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专题 05 一元一次不等式与一元一次不等式组
【考点1】不等式﹑一元一次不等式（组）的定义★
【考点2】不等式的性质★
【考点3】在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集★
版权所有
【考点4】解一元一次不等式组★★
【考点5】根据一元一次不等式解集求参数★★★
【考点6】不等式组和方程组的结合问题★★★
【考点7】一元一次不等式组的应用★★★
知识点1：不等式的定义
（1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：
等都是不等式．
（2）常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．
知识点2：不等式的基本性质
基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．
如果 ，那么
如果 ，那么
基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
如果 ，并且 ，那么 (或 )如果 ，并且 ，那么 (或 )
基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
如果 ，并且 ，那么 (或 )
如果 ，并且 ，那么 (或 )
不等式的互逆性：如果 ，那么 ；如果 ，那么 ．
不等式的传递性：如果 ， ，那么 ．
知识点3：一元一次不等式（组）的概念
（1）一元一次不等式：只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次
不等式，例如， 是一个一元一次不等式．
（2）一元一次不等式组：由几个含有同一个 未知数的 一元一次不等式组成的不等式组。
知识点4：解一元一次不等式（组)
1.解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系
数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。
（1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，
得到整数系数的小等式。
（2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号
里面的各项要改变符号。
（3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移
到不等式的右边。
（4）合并同类项。
（5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系
数是负数，不等号要改变方向。
（6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。
2.一元一次不等式组的解法
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集
（3） 不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型（设a>b）（重难点）
不等式组 图示 解集（同大取大）
b a
（同小取小）
b a
（大小交叉取
中间）
b a
无解（大小分离解为
空）
b a
【考点1】不等式﹑一元一次不等式（组）的定义★
1−x
1．下列式子：①3<5；②x>0；③2x≠3；④a=3；⑤2a+1；⑥ >1；其中是不等
5
式的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的定义，有理数的大小比较，熟练掌握不等式的定义是解题
的关键．根据不等式的定义，逐一判断即可解答．
1−x
【详解】解：下列式子：①3<5；②x>0；③2x≠3；④a=3；⑤2a+1；⑥ >1，
5
其中是不等式的有：①②③⑥，共有4个，
故选：B．
2．秦岭是中国南北方的界山，秦岭的大散岭，凤岭，紫柏山的海拔均在1500米以上．若
用x米表示这些山岭的海拔，则x满足的条件为（ ）
A．x≥1500 B．x>1500 C．x≤1500 D．x<1500
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的定义．根据题意列出不等式即可求解．
【详解】解：∵山岭主峰海拔超过1500米．∴x>1500，
故选：B．
3．若(m+1)x|m)−5>0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．0 B．±1 C．−1 D．1
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义、绝对值等知识点，熟练掌握一元一次
不等式的定义是解本题的关键．
利用一元一次不等式和绝对值的定义列式求解即可．
【详解】解：∵(m+1)x|m)−5>0是关于x的一元一次不等式，
∴|m)=1且m+1≠0，
∴m=1．
故选D．
【考点2】不等式的性质★
1．若x>y，则下列不等式成立的是（ ）
A．x+3<y+3 B．3x<3 y
C．−3x>−3 y D．−x+2<−y+2
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、∵x>y，
∴x+3>y+3，故A不符合题意；
B、∵x>y，
∴3x>3 y，故B不符合题意；
C、∵x>y，
∴−3x<−3 y，故C不符合题意；
D、∵x>y，
∴−x<−y，
∴−x+2<−y+2，故D符合题意；
故选：D．1
2．如果0<a<1，那么a， ，a2的大小关系是（ ）
a
1 1 1 1
A．a< <a2 B． <a<a2 C．a2<a< D．a<a2<
a a a a
【答案】C
【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键；
1
根据不等式的性质得到 >1，a2<a，即可求解；
a
1
【详解】解：由题意可得： >1，0<a2<a<1；
a
1 1
∴ a， ，a2的大小关系为a2<a< ；
a a
故选：C
3．若a>−b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a+b<0 B．1−a<1+b
a b
C．− > D．−2+b<−2−a
3 3
【答案】B
【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式的性质结合特值法逐项判断即可．
【详解】解：由a>−b得：
A．不妨设a=2，b=−1，则a+b>0，故本选项不合题意；
B．−a<b， 1−a<1+b，故本选项符合题意；
∴ a b
C．−a<b， − ＜ ，故本选项不合题意；
3 3
∴
D．b>−a， −2+b>−2−a，故本选项不合题意；
故选：B． ∴
4．观察下图，下面四个判断正确的是（ ）
A．小兰体重>小云体重 B．小云体重=小冬体重
C．小兰体重<小冬体重 D．以上都不对
【答案】C【分析】本题考查了不等式的性质，从跷跷板可以看出三个小朋友的体重之间的关系是
小兰<小云，小云<小冬，从而得到小兰和小冬的体重之间的关系 ．
【详解】解：从跷跷板可以看出三个小朋友的体重之间的关系是小兰<小云，小云<小
冬，
∴可得：小兰<小冬
故选：C．
【考点3】在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集★
版权所有
1．不等式x≤−2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了不等式的解集在数轴上表示的方法，根据数轴实心圆点包括该点，
空心圆圈不包括该点，大于向右，小于向左，求解即可．
【详解】解：可知x≤−2解集在数轴上表示为：
故选：C．
{x>−1)
2．在数轴上表示不等式组 的解集，正确的是（ ）
x≤3
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表
示出来(>，≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一
段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心
圆点表示．根据不等式的基本性质求得不等式组的解集为−1<x≤3，从而得解．
【详解】解：依题意得：不等式组的解集为−1<x≤3．
故选C．
【考点4】解一元一次不等式组★★
1．解下列不等式组：
{ 2x≤6−x① )
(1) ；
3x+1>2(x−1)②
{3x+2>x−2
)
(2) x−3 5 ．
≤7− x
3 3
【答案】(1)不等式组的解集为−3<x≤2
(2)不等式组的解集为−2<x≤4
{ 2x≤6−x① )
【详解】（1）解：
3x+1>2(x−1)②
解不等式①，得x≤2，
解不等式②，得x>−3，
∴不等式组的解集为−3<x≤2．
{3x+2>x−2①
)
（2）解： x−3 5
≤7− x②
3 3
解不等式①，得x>−2，
解不等式②，得x≤4，
∴不等式组的解集为−2<x≤4
{2x−5≤3
)
2．解一元一次不等式组 3x+10 ，并把解表示在数轴上．
>1
4
【答案】−2<x≤4，见解析
【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌
握运算法则是解本题的关键．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公
共部分确定出不等式组的解集表示在数轴上即可．【详解】解：解不等式2x−5≤3，得x≤4．
3x+10
解不等式 >1，得x>−2．
4
原不等式组的解是−2<x≤4．
把两个不等式的解表示在数轴上，如图．
{ x−2<2x )
3．解不等式组： 2x+1 1−x ，把解集表示在数轴上．并求其整数解．
− ≤1
3 2
【答案】数轴见解析，不等式组的整数解为：−1，0，1．
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解
集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示，再
找出不等式组的整数解即可，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
{ x−2<2x① )
【详解】解： 2x+1 1−x ，
− ≤1②
3 2
解不等式①得：x>−2，
解不等式②得：x≤1，
在数轴上表示不等式①、②的解集：
∴不等式组的解集为−2<x≤1，
∴不等式组的整数解为：−1，0，1．
4．（1）解不等式2(x+1)−1>x，并把不等式的解在数轴上表示出来．
{5x−2>3(x+1)①
)
（2）解不等式组 1 3 ，并写出x的整数解．
x−1≤7− x②
2 2
【答案】（1）x>−1，图见解析5
（2） <x≤4，3或4
2
【分析】（1）按照解一元一次不等式的一般步骤：去括号，移项，合并同类项，系数
化为1求解，然后把不等式的解在数轴上表示出来即可；
（2）先分别求出两个一元一次不等式各自的解集，然后求出整个一元一次不等式组的
解集，最后再求出x的整数解即可．
【详解】解：（1）2(x+1)−1>x，
去括号，得：2x+2−1>x，
移项，得：2x−x>−2+1，
合并同类项，得：x>−1，
把不等式的解在数轴上表示如下：
{5x−2>3(x+1)①
)
（2） 1 3 ，
x−1≤7− x②
2 2
对于①，去括号，得：5x−2>3x+3，
移项，得：5x−3x>3+2，
合并同类项，得：2x>5，
5
系数化为1，得：x> ；
2
1 3
对于②，移项，得： x+ x≤7+1，
2 2
合并同类项，得：2x≤8，
系数化为1，得：x≤4；
5
∴不等式组的解集为 <x≤4，
2
∴x的整数解为：x=3或4．
【点睛】本题主要考查了求一元一次不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集，求
不等式组的解集，求一元一次不等式组的整数解等知识点，熟练掌握一元一次不等式
及一元一次不等式组的解法是解题的关键．
5．解下列不等式组并在数轴上表示解集．{2x+3≤5)
(1) ；
3x−2≥4
{2x+1>3(x−1)
)
(2) x+1 x−1 ．
− ≤1
2 3
【答案】(1)无解，数轴见解析
(2)x≤1，数轴见解析
【分析】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关
键是明确解不等式的方法，会在数轴上表示不等式组的解集．
（1）根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集，并在数轴上表示出来；
（2）根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集，并在数轴上表示出来．
{2x+3≤5①)
【详解】（1）解： ，
3x−2≥4②
解①得，x≤1，
解②得，x≥2，
则不等式组无解，
在数轴上表示为：
{2x+1>3(x−1)①
)
（2）解： x+1 x−1 ，
− ≤1②
2 3
解①得，x<4，
解②得，x≤1，
则不等式组的解集为x≤1，
在数轴上表示为：
【考点5】根据一元一次不等式解集求参数★★★
{2x−6>0)
1．若不等式组 无解，则m的取值范围是（ ）
x≤m
A．m≤3 B．m<3 C．m≥3 D．m>3【答案】A
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，熟记解集的口诀“大大取较大，小小取
较小，大小小大中间找，大大小小，无处找”是解题的关键．先解不等式组，根据
“大大小小，无处找”即可作答．
【详解】解：解不等式2x−6>0得x>3，
{2x−6>0)
∵不等式组 无解，
x≤m
∴m≤3．
故选：A．
2．如果不等式组¿恰有2个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．a>0 B．a≤1 C．0<a≤1 D．0≤a<1
【答案】D
【分析】本题考查了不等式组的整数解，解不等式组应遵循以下原则：同大取较大，
同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组恰有2个整数解，即可确定
整数解，然后得到关于a的不等式求解即可．
【详解】解：解不等式组¿得：a<x<3，
∵恰好有2个整数解，
∴整数解是2，1，
∴0≤a＜1．
故选：D．
{ x<m )
12．若关于x的一元一次不等式组 无解，则m的取值范围是（ ）
x−2>1−2x
A．m≥1 B．m>1 C．m≤−1 D．m≤1
【答案】D
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟
知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的
关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“大大小小找不到”得出关于m的不
等式，解之即可．
{ x<m )
【详解】解： ，
x−2>1−2x{x<m)
解得： ，
x>1
∵不等式无解，
∴m≤1，
故选：D．
{4(x−1)>3x−1)
3．若关于x的不等式 的解集为x>3，则a的取值范围是 ．
5x>3x+2a
【答案】a≤3
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，先分别求出不等式组中两个不
等式的解集，再根据不等式组的解集即可求出答案．
{4(x−1)>3x−1①)
【详解】解：
5x>3x+2a②
解不等式①得：x>3，
解不等式②得：x>a，
{4(x−1)>3x−1)
∵关于x的不等式 的解集为x>3，
5x>3x+2a
∴a≤3，
故答案为；a≤3．
{2x+5>4x−15)
4．若关于x的不等式组 有4个整数解，则a的取值范围为 ．
x+3<2x+a
【答案】−3<a≤−2
【分析】本题考查不等式组含参数问题，关键在于根据题中给出整数解的个数或其他
条件逆推不等式组的解集．
先将a当成已知量，解不等式组，将不等式组的解集表示出来，然后根据有4个整数解，
可得出a的取值范围．
{2x+5>4x−15①)
【详解】解： ，
x+3<2x+a②
解不等式①，得x<10，
解不等式②，得x>3−a，
∵不等式组有4个整数解，依次为：9，8，7，6，
∴5≤3−a<6，解得：−3<a≤−2，
故答案为：−3<a≤−2．
【考点6】不等式组和方程组的结合问题★★★
{x−y=3m−2)
1．关于x，y的二元一次方程组 的解满足x+y>0，则m的取值范围
x+3 y=−4
（ ）
A．m>2 B．m<2 C．m>6 D．m<6
【答案】A
【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把
m当作已知数表示出x+y的值，再得到关于m的不等式．首先解关于x和y的方程组，
利用m表示出x+y，代入x+y>0即可得到关于m的不等式，求得m的范围．
{x−y=3m−2①)
【详解】解： ，
x+3 y=−4②
①+②得：2x+2y=3m−6，
3m−6
则x+y= ，
2
3m−6
根据题意得：x+y= >0，
2
解得m>2．
故选：A．
{x−a<b )
2．已知关于x的不等式组 的解集为−1<x<5，则a，b的值分别为（ ）
x+2b>a
A．a=1，b=−2 B．a=−2，b=1
C．a=2，b=3 D．a=3，b=2
【答案】D
【分析】本题考查的是一元一次不等式组与二元一次方程组的综合．分别求出每一个
不等式的解集，根据不等式组的解集得出关于a、b的方程组，解之求得a、b的值即
可得出答案．
{x−a<b① )
【详解】解： ，
x+2b>a②
解不等式①得：x<a+b，
解不等式②得：x>a−2b，∴原不等式组的解集为a−2b<x<a+b，
∵不等式组的解集为−1<x<5，
{a−2b=−1)
∴ ，
a+b=5
{a=3)
解得： ．
b=2
故选：D
{ 3x+2y=m )
3．关于x，y的方程组 ．
2x+y=m−2
(1)若5x+3 y=−6，求m的值；
(2)若x、y均为非负数，求m的取值范围；
(3)在（2）的条件下，求S=2x−3 y+m的最大值和最小值．
【答案】(1)m=−2
(2)4≤m≤6
(3)最大值为10，最小值为−2
【分析】本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组、
不等式的性质等知识，掌握不等式组及方程组的解法，准确熟练地进行计算是解题的
关键．
（1）利用整体的思想可得5x+3 y=2m−2，从而可得2m−2=−6，然后进行计算
即可解答；
{ x=m−4 )
（2）先解方程组可得 ，然后根据已知易得x≥0，y≥0，从而可得
y=−m+6
{m−4≥0 )
，最后进行计算即可解答；
−m+6≥0
（3）利用（2）的结论可得S=6m−26，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解
答．
{ 3x+2y=m① )
【详解】（1）解： ，
2x+y=m−2②
①+②得：5x+3 y=2m−2，
∵5x+3 y=−6，
∴2m−2=−6，
解得：m=−2；{ 3x+2y=m )
（2）解： ，
2x+y=m−2
{ x=m−4 )
解得 ，
y=−m+6
∵x、y均为非负数，
∴x≥0，y≥0，
{m−4≥0 )
即 ，
−m+6≥0
解得4≤m≤6；
{ x=m−4 )
（3）解：∵ ，
y=−m+6
∴S=2x−3 y+m
=2(m−4)−3(−m+6)+m
=2m−8+3m−18+m
=6m−26，
∵4≤m≤6，
∴24≤6m≤36，
∴−2≤6m−26≤10，
即−2≤S≤10，
∴S=2x−3 y+m的最大值为10，最小值为−2．
{ x+y=5−m )
4．已知关于x、y的方程组 ，若x的值为非负数，y的值为正数．
x−y=−1+3m
(1)求m的取值范围；
(2)已知n−m=2，且n<2，求m+n的取值范围．
3
【答案】(1)−2≤m<
2
7
(2)−2≤m+n<
2
【分析】本题考查了解方程组和一元一次不等式组，能根据题意求出方程组的解、准
确求解不等式组的解集是解题的关键．
{ 2+m≥0 )
（1）先求出方程组的解，根据x的值为非负数和y的值为正数得出 ，求
3−2m>0
出m的范围即可；3 7
（2）根据n−m=2， −2≤m< ，求出0≤n< ，再根据n<2，得出0≤n<2，最后
2 2
7
求出−2≤m+n< 即可．
2
{ x+y=5−m ) { x=2+m )
【详解】（1）解：解方程组 得： ，
x−y=−1+3m y=3−2m
∵x的值为非负数，y的值为正数，
{ 2+m≥0 )
∴ ，
3−2m>0
3
解得：−2≤m< ，
2
3
即m的取值范围是：−2≤m< ；
2
（2）解：∵n−m=2，
∴n=m+2，
3
∵−2≤m< ，
2
7
∴0≤n< ，
2
∵n<2，
∴0≤n<2，
3
∴−2+0≤m+n<2+ ，
2
7
即−2≤m+n< ．
2
{ x+y=3m )
5．已知关于x，y的二元一次方程组
x−y=m+2
(1)若方程组的解是正数，求m的取值范围；
(2)若方程组的解满足2x−3 y不小于0，求m的取值范围．
【答案】(1)m>1
(2)m≥−5
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，解一元一次不等式
组，解题的关键在于熟知解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式的方法．
（1）先把m看做常数利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解是正数得到关于m的不等式组，解不等式求出m的取值范围即可；
（2）根据（1）所求结合2x−3 y不小于0建立不等式求解即可．
{ x+y=3m )
【详解】（1）解方程组 ，
x−y=m+2
{x=2m+1)
得 ，
y=m−1
∵方程组的解是正数，
{2m+1>0)
∴ ，
m−1>0
解得m>1．
（2）∵方程组的解满足2x−3 y不小于0，
∴2(2m+1)−3(m−1)≥0，
解得m≥−5．
【考点7】一元一次不等式组的应用★★★
1．4月23日是“世界读书日”，这是一个属于书籍与阅读的节日．为了激发学生的
阅读兴趣，营造浓厚的书香氛围，某校现决定购买《中华上下五千年》和《鲁滨逊漂
流记》两种书共60本．已知购买4本《中华上下五千年》和1本《鲁滨逊漂流记》共
需140元；购买2本《中华上下五千年》与购买3本《鲁滨逊漂流记》的价格相同．
(1)求这两种书的单价．
(2)若购买《中华上下五千年》的数量不少于28本，且购买这两种书的总价不超过
1500元，请问共有几种购买方案？
【答案】(1)《中华上下五千年》的单价为30元，《鲁滨逊漂流记》的单价为20元
(2)①购买《中华上下五千年》的数量为28本，购买本《鲁滨逊漂流记》的数量为32
本；②购买《中华上下五千年》的数量为29本，购买本《鲁滨逊漂流记》的数量为
31本；③购买《中华上下五千年》的数量为30本，购买本《鲁滨逊漂流记》的数量
为30本，共三种购买方案
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，以及一元一次不等式组的应用，解题的
关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关
系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设《中华上下五千年》的单价为x元，《鲁滨逊漂流记》的单价为y元，根据题
意列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设购买《中华上下五千年》的数量为m本，则购买《鲁滨逊漂流记》的数量为
(60−m)本，根据题意列出一元一次不等式组，解方程组即可得到答案．
【详解】（1）解：设《中华上下五千年》的单价为x元，《鲁滨逊漂流记》的单价为
y元，
{4x+y=140)
根据题意得 ，
2x=3 y
{x=30)
解得： ，
y=20
∴《中华上下五千年》的单价为30元，《鲁滨逊漂流记》的单价为20元．
（2）解：设购买《中华上下五千年》的数量为m本，则购买《鲁滨逊漂流记》的数量
为(60−m)本，
{ m≥28 )
由题意得 ，
30m+(60−m)×20≤1500
解得：28≤m≤30，
∴购买方案有：①购买《中华上下五千年》的数量为28本，购买本《鲁滨逊漂流记》
的数量为60−28=32本；②购买《中华上下五千年》的数量为29本，购买本《鲁滨
逊漂流记》的数量为60−29=31本；③购买《中华上下五千年》的数量为30本，购
买本《鲁滨逊漂流记》的数量为60−30=30本，共三种购买方案．
2．发奋识遍天下字，立志读尽人间书．2025年4月23日是第30个“世界读书日”，某校
为提高学生的阅读种类，进一步建设书香校园，准备购买A，B两种图书，已知购买1
本A种图书比1本B种图书多5元；购买6本A种图书与购买7本B种图书的价格相
同．
(1)求这两种图书的单价；
(2)现决定购买A，B两种图书共70本，若购买A种图书的数量不少于所购买B种图书
数量的一半，且购买两种图书的总价不超过2225元．请问有哪几种购买方案？
【答案】(1)A种图书的单价是35元，B种图书的单价是30元
(2)方案1：购买24本A种图书，46本B种图书；方案2：购买25本A种图书，45本
B种图书
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，以及一元一次不等式组的应用，解题的关
键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，
正确列出一元一次不等式组．（1）设B种图书的单价是x元，则A种图书的单价是(x+5)元，根据购买6本A种图
书与购买7本B种图书的价格相同，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的
值（即B种图书的单价），再将其代入(x+5)中，即可求出A种图书的单价；
（2）设购买y本A种图书，则购买(70−y)本B种图书，根据“购买A种图书的数量
不少于所购买B种图书数量的一半，且购买两种图书的总价不超过2225元”，可列出
关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出
各购买方案．
【详解】（1）设B种图书的单价是x元，则A种图书的单价是(x+5)元，
根据题意得：6(x+5)=7x，
解得：x=30，
∴x+5=30+5=35（元）．
答：A种图书的单价是35元，B种图书的单价是30元；
（2）设购买y本A种图书，则购买(70−y)本B种图书，
{ y≥ 1 (70−y) )
根据题意得： 2 ，
35 y+30(70−y)≤2225
70
解得： ≤ y≤25，
3
又∵y为正整数，
∴y可以为24，25，
∴共有2种购买方案，
方案1：购买24本A种图书，46本B种图书；
方案2：购买25本A种图书，45本B种图书．
3．随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了顾客的
购物效率和满意度．某商场计划分别用27000元和12000元购进A，B两种型号的智能
机器人，已知计划购进A型机器人比购进B型机器人多2台，且A型机器人的单价比
B型机器人的单价每台高50%．
(1)A，B两种型号机器人的单价各是多少？
(2)春节将至，为应对购物高蜂，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机
器人共5台，并要求再次购买的A型机器人的数量不少于B型机器人的数量．该商场
应如何采购这批机器人？总费用是多少？【答案】(1)A型机器人的单价为4500元；B型机器人的单价为3000元
(2)商场应购买A型机器人3台，B型机器人2台，总费用为19500元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，找准等量关
系，正确的列出二元一次方程组和一元一次不等式组并求解是解题的关键．
（1）设B型机器人的进价为x元，则A型机器人进价为(1+50%)x元，设购进B型机
器人m台，则购进A型机器人(m+2)台，根据题意列出方程组，解方程组即可．
（2）设再次购买A型机器人a台，则购买B型机器人(5−a)台，根据题意列出不等式
组，解不等式组即可．
【详解】（1）解：设B型机器人进价为x元，购进B型机器人m台，则A型机器人进价
为(1+50%)x=1.5x元，购进A型机器人(m+2)台，
{1.5x(m+2)=27000)
根据题意，可列方程 ，
xm=12000
解得x=3000，
即B型机器人进价为 3000 元，A型机器人进价为(1+50%)×3000=4500元．
（2）解：设再次购买A型机器人a台，则购买B型机器人(5−a)台，
{ a≥5−a )
根据题意，得 ，
4500a+3000(5−a)≤20000
5 10
解得 ≤a≤ ，
2 3
由于a为整数，所以a=3，
总费用为3×4500+2×3000=19500元，
故商场应购买A型机器人 3 台，B型机器人 2 台，总费用为 19500 元．
4．社会实践活动中，辅导员组织一批进行游戏，若每组6人，还剩余5人，若每组8人，则
有一组不满3人，问参加游戏的同学的组数和人数．
【答案】参加游戏的同学的组数为6、人数为41．
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等
式是解题的关键．设参加游戏的同学的组数为x，则人数为6x+5，根据若每组6人，
还剩余5人，若每组8人，则有一组不满3人，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】解：设参加游戏的同学的组数为x，则人数为6x+5，
由题意得：1≤6x+5−8(x−1)<3，
解得：5<x≤6，∵x为正整数，
∴x=6，
∴6x+5=41，
答：参加游戏的同学的组数为6、人数为41．
5．【问题背景】
2025年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新
的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．
随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递
企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如
下：
若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；
若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元．
素材1
A型机器人每台每天可分拣22万件；
素材2
B型机器人每台每天可分拣18万件；
问题解决 求A、B两种型号智能机器人的单价；
（1）
问题解决 现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．
（2） 则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
【答案】问题解决（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为
60万元；
问题解决（2）选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次
方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键．
（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列
出方程组，计算结果即可；
（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人(10−a)台，先求出a的取值
范围，再得出每天分拣快递的件数，当a取得最大值时，每天分拣快递的件数最多．【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
{ x+3 y=260 ) {x=80)
，解得 ，
3x+2y=360 y=60
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人(10−a)台，
∴80a+60(10−a)≤700，
∴a≤5，
∵每天分拣快递的件数=22a+18(10−a)=4a+180，
∴当a=5时，每天分拣快递的件数最多为4×5+180=200万件，
∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台．
6．数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如
下信息：
购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一
信息
起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为
1
1.6m．
购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一
信息
次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为2.6m的购
2
物车列．
如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题：
(1)当n辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________m（用
含n的代数式表示）；
(2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车；
(3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？
请说明理由．
【答案】(1)(0.2n+1)
(2)16
(3)见解析
【分析】本题考查了列代数式的应用，解一元一次方程，一元一次不等式组的应用，读懂题意列出代数式和不等式组是解题的关键．
（1）根据题意可知一辆购物车长1.2m，每增加一辆购物车增加0.2m，从而得到n辆
购物车叠放时长1.2+0.2(n−1)，化简即可得到答案；
（2）根据该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为2.6m的购物车列，由（1）可
得0.2n+1=2.6，解出n进而可求得答案；
（3）设用扶手电梯运输x次，则直立电梯运输(5−x)次，根据题意得到
{24x+16(5−x)≥100)
，解出x的取值范围，然后根据x为正整数，即可得到答案．
5−x≥0
【详解】（1）解：根据题意可知一辆购物车长1.2m，每增加一辆购物车增加0.2m，
所以n辆购物车叠放时长1.2+0.2(n−1)=(0.2n+1)m，
故答案为：(0.2n+1)．
（2）解：因为该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为2.6m的购物车列，
因此由（1）可得0.2n+1=2.6，
解得n=8，
2×8=16（辆）
答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车．
（3）解：有3种方案，
设用扶手电梯运输x次，则直立电梯运输(5−x)次，
由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车，
{24x+16(5−x)≥100)
∴ ，
5−x≥0
5
解得： ≤x≤5，
2
∵x为正整数，
∴x=3，4，5，
∴共有3种运输方案：
①扶手电梯运3次，直立电梯运2次；
②扶手电梯运4次，直立电梯运1次；
③扶手电梯运5次．一、单选题
1．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ）
A．3>1 B．x+y>0 C．2x−1<5 D．x2+2x>−1
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．根
据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1
次，不等式的左右两边都是整式，这样的不等式叫一元一次不等式，据此判断即可求
解．
【详解】解：A、3>1不含未知数，不是一元一次不等式，该选项不合题意；
B、x+y>0含2个未知数，不是一元一次不等式，该选项不合题意；
C、2x−1<5是一元一次不等式，该选项符合题意；
D、x2+2x>−1未知数最高次数为2，不是一元一次不等式，该选项不合题意；
故选：C．
2．下列说法错误的是（ ）
a
A．若a>b，则a−3>b−3 B．若a<b，则 <1
b
C．若ac2<bc2，则a<b D．若a>b，则3−2a<3−2b
【答案】B
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不
等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式
两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同
一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，可得答案．
【详解】A、若a>b，则a−3>b−3，正确，不符合题意；
a a
B、若a<b，且b≠0时，则 <1或 >1，原说法错误，符合题意；
b b
C、若ac2<bc2，则a<b，正确，不符合题意；
D、若a>b，则3−2a<3−2b，正确，不符合题意；
故选：B．{ 2x<6 )
3．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
x+5≥3
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示一元一次不等式组的解集，
熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求
出其公共解集并在数轴上表示出来即可．
{ 2x<6 )
【详解】解：
x+5≥3
由2x<6解得，x<3，
由x+5≥3解得，x≥−2，
故此不等式组的解集为−2≤x<3，
把此不等式组的解集在数轴上表示为：
故选：A．
4．下面是两位同学在讨论一个不等式．根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式可能
是（ ）
A．3x≤−9 B．3x≤9 C．−3x≥−9 D．−3x>−9
【答案】C
【分析】本题考查解不等式，用数轴表示不等式．根据两位同学的对话进行判断即可．
【详解】解：由左边同学的对话可知，讨论的不等式的未知数的系数是负数；
由右边同学的对话可知，讨论的不等式的解集为x≤3，
综上，不等式−3x≥−9符合他们的讨论．
故选：C
5．在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答
错或不答扣5分，总得分不少于80分者的通过预选赛，至少要答对多少道题才能通过预选赛？
【答案】至少答对12道题才能通过预选赛．
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元
一次不等式是解题的关键．设答对x道题可以通过预选赛，则答错或不答（20−x）
道题，利用得分=10×答对题目数−5×答错或不答题目数，结合得分不少于80分，可
列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【详解】解：设答对x道题可以通过预选赛．
由题可知：10x−5(20−x)≥80，
解得：x≥12，
答：至少答对12道题才能通过预选赛．
{3x−m>0)
6．已知关于x的不等式组 有四个整数解，则m的取值范围是（ ）
x−1≤5
A．6≤m<9 B．6<m≤9 C．6<m<9 D．6≤m≤9
【答案】A
m
【分析】解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出2≤ <3，解之可得．
3
本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于m的不
等式组是解题的关键．
m
【详解】解：解不等式3x−m>0，得：x> ，
3
解不等式x−1≤5，得：x≤6，
∵不等式组有4个整数解，
m
∴2≤ <3，
3
解得：6≤m<9．
故选：A．
7．运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程
序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（ ）
A．1<x≤3 B．2<x≤3 C．3≤x<5 D．2≤x<5
【答案】B【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出
不等式组是解题的关键．
根据运行程序，第一次运算结果小于等于5，第二次运算结果大于5列出不等式组，然
后求解即可．
{ 2x−1≤5① )
【详解】解：根据题意得
2(2x−1)−1>5②
解不等式①得x≤3，
解不等式②得x>2，
∴不等式组的解集为2<x≤3，
∴x的取值范围是2<x≤3，
故选：B．
二、填空题
8．不等式2(x+4)≤12的解集是 ．
【答案】x≤2
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，按照去括号，移项，合并同类项，系数
化为1的步骤解不等式即可得到答案．
【详解】解：2(x+4)≤12
去括号得：2x+8≤12，
移项得：2x≤12−8，
合并同类项得：2x≤4，
系数化为1得：x≤2，
故答案为：x≤2．
9．一部电梯的额定载重量为1000kg，某人用这部电梯把一批相同质量的货物从底层搬到
顶层．该人体重为65kg，每箱货物的质量为60kg．那么每次最多能搬运多少箱货物？
设每次搬运x箱货物，依题意可列不等式 ．
【答案】60x+65≤1000
【分析】本题考查了列一元一次不等式，设每次搬运x箱货物，根据题意列出不等式
即可，理解题意是解题的关键．
【详解】解：设每次搬运x箱货物，由题意得，60x+65≤1000，
故答案为：60x+65≤1000．
{x−3>5
)
10．不等式组 1 的解集是 ．
x>2
3
【答案】x>8
【分析】此题考查了解一元一次不等式组．先求出每个不等式的解集，再根据“同大
取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定公共部分即可得答案．
{x−3>5
)
【详解】解： 1 ，
x>2
3
解不等式x−3>5得：x>8，
1
解不等式 x>2得：x>6，
3
∴原不等式组的解集为：x>8．
故答案为：x>8．
11．随着科技的进步，我们可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．如图，小明在距
离某站牌192m处拿出手机查看了公交车到站情况，发现最近一辆公交车还有4min到
达该站牌处．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明的最小平均速度为
m/s．
【答案】0.8
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明的平均速度为xm/s，根据题意列
出不等式求解即可．
【详解】解：设小明的平均速度为xm/s，根据题意得：
4×60x≥192，
解得，x≥0.8，
所以，小明的最小平均速度为0.8m/s．
故答案为：0.8．三、解答题
12．解不等式（组）：
x−3
(1)解不等式 ≤1−2x；
2
{ 3x−1≤8 )
(2)解不等式组 4x−1 ，并把它的解集表示在数轴上．
>x−1
3
【答案】(1)x≤1
(2)−2<x≤3
【分析】本题考查了解不等式以及解不等式组，解题的关键是掌握不等式的解法．
（1）根据去分母、去括号，移项合并同类项，化系数为1，即可求解；
（2）先分别求出每个不等式的解集，再求出解集的公共部分，最后把解集表示在数轴
上即可．
x−3
【详解】（1）解： ≤1−2x
2
x−3≤2−4x
x+4x≤2+3，
5x≤5
x≤1；
{ 3x−1≤8① )
（2）解： 4x−1
>x−1②
3
解不等式①：
3x−1≤8
3x≤8+1
x≤3，
解不等式②：
4x−1
>x−1
3
4x−1>3x−3
4x−3x>−3+1
x>−2，∴不等式组的解集为−2<x≤3，
该不等式组的解集在数轴上表示如下：
13．2025年3月14日，北京市数学节在日坛中学隆重开幕，各区中小学陆续开展数学节系
列活动，3月28日，房山区“数启智慧，学创未来”数学节正式启动．为激发学生的
学习兴趣，鼓励学生积极参与数学学习，开展数学探究活动，某校购入A，B两种规
格的书架用于布置数学图书角．经市场调查发现，若购买A种书架2个，B种书架3
个，共需资金1500元；若购买A种书架4个，B种书架1个，共需资金1100元．
(1)A，B两种规格的书架单价分别是多少元？
(2)若该校计划购买这两种规格的书架共30个，总费用不能超过10000元，则B种规格
的书架最多可以购买多少个？
【答案】(1)A种规格的书架单价是180元，B种规格的书架单价是380元
(2)B种规格的书架最多可以购买23个
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键
是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，
正确列出一元一次不等式．
（1）设A种书架的单价是x元，B种书架的单价是y元，根据购买A种书架2个，B
种书架3个，共需资金1500元；若购买A种书架4个，B种书架1个，共需资金1100
元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买B种书架m个，则购买A种书架(30−m)个，根据总费用不能超过10000
元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整
数即可求解．
【详解】（1）解：设A种书架的单价是x元，B种书架的单价是y元，根据题意得：
{2x+3 y=1500)
，
4x+y=1100
{x=180)
解得： ，
y=380
答：A种规格的书架单价是180元，B种规格的书架单价是380元；
（2）解：设购买B种书架m个，则购买A种书架(30−m)个，根据题意：
380m+180(30−m)≤10000，解得：m≤23，
答：B种规格的书架最多可以购买23个．
14．为助力珠海打造活力之城，丰富市民的业余文体生活，珠海某社区计划采购一批相同
型号白匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个）．若购买2副匹克球拍和5个匹
克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元．
(1)求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？
(2)由于社区参与文体活动的居民人数变化，采购需求有所调整．现需一次性购买匹克
球拍匹克球数量之和为50，匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元．
求满足件的采购方案有哪些？
【答案】(1)匹克球拍的单价为160元，匹克球的单价为10元
(2)①购买匹克球拍5副，匹克球45个；②购买匹克球拍6副，匹克球44个
【分析】本题考查了二元一次方程组组的应用，一元一次不等式的应用，正确列出二
元一次方程组和不等式是解答本题的关键．
（1）设匹克球拍的单价为x元，匹克球的单价为y元，根据购买2副匹克球拍和5个
匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元列方程组
求解即可；
（2）设购买匹克球拍m副，则购买匹克球(50−m)个，根据匹克球拍不少于5副，同
时购买的总费用不能超过1500元列不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设匹克球拍的单价为x元，匹克球的单价为y元
{2x+5 y=370)
由题意得：
4x+9 y=730
{x=160)
解得：
y=10
答：匹克球拍的单价为160元，匹克球的单价为10元．
（2）设购买匹克球拍m副，则购买匹克球(50−m)个．
{160m+10(50−m)≤1500)
由题意得： ，
m≥5
2
∴5≤m≤6
3
又∵m取正整数，
∴m可取5，6
当m=5时，匹克球数量为：50−5=45个；当m=6时，匹克球数量为：50−6=44个．
答：满足条件的采购方案有两种：①购买匹克球拍5副，匹克球45个；②购买匹克球
拍6副，匹克球44个．
15．定义一种新运算：x⊗y=mx+2ny，若1⊗2=7，2⊗3=12．
(1)求m、n的值；
{ x⊗(x−1)≥0 )
(2)若关于x的不等式组 有解，求实数p的取值范围；
(x−p)⊗2x<0
1
(3)若(ax−2b)⊗(3a+bx)≥3a+2b的解集为x≤ ，求(ax+b)⊗(3a−bx)>2a+b的
4
解集．
{m=3)
【答案】(1) ；
n=1
14
(2)p> ；
15
5
(3)x<− ．
2
【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式
组的解法．
（1）根据定义的新运算x⊗y，列出二元一次方程组，解方程组可求出m，n的值；
（2）根据（1）求出的新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解
集的情况可求出p的取值范围；
1
（3）根据（1）求出的新运算列出一元一次不等式，根据解集为x≤ 可得出a与b的
4
数量关系；再根据a，b的值和新运算列出一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）解：∵x⊗y=mx+2ny，若1⊗2=7，2⊗3=12，
{ m+4n=7 )
∴ ，
2m+6n=12
{m=3)
解得 ；
n=1
{ x⊗(x−1)≥0 )
（2）解：关于x的不等式组 ，
(x−p)⊗2x<0{3x+2(x−1)≥0)
整理得 ，
3(x−p)+4x<0
2
解3x+2(x−1)≥0得x≥ ，
5
3
解3(x−p)+4x<0得x< p，
7
{ x⊗(x−1)≥0 )
∵关于x的不等式组 有解，
(x−p)⊗2x<0
3 2
∴ p> ，
7 5
14
∴p> ；
15
（3）解：∵(ax−2b)⊗(3a+bx)≥3a+2b，
∴3(ax−2b)+2(3a+bx)≥3a+2b，
整理得(3a+2b)x≥−3a+8b，
1
∵(ax−2b)⊗(3a+bx)≥3a+2b的解集为x≤ ，
4
−3a+8b 1
∴3a+2b<0且 = ，
3a+2b 4
整理得a=2b，
∴3a+a<0，
∴a<0，
∵(ax+b)⊗(3a−bx)>2a+b，
∴3(ax+b)+2(3a−bx)>2a+b，
整理得(3a−2b)x>−4a−2b，
将a=2b代入得2ax>−5a，
∵a<0，
5
∴x<− ．
2
