文档文本内容
11.3 一元一次不等式组【10 个必考点】
【人教版2024】
【知识点1 一元一次不等式的概念】.....................................................................................................................1
【必考点1 一元一次不等式的判断】.....................................................................................................................1
【必考点2 由一元一次不等式的概念求值】.........................................................................................................2
【知识点2 解一元一次不等式】..............................................................................................................................2
【必考点3 解一元一次不等式】..............................................................................................................................2
【必考点4 列不等式求取值范围】..........................................................................................................................3
【必考点5 已知不等式的解集求参】.....................................................................................................................3
【必考点6 一元一次不等式的整数解】.................................................................................................................4
【必考点7 一元一次不等式的新定义问题】.........................................................................................................4
【知识点3 用一元一次不等式解决实际问题】.....................................................................................................5
【必考点8 根据实际问题列一元一次不等式】.....................................................................................................5
【必考点9 一元一次不等式的实际应用（最多至少问题）】.............................................................................6
【必考点10 一元一次不等式的实际应用（方案选择问题）】...........................................................................8
【知识点1 一元一次不等式组】
1.一元一次不等式组的定义：
把含有 相同 未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。
2.一元一次不等式组的解集：
几个一元一次不等式的解集的 公共部分 ，叫做由他们组成的一元一次不等式组的解集。
3.一元一次不等式组的解集的求法：
先分别求出不等式组中的每一个不等式，然后找出他们解集的 公共部分 。
4.不等式组的解的情况与图示（a<b）：
①同大取大： ，图示： ，解集为 x> b 。
②同小取小： ，图示： ，解集为 x< a 。
③大小小大中间找： ，图示： ，解集为 a<x< b 。④大大小小无解答： ，图示： ，解集为 无解 。
【必考点1 一元一次不等式组的判断】
【例1】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）
{3−y＜5) { x−2＜7 ) { 3x−10＞0 )
A． B． C． D．
2x+5＞8 x2−2x−3＞0 16x＜3(4x+1)
{ 1 +2＜1 )
x
2(x+1)＞4
【分析】几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组，据此
逐项判断即可．
【解答】解：A中两个不等式所含未知数不同，不符合题意，
B中第二个不等式不是一元一次不等式，不符合题意，
C中不等式符合一元一次不等式组的定义，符合题意，
D中第一个不等式不是一元一次不等式，不符合题意，
故选：C．
【变式1】下列各项中，是一元一次不等式组的是（ ）
{5x+2＞0
) {x+1＞0) { 2x＞3 ) { x＜2 )
A． 2 B． C． D．
x−1＞ y−3＞1 x2−x＞0 x+2＞−1
x
【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等
式的两边都是整式，根据以上内容判断即可．
【解答】解：A、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项
不符合题意；
B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
D、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式2】下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是 ．（填序号）{x+3＜4x) {x2+5＞3x) {x+2＞3x) {
x+2＞0
)
{x+4≤6x
)
① ；② ；③ ；④ x−5＜1 ；⑤ 1 ．
y＜2 x＜4 x≠1 ＞2
x−4＞3x−1 x
【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等
式的两边都是整式，根据以上内容判断即可．
【解答】解：①含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
②未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组；
叁和④是是一元一次不等式组；
1
不是整式，故⑤不是一元一次不等式组；
x
所以是一元一次不等式组的是③④．
故答案为：③④．
【变式3】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是 ．（填序号）
{x+2＜3x) {x2+1＞2x) {2(x−1)＞3x) { x−1＞0 )
① ；② ；③ ；④﹣4x≤x＜5；⑤ 2x+3＜0 ；
y＞2 x＜1 x≤−2
x−4＞2x−1
{x+6≤1
)
⑥ 1 ．
＞2
x
【分析】几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组，据此
进行判断即可．
【解答】解：①中含有两个未知数，它不是一元一次不等式组；
②中x的最高次数为2，它不是一元一次不等式组；
③符合一元一次不等式组的定义，它是一元一次不等式组；
④符合一元一次不等式组的定义，它是一元一次不等式组；
⑤符合一元一次不等式组的定义，它是一元一次不等式组；
1
⑥中 不是整式，它不是一元一次不等式组；
x
综上，③④⑤是一元一次不等式组，
故答案为：③④⑤．
【必考点2 不等式组解集的表示】
{2x−4＞0)
【例1】不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
x−3≥0A． B．
C． D．
【分析】先求出不等式组的解集，定边界，定方向在数轴上表示出解集，判断即可．
{x＞2)
【解答】解：解不等式组得： ，
x≥3
在数轴上表示如图：
故选：D．
{
x+1≥0
)
【变式1】不等式组 x+1 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
＜1
4
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
{
x+1≥0
)
【解答】解：解不等式组得： x+1
＜1
4
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
在数轴上表示如图：
．故选：A．
【变式2】如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，该不等式组可能是（ ）
{x+5≥0) {x+5＞0)
A． B．
x+3＞0 x+3≥0
{x+5＜0) {x+5＜0)
C． D．
x+3＜0 x+3＞0
【分析】由数轴知x＞﹣5且x≥﹣3，移项后可得不等式组．
【解答】解：由数轴知x＞﹣5且x≥﹣3，
{x+5＞0)
则 ，
x+3≥0
故选：B．
{x−3(2x−1)≥8)
【变式3】将不等式组 的解集表示在同一条数轴上，正确的是（ ）
−2x+1＜7
A．
B．
C．
D．
【分析】分别解出两个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可．
{x−3(2x−1)≥8①)
【解答】解： ，
−2x+1＜7②
解不等式①，得x≤﹣1，
解不等式②，得x＞﹣3，
所以不等式组的解集为﹣3＜x≤﹣1，
故选：A．【必考点3 解一元一次不等式组】
{−3(x−2)≤4−x，①
)
【例1】解不等式组 1+2x
x−1≤ ，②
3
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小
找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥1；
（Ⅱ）解不等式②，得x≤4；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下：
（Ⅳ）原不等式组的解集为1≤x≤4，
故答案为：x≥1，x≤4，1≤x≤4．
{3(x−1)≤x+4
)
【例2】解不等式组： 1+2x x−1 把解集在数轴上表示出来，并写出所有的整数解．
＞
2 4
【分析】先求出各不等式的解集并表示在数轴上，写出不等式组的解集，找到整数解即可．
7
【解答】解：解不等式3（x﹣1）≤x+4得：x≤ ，
2
1+2x x−1
解不等式 ＞ 得：x＞﹣1，
2 4
在数轴上表示出来如下，7
∴原不等式组的解集为−1＜x≤ ，
2
∴原不等式组的所有的整数解为：0，1，2，3．
{3(x−1)＜2x+3
)
【变式1】解不等式组 x x−2 ，并把该解集在数轴上表示出来．
1− ≤
2 5
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
{3(x−1)＜2x+3①
)
【解答】解： x x−2
1− ≤ ②
2 5
解不等式①，得x＜6，
解不等式②，得x≥2，
该不等式组的解集在数轴上的表示如下：
所以该不等式组的解集为2≤x＜6．
{4(x+1)≤7x+10
)
【变式2】解关于x的不等式组： x−1 ，把解集在数轴上表示出来．
2x−3＜
2
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到
（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
{4(x+1)≤7x+10 ①
)
【解答】解： x−1 ，
2x−3＜ ②
2
解不等式①，得x≥﹣2，
5
解不等式②，得x＜ ，
35
∴该不等式组的解集为−2≤x＜ ，
3
其解集在数轴上表示如下：
．
【变式3】（1）下面是乐乐同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
x+5 3x+2
解不等式： −1≤ ．
2 3
解：3（x+5）﹣6≤2（3x+2）．……第一步
3x+15﹣6≤6x+4．……第二步
3x﹣6x≤4+6﹣15．……第三步
﹣3x≤﹣5．……第四步
5
x≤ ．……第五步
3
任务一：①以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的；
②第 步出现错误，这一步错误的原因是 ．
任务二：请写出该不等式的正确解集为 ．
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提
一条建议．
{x−3(x−2)≥4，
)
（2）解不等式组 5 x−3 并将其解集在数轴上表示出来．
x+1＞ ，
6 4
【分析】（1）根据不等式的基本性质和解一元一次不等式的步骤求解即可．
【解答】解：（1）任务一：①以上解题过程中，第一步是依据不等式的基本性质2进行变形的；
②乐乐同学解答过程在第五步出错，错误原因是不等号的方向未改变．
任务二：3（x+5）﹣6≤2（3x+2），
3x+15﹣6≤6x+4，
3x﹣6x≤4+6﹣15，﹣3x≤﹣5，
5
x≥ ；
3
任务三：去分母和化系数为1可能用到性质3，不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号
方向改变，其它都不会改变不等号方向．
5
故答案为：不等式的基本性质2；五，不等号的方向未改变；x≥ ．
3
{x−3(x−2)≥4①
)
（2） 5 x−3 ，
x+1＞ ②
6 4
由①得：x≤1，
由②得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤1．
将其解集在数轴上表示如图所示：
【必考点4 根据一元一次不等式组的解集求参】
{4(x−1)+1＜3x)
【例1】若关于x的不等式组 的解集为x＜3，那么m的取值范围是（ ）
x＜m
A．m＝3 B．m＞3 C．m＜3 D．m≥3
{x＜3)
【分析】先解不等式组，得出 ，然后根据不等式组的解集为x＜3，求出m的取值范围即可．
x＜m
{4(x−1)+1＜3x)
【解答】解：关于x的不等式组 的解集为x＜3，
x＜m
{x＜3)
解不等组式得： ，
x＜m
∵不等式组的解集为x＜3，
∴m的范围为m≥3．
故选：D．
{ −x+3a≥b )
【例2】已知关于x的不等式组 的解集是2≤x≤5，则（3a+b）2025的值是（ ）
3x−4a≥2b+6
A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】将a、b看作常数解两个不等式，再根据不等式组的解集为2≤x≤5得到关于a、b的方程组，
求出a和b的值，即可求出（3a+b）2025的值．
【解答】解：解不等式﹣x+3a≥b，得：x≤3a﹣b，
4a+2b+6
解不等式3x﹣4a≥2b+6，得：x≥ ，
3
∵不等式组的解集为2≤x≤5，
{
3a−b=5
)
∴ 4a+2b+6 ，
=2
3
{ a=1 )
解得： ．
b=−2
∴3a+b＝3﹣2＝1，
∴（3a+b）2025＝1，
故选：C．
{2a−x＞3 )
【例3】关于x的不等式组 的解集中每一个值均不在﹣1≤x≤5的范围中，则a的取值范围
2x+8＞4a
是（ ）
A．a＜1或a＞4.5 B．a≤1或a≥4.5
C．a＞4或a＜4.5 D．a≥4或a≤4.5
【分析】根据解不等式，可得不等式组的解集，根据不等式组的解集，可得答案．
{ 2a−x＞3①)
【解答】解： ，
2x+8＞4a②
解不等式①得，x＜2a﹣3，
解不等式②得，x＞2a﹣4，
解得原不等式组的解集为2a﹣4＜x＜2a﹣3．
{ 2a−x＞3①)
由关于x的不等式组解 的解集中每一x值均不在﹣1≤x≤5的范围中，得
2x+8＞4a②
2a﹣4≥5或2a﹣3≤﹣1．
解得a≥4.5或a≤1，
故选：B．
{ x−2a＞0 )
【变式1】若关于x的不等式组 的解集是x＞2a，则a的取值范围是（ ）
2(x+1)＞14−x
A．a＞4 B．a＞2 C．a＝2 D．a≥2【分析】求出不等式的解集，根据已知得出关于a的不等式，求出即可．
{ x−2a＞0① )
【解答】解：
2(x+1)＞14−x②
解不等式①得：x＞2a，
解不等式②得：x＞4，
{ x−2a＞0 )
∵关于x的不等式组 的解集是x＞2a，
2(x+1)＞14−x
∴2a≥4，
a≥2，
即a的取值范围是a≥2，
故选：D．
{x+m＜0
)
【变式2】若关于x的不等式组 的解集为﹣2＜x＜3，则m﹣n的值为（ ）
2x−n＞2
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1
n+2
【分析】先解不等式组，结合不等式组的解集为﹣2＜x＜3，得出﹣m＝3， =−2，求出m、n的
2
值，代入计算即可得出答案．
{x+m＜0①)
【解答】解： ，
2x−n＞2②
解不等式①得：x＜﹣m，
n+2
解不等式②得：x＞ ，
2
{x+m＜0
)
∵关于x的不等式组 的解集为﹣2＜x＜3，
2x−n＞2
n+2
∴﹣m＝3， =−2，
2
解得：m＝﹣3，n＝﹣6，
∴m﹣n＝﹣3﹣（﹣6）＝3，
故选：B．
{2a−x＞3 )
【变式3】关于x的不等式组 的解集中每一个值均不在﹣1≤x≤5的范围中，则a的取值范
2x+8＞4a
围是（ ）
A．a＜1或a＞4.5 B．a≤1或a≥4.5
C．a＞4或a＜1.5 D．a≥4或a≤1.5【分析】根据解不等式，可得不等式组的解集，根据不等式组的解集，可得答案．
{2a−x＞3 )
【解答】解：由 解得2a﹣4＜x＜2a﹣3．
2x+8＞4a
{2a−x＞3 )
由关于x的不等式组 的解集中每一x值均不在﹣1≤x≤5的范围中，得
2x+8＞4a
2a﹣4≥5或2a﹣3≤﹣1．
解得a≥4.5或a≤1，
故选：B．
【必考点5 根据一元一次不等式组的有解无解求参】
{ x−a≥0 )
【例1】已知关于x的不等式组 有解，则a的取值范围是（ ）
7−3(x−1)＞4
A．a＞﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜2 D．a≤2
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组有解，得出关于 a的不等式，据此可解决问
题．
{ x−a≥0① )
【解答】解： ，
7−3(x−1)＞4②
解①得x≥a，
解②得x＜2，
因为不等式组有解，
所以a＜2，
故选：C．
{x+8＜4x+2，)
【例2】如果不等式组 无解，那么m的取值范围是（ ）
x−m＜0
A．m≥2 B．m≤2 C．m＝2 D．m＜2
【分析】先对所给不等式组进行求解，再结合此不等式组无解，得出m的取值范围即可．
【解答】解：由题知，
解不等式x+8＜4x+2得，x＞2；
解不等式x﹣m＜0得，x＜m，
因为此不等式组无解，
所以m≤2．
故选：B．
{5x−a≥3(x−1))
【变式1】已知关于x的不等式组 只有一个解，a的值为 ．
2x−1≤7【分析】求出不等式组中两不等式的解集，根据不等式取解集的方法：同大取大；同小取小；大大小小
无解；大小小大取中间的法则表示出不等式组的解集，由不等式组只有一个解，即可得出a的值．
{5x−a≥3(x−1)①)
【解答】解：
2x−1≤7②
a−3
解不等式①得x≥ ，
2
解不等式②得x≤4，
a−3
∴ ≤x≤4，
2
a−3
由条件可知 =4，
2
∴a＝11，
故答案为：11．
{x−2k＜0)
【变式2】已知关于x的一元一次不等式组 有解，则k的取值范围为 ．
x+k＞2
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解，进一步求出k的取值范围即可．
【解答】解：解不等式x﹣2k＜0得，x＜2k；
解不等式x+k＞2得，x＞﹣k+2．
因为此不等式组有解，
所以2k＞﹣k+2，
2
解得k＞ ．
3
2
故答案为：k＞ ．
3
{5x＞3(x+a)−10
)
【变式3】如果关于x的不等式组 a−3 无解，求a的取值范围．
3−x≥
4
【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的解集情况得出关于a的不等式，解之即可．
3a−10
【解答】解：由5x＞3（x+a）﹣10得：x＞ ，
2
a−3 15−a
由3﹣x≥ 得：x≤ ，
4 4
因为不等式组无解，3a−10 15−a
所以 ≥ ，
2 4
解得a≥5．
【必考点6 根据一元一次不等式组的整数解求参】
{3
y+1＞
y−2
)
【例1】关于y的一元一次不等式组 2 2 有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
y−a＜0
A．a≤2 B．1＜a≤2 C．a≥1 D．1≤a＜2
【分析】先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组有3个整数解进行求解即可．
{3
y+1＞
y−2
①)
【解答】解： 2 2 ，
y−a＜0②
由①得：y＞﹣2，
由②得：y＜a，
∴原不等式组的解集为﹣2＜y＜a，
{3
y+1＞
y−2
)
∵关于y的一元一次不等式组 2 2 有3个整数解，
y−a＜0
∴1＜a≤2，
故选：B．
{9x−m≥0)
【例2】已知关于x的不等式组 的整数解只有1、2、3，其中m、n都为整数，则m+n的值共
8x−n＜0
有（ ）
A．16个 B．17个 C．18个 D．72个
【分析】先解两个不等式，结合不等式组的整数解得出m、n的取值范围，结合m、n为整数可以确定
m、n的值，代入计算可得．
m
【解答】解：解不等式9x﹣m≥0，得：x≥ ，
9
n
解不等式8x﹣n＜0，得：x＜ ，
8
∵不等式组的整数解是1，2，3，
m n
∴0＜ ≤1，3＜ ≤4，
9 8
∴0＜m≤9，24＜n≤32，∵m，n为整数，
∴m＝1，2，3，4，5，6，7，8，9共9个值，
n＝25，26，27，28，29，30，31，32，共8个值，
∴m有9种取值，n有8种取值，
∴m+n的取值为16种．
故选：A．
{2x＞3x−3)
【变式1】关于x的一元一次不等式组 只有4个整数解，则a的取值范围是（ ）
3x−a＞5
A．﹣1≤a＜2 B．﹣11＜a＜﹣8 C．﹣11≤a＜﹣8 D．﹣11＜a≤﹣8
【分析】表示出不等式组的解集，根据解集中有4个整数解，确定出a的范围即可．
{ x＜3 )
【解答】解：不等式组整理得： a+5 ，
x＞
3
∵不等式组有4个整数解，即﹣1，0，1，2，
a+5
∴a的范围是﹣2≤ ＜−1，
3
∴﹣11≤a＜﹣8．
故选：C．
{2x+a≥0
)
【变式2】已知关于x的不等式组 至少有2个整数解，则a的取值范围是（ ）
3x−3＜9
A．﹣4≤a＜﹣2 B．a≥﹣4 C．a≤﹣4 D．a＜﹣2
【分析】分别求出两个不等式的解集，再结合已知条件可得答案．
{2x+a≥0①)
【解答】解： ，
3x−3＜9②
a
解不等式①，得x≥− ，
2
解不等式②，得x＜4，
a
解不等式组，得− ≤x＜4，
2
∵至少有2个整数解，
a
∴− ≤2，
2
解得a≥﹣4．
故选：B．{3(x−a)+2≥2(1−2x−a)
)
【变式3】如果关于x的不等式组 x+b b−x 的整数解仅为1、2、3，那么适合这个不
＜
3 2
等式组的整数对（a，b）共有（ ）
A．32对 B．35对 C．40对 D．48对
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a，b的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些
整数解，根据解的情况可以得到关于a，b的不等式，从而求出a，b的范围，得到a，b的可能整数
值，即可作出判断．
{3(x−a)+2≥2(1−2x−a)
)
【解答】解：解关于x的不等式组 x+b b−x ，
＜
3 2
a
解第一个不等式得：x≥ ，
7
b
解第二个不等式得：x＜ ，
5
a b
则不等式组的解集是： ≤x＜ ．
7 5
根据方程组的整数解仅为1，2，3．
a b
则有0＜ ≤1且3＜ ≤4，a，b是整数．
7 5
∴a＝1或2或3或4或5或6或7；b＝16或17或18或19或20．
则适合这个不等式组的整数对（a，b）共有7×5＝35对．
故选：B．
【必考点7 不等式组与方程（组）的综合】
a−(1−y) { x−a ≥2 )
【例1】如果关于y的方程 = y−2有非负整数解，且关于x的不等式组 2 的解
3
x−4≤3(x−2)
集为x≥1，则所有符合条件的整数a的和为（ ）
A．﹣5 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣12
a+5 a−(1−y)
【分析】解方程得出y= ，根据关于y的方程 = y−2有非负整数解，得出a≥﹣5，且
2 3a+5
为整数，由不等式的解集得出a≤﹣3，进而即可求解．
2
a−(1−y)
【解答】解： = y−2，
3
a+5
解得：y= ，
2
a−(1−y)
∵关于y的方程 = y−2有非负整数解，
3
a+5
∴ ≥0，
2
a+5
解得：a≥﹣5，且 为整数，
2
{ x−a ≥2 )
关于x的不等式组 2 整理得：
x−4≤3(x−2)
{x≥a+4)
，
x≥1
{ x−a ≥2 )
∵不等式组 2 的解集为x≥1，
x−4≤3(x−2)
∴a+4≤1，
解得：a≤﹣3，
a+5
∴﹣5≤a≤﹣3且 为整数，
2
∴a＝﹣5，﹣3，
于是符合条件的所有整数a的值之和为：﹣5﹣3＝﹣8．
故选：B．
{3x+ y=k+1)
【例2】已知关于x、y的二元一次方程组 ．
x+3 y=3
（1）若方程组的解x、y互为相反数．求k的值；
（2）若方程组的解满足0＜x+y＜1，求k的取值范围．
【分析】（1）将两个方程相加可得4x+4y＝k+4，由相反数的性质知x+y＝0，据此可得关于k的方程，
解之可得；k+4
（2）将两个方程相加可得4x+4y＝k+4，即x+y= ，结合题意得出k的不等式组，解之可得．
4
【解答】解：（1）将两个方程相加可得4x+4y＝k+4，
∵x、y互为相反数，
∴x+y＝0，
则4x+4y＝0，
∴k+4＝0，
解得k＝﹣4；
k+4
（2）两个方程相加可得4x+4y＝k+4，即x+y= ，
4
∵0＜x+y＜1，
k+4
{ ＞0)
4
∴ ，
k+4
＜1
4
解得﹣4＜k＜0．
1−y 8+2y
{ ≤ −1)
2−ax x 2 3
【变式1】若关于x的方程x− = +2有非负整数解，且关于y的不等式组 至多
4 2 y+a
+1＞y+a
2
有三个整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ．
【分析】先解一元一次不等式组，根据不等式组至多有3个整数解，求出a的范围，再解分式方程，根
据分式方程有非负整数解，确定a的值即可解答．
1−y 8+2y
{ ≤ −1①)
2 3
【解答】解： ，
y+a
+1＞y+a②
2
解不等式①得：y≥﹣1，
解不等式②得：y＜2﹣a，
∵不等式组至多有3个整数解，
∴2﹣a≤2，
∴a≥0，2−ax x
x− = +2，
4 2
4x﹣2+ax＝2x+8，
10
解得x= ，
a+2
∵方程有非负整数解，
∴x≥0（x为非负整数），
10
∴ ≥0，
a+2
∴﹣1≤a≤8，
10
∵ 为整数，a≥0
a+2
∴符合条件的所有整数a的值为：0，3，8，
∴符合条件的所有整数a的和是：11．
故答案为：11．
{ 7x−a≥1 )
【变式2】若关于x的不等式组 x+5 有且仅有4个整数解，且关于 m，n的二元一次方程组
≥x−1
3
{ m+2n=3 )
的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为 ．
2m−2n=a
【分析】根据所给不等式组有且仅有4个整数解，可得出a的取值范围，再结合关于m，n的二元一次
方程组的解为整数，得出满足要求的整数a的值即可解决问题．
【解答】解：由题知，
a+1
解不等式7x﹣a≥1得，x≥ ；
7
x+5
解不等式 ≥x−1得，x≤4，
3
因为此不等式组有且仅有4个整数解，
a+1
所以0＜ ≤1，
7
解得﹣1＜a≤6．a+3
{m= )
{ m+2n=3 ) 3
解方程组 得， ．
2m−2n=a 6−a
n=
6
因为此方程组的解为整数，
所以满足条件的整数有：0，6，
所以所有满足条件的整数a的和为：0+6＝6．
故答案为：6．
{ x+2y=4 )
【变式3】已知关于x，y的方程组 ．
x−2y=2m
（1）求这个方程组的解；
（2）当m取何值时，这个方程组的解x大于1，y不小于﹣1．
（3）已知t＝3x﹣2y，在（2）的条件下，求t的取值范围．
【分析】（1）利用加减法即可求得方程组的解；
（2）根据（1）的结果以及方程组的解中，x大于1，y不小于﹣1列不等式组，解不等式组求得m的范
围；
（3）由t＝3x﹣2y得出t＝4（m+1），根据﹣1＜m≤4求得﹣0＜4（m+1）≤20，即可求得0＜t≤20．
{ x+2y=4① )
【解答】解：（1） ，
x−2y=2m②
①+②得2x＝2m+4，
则x＝m+2，
①﹣②得4y＝4﹣2m，
1
则y＝1− m．
2
{
x=m+2
)
∴这个方程组的解为 1 ；
y=1− m
2
{
m+2＞1
)
（2）根据题意得： 1 ，
1− m≥−1
2
解得﹣1＜m≤4；
（3）∵t＝3x﹣2y，
1
∴t＝3（m+2）﹣2（1− m）＝3m+6﹣2+m＝4m+4＝4（m+1），
2∵﹣1＜m≤4，
∴0＜m+1≤5，
∴0＜4（m+1）≤20，
∴0＜t≤20．
【必考点8 一元一次不等式组与新定义】
{x−y(x≥ y))
【例1】对实数x、y定义一种新的运算F，规定F(x，y)= ，若关于正数x的不等式组
y−x(x＜y)
{F(x，2)＞3)
恰好有4个整数解，则n的取值范围是（ ）
F(−1，x)≤n
A．9＜n≤10 B．9≤n＜10 C．10＜n≤11 D．10≤n＜11
【分析】分两种情况：0＜x＜2，x≥2，根据新定义列不等式组，求得x的取值范围，再根据不等式组
整数解的个数求m的取值范围即可．
【解答】解：当0＜x＜2时，F（x，2）＞3，
∴2﹣x＞3，不合题意（舍）；
当x≥2时，则x﹣2＞3，
∴x＞5，
由F（﹣1，x）≤n，得x+1≤n，
∴x≤n﹣1，
∴5＜x≤n﹣1，
∵有4个整数解，
∴整数解为6，7，8，9，
∴9≤n﹣1＜10，
∴10≤n＜11．
故选：D．
【变式1】对于任意实数a、b，定义一种运算：a b＝a+b﹣ab，如：2 3＝2+3﹣2×3，请根据以上定义
⊕ ⊕
{2⊕x＞0)
解决问题：若关于x的不等式组 只有3个整数解，则m的取值范围是 ．
x⊕3≤m
【分析】先根据已知新运算变形，再求出不等式组的解，根据已知得出关于m的不等式组，求出m的
范围即可．{2⊕x＞0)
【解答】解：∵ ，
x⊕3≤m
{2+x−2x＞0①)
∴ ，
x+3−3x≤m②
解不等式①得：x＜2，
m−3
解不等式②得：x≥− ，
2
m−3
∴不等式组的解集是：− ≤x＜2，
2
∵不等式组有3个整数解，
∴3个整数解为﹣1，0，1，
m−3
∴−2＜− ≤−1，
2
解得：5≤m＜7．
故答案为：5≤m＜7．
【变式2】定义[x]表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[1]＝1，[﹣1.2]＝﹣2．有下列结论：①当
1 7
x= 时，[1+x]+[1﹣x]的值为1；②[x﹣1]＝[x]﹣1；③x﹣1＜[x]≤x；④x=− 是方程3x﹣2[x]+1＝0
2 3
的唯一解，其中，正确的有 ．（填序号）
1 3 1
【分析】当x= 时，[1+x]+[1−x]=[ ]+[ ]=1+0=1，可判断①的正误；设[x]＝n，则n≤x＜
2 2 2
n+1，n﹣1≤x﹣1＜n，[x﹣1]＝n﹣1，可得[x﹣1]＝[x]﹣1，可判断②的正误；由题意知，x的整数部分
为[x]，则小数部分为x﹣[x]，由0≤x﹣[x]＜1，可求x﹣1＜[x]≤x，可判断③的正误；由3x﹣2[x]+1＝
3x+1 3x+1 3x+1 3x+1
0，可得[x]= ，x的整数部分为 ，则小数部分为x− ，且0≤x− ＜1，可求
2 2 2 2
﹣3＜x≤﹣1，然后分情况求解，进而可判断④的正误．
1 3 1
【解答】解：当x= 时，[1+x]+[1−x]=[ ]+[ ]=1+0=1，①正确，故符合要求；
2 2 2
设[x]＝n，则n≤x＜n+1，
∴n﹣1≤x﹣1＜n，
∴[x﹣1]＝n﹣1，
∴[x﹣1]＝[x]﹣1，②正确，故符合要求；
由题意知，x的整数部分为[x]，则小数部分为x﹣[x]，∴0≤x﹣[x]＜1，
解得，x﹣1＜[x]≤x，③正确，故符合要求；
∵3x﹣2[x]+1＝0，
3x+1
∴[x]= ，
2
3x+1 3x+1 3x+1
∴x的整数部分为 ，则小数部分为x− ，且0≤x− ＜1，
2 2 2
解得，﹣3＜x≤﹣1，
当﹣3＜x＜﹣2时，[x]＝﹣3，
∴3x﹣2×（﹣3）+1＝0，
7
解得，x=− ；
3
当﹣2≤x＜﹣1时，[x]＝﹣2，
∴3x﹣2×（﹣2）+1＝0，
5
解得，x=− ；
3
当x＝﹣1时，[x]＝﹣1，
∴3x﹣2×（﹣1）+1＝0，
解得，x＝﹣1；
7 5
综上所述，x=− 或x=− 或x＝﹣1是3x﹣2[x]+1＝0的解，④错误，故不符合要求；
3 3
故答案为：①②③．
【变式3】定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）
的“完美解”．
例：已知方程2x﹣3＝1的解为x＝2，不等式x+3＞0的解集为x＞﹣3，则称“x＝2”为方程2x﹣3＝1
和不等式x+3＞0的“完美解”．
x−1 {x+1＞0)
（1）下列不等式（组）：①2x﹣3＞3x﹣1，② ＜3，③ 中与方程2x+3＝1存在“完
2 x−2≤1
美解”的有哪些？并说明理由；
{3x−2y=m+2) {x+ y＞−1)
（2）若关于x，y的二元一次方程组 的解是该方程组与不等式组 的“完
2x−y=m−5 x+ y＜5
美解”，求m的取值范围．
【分析】（1）解方程2x+3＝1的解为x＝﹣1，分别代入三个不等式检验即可；{3x−2y=m+2) {x=m−12)
（2）解方程组 得 ，则x+y＝2m﹣31，代入不等式组解得﹣1＜2m﹣31＜
2x−y=m−5 y=m−19
5，继而可求得15＜m＜18．
【解答】解：（1）解方程2x+3＝1，得x＝﹣1；
①∵不等式2x﹣3＞3x﹣1的解集为x＜﹣2，
∴﹣1不在该解集范围内；
x−1
②不等式 ＜3的解集是x＜7；
2
{x+1＞0)
③∵不等式组 的解集是﹣1＜x≤3，
x−2≤1
∴﹣1不在该解集范围内．
综上所述：方程2x+3＝1只与不等式②存在“完美解”．
{3x−2y=m+2) {x=m−12)
（2）解方程组 得： ，
2x−y=m−5 y=m−19
∴x+y＝2m﹣31，
{x+ y＞−1)
∵方程组的解是不等式组 的“完美解”，
x+ y＜5
∴﹣1＜2m﹣31＜5，
∴15＜m＜18．
【知识点2 列一元一次不等式组解决实际问题】
列一元一次不等式组解决实际问题的基本步骤：
①审题：认真审题，分清已知量、未知量之间的关系，要抓住题设的关键字，如大于、小于、不大于、
不小于等，并要准确理解他们的含义。
②设：设出适当的未知数。
③列：根据题目中的不等量关系，列出不等式，从而组成不等式组。
④解：解出所列的不等式组的解集。
⑤答：检验结果是否符合题意，并写出答案。
【必考点9 根据实际问题列一元一次不等式组】
【例1】将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学
生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数．设九（1）班有学生x人，则列出的
不等式组是（ ）
{4x+77−6x＞0)
A．
4x+77−6x＜5{6x+77−4x＞0)
B．
6x+77−4x＜5
{4x+77−6(x−1)＞0)
C．
4x+77−6(x−1)＜5
{6x+77−4(x−1)＞0)
D．
6x+77−4(x−1)＜5
【分析】设有学生x人，由于每人分4本，则还剩77本书，则共有（4x+77）本书；根据“每位学生分
6本书，则有一名学生能分到书但少于5本”列出不等式组即可．
【解答】解：∵每人分4本，则还剩77本书，
∴书的总本数为（4x+77），
∵每位学生分6本书，则有一名学生能分到书但少于5本，
∴4x+77﹣6（x﹣1）＞0且4x+77﹣6（x﹣1）＜5，
{4x+77−6(x−1)＞0)
∴ ，
4x+77−6(x−1)＜5
故选：C．
【例2】某中学计划采购A，B两种型号的黑板共60块，经洽谈，一块A型黑板需要100元，一块B型黑
板需要80元．根据实际需求，B型黑板的数量不能多于A型黑板数量的2倍，且学校此次划拨采购黑
板的总费用为5240元．学校应该采购A，B两种型号黑板各多少块？设采购A型黑板x块，则根据题意
可以列不等式组为（ ）
{ 2x＜60−x )
A．
100x+80(60−x)＞5240
{ 2x＞60−x )
B．
100x+80(60−x)＜5240
{ 2x≤60−x )
C．
100x+80(60−x)≥5240
{ 2x≥60−x )
D．
100x+80(60−x)≤5240
【分析】根据“B型黑板的数量不能多于A型黑板数量的2倍”、“学校此次划拨采购黑板的总费用为
5240元”列方程组即可．
【解答】解：∵采购A型黑板x块，计划采购A，B两种型号的黑板共60块，
∴采购B型黑板（60﹣x）块，∵B型黑板的数量不能多于A型黑板数量的2倍，
∴60﹣x≤2x；
∵学校此次划拨采购黑板的总费用为5240元，
∴100x+80（60﹣x）≤5240；
{ 2x≥60−x )
即 ．
100x+80(60−x)≤5240
故选：D．
【变式1】某景点摊位要购进不倒翁和折扇两种纪念品，不倒翁的单价为20元，折扇的单价为10元．已
知购买折扇的件数比购买不倒翁的件数的2倍少3件，如果购买不倒翁、折扇两种商品的总数量不少于
35件，且购买这两种商品的总费用少于560元．设购买不倒翁x件，依题意可列不等式组得（ ）
{ x+(2x−3)≥35 )
A．
20x+10(2x−3)＜560
{ x+(2x−3)≥35 )
B．
20x+10(2x−3)≤560
{ x+(2x−3)≥35 )
C．
20x+10(2x−3)＞560
{ x+(2x−3)≥560 )
D．
20x+10(2x−3)≤35
【分析】设购买不倒翁x件，则购买折扇（2x﹣3）件，根据购买不倒翁、折扇两种商品的总数量不少
于35件得到x+（2x﹣3）≥35，根据购买这两种商品的总费用少于560元得到20x+10（2x﹣3）＜560，
据此可得答案．
【解答】解：设购买不倒翁x件，则购买折扇（2x﹣3）件，
{ x+(2x−3)≥35 )
由题意得， ，
20x+10(2x−3)＜560
故选：A．
【变式2】用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知每千克的这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料
的价格如表所示：现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200单位的维生素C，且购买原料的费用不超
过72元．设所需甲种原料x（kg），则可列不等式组为（ ）
原料 甲 乙维生素 600单位 100单位
原料价格 8元 4元
{ 600x+100x≥4200 )
A．
8(10−x)+4(10−x)≤72
{600(10−x)+100x＞4200)
B．
8(10−x)+4x＜72
{600x+100(10−x)≥4200)
C．
8x+4(10−x)≤72
{600x+100(10−x)＜4200)
D．
8x+4(10−x)＞72
【分析】所需甲种原料x（kg），则需乙种原料（10﹣x）kg．由题意得：xkg甲原料所含维生素+（10
﹣x）kg乙≥4200单位；甲所花的费用+乙的费用≤72．
【解答】解：设所需甲种原料的质量为xkg，则需乙种原料（10﹣x）kg．
{600x+100(10−x)≥4200)
根据题意，得： ，
8x+4(10−x)≤72
故选：C．
【变式3】用若干载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车
装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空．设有 x辆货车，3位同学分别列出了关于x的不等式组，
则正确的是（ ）
①0＜8x﹣（4x+20）＜8；②8（x﹣1）＜4x+20＜8x；③0＜4x+20﹣8（x﹣1）＜8．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】根据题意可以列出相应的不等式组，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：由题意可得，
0＜8x﹣（4x+20）＜8或8（x﹣1）＜4x+20＜8x或0＜（4x+20）﹣8（x﹣1）＜8，
故正确的是①②③，
故选：D．
【必考点10 一元一次不等式组的实际应用（方案选择问题）】
【例1】某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的
单价比A品牌足球的单价高30元．（1）求A，B两种品牌足球的单价各多少元？
（2）根据需要，学校决定再次购进A，B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活
动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A，B两种品牌足球
的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于22个，则有几种购买方案？为了节约资金，学
校应选择哪种方案？
【分析】（1）设A种品牌足球的单价是x元，则B种品牌足球的单价是（x+30）元，利用总价＝单价×
数量，结合“购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元”，可列出关于x的一
元一次方程，解之可得出x的值（即A种品牌足球的单价），再将其代入（x+30）中，即可求出B种品
牌足球的单价；
（2）设购买y个B种品牌的足球，则购买（50﹣y）个A种品牌的足球，根据“此次学校购买A，B两
种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于22个”，可列出关于y的一元一次
不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，可得出各购买方案，求出各方案所需费用，
比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设A种品牌足球的单价是x元，则B种品牌足球的单价是（x+30）元，
根据题意得：50x+25（x+30）＝4500，
解得：x＝50，
∴x+30＝50+30＝80（元）．
答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元；
（2）设购买y个B种品牌的足球，则购买（50﹣y）个A种品牌的足球，
{(50−4)(50−y)+80×0.8 y≤2750)
根据题意得： ，
y≥22
解得：22≤y≤25，
又∵y为正整数，
∴y可以为22，23，24，25，
∴共有4种购买方案，
方案1：购买28个A种品牌的足球，22个B种品牌的足球，所需费用为（50﹣4）×28+80×0.8×22＝
2696（元）；
方案2：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球，所需费用为（50﹣4）×27+80×0.8×23＝
2714（元）；
方案3：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球，所需费用为（50﹣4）×26+80×0.8×24＝
2732（元）；方案4：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球，所需费用为（50﹣4）×25+80×0.8×25＝
2750（元），
∵2696＜2714＜2732＜2750，
∴方案1费用最低．
答：共有4种购买方案，为了节约资金，学校应选择方案1：购买28个A种品牌的足球，22个B种品
牌的足球．
【例2】某科技公司训练DeepSeek AI模型时，需要处理大量文本和图片数据．已知文本数据每一个数据
集包含800个字符，图片数据每一个数据集包含200张图片．处理一个文本数据集需要3秒，处理一个
图片数据集需要2秒．
（1）某次训练任务中，AI总共处理了50个数据集，且处理的总字符数比总图片数多16000．求此次训
练任务中，处理的文字数据集和图片数据集各多少个？
（2）为提高训练效率，公司又进行了第二次训练，一共需要处理100个数据集，总字符数不低于总图
片数，总耗时不超过221秒．求有哪几种处理方案？
【分析】（1）设此次训练任务中，处理了x个文字数据集，则处理了（50﹣x）个图片数据集，根据处
理的总字符数比总图片数多16000，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即处理的文字
数据集的数量），再将其代入（50﹣x）中，即可求出处理的图片数据集的数量；
（2）设处理y个文字数据集，则处理（100﹣y）个图片数据集，根据“处理的总字符数不低于总图片
数，总耗时不超过221秒”，可列出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y
为正整数，即可得出各处理方案．
【解答】解：（1）设此次训练任务中，处理了x个文字数据集，则处理了（50﹣x）个图片数据集，
根据题意得：800x﹣200（50﹣x）＝16000，
解得：x＝26，
∴50﹣x＝50﹣26＝24（个）．
答：此次训练任务中，处理了26个文字数据集，24个图片数据集；
（2）设处理y个文字数据集，则处理（100﹣y）个图片数据集，
{800 y≥200(100−y))
根据题意得： ，
3 y+2(100−y)≤221
解得：20≤y≤21，
又∵y为正整数，
∴y可以为20，21，∴共有2种处理方案，
方案1：处理20个文字数据集，80个图片数据集；
方案2：处理21个文字数据集，79个图片数据集．
【变式1】在2025年3月14日下午，成都外国语学校初中部举办了第二届数学“ ”节活动——七年级
“智趣数学，欢乐游园”游园会．筹备组教师从淘宝网购进魔方和踩雷对战棋共π25个活动道具，其中
魔方单价12元，踩雷对战棋单价15元．
（1）若合计采购费用为330元，求购买的魔方和踩雷对战棋各有多少个；
（2）若筹各组在购买魔方时遇到淘宝平台开展限时优惠活动：一次性购买魔方超过8个，超过部分可
享受8折优惠．若筹备组希望保持总数量25个不变，总费用不超过330元，且魔方数量不超过踩雷对
战棋数量的1.5倍，共有几种购买方案，并列举所有可能的方案．
【分析】（1）设购买的魔方x个，踩雷对战棋（25﹣x）个，根据题意列方程，即可得到结论；
（2）设购买的魔方x个，踩雷对战棋（25﹣x）个，根据题意列不等式组，即可得到结论．
【解答】解：（1）设购买的魔方x个，踩雷对战棋（25﹣x）个，
根据题意得，12x+15（25﹣x）＝330，
解得x＝15，
∴25﹣x＝10，
答：购买的魔方15个，踩雷对战棋10个；
（2）设购买的魔方x个，踩雷对战棋（25﹣x）个，
{ x≤1.5(25−x) )
根据题意得 ，
8×12+(x−8)×80%×12+15×(25−x)≤330
8
解得11 ≤x≤15，
9
∵x为正整数，
∴x＝12，13，14，15，
∴共有4种方案，
分别为方案一：购买12个魔方，13个踩雷对战棋；
方案二：购买13个魔方，12个踩雷对战棋；
方案三：购买14个魔方，11个踩雷对战棋；
方案四：购买15个魔方，10个踩雷对战棋．
【变式2】某家具店经销A，B两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200
元、5250元．（1）该店销售记录显示，4月份A，B两种品牌的儿童床共售出20张，且销售A，B两种品牌的儿童床
的利润相同．该店4月份A，B两种品牌的儿童床各售出多少张？
（2）根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于
A品牌的儿童床张数的70%，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方
案．
【分析】（1）设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张，根据销售A，B两种品牌的儿童床的利润相同
列方程求解即可；
（2）设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床（30﹣a）张，根据购进B品
牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的70%，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000
元，可列一元一次不等式组，解不等式组即可解答．
【解答】解：（1）设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张．
由题意，得（4200﹣3500）x＝（5250﹣4200）（20﹣x），
解得x＝12，
20﹣x＝8．
故该店4月份A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张，
答：该店4月份A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张；
（2）设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床（30﹣a）张．
{ 30−a≥0.7a )
由题意，得 ，
3500a+4200(30−a)≤115000
5 11
解得15 ≤a≤17 ，所以正整数解有16，17，
7 17
所以有两种进货方案：
①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张；
②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张．
【变式3】学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫少5元，购买40
件A款文化衫和30件B款文化衫一共花费2950元．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）初一年同学一共有700人，学校计划用不多于29640元，不少于29600元的资金为初一年每位同
学购买一件文化衫，求有几种购买方案？
（3）在实际购买时，由于购买数量较多，商家让利销售，A款每件让利m元，B款六折优惠，采购人
员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，则m值为 ．【分析】（1）设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件（x+5）元，根据购买40件A款文化衫和30
件B款文化衫一共花费2950元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即A款文化衫的单
价），再将其代入（x+5）中，即可求出B款文化衫的单价；
（2）设购买y件A款文化衫，则购买（700﹣y）件B款文化衫，利用总价＝单价×数量，结合总价不多
于29640元且不少于29600元，可列出关于y的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合
m为正整数，即可得出共有9种购买方案；
（3）由（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，可得出A，B款文化衫的购买单价相同，进而可列
出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件（x+5）元，
根据题意得：40x+30（x+5）＝2950，
解得：x＝40，
∴x+5＝40+5＝45．
答：A款文化衫每件40元，B款文化衫每件45元；
（2）设购买y件A款文化衫，则购买（700﹣y）件B款文化衫，
{40 y+45(700−y)≤29640)
根据题意得： ，
40 y+45(700−y)≥29600
解得：372≤y≤380，
又∵y为正整数，
∴y可以为372，373，374，375，376，377，378，379，380．
答：共有9种购买方案；
（3）根据题意得：40﹣m＝45×0.6，
解得：m＝13，
∴m的值为13．
故答案为：13．
