求212+222+232+⋯+302
＝12+22+32+⋯+302﹣（12+22+32+⋯+202）
30×31×61 20×21×41
= −
6 6
＝9455﹣2870
＝6585．
