文档内容
10.2 解二元一次方程组【10 个必考点】
【人教版2024】
【知识点1 代入消元法解二元一次方程组】.........................................................................................................1
【必考点1 代入消元法解方程组的步骤判断】.....................................................................................................2
【必考点2 用代入消元法解二元一次方程组】.....................................................................................................3
【知识点2 加减消元法解二元一次方程组】.........................................................................................................3
【必考点3 加减消元法解方程组的步骤判断】.....................................................................................................4
【必考点4 用加减消元法解二元一次方程组】.....................................................................................................4
【必考点5 用合适的方法解二元一次方程组】.....................................................................................................5
【必考点6 用换元法解二元一次方程组】.............................................................................................................6
【必考点7 用整体代入法解二元一次方程组】.....................................................................................................7
【必考点8 解含参的二元一次方程组（解相同）】.............................................................................................8
【必考点9 解含参的二元一次方程组（解出错）】.............................................................................................8
【必考点10 解含参的二元一次方程组（解满足条件）】...................................................................................9
【知识点1 代入消元法解二元一次方程组】
用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或y）的代数式表示y（或x），即变
y=ax+b x=ay+b
成 （或 ）的形式；
②将
y=ax+b
（或
x=ay+b
）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去 y（或x），得到一
个关于x（或y）的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；
④把x（或y）的值代入
y=ax+b
（或
x=ay+b
）中，求y（或x）的值；
{
⑤用“ ”联立两个未知数的值，就是方程组的解.
【易错点剖析】
①用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比
较容易的方程变形；②变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；
③要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数
的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代
入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.
【必考点1 代入消元法解方程组的步骤判断】
{2x+3 y=8①)
【例1】用代入法解方程组 有以下过程，其中错误的一步是（ ）
3x−5 y=5②
8−3 y
（1）由①得x= ③；
2
8−3 y
（2）把③代入②得3× −5y＝5；
2
（3）去分母得24﹣9y﹣10y＝5；
（4）解之得y＝1，再由③得x＝2.5．
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
{ 3m−4n=7① )
【变式1】解方程组 的最好方法是（ ）
9m−10n+25=0②
7+4n
A．由①得m= ，再代入②
3
10n−25
B．由②得m= ，再代入①
9
C．由①得3m＝4n+7，再代入②
D．由②得9m＝10n﹣25，再代入①
{ s+t=1① )
【变式2】用代入法解方程组 ，下列选项中错误的是（ ）
3s−5t=8②
3s−8
A．由②得t= ，再代入①
5
8+5t
B．由②得s= ，再代入①
3
C．由①得s＝1﹣t，再代入②
D．由①得t＝s﹣1，再代入②
{2x+3 y−2=0，①)
【变式3】用代入法解方程组 正确的解法是（ ）
4x+1=9 y，②
3 y−2
A．先将①变形为x= ，再代入②
22−2x
B．先将①变形为y= ，再代入②
3
9
C．先将②变形为x= y−1，再代入①
4
D．先将②变形为y＝9（4x﹣1），再代入①
【必考点2 用代入消元法解二元一次方程组】
【例1】用代入消元法解下列方程组：
{3x+2y=7)
（1） ；
5 y−x=9
{ x+3 y=10 )
（2） ．
5x−4 y=12
【变式1】用代入法解下列方程组：
{2x+3 y=−19①)
（1） ．
x+5 y=1②
{2x−3 y=1①
)
（2） y+1 x+2 ．
= ②
4 3
【变式2】用代入法解下列方程组：
{2x+4 y=5①)
（1） ；
x=1−y②
{ 3m=5n① )
（2） ．
2m−3n=1②
【变式3】用代入消元法解二元一次方程组：
{4x+ y=15)
（1） ；
3x−2y=3
（2） { x− y =1 ) ．
3
2(x−4)+3 y=5
【知识点2 加减消元法解二元一次方程组】
用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有
一个未知数的系数绝对值相等的形式；
②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两
个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
{
⑤将两个未知数的值用“ ”联立在一起即可.
【易错点剖析】
当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单.
【必考点3 加减消元法解方程组的步骤判断】
{5x−2y=4①)
【例1】小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组 时，利用①×a+②×b消去x，则a、
2x+3 y=9②
b的值可能是（ ）
A．a＝2，b＝5 B．a＝3，b＝2 C．a＝﹣3，b＝2 D．a＝2，b＝﹣5
{2x+3 y=−10①)
【变式1】利用加减消元法解方程组 ，下列做法正确的是（ ）
3x−5 y=−6②
A．要消去y，可以将①×5+②×2
B．要消去x，可以将①×5+②×2
C．要消去y，可以将①×5+②×3
D．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2
{2x+5 y=−10①，)
【变式2】用加减消元法解方程组 时，有如下四种解法，甲：①×3﹣②×5，①×
5x−3 y=2②
（﹣5）+②×2，丙：①×3+②×5，丁：①×5﹣②×2；其中不能完成“消元”的是（ ）
A．只有甲 B．乙和丙 C．丁和乙 D．丙和丁
{3x+4 y=16①)
【变式3】利用加减消元法解方程组 ，嘉嘉说：要消去x，可以将①×5﹣②×3；琪琪
5x−6 y=33②
说：要消去y，可以将①×3+②×2；关于嘉嘉、琪琪的说法，下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉对，琪琪不对 B．嘉嘉不对，琪琪对
C．嘉嘉和琪琪都不对 D．嘉嘉和琪琪都对
{ x= y ) {5x−2y=−1) {5x−3 y=2)
【变式 4】已知二元一次方程组：① ；② ；③ ；④
3x−2y=1 3x+2y=0 y=6+2x
{2x+ y=−2)
，解以上方程组比较适合选择的方法是（ ）
2x−6 y=1
A．①②用代入法，③④用加减法
B．①③用代入法，②④用加减法C．②③用代入法，①④用加减法
D．②④用代入法，①③用加减法
【必考点4 用加减消元法解二元一次方程组】
【例1】用加减消元法解二元一次方程组：
{5x+2y=25)
（1） ；
3x+4 y=15
{
2x+3 y=1
)
（2） y−1 x−2 ．
=
4 3
【变式1】用加减法解下列方程组：
{x−2y=1
)
（1） ；
3x+2y=3
{x
−
y−1
=1)
（2） 2 3 ．
4x−y=8
【变式2】用加减消元法解方程：
{4x+7 y=−19)
（1） ；
4x−5 y=17
（2）{ 3(x−1)= y+5 )．
5(y−1)=3(x+5)
【变式3】用加减法解下列方程组
{ 2x−y=5 )
（1） ；
7x−3 y=20
（2） { x+ y + x−y =1 ) ．
2 3
2(3x+ y)−3(x−2y)=11
【必考点5 用合适的方法解二元一次方程组】
【例1】解方程组：
{2x−y=5
)
（1） ；
5x+2y=8
（2） { x+ y + x−y =6 ) ．
2 3
4(x+ y)−5(x−y)=2【变式1】解下列方程组：
{ 3 y−2x=1 )
（1） x+2 y+1 ；
=1−
3 4
（2）{6(x−y)−7(x+ y)=21)．
2(x−y)−5(x+ y)=−1
【变式2】解方程组：
{ x+1=6 y )
（1） ；
2(x+1)−y=11
{
x+4 y=28
)
（2） x−2 y+3 5 ．
− =−
4 3 2
【变式3】解下列二元一次方程组：
{ x+2y=10 )
（1） ；
−3x+5 y=3
（2） { 3(x−y) + y =1 ) ．
2 4
2(x+2y)=5(x+ y)+5
【必考点6 用换元法解二元一次方程组】
{3x−ay=16) {x=7)
【例1】如果关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，求下列关于x，y的方程组的解
2x+by=15 y=1
{3(x+ y)−a(x−y)=16)．
2(x+ y)+b(x−y)=15
【变式1】已知关于x，y的二元一次方程组{a
1
x+b
1
y=c
1
)的解为{x=2)，求关于x，y的二元一次方程
a x+b y=c y=1
2 2 2
组{a (x+3)+b y−2b =c ，)的解．
1 1 1 1
a (x+3)+b y−2b =c
2 2 2 2
【变式2】数学方法：
解方程组：{3(2x+ y)−2(x−2y)=26)，若设 2x+y＝m，x﹣2y＝n，则原方程组可化为
2(2x+ y)+3(x−2y)=13{3m−2n=26) {m=8 ) { 2x+ y=8 ) {x=3)
，解方程组得 ，所以 ，解方程组得 ，我们把某个式子看
2m+3n=13 n=−1 x−2y=−1 y=2
成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
{ax+by=6) {x=−2)
（1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组 ，的解为 ，那么关于m、n的
bx+ay=3 y=4
二元一次方程组{a(m+n)+b(m−n)=6)的解为： ．
b(m+n)+a(m−n)=3
（2）知识迁移：请用这种方法解方程组 { x+ y − x−y =4 ) ．
2 3
2(x+ y)+x−y=16
（3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组{a
1
x+b
1
y=c
1
)的解为{ x=4 )，求关于x，y的方
a x+b y=c y=−3
2 2 2
程组{2a x+3b y=5c
)的解．
1 1 1
2a x+3b y=5c
2 2 2
2x+3 y 4x−3 y
{ + =7)
【变式3】在解方程组 3 2 时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求
2x+3 y 4x−3 y
+ =5
4 3
解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的 2x+3y、4x﹣3y分别看作一个整体，通过换元：设
m n
{ + =7)
m＝2x+3y、n＝4x﹣3y，可以将原方程组化为 3 2 ，解得{m=12)，把{m=12)代入 m＝
m n n=6 n=6
+ =5
4 3
{2x+3 y=12) {x=3) {x=3)
2x+3y、n＝4x﹣3y，得 ，解得 ，所以原方程组解为 ．
4x−3 y=6 y=2 y=2
（1）若方程组{3x+by=1)的解为{x=1)，则方程组{3(x−2)+b(y+2)=1)的解为 ；
ax+ y=6 y=1 a(x−2)+(y+2)=6（ 2 ） 若 方 程 组 {a 1 x+b 1 y=c 1 )的 解 为 { x=k )， 其 中 k 为 常 数 ． 求 方 程 组
a x+b y=c y=k−2
2 2 2
1 1
{ a (x+1)+ b (y−2)=c )
3 1 2 1 1 的解．
1 1
a (x+1)+ b (y−2)=c
3 2 2 2 2
【必考点7 用整体代入法解二元一次方程组】
{ x+ y+3=10 )
【例1】阅读材料：小强同学在解方程组 时发现，可将第一个方程通过移项变形为 x+y
4(x+ y)−y=25
＝7，然后把第二个方程中的x+y换成7，可以很轻松地解出这个方程组．小强同学发现的这种方法叫作
“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法．
（1）请按照小强的解法解出这个方程组；
{2x+3 y=−4)
（2）用整体代入法解方程组 ．
6x−5 y=16
{2x+5 y=3①)
【变式1】阅读材料：善思考的小军在解方程组 时，采用了一种“整体代入”的解法：
4x+11y=5②
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5 ③
把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1
把y＝﹣1代入①得，x＝4，
{ x=4 )
所以方程组的解为 ．
y=−1
{3x−2y=5
)
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组 ．
9x−4 y=19
【变式2】先阅读材料，然后解方程组．
{ x+ y−2=0① )
材料：解方程组： ，
3(x+ y)−y=4②
由①，得x+y＝2．③
把③代入②，得3×2﹣y＝4，解得y＝2．
把y＝2代入③，得x＝0．
{x=0)
∴原方程组的解为 ．
y=2这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程
{
3x−2y−1=0①
)
组： 6x−4 y+3 ．
+ y=2②
6
【变式3】数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
{ 3x+4① )
已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足2x+3y＝1③，求m的值．
x+2y=2−3m②
小云：将①③联立可得一个新的不含m的二元一次方程组．
小辉：哈哈！直接①+②可以更简便地求出m的值．
（1）按照小云的方法，求出x，y的值；
（2）老师说，小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出m的值．
【必考点8 解含参的二元一次方程组（解相同）】
{2x+5 y=−6) {bx+ay=−8)
【例1】已知方程组 的解和方程组 的解相同，求（2a+b）2024的值．
ax−by=−4 3x−5 y=16
{mx+2ny=4) {nx+(m−1)y=3)
【变式1】若关于x，y的方程组 与 有相同的解．
x+ y=1 x−y=3
（1）求这个相同的解；
（2）求m，n的值．
{2x+3 y=7)
{5x−2y=8
)
【变式2】已知关于x，y的方程组 和方程组 nx 的解相同．
mx+ny=5 +my=3
3
（1）求m，n的值．
（2）求3m﹣2mn+m2﹣1的值．
{mx+2ny=4，) { x−y=3， )
【变式3】已知关于x，y的方程组 与 有相同的解．
x+ y=1 nx+(m−1)y=3
（1）求这个相同的解；
（2）求m，n的值；
（3）小明同学说：“无论a取何值，（1）中的解都是关于x，y的方程（3+a）x+（2a+1）y＝5的
解．”这句话对吗？请你说明理由．
【必考点9 解含参的二元一次方程组（解出错）】
{ax+5 y=15) {x=−3)
【例1】在解方程组 时，甲看错了方程组中的a，得到的解为 ，乙看错了方程组
4x−by=−2 y=1{x=5)
中的b，得到的解是 ．
y=4
（1）求原方程组中a、b的值各是多少？
（2）求出原方程组中的正确解．
{mx+ y=3
)
{ x= 15 )
【变式1】甲、乙两同学同时解关于x、y的方程组 ，甲看错了m，解出的结果是 2 ；
2x−ny=9
y=−3
{ x=4 )
乙看错了n，解出的结果是 ，你能确定m、n的值和原方程组的解吗？
y=−5
{1
ax−by=1①) {x=4)
【变式2】小鑫、小童两人同时解方程组 2 时，小鑫看错了方程②中的a，解得 ，
y=1
ax−y=17②
{ x=5 )
小童看错了①中的b，解得 ．
y=−7
（1）求正确的a，b的值；
（2）求原方程组的正确解．
{ax−4 y=10)
【变式3】已知关于x，y的二元一次方程组 ，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组
5x+by=42
{x=12) { x=2 )
的解为 ，乙由于看错了b，得到方程组的解为 ．
y=−3 y=−1
（1）求a，b的值；
{ax−4 y=10) { 2mx+ny=6 )
（2）若方程组 的解与方程组 的解相同，求2m﹣n的值．
5x+by=42 mx+2ny=−6
【必考点10 解含参的二元一次方程组（解满足条件）】
{x+3 y=2k+4)
【例1】已知关于x，y的方程组 ．
x−2y=k
（1）若方程组的解互为相反数，求k的值；
（2）若方程组的解满足方程3x+y＝10，求k的值．
{x+2y=k−1①)
【变式1】已知关于x、y的方程组 ．
3x+ y=5k+4②
（1）解这个方程组（结果用含k的代数式表示）；
（2）若这个方程组的解也满足方程4x+3y＝5，求k的值．
{x+ y=3k−4)
【变式2】已知关于x，y的方程组 ，
x−y=k+2（1）若方程组的解满足方程3x﹣4y＝1，求k的值；
（2）请你给出k的一个值，使方程组的解中x，y都是正整数，并直接写出方程组的解．
{ x+2y−6=0 )
【变式3】已知关于x，y的方程组 ．
mx−2y+m+4=0
（1）请直接写出方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值．
（3）无论实数m取何值，方程x﹣2y+mx+5＝0总有一个固定的解，请求出这个解？
